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Material DidácticoDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

M A T E R I A L D I D A C T I C O

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

M A T E M A T I C A S I I

Av. Michoacán y Calzada de la Purísima, Izíapalapa, C.P. 09340, México, D.F.

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA - IZTAPALAPACasa abierta al tiempo

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

M A T E M Á T I C A S I I

C. B. I .

PROBLEMARIO


Casa abierta al tiempo

M A T E R I A L D I D Á C T I C O

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

M A T E M Á T I C A S I I

C . B . I .

PROBLEMARIO



M A T E M Á T I C A S II

División de Ciencias Básicas e Ingeniería

Problemario

Este material tiene por objeto brindar al profesor una guía para el

curso y poner al alcance del alumno material para su mejor desempeño

académico.

Agradecemos a los lectores sus sugerencias para mejorar este trabajo.

Estas se recibirán en la Coordinación del Tronco General de Matemáticas de

la División de Ciencias Básicas e Ingeniería.

Autores: Gerardo P. Aguilar Sánchez

Luis Aguirre Castillo

Jesús Manuel Cruz Cisneros

Luis Nuñez Rodríguez

Mecanografía: Martha Patricia Sánchez Sánchez

Martha Beatriz Arce Vargas

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS, UAM-I

Enero, 1987



índice:

Sumas 1

Sumas de Riemann 7

Integral Definida 10

Teorema Fundamental del Cálculo 22

Regla Trapecial 30

Regla de Simpson 37

Función Logaritmo 41

Integral Indefinida 50

Integración de Fracciones Racionales 60

Integración por sustitución 73

Integrales Impropias 78

Coordenadas Polares 83

Gráficas en Coordenadas Polares 91

Cálculo de áreas en Coordenadas Polares . 107

Aplicaciones de la Integral Definida 112

Longitud de Arco „ 117

Volumen de Sólidos de Revolución „... 119

Trabajo 123

Otras Aplicaciones 124

Ecuacioes Diferenciales 138

Aplicaciones 151

Vectores en IR2 y K3 160



SUMAS

En el cálculo de algunas sumas con varios sumandos se utili

za el símbolo £ para abreviar dichas sumas

Ejemplos:5

1.- 1+2+3+4+5 se puede abreviar como J k,k=l

Recuerde que el nombre de la variable utilizada, k (llama-

da índice) puede variar, por ejemplo, en este caso

5 5 5I k = I i = I j • • • etc.

k=l i=l j=l

n2.- La suma a + a + ..• + a se abrevia como J a . .

5 03 . - 2 + 4 + 6 + . . . + 1 0 0 = I 2 j

1004.- 13 + 14 + 15 + . . . + 100 = I k

k=13

Ejercicios: Escribir en forma abreviada las siguientes

sumas:20

1.- 1 + 2 + 3 + . . . + 2 0 Resp. I kk=l

10012.- 1 + 3 + 5 + ... + 2001 Resp. I (2k-l)

n3 . - 2 + 4 + 6 + . . . + 2 n R e s p . I 2k

k=l

n4.- 1 + 3 + 5 + . . . + (2n-l) Resp. I (2k-l)

k=l



2.

n5.- I2 + 22 + 32 + ... + n2 Resp. I k2

m+5*- bm + bm+l + bm+2

+ •" + bm+5

Desarrolle las siguientes sumas:

Ejemplo:

8I 2X - 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510i l

R e s p : 0 + 2 + 6 + 1 2 + 2 0 + 3 0

R e s p : 1 0 + 1 0 + 1 0 + . . . + 1 0

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6I

k=l

50

i-1

1j=o

4I

r=0

n1

k=l

k(k-l)

10

X j

y r + 1

kk

50 veces

Resp: Xo + Xi + X2 + X3 + Xi + x$

Resp: y + y2 + y3 + y1* + y5

Resp: 1 + 22 + 33 + 4* + .., + n

Desarrollando, compruebe las siguientes igualdades:

f 2*"1 = I 2r = f 25-> = f 26-*r=l r=0 n=0 k=l

Hallar los valores numéricos de las sumas siguientes:

51. Ir Resp: 15

r=0DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


3.

5 n O2. I 2n~¿ Resp: 15

n=2

3. I kk Resp: 32k=l

54. £ (2¿+l) Resp: 36

i=0

I 1 45* A t/vin Resp: r

Compruebe las siguientes propiedades de la suma

n1. £ c = nc

k=l

n n n2. I (av+b, ) = i a, + í b, (Propiedad aditiva)

k=l K K k=l K k=l K

n n3. 1 (aai) = a I av (Propiedad homogénea)

k=l K k=l K

4.

5 .

6.

7.

n

n

i

i=k x

11 a-

i=k 1

ik+3b,)

rak-i)

£+r

i=k+r

£-r

i=k-r

= a n

a.

a.

no I a. +

k=l k

- a0

- r

+r

n

k=l(Linealidad)

(Propiedad telescópica)



4.

Deducir fórmulas para las siguientes sumas

n1. I k Resp. r-^~

k=l

2. I k2 resp. n(n^l)C2nfl)k = l

3 . í k 3 r e s pk=l

4 ? W4 ,-pcn4. ) k resp

JC — -L

Ejemplo;

Usando la identidad ±li-(±-l)k = 4j_3-6i24-4i - 1 obtener el

siguiente resultado

nI i 3 = i (nV2n3

+n2) = ü

Solución

= 4i3-6i2+4i-l

Entonces podemos escribir

n ny (Í^-ÍÍ-D1*) = y (4i3-6i2+4i-D

i l i l



Ahora bien, usando la propiedad telescópica

= n1*

Por otra parte:

3-6i2(4i3-6i2+4i-l) =

entonces

n n n nn* = 4 H 3 - 6 [ i2 + 4 [ i -

i l i l i l

de donde

n n n n

[nJn±lH2n±lL] • 4 [n(n+ l ) ]

- 2n(n+l) + n

Entonces

n -I i 3 = x [n^+nín+1) (2n+l) - 2n(n-l) + n ]l 4

= k ( nlf+2n3+3n2+n-2n2-2n+n)4



= x (n"+.2n3+n)

= j (n2+2n+l)

(n+1)

Lo cual es el resultado deseado.

Calcule las siguientes sumas:

2001. I 2i (i3-l)

252 . I ( i 2 + l ) 2 i

3. I (- |)k'2

k=0 *

4. I C/Sk^T - 73IE+7)k=l

m5. I j(2j2+l)(5j+6)

6. I [(3"k-3k)2-(3k""1+3"k"1)2]k=l

n7. I [(k-1)3+6k2-3k+7]

k=l



7.

SUMAS DE RIEMANN

Ejemplo:

Suponga que f(x) = x3 y que P es la partición del intervalo

[-2,4] en los 4 subintervalos determinados por XQ =- 2 ,

xi = 0, x2 = 1 # x3 = 3 y Xi* = 4 . Encuentre la suma de

Riemann correspondientes a f y a P cuando

a) É! =- 1 , í2 = 1 / £3 = 2 , U = 4

b) £i = 0 f £2 = 1 / 3 = 3 , £,« = 4 .

Solución:

La suma de Riemann de una función f , correspondiente a una

partición P : x0 = a < Xi < ... < x = b , del intervalo

[a,b] , dados ^.e[x._1#x.] (i=l,2,...,n) , es :

nI f(Ci)Axi , donde ^ ^ ^ " " ^ - i

En este caso tenemos

= x r x o = 0 - ( -2 ) = 2 , Ax2 = X2-Xi = 1-0 = 1

Ax3 = X3-X2 = 3-1 = 2 , Axi» = xH-x3 = 4-3 = 1

a) La suma de Riemann correspondiente es :

nI f U , ) A x = f U i ) A x 2 + f ( C 2 ) A x 2 + f ( 5 3 ) A x 3 + f

1 X



8.

= f (-1) (2) + f U) U) + f (2) (2) + f (4) U)

= (-1)(2) + (1) ti) + 8(2) + 64(1)

= 79 .

b) En este caso tenemos que la suma de Riemann es

4

I f Ui)Axi = f (0) (2) + f (1) (1) + f (3) (2) + f (4) (1)

= 0(2) + ti) (1) + 27(2) + 64(1)

= 119 .

Encuentre las sumas de Riemann correspondientes,en cada caso.

1. f(x) = x2 P partición del intervalo [0,2j dado por

x0 = 0 , xx = y , x2 = 1 , x3 = *• , x^ = 2 , a) lix = x0 t

Í2 = xi , E,3 = x 2 , gi» = x3 , b) £ . = x . i=l,2f3/4.

Resp. a) x , b)

2. g(x) = 3x+l , P partición del intervalo [-1/3] dada por

P : x0 =- 1 , xi = 0 , x2 = j f x3 = 2 , xt» = 3 . ^¿ = x¿

i-1,2,3,4.

91Resp. -r-

3. h(x) = /x , P partición del intervalo [lf4] dada por

P : xa = 1 , Xj = j , x2 = 2 , x3 - 3 , xH = 4 Ci = 1 ,

Zz = j , Í3 = j , 5* = 4 . Resp. j + 2



9 .

4. f (x) = sen x P partición del intervalo [-TWTT] dada por

P : X = ~ 7T , X i = - J t X 2 = Q , X 3 - j t Xi* = J r X 5 = TT ,

con 5 - = x . i = l , 2 , • • • , 5 .

Resp. - g-



10.

INTEGRAL DEFINIDA

1. Calcule, directamente de la definción, las siguient€¡s inte

grales definidas

(3x2+l)dxi

Solución: Sea P la partición regular

del intervalo [l#3j. En n sub

intervalos:

P : x0 = 1 / Xi = 1+Ax , x2 = l+2Ax,..., x _ =l+(n-l)Ax ,

xn = 3 donde Ax = -^— = - .

O A O •

.#. P : x0 = 1 , xi = 1+- , x2 = 1+-, ,x¿ = l+-ji#...,xn = 3

Sean Ci = xx , £2 = x2 /.../ £ = x• n n

La suma de Riemann correspondiente a la función f (x) = 3x2+l y a

la partición P es :

n n puesto que la partición P es

Jif(f:i)Ax;. -Jif(x±)Ax (regular/ AXi=Ax i=1/2f...,n }

n r n A n A 2 o

".^-^n n 2 n3 n-*



1 1 .

24 £ i* + y

c 4. 24r (n+l)i 24 n(n+l) (2n+l) . ~

8 + i f ( n + 1 ) + K"2 (2n2+3n+l)

28 + ü + ü + í 2n n n2

Sabemos que s i f : [a,b] •> 3R es integrable en [a,b] en ton

rb nees /Df(x)dx = lim I f(5±)Axi donde £± e [x ± - 1 r x±]

i : l # 2 # . . . f n y además, que s i fs[a,b] •* 3R es continua

entonces f es integrable en [&/b] .

En el caso de nuestro ejercic io , f (x) = 3x2+l es continua en

£ l , 3 ] , luego f es integrable en [1 ,3 ] . Aquí hemos elegido

una partición regular P que depende del número n de subin-

tervalos de igual longitud. De este modo se tiene que:

b nj f (x )dx = lím I f U )Ax con £. e [x . . , x . ]a n-»-00 i = l x

es d e c i r :3 n

/ (3x2+l)dx = l ím I f ( £ . )

= lím (28 + — + í ) =

= 28 .DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


12.

2. Calcule, directamente de la definición la integral

bj senx dxa

Sol. Sea P una pa r t i c ión regular en n subintervalos

del in te rva lo [a,b] ;

P : a=x0 , Xi=a+Ax , x2=a+2Ax , . . . / x = a+(n-l)Ax # x =bn~x n

donde Ax = —— sean £.=x. , i = l , 2 , . . . , n

Dado que f (x) = senx es continua en [a,b] , f (x.l es

in tegrable en [a,b] • Entonces,

b n n/ senx dx = lím ^ sen (£.)Ax = lim J sen (£.)Axa n->°° i= l 1 Ax->0 i= l X

Consideremos la Suma de Rieraann

n n nS = I s e n ( £ . ) A x = J s e n ( x . ) A x = A x £ s e n ( x . ) =

n i=l x i=l x i=l x

= Ax[sen (a+Ax) + sen (a+2Ax) +...+ sen (a+nAx)]

AxMultiplicando y dividiendo por 2 sen {—) y usando la

siguiente identidad trigonométrica

2 sena sen& = cos(a-$) - eos (a+3) , tenemos que

sn = Ax L2sen("Y")sen (a+Ax) + 2sen(-y-) sen(a+2Ax)



13.

sen(a+nAx)]

*4-X r / . OJrV \ / " i ^ A - . X i / § ** A • \ /i*^

2sen(^)[cos(a+-y) - cos(a+2^x) + cos(a+jAx) - cos(a+jAx)

Ax

sen(^)

Ax

sen (-y)

b

[cos(a+^) - cos(b+^)] . Luego

^ ) cos(b+^)/ senx dx = lím — ^ — fcos(a+^) - cos(b+^)]a Ax->0 sen^ z Z

b• *. J senx dx = eos (a) - cos(b) = - cos(b) - (-cos(a)).

a

(Compare esta solución con la que se obtendrá usando el teorema

fundamental del cálculo).

b3. Calcule J xdx , directamente de la definición.

Solución: Sea P una partición regular del intervalo

[a,b] en n-subintervalos dada por:

=a , xa=a+Ax , x2=a+2Ax ,..., x.=a+iAx ,..., x =bi n



b—adonde Ax = . Hacemos como antes £.=x. ; i=l,...,n

Entonces:

b n/ xdx = lím £ (£.) x = (puesto que la función f (x)=x esa n-»-°°i=l x integrable en [a,b]).

n= lím I (a+iAx)(Ax) *

n n= lím (I a(Ax) + (Ax)2 ^ i) =

= lira (a(Ax)n + (Ax) 2 n(n¿"1}) = ; pero Ax =¿ ) = ; pero Ax = ^n

n-»-°o

= lím (ab-a2 + ° ~í^a (n+1)) =

= lím2n

_ b a" 2 " 2

Calcule/ directamente de la definición de integral, las siguien

tes integrales definidas:

2 b b1. / (2x2-3)dx 4. / cosx dx 7. / kdx ; k = cte.

-1 a a

b 3 a

2. / x2dx 5. / /x dx 8. / f(x)dxa l a

b 4 .3. / x3dx 6. J =• dx

a 2 x



15.

Respuestas;

1 . - 3 4. senb-sena 7. k(b-a)

2. b3"a3 5. 4 (3/J -1) 8. O

3. ° ~á 6. ln 2

9. Demuestre que:n . 2 .

n R. 2 2b) lím T 2i = f x2dx

i=l n 3 O

1 n 1

c) lím - I f(i) = f f(x)dx si f es integrable en |O,1n i=l n 0

10*. Usando directamente la definición de Integral definida,

calcular:

bj /x dx , donde a < b y a > 0

Sugerencia: tómese la partición P = {a,aq,aq2,...,aqn}

donde q = — usar el hecho de quea

n -Í

3 3

Respuesta: j (b - a2)



16.

Suponiendo que todas las integrales involucradas existen, demues_

tre las siguientes propiedades de la integral definida;

b b b1. J (f+g) (x)dx = / f (x)dx + f g(x)dx

a a a

b b2. J kf(x)dx = k J f (x)dx ; k = constante

a a

b b b3. / (kf(x) + hg(x))dx = k j f(x)dx + h / g(x)dx , k,h

a a "~ a

b a/ f(x)dx = - J f(x)dxa b

b c b4. / f(x)dx = / f(x)dx + / f(x)dx , V c e IR

a a c

5. Si m £ f (x) £ M para xe£a,b] , entonces

bm(b-a) <_ I f (x)dx <_ M(b-a)

ab b

6. Si f(x) < g(x) V xe[a,bl. Entonces J f(x)dx <. j g(x)dx"~ a a

b b7. | J f(x)dx | <_ ¡ |f(x)|dx (sugerencia: -|f (x) |<J: (x)< | f (x) [)

a a

Aplicaciones de las propiedades de integral definida:

3 31. Utilizando que J (3x2+l)dx = 28 , J x3dx = 20 ,

1 1



17.

5 3J C3x2+l)dx • 1QQ , j sen x dx = cos(l) - eos(3)3 1

calcule las integrales:

a)

c)

e)

3/ (x3+3x2

1

1/ (x3-sen

3( x2dx

Solución:

+1)

x)

dx

dx

b)

d)

3

1

5

(3

C3x

sen x - 6x2-2)dx

2+l)dx

a) De acuerdo con la propiedad 1 tenemos que:

3 3 3/ (x3+3x2+l)dx = j x3dx + / (3x2+l)dx1 1 1

= 20 + 28 » 48 .

3 3 3b) / (3 senx - 6x2-2)dx = 3 / senx dx - 2 j (3x2+l)dx (por propiedad 3)

1 1 1

- 3(cos(l) - eos (3) - 2(28) .

= 3 cos(l) - 3 cos(3) - 56

1J (x3-3

3c) j (x3-senx)dx = - / (x3-senx)dx

1



18.

3 3= - C / x3dx - { senx dx ) = eos(1)-20-cos(3)

1 1

5 3 5d) ¡ (3x2+l)dx = J (3x2+l)dx + J (3x2+l)dx (propiedad 4)

= 28 + 100 = 128 .

3c) j x2dx . Para calcular esta integral consideremos

1

3 3 328 = / (3x2+l)dx = 3 / x2dx + / dx

1 1 1

3. * . 28 = 3 j x2dx + 2

1

. - . / x

2, Encontrar un intervalo donde este el valor de la integral

4J (x3-6x2+9x+l)dx .1

Solución;

El valor máximo absoluto de f(x) = x -6x +9x+l en el in

tervalo [l/4j es M = 5 y el valor mínimo m = 1

1 < f(x) < 5

1(4-1) < J f (x)dx < 5(4-1)



19.

4.*. El valor de la integral / (x3-6x2+9x+l)dx está

1en el intervalo [3,15] .

2 23. Usando que j x2dx = 3 , j xdx = , evalué:

a)

b)

2

-1

2

- 1

(2x2-4x+5)dx

(8-x2)dx

- 1

Resp:

Resp:

15

21

2 t

c) / (2-5x+^K2)dx Resp: 0

2d) J (3x2-4x-l)dx Resp: 0

-1

e) í (2x+l)2dx Resp: -21¡ 2

f) í (x-1)(2x+3)dx Resp: -i-1 ¿

-1g) J 3x(x-4)dx Resp: 9

TT TT4. Utilice los valores j senx dx = 2 , J cosx dx = 0 ,

TT 0 0J sen2dx = /2 para evaluar:0

Q 9 _a) j (senx-2)zdx Resp; 8 - -JL

TT

b) f (2senx + 3 cosx + 1) dx Resp: TT + 40



20.

TT ~

c) j 3 cos2x dx Resp:Q

TT

d) ¡ (cosx+4)2dx Resp: ¿ í~O

5. Encontrar un intervalo que contenga el valor de la inte

gral definida dada:

Resp: [4,12]

Resp: [ab-a2, b2-ab]

a < b

Resp: [0,576]

Resp: [O,

Resp: [0,6]

>: [y , l ]

a)

b)

c)

e)

d)

f)

3

1

b

a

0

- 4

4

0

4

- 1í

2xdx

xdx

(x"*-8x2+16)dx

X 2

|x-2|dx

1• Í — —

6. Demuestre que si f es continua en [-1,2], entonces:

2 1 0 - 1| f (x)dx + / f(x)dx + J f(x)dx + / f(x)dx = 0 .- 1 0 2 1

7. Pruebe que para cualquier t >_ 1 , se tiene la desigualdad

1



21.

(Observe que si l<x entonces x ^1+x ^2x y por lo tanto

± < _!_ < i2X2" - 1+X2 - X

¿



22.

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO

X.- Si f : [a,b] + BR es una función continua y

xf (x) = / f(t)dt , para xe[a,b] , entonces: F(x) es

auna función primitiva (o antiderivada) de f (x) en

[a,b], es decir

F1(x) = f (x) V xe[a,b] .

I I . - Si f : [a,b] -> IR es una función continua y si

G : [a,b] -* IR es una función primitiva de f en

[a,b] , entonces

b b| f(x)dx = [G(xl] = G(b) - G(a) .a a

Evalué las siguientes integrales:

31. / (3x2+l)dx . Solución: Aplicando el segundo teorema

fundamental del cálculo, como g(x) = 3x2+l es continua

en el intervalo [l,3], basta encontrar una función primi

tiva de 3x2+l en [1/3] y evaluarla en 3 y 1 .

Sea G(x) = x3+x , entonces G1(x) = 3x2+l asi que

G(x) es una antiderivada de 3x2+l • Luego:

3 3J (3x2+l)dx = x3+x|1 1

= 33+3 - (13



23 .

= 28. Ccompare con e l ejem. 1de l a secc ión 3)•

b2. / senx dx , (a <, b) •

a

Solución: Como g(x) = senx es continua en a,b , nue

vamente tenemos que encontrar, de acuerdo con el 2? teore

ma fundamental del cálculo, una función primitiva de senx*

¿Qué función al derivarla es igual a senx para todo xe[a,b]?

Sea G(x) = cosx , entonces .*. Gf(x) = - senx = - g(x) •

Si definimos G(x) = - G(x) su derivada, G1(x) = g(x)

así que una función primitiva de senx es G(x) = - cosx.

Luego,b b/ senx dx = -cosx|a a

= - cos(b) - (-eos(a))

= eos(a) - cos(b) •

33. / |x+l|dx

-3

Solución: Por definición tenemos que :

x+1 si x^-1

-x-1 si x<-l

Usando la propiedad 4 de 3 y la definición de valor absolu

to de un número real:



24.

3 - 1 3|x+l|dx = J |x+l|dx + / |x+l|dx

-3 -3 -1

-1 3= - J (x+l)dx + J (x+l)dx

-3 -1

Ahora, para evaluar estas últimas integrales tenemos que

encontrar una función primitiva de x+1 . Sea

x2

G(x) = j + x , entonces G1(x) = x+1 y :

/1-3 \ 2 2 /

*+ xl = í|2/ (x+l)dx = (|+ xl = í|+ 3 -

3Ix+lldx « 2 + 8 = 10 .

b4. f xn dx , n

Solución: ¿Qué función F(x) al derivar, es tal que

P1 (x) = xn para todo xe[a,b] ?

En algún momento, durante el curso de matemáticas I sur

gió la siguiente fórmula:

Dx Xa » n X11"1 n ^ 0

Y esta ahora nos será útil por que la función F(x) que

buscamos es tal que su derivada es una potencia de x .

En la fórmula vemos que cuando derivamos, el exponente



25.

de x es disminuido en una unidad. De donde surge la idea

de proponer como una función "candidato" a la deseada, la -

siguiente:

G(x) = x n + 1 entonces G1 (x) = (n+l)xn

pero

G1 (x) = Cn+1) F'(x) y v*wi->*/ = F'(x)

tambiénn+1

n + 1LGíx) x

por lo que definimos F(x) = ^ L = ±L__ ; n ¿ - 1

Así, F(x) = 2L-J. y

b , n+1 n+1p _ an+1 ~ n+1

b - b5- J (^f(x))clx 6 / f'(x)dx con f' (x) continua en

a ^ a

[a,b]

Solución: Por el 2? teorema fundamental tenemos:

b b/ f '(x)dx = f ( x ) | = f(b) - f(.a) pues f (x )e s una primiti^

a va de f ' (x) claramente.

, b6. ^ j (2t*-3t+l)dt xe[a,b]

a

Solución: Como 2t**-3t+l es continua en [a#bj # utilizan

do el ler. teorema fundamental del cálculo tenemos:



26.

A b

¿ J (2t"-3t+l)dt = 2x--3x+la

send f s e n xr3xHhz7 . -*— j ^r-r dx , suponiendo que el integrando esa

continuo en [a,b] •

Solución: Usando el ler. teorema fundamental del cálculo

tenemos:

d t sen x/3x+z , _ sen z/3z+2dz J x^Tl a x I

a2x2

8. ~ j (5z3-3/z~+l)dz

Solución: Sí hacemos G(x) = f (5z 3-Vz" +1) dz2x2 3

tenemos que G(2x2) = J ( 5 z 3 - ^ +l )dzJ

2x

G1(2x2) ^ (2x2) (por la regla de la cadena)

= (5(2x2) 3 - 3/2x2 +1) (4x) (pues G1 (x) = 5x3+ Vx +1

por el ler. teorema fundamental del cálculo) .

Ejercicios: Calcule las siguientes derivadas e integra

les definidas:



2 7 .

b -2xa) J n.—2 dx suponiendo que el integrando es continuo

a /J-"X en [a ,b ] .

Sugerencia: Considere G(x) = 2/1-x2

Resp: 2(/F:E2 -

•ix <* rZ sen2x lnU 2 *!) . , . . o sen2z In(z2+1)2) ^ J JJ dx R. ^^

, x3. -£: í (z2-3z+l)dz R. 0

dt ¿

. í Dt [ sen t

es continuo en [x,y]

suponiendo que el integrando

3_ 1 ¿R ( y « 5 ) ( y 2 - 5 ) 4 _ (x->-5)?(x2-5)4

sen y sen x

5

5. -sr í 2x(x2-2)3dx R. 0dt {

A 9 ( ) , o

6. ^ f Oz^-I+Sídz R. (3 g*(x) ' g^xT +

7. Sí f es una función integrable en el intervalo [0,1] ,

¿a qué es igual el siguiente límite?:

i i ¿ (x)dxlím i ^ f(i) R. lím i I f¿) = / f

8. Usando el ejercicio anterior calcule el siguiente límite:

i e J-+2 +3 + . . »+n „ 1l ím _.. - R.



28,

9. Calcule la derivada de las siguientes funciones:

X t 5"a) F(x) = J (25_.2) dt R.

4

b) F(x) = / (jr/dt R« P

10. Encuentre el área limitada por las siguientes curvas:

a ) y = / x , y = x 3 , O l ^ l 1 R*12"

2 3b) y = 2x , 4y = x , y = —> R. = ^

11. Evalué las siguientes integrales definidas:

R. 80

R. 0

R _ 41R* 6

R. -21

R HR* 35

R.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3

1

1

0

2x(x2+5)dx

2x1^+1 dx

(x5-3i6c+3x2-6)dx

- 1j (2x+l)2dx

2

•n

0

1T

0

sen7x dx

(cosx+4)2dx



29

g\ / (x-1) (2x+3)dx-1

R - 3R. 2

h) j (/x - x/x^I) dx2

R. i (4-/2)-5/T5+/3



30.

Ejercicios para el uso de la regla trapecial

Regla Trapecial

Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y

los números a = xof*i# *2,•••#x = b forman una partición re-

gular de [a,b] , entonces

J f(x)dx = [f(x0) + 2f.(xi)

Aproximar la integral /

Solución

usando la regla del trapecio

Empleando la regla del trapecio con n « 6 en el inter

valo [0,1]

b-a _ 1-25T " 12

xi

0.0000

0.1666

0.3333

0.5000

0.6666

0.8333

1.0000

i

0

1

2

3

4

5

6

f(xi)

1.0000

0.8373

0.6923

0.5714

0.4737

0.3956

0.3333

ki

1

2

2

2

2

2

1

kif(xi)

1.0000

1.6746

1.3846

1.1428

0.9474

0.7912

0.3333



31.

I k.fCx.) = 7.2739i=0 1 x

x2+x+l 2 (7.2739) = 0.60615

Calcular el valor aproximado de la siguiente integral usando la

regla del trapecio con n = 4

irJ cosxdx , n = 4

Axb - a _ TT~H 4

b-a _ ir

i

0

1

2

3

4

f(x) =

X.i

0

*/4*/2

3^/4

cosx

4

Ii=0

f

1

0-

-1

ki f

.0000

.7071

.0000

.7071

.000

(x±) = 0

ki

12

2

2

1

1.

1.

0.

-1.

-1.

f(xi)

0000

4142

0000

4142

0000

^ TT 4

J c o s x d x J J k . f ( x . )0 ° i=0 x x

ir= £ co)



32.

Regla del Trapecio

La tabla se obtuvo expe rimen taimen te., f (x) denota la fuerza que

actúa sobre un punto con coordenada x en una recta coordenada.

Usando la regla del trapecio estimar el trabajo realizado en el -

intervalo [a,b] donde los valores a y b son el menor y el ma-

yor respectivamente•

x/m

f(x)/Kg

0

7 .4

0.

8.

5

1

1.

8.

0

4

1

7

.5

.8

2

6

. 0

. 3

2 .

7.

5

1

3 .

5 .

0

9

3

6

.5

.8

4.

7.

0

0

4

8

.5

.0

5 .

9 .

0

2

Solución:

Usando la regla del trapecio

b/ f(x)dx « [f (xo)+2f(Xl) +...+ 2f(xn-1)+f(xn)]

tomando n = 10 Ax = - = P- = in lü ¿

b-a 5 ^ 1y 2n 20 4

J f(x)dx = ¿ [7.4+2(8.1)+2(8.4)+2(7.8)+2(6.3)+2(6.3)+2(7.1)+2(5.9)^a

+2(6.8)+2(7)+2(8)+9.2)] =

= j [7.4+16.2+16.8+15.6+12.6+14.2+11.8+13.6+14+16+9.2] =

= j [147.4] = 36.85 Kg«m



33.

Encontrar una aproximación del área limitada por y = /xT-1

en la parte superior, x = 2 por la izquierda, x = 3 por

la derecha y el eje de las x / inferiormente .

Solución: Usando la regla del trapecio, tomamos n = 10

Entonces:

Ax = 3-2 b-aLO 10 >n 20

de modo que:

ZI dx = Yñ [f (xo)+2f (xi) +...+ 2f (x9) +f (xi o) ]

Construímos la siguiente tabla:

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x.i

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

f <x±)

2.6458

2.8742

3.1061

3.3417

3.5811

3.8243

4.0714

4.3224

4.5773

4.8362

5.0990

k.

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

k.f(x.)

2.6458

5.7484

6.2122

6.6834

7.1621

7.6485

8.1427

8.6448

9.1547

9.6724

5.0990



34

Luego:

' -1 dx = 2TT [ 7 6 . 8 1 4 0 ]20

= 3.8407 .

Encuentre una aproximación de l a i n t e g r a l j /4 -x 2 dx ,0

tomando n = 8

Solución: f(x) = / 4 - x 2 tomemos e l i n t e r v a l o [0>2]

0 .0

b-a 2^0 1_2n 16 8

f(xi)

2.0000

± f ( x i )

2.0000

1

2

3

4

5

6

7

8

.25

.5

.75

1.0

1.25

1.5

1.75

2.0

1.9843

1.9364

1.8540

1.7320

1.5612

1.3228

0.9682

0.0000

2

2

2

2

2

2

2

1

3.9686

3.8728

3.7080

3.4640

3.1224

2.6456

1.9364

0.0000

2 , 8 1í /4"=x2dx « i 7 k . f ( x . ) = =• (24 .7178) = 3 .0897

0 8 i=0 L X 8



35.

Si £ es continua en [a,b] y si los números a=xo,x1,...x =bn

determinan una partición de [a,b] entonces

b . a¡ f(x)dx « "12. [ f(xo)+2f(xx)+2f(x2) + . . .+ 2 f (x n . 1 )+f (x )Ja

Área trapecio • í*- [f(x±_1) + f(x±)J

Ejemplo:

f (x) » /x ,xe [o ,5 ] , n - 10 Ax = ^ £ - 0.5

Ax = 0.5 y

x0 = 0 y0 = /O" = 0.000

Xi = 0.5 yx = /ÜT5" = 0.707

x2 = 1 y2 = / I = 1.000

x3 - 1.5 y3 = / I 3 = 1.225

x,, = 2 yH = / I = 1.414

xs = 2.5 y5 = /275~ = 1.581

x6 = 3 y6 = /3 = 1.732

x7 = 3.5 y7 - /3T5 = 1.871

x8 = 4 ya = /4" = 2.000

x9 » 4.5 y9 = /4T5" - 2.121

= 5 yio= /5 = 2.236

Aplicando

b -J f(x)dx » Ax (¿f(xo)+f(xi)+f(x2)J . . f(xM

a 7.3845DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


36.

Encuentre una aproximación a cada una de las integrales siguien

tes tomando los valores correspondientes para n .

4x5dx ; n = 4 Sol. 788

V 5j e dx ; n = 4 Sol. 1.12960

2J /I+x"dx ; n = 6 Sol. 3.6890

f0

n = 5 Sol. .88



37.

Ejercicios para el uso de la regla de Siinpson

Regla de Simpson

Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] ,

2n es un entero par y los números a = x0 ;xi ,x2 /. .. ,x2 i#X2

hacen una partición regular del intervalo [a,b], entonces:

b K a

/ f(x)dx = [f (xo)+4f (Xi)+2f (x2)+4f (x2) + ...a

+ 4f(x2n_1)+f(x2n)]

1. Encontrar el área bajo la gráfica de la función

2j xVx5+4 dx usando la regla de Simpson0

x e [0,2] Ax = 2j£ = | , 2n * 10

XQ =

X, =

x2 =

X3 =

X, =

X5 =

x7 =

X8 =

X, =

X =10

o.2

.4

• 6

.8

1.0 ,

1.2

1.4

1.6 ,

1.8 ,

2.0

y0

Yi

y2

y3

y,

y5

y6

y7

y8

Ys

y1(

= 0.0000

= 0.0032

= 0.0513

= 0.2617

= 0.8521

= 2.2361

= 5.2819

= 11.7645

= 24.9431

= 50.2304

j= 96.0000DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


38 .

2 -xHyÍ5+4 dx = ( i ) LO+0.0128 + 0.1026 + 1.0468

0 S *

+ 1.7042 + 8.9444 + 10.5638 +

+ 47,058 + 49.8862 + 200.9216 + 96)

~ (416.2404) = 27.7494

dx = 27.7494

32. Usando la regla de Simpson evalué / /x^-l dx

2

dx 2n = 6 ^ ^

bf(x)dx =

xo

X l

x2

X 3

Xi*

X 5

X 6

S (y.+4yi+

= 2

= 2.166 ,

= 2.333 ,

= 2.5

= 2.666 ,

= 2.8333 ,

= 3 ,

yo =

yi =

y2 .

y3 =

y^ =

ys =

ye •

•2 y t + 4 y ! + y t )

• ( 2 ) 3 - 1

• ( 2 . 1 6 6 ) 3 - 1 =

• (2 .333)3-1 =

• ( 2 . 5 ) 3 - 1

• ( 2 . 6 6 6 ) 3 - 1 =

• (2 .8333 )3 -1 =

• ( 3 ) 3 - 1

2.6458

3.0284

3.4211

3.8243

4.2383

4.6632

5.0990

3 ! ,\ /xT^I dx = (j) (^) [2.6458+4(3.0284)+2 (3 .421D+4 (3.8243)



39.

+2 (4.2382)+4(4.6632)+5.0990}

= ~ [2.6457+12.1136+6.8422 15.2972+8.4766+

18.6528+5.0990] =

= A, (69.1271) = 3.8404lo

1 ,j 7r . "i Aproxime la siguiente integral definida por la0 x

regla de Simpson con 2n = 4

Al aplicar la regla de Simpson tenemos

b" a - 1 v b" a

f(x) =X2+X+l

~ [f (xo)+4f (xi)+2f (x2)+4f (x3)+f(x.j]

0

1

2

3

4

0.

•

•

•

1.

0

25

5

75

0

1.0000

0.7619

0.5714

0.04324

.3333

1

4

2

4

1

1.0000

3.0476

1.1428

1.7296

0.3333

I k. f(x.) = 7.2533i=0 1

- - 6 0 4 4



4 0 .

Encuentre una aproximación a cada una de las integrales siguien

tes:

4/ x/9+x2dx con 2n = 4 S o l . 32 .660

2j /i+x3dx con 2n = 4 Sol. 3.240

0 dx] •££- con 2n = 4 Sol. .693.{ 1-x

i e dx con 2n = 4 Sol. 1.46 37



41

Función logaritmo,

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones

i) f (x) = x ln (x) - x

Soluci6n= f• (x) =

l n ( x ) + x á

l ' ln(x) + x (i) - 1

= ln(x)

i i ) f(x) = 3 5 x

d[f(x)] _ d[35xJ = d [ e 5 x ( l n 3 ) ]dx dx dx

5x(ln3) d[5x(ln3)]e • dx

c , / o . 5x(ln3)5 ln(3) «e

= ln(35) «35x

2. Suponiendo que ln(2) = 0.6937 , ln(3) = 1.0986 y

ln(5) = 1.6094 calcule los siguientes números:

i) ln(80/81)



42 .

Solución: ln (.80/81) = ln(80) - ln(81)

= lnU1») + ln(5) - 41n(3)

= 41n(2) + ln(5) - 41n(3)

= 4(0.6931) + 1.6094 - 4(1.0986)

= - 0.0126

/ 5 d u r1 du + / 5 d u' u .' u / uVs

1>.du /°du

i " 1 u

V 5 du

ln(8/5)

ln(23) - ln(5)

= 3-ln(2) - ln(5)



43.

3. Pruebe que si k es un entero mayor que 1 , entonces

1/2 + 1/3 + ...+ 1/k < ln(k) < 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/k-l

Solución: Dado n un entero mayor que 1 puesto que

la función 1/x es decreciente en los reales positivos

tenemos que para toda xe[n-lfn] se satisface que

1 1 1— < — < — - . por tanton — x — n-l

n 1-—s- dx , es decir

n-l " n-l~ n-l n ~ 1

¿ < nn I¿1 x

S i hacemos n = 2 , . . . , k tenemos que

2 -1/2 < / ¿ dx < 1

3 11/3 < / ±. dx < 1/2

2 X

1/k < / £ dx < 1/k-l

Sumando estas desigualdades se tiene que

2 i 31 k 11/2 + 1/3 +...+ 1A < / =• dx + / - dx +....+ / - dx < 1 + 1/2 +...+ 1A~1

1 x 2 x k-1 x



44.

es decir

ki1/2 + 1 /3 + . . . + 1/k < J ± dx = l n ( k ) < 1 + 1/2 + . . . + 1 / k - l

x

4. Si f es una función que tiene inversa y satisface que

f (a*b) = f(a) + f(b) para cualesquiera a,b e Df (do-

minio de f) , muestre entonces que

f'Mc+d) = f"Mc) f'Md) para cualesquiera c#deDf-i=Rf

(rango de f).

Solución:

Sean c,d e Df-X . Hacemos a = f^íc) , b = f~*(d) Df = Rf-i

Por hipótesis sabemos que

f(f~x(c).f"l(d)) = f(a-b)

= f(a) + f(b)

= f (f""1 (c)) + f (f"x(d))

= c+d

Por otra parte, ya que f ] es la inversa de f , se de

be tener que

f (f""1 (c+d) ) = c+d

Por lo tanto f (f~x (c) 'f"1 (d) ) = f(f~](c+d)) y como f

es inyectiva, tenemos que

f"1 (c+d) = f^1 (c) - f " 1 ( d )



45.

5. Se sabe que una sustancia radioactiva se desintegra a una

velocidad, proporcional a la cantidad de sustancia presen

te.

i) Si F(t) representa la cantidad de sustancia al ins-

tante t , ¿qué tipo de relación satisface dicha fun-

ción?

ii) Muestre que F(t) esta dada por F(t) = Foe

donde Fo es la cantidad presente en el tiempo t = 0

y c es una constante positiva que depende de la sus

tancia.

iii) Determine la vida media de la sustancia, es decir, el

valor de t para el cual F(t) tiene el valor °/2.

(Dar la respuesta en términos de c )

Solución:

i) Sabemos que si F(t) representa la cantidad de sus-

tancia en el instante t , entonces F1(t) represen

ta la velocidad con que esta cambiando la cantidad de

sustancia el instante t , de tal forma que, como di-

cha velocidad es proporcional a la cantidad presente,

debemos tener que F1(t) = c F(t) donde c es

una constante de proporcionalidad, inherente a la sus

tancia.

Por otra parte, puesto que la cantidad de sustancia -

va disminuyendo con el tiempo, F(t) es una función

decreciente y por tanto su derivada debe de ser nega-

tiva, de manera que, como la cantidad de sustancia la



medimos en números positivos, la ecuación anterior puede

quedar en la forma Ff(t) = - c F(t) con la hipóte-

sis adicional de que c es una constante positiva.

ii) de la relación obtenida en el inciso anterior, tenemos -

Por otra parte, derivando directamente, se obtiene que

= ¿ dn F(t)) es decir

(lnoF)'(t) = - c

Por tanto, de la identidad anterior se deduce que

ln(F(t)) = - ct + k (1)

Si llamamos Fo = F(0) , sustituyendo t = 0 en (1)

obtenemos que k = ln(F0)

De la identidad de (1) , se tiene que

F(t) = e"ct-ek

= eln(F0)e-ct

= F0e"ct

donde Fo es la cantidad de sustancia inicial y c es

una constante positiva que depende de la sustancia.

iii) Nos interesa saber para que valor de t se tiene la igual_

dad Foe c = Fo /> ' e s decir, e c = y

Aplicando el logaritmo natural a ambos miembros de esta -

última igualdad, obtenemos que -ct = ln(l/2) y por

tanto, que t = iSiltíL = =±ÜÍÜL = iütíl es .1 valor""C """C C

buscado.



47.

Problemas Propuestos

1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

i) ln(sec(x) + tan(x)) (R: sec(x)) secx > 0

ii)'cos(x)

iii) ln[ (5x-7)1*(2x+3) 3]

tan(x)iv) e

v) ln(|x|) -e3x

vi) 2sen (x)

(R: tan(x)) cosx ^ 0

x < I(R: secMx) e

tan(x))

(R: e3x(31n(|x|) + |) ) x > 0

(R: 2S e n ( x ) ln(2CO S X))

2. Suponiendo que ln(2) = 0.6937 , ln(3) = 1.0986 y

ln(5) - 1.6094 , calcula los siguientes números

i) ln(10)

ii) ln(5/3)

iii) ln(62.5)

10

1 f

(R: 2.3025)

(R: 0.5108)

(R: 4.1357)

(R: 0.9163)

(R: 6.9075)0.01

3. Si c > 0 y r e 3 R , r ? ¿ 0 , calcule el siguiente límite



48.

cX-llira — : — Sugerencia: use la regla de L1 Hospitalx+Q c -1

4. ¿Existe un número n e I tal que

1,000 ± 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n ?

Si. ¿Cuál?, No. ¿Por qué?

(R: Sí, basta tomar n ^ a1;000-!)

5. ¿Cuál es la diferencia entre las funciones

f (x) = 2 ln(x) y g(x) = ln(x2)?

(R: El dominio de f solo son los reales positivos, mien

tras que el dominio de g son todos los reales distintos

de cero).

6. Una población bacteriana crece a una velocidad proporcio-

nal a la cantidad presente:

i) Si B(t) denota la cantidad de bacterias al instante

t , ¿qué tipo de relación debe satisfacer esta función?

(R: BV(t) = c B(t) donde c es una constante positiva

que solo depende del tipo de población)

ctii) Muestre que B (t) es de la forma B(t) == BQe

donde ,c es una constante positiva (¿por qué?) y BQ

es la cantidad de bacterias en t = 0 .



49.

iii) ¿Cuál es el tiempo necesario para que la población de

bacterias se duplique?. Ve la respuesta en términos

de c . (R: t = ln(2)/c)

7. La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez

con la cual un cuerpo se enfría es proporcional a la di-

ferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.

Un objeto caliente se encuentra en un medio cuya tempera-

tura es T :

m

i) Si T(t) es la temperatura del objeto en el instante

t , ¿qué tipo de relación cumple esta función?

(R: T1(t) = - k(T(t) - T ) con k una constante positim —

va la cual solo depende del objeto).

ii) Muestre que T(t) es de la forma

T(t) = (To - Tm)e ^ + Tm

donde To es la temperatura en el instante t = 0 .

iii) Si un objeto pasa de 120° a 40° centígrados en 40 mi-

nutos en un medio que se encuentra a 35° centígrados,

¿cuál es la temperatura del cuerpo en el minuto 100?

(R: T(100) * 35°)



50.

Integral Indefinida

1. Encuentre la antiderivada (ó primitiva) más general de

las siguientes fundones:

i) f (x) = lOx* - 6x3 + 5

Solución5 Puesto la antiderivada más general de la fun-

n x n + 1

ción x (con n / - 1) es igual a — r y / y dado que -

la antiderivadá de una suma es la suma de las antideriva

das, se tiene Qltó

* 2x5- rj Kk + 5x + C

es la antiderivada más general de f(x) = lOx1* - 6x3 + 5.

ii) f(x) = eos2 (x) •aen(x) + 1

Solución: Ya que -sen(x) e? la derivada de eos(x) ,

por la regla de lá cadena, se tiene que

F(x);•'# - j eos3 (x) + x +"c

es la antiderivad.a más general de f(x) = eos2 (x) sen(x) +

iii) f (x) = e a x + J^J- la ¥ 0)

Solución: Usando nuevamente la regla de la cadena, tene-

mos que

Flxi^ie^ + ~ ln (x +1) + C



51.

es la antiderivada más general de f (x) = e + "*2+j

2. Encuentre la función f que satisfaga las siguientes con

diciones f"(x) = 4x-l , f'(2) = - 2 y f(l) = 3

Solución: Puesto que f1 es una antiderivada de f" ,

entonces f'(x) = 2x2 - x + d y usando la condición

f'(2) = - 2 , tenemos que - 2 = f'(2) = 2(2) 2 - 2 + d

de donde d = - 8 . Así, f.1 (x) = 2x2 -. x - 8 .

Ahora, como f es una antiderivada de f1 •, debemos tener

2 x2

que f (x) = *• x3 - j - 8x 4- C2 , usando la condición

de que f(1) = 3 , entonces

3 = f (1) = | (1) 3 - ¿±±- - 8(1) + d

3 -

r - 6 5

2 ., x2 o_. , 65y por tanto f (x) = j x3 - j - 8x + ^—- satisface las -

condiciones deseadas.

3. Sean f(x) = |x| y F definida como

1

F(x) =

x¿ si x < 0

1si x > 0

Muestre que F es una antiderivada de f en (-00,00).

Solución: Sea Xqe (-»,«>) y supongamos primero que xo<O



52.

Entonces podemos encontrar fi>0 tal que , si

xe(xQj*í/ XQ + 6 ) , se tiene que x<0 y por tanto

F(x) 2* - j x2 \ De aquí se deduce que

F1 (x0) - - x0 =ajxj = f (x0) . Procediendo de manera s

milar se cbhclu^é que si Xo>O , entonces

F1 (X-Q) = xo * |XQ¡ = f(x0) . Para calcular F1 (0) re

curriremos (directamente a la definición. Sabemos que

Ahora, para calcular este límite y mostrar que existe,

basta mostrar que los correspondientes límites laterales

existen ^ §on lífuálés.

- 0

Por tanto, F1(0) existe y además F1(0) = 0 = |0| = f(0)

Por lo tantos P' (X) = f(.x) V xe (-», °°) lo que prueba

que F(x) es una antiderivada de f en (-00,00) .



53.

4. Si un automóvil parte del reposo, ¿qué aceleración cons-

tante se le debe imprimir para que recorra 100 metros en

10 segundos?

Solución: Supongamos que s(t) denota la distancia reco

rrida (medida en metros) por el automóvil en el instante

t (medido en segundos). En donde t = 0 será el instan

te en el que el automóvil parte del reposo. Sabemos que

la aceleración del automóvil en el instante t esta dada

por s"(t), de tal forma que, como la aceleración que se

le va a imprimir al automóvil es constante, debemos tener

que s" (t) = C en cualquier instante t . El problema

es determinar para que valor de C se tien que s(10) = 100,

Ahora, puesto que s'(t) es una antiderivada de s"(t) ,

tenemos entonces que s1(t) = ct + Ci y como el automó-

vil parte del reposo, entonces s1(0) = 0 de donde

0 = s'(0) = c*0 + Ci y por tanto s'(t) = ct .

Finalmente, ya que s(t) es una antiderivada de s'(t),

entonces s(t) = y c t2 + C2 y como el auto parte del

reposo, es decir s(0) = 0 , entonces

0 = s(0) =2-c-0 + C2 de modo tal que s(t) = j c t2 .

Puesto que lo que se desea es que s(10) = 100, entonces

100 = s(10) = j c (10) 2 de tal forma que C = 2 (m/seg2)

es la aceleración deseada.

5. Utilizando el método de integración por partes, calcule



54.

las siguientes integrales indefinidas

i) / x(2x+3)"dx ii) / x ln(x)dx iii) / arcsen(x)dx

iv) j exsen(x)dx

Solución: (i) De acuerdo al método de integración por par

tes, si f(x) = x y g(x) = j^ (2x+3) , entonces

x(2x+3)"dx = / f(x) g'(x)dx

= f(x) g(x) - / f (x) g(x)dx

1 0 0- J 1 - ^ <2x+3)»«dx

(2X+3)1»0- ^ (-^x+S)1 0 1) + C

- ¿ J (2x+3)] + C

+ c

(ii) Como en el inciso anterior, si hacemos

f(x) = ln(x) y g(x) = y x2 , entonces

xln(x)dx = / f(x) g'(x)dx



55.

= f(x) g(x) - j f(x) g(x)dx

4x2 ln(x) - / i x2dx

= j x2 ln(x) - j x2 + C

= ~ x2 (ln(x) - |) + C

(iii) En este caso, si hacemos f(x) = arcsen(x) y

g(x) = x , entonces

J arcsen (x)dx = / f(x) g'(x)dx

= f (x) g(x) - J f (x) g(x)dx

= x arcsen (x) - xdx

= x arcsen(x) + (1-x2) ' + C

(iv) En este caso será necesario utilizar dos veces el

método de integración por partes. Si f(x) = e y

g(x) = - eos(x) , entonces

J e sen(x)dx = j f(x) g'(x)dx

= f(x) g(x) - j f1 (x) g(x)dx



56.

* - e*cos(x) + / excos(x)dx

Ahora, si en esta última integral hacemos f i (x) = e y

gi (x) = sen(x) , entonces

j excos(x}dx = / fiíx) gl(x)dx

fi(x) g i (x) - J fi(x) gi(x)dx

exsen(x) - / exsen(x)dx

Resumiendo, tenemos que

/ e sen(x) = - excos(x) + J excos(x)dx

*= - excos(x) + exsen(x) - / exsen(x)dx

de tal forma que

2 J exsen(x)dx = ex(sen(x) - cos(x)) y por tanto

r X e X

j e sen(x)dx = -^ (sen(x) - cos(x))



57.

Problemas

1. Encuentre la antiderivada más general de las siguientes

funciones:

i) f Cxi = 3/x + l//x CSol: 2x3/2 + 2¿x + C)

(sol: 4 x5/2 „ 2 x3/2 + 6xl/2 +5 T5

iii) f (x) = 5/32x* (Sol: - x 9 / 5 + C)

iv) f (x) = ^ll^. (Sol: x + | 2 + | 3 + C)

2. Encuentre la función f que satisfaga las propiedades

que se mencionan

i) f (x) = 12x2 - 6x +1 y f (1) = 5

(Sol: f(x) = 4x3 -3x2 + x + 3)

ii) f1" (x) = 6x , f"(0) = 2 , f'(0) = - 1 , f(0) = 4

(Sol: f(x) = j + x2 - x + 4)

3. Una pelota rueda cuesta abajo sobre un plano inclinado con

una aceleración de 50 cm/seg2 . Si no se le imprime velo-

cidad inicial a la pelota, ¿qué distancia recorrerá en t



58.

segundos? ¿Qué velocidad inicial habría que dar a la pelo

ta para que rodara 2 5m en 9 segundos?

(Sol. s.Ct) = 25t2, s'(0) = -—• cm/seg)

4. ¿Qué aceleración constante debe imprimirse a un automóvil

que viaje a 100 km/h para detenerlo en 10 segundos?

(Sol: - 10 — >

5. Suponga que la pendiente de la recta tangente en cualquier

punto P de la gráfica de una función f es igual al cua

drado de la abscisa de P . Encuentre la función f su-

poniendo que la gráfica contiene a :

x3

i) el origen (sol: f(x) = j)

ii) el punto (3,6) (Sol: f(x) - j - 3 )

iii) el punto (-1,1) (Sol: f(x) = j + 4/3)

6. Encuentre las siguientes integrales indefinidas por el m£

todo de integración por partes

X

LJL (Sol: 1 (l-6X)1/2(26X-5) + C)

n+1iii) J xnln(x)dx ; n^-1 (Sol: ^ (ln(x) - J—J + O



5 9 .

±v\ ¡ xarctang (.x) dx (Sol: j [(x2+l) arctan(x) - x] + C)

v) / In(x2+l)dx (Sol: xln(x2+l) - 2x + 2 arctan(x) + C)

vi) j ±ii^¿- dx (Sol: f (ln(x))2 + C)

f o X 2 X 1

vii) J xcosz(x)dx (Sol: T + -j sen2x + ^ cos2x)

/ i i i ) / In(x+(l+x2)1/2)dx (Sol: xln(x + (l+x2)1 / 2) - (l+x2)x /* + C)

x arcsen(x)( S o l : _ {1^)l/2axcaea(x) + x + c )

x) J x arctan((x2-l)1/2)dx (Sol: | arctan

xi) / sen(x) ln(cos(x))dx (Sol: eos (x) (l-ln(cos (x)) + C)

2 2

xii) / x3e~x dx (Sol: - e/^~x (x2+l) + C)

dx (Sol: (x2+l)1 / 2(x2 - 2/3) + C)



60.

Integración de fracciones racionales

1) Calcular el área de la región limitada por la curva

y = (x-1) (x2-5x+6f f el eje x y las rectas x = 4

y x = 6

Solución

El área corresponde a la integral siguiente

6í x-1

dx

hagamos

x-1 _ x-1 _ A Bx2-5x+6 "" (x-2) (x-3) x-2 (x-3)

entonces x - 1 = A(x-3) + B(x-2) ; para x = 3

tenemos 2 = B

Para x = 2

1 = - A o sea A = - 1

por lo tanto podemos escribir

x-1 _ _1_ _2_x*-5x+6 "" " x-2 x-3

y entonces:

(xX-5x+F)dx = ~ J6

+ 21n|x-3

4



61.

= - lnl6-2 I + ln|4-2 +2 ln|6-3| - ln|4-3| *

= - ln 4 + ln 2 + 2 ln 3 - ln 1 =

ln|2»32| - ln| 4 • 11 = ln|- -¡ = ln | unidades cuadradas

2. Calcular ' dx

(3x+2)s

Solución

hacemos u = 3x+2 entonces du = 3 dx y dx =

Substituyendo en la integral

u"5 du = 1 u ^3 T 4

= ( u = ^(3x+2) 5 I 3 T -4 12(3x+2)

3* I (ax+b)n S i n ^ ! ' hagamos:

u = ax+b du = adx = dx = —a

í dx [ -n du = 1 u1"11 (ax+b)1"11

J (ax+b)n J a a 1-n u a (1-n)

Si n = 1 entonces

= i. ln|ax+b| + Cax+b a

a(1-n)dx

(ax+b)n

(ax+b)1"11 ^ n+ C ; sx n

I lnIax+bI + C ; si n = 1



62.

4. Calcular dx

Solución:

Consideremos e l denominador x2+4x+13 observamos que e l discriminante

42-4(l)(13) es un número negativo, así que x2+4x+13

es irreducible y completemos el trinomio cuadrado perfe£

to:

x2+4x+13 = x2+4x+2 +13-2

= (x+2)2+9

por lo tanto:

f fx = í dxJ x*+4x+13 J (x+2)2+9

hacemos 9u2 = (x+2)2

entonces 3u = x+2 , u - (x+2)/3

y 3du = dx


3*1 _ 3 r du i tan-i u + c

x2+4x+13 911 +9 9 u*+l 3

substituyendo los valores originales tenemos



63.

v 3

5. Calcular X3-xt-?x d x

Solución

factorizainos el denominador

x-1 x-1X 3_ X2_2 X X(X"2)

Podemos escribir la ecuación como sigue:

x-1 A B C~— "•"" "i / «•* \ "T*xá-x2-2x x (x-2) (x+1) "

entonces

x-I = A (x-2) (x+1) + B x(x+l) + C x(x-2)

Esta ecuación es una identidad para todos los valores de

x y deseamos encontrar los valores de A,B y C.

Cuando x = 0 tenemos

- 1 = - 2A => A = I

Para x = 2

1 = 6B - * B = ¿

Para x = - 1

- 2 = 3 C = í > C = - |



64.

Sustituyendo éstos yalores en la ecuación 1 tenemos:

1 1 -2

x*-x2-2x"* x + x^I + x+T a s í q u e P ° d e m o s escribir la inte-

gral como:

í x-1 - _ 1 í dx 1 f. dx 2«'¿.xa-óx d x 2" I x " + 6 \ x = T " 1

= | ln|x| + | ln|x-2| - | ln|x+l| + | ln C

16 ln

Cx (x-2)(x+1) *•

í (x3-l)J x2(x-2)6. Calcular 1 ..H.. "( 3dx

Solución:

El integrando lo podemos escribir como suma de fraccio-

nes parciales.

¿ (x-2) 3 " x2+ x + (x-2).s+ (x-2)2+ (x-2)

multiplicando ambos lados por x2(x-2)3

x3-l = A(x-2)3 + Bx(x-2)3 + Cx2 + Dx2 (x-2) + Ex2 (x-2)

Substituyendo x = 2 tenemos:

7 = 4C —*• C = j



65.

al substituir x = O

- 1 = - 8A => A = ~

Substituyendo los valores obtenidos para A y C y desa

rrollando la expresión, tenemos:

3-l = |(x3-6x2+12x-8) + Bx(x3-6x2+12x-8)

+ Dx3 - 2Dx2 + Ex2 (x2-4x+4)

Agrupando términos para cada una de las potencias de x

escribimos:

X3-1 = (B+Ejx1* + (¿ - 6B + D-4E)x3 + (-y + 12B + j -2D + 4E)x2

+ (¿ - 8B)x-l

para que la expresión anterior sea válida se debe cumplir

que: B+E = 0

i - 6B+D - 4E = 1

- | + 12B + j - 2D + 4E = 0

| - 8B = 0

resolviendo obtenemos:

B - é ' D = i ' E = - éDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


66.

Por lo tanto podemos escribir

x ~ 1 _ 1 • . _ 3 _ _ • •• 7 , : • • 5 •. 3

2 (x-2} 3 8x2 16x 4U-2J.B 4(x-2}2 " 16(.x-2)

de manera que:

f x 3 - l , 1 f dx . • 3 f dx . 7 f dx , 5 f dxj xTTx^T 3 d x = 8 J 1 P + 16 j 1T + 4 j Tx^2T3+ 4 J Tx^5T2" 16

l n | x " 2

- -llx2 + 17x - 4 . 3 .~ 8x(x-2)2 "~~ + *^ ± n

xx-2

+ C

7. Calcular . ,> . • ! . . ._ , dxf x2+xJ X3-X2+X-l

Solución: Consideremos el integrando;

X2+X X2+X X2+Xx2(x-l)

Su desarrollo en fracciones parciales es de la forma;

x2+x ^ _ A Bx+Cy " x i x2+i

Determinaremos los valores de A,B y C . Multiplicando

por (x-1)(x2+l) se tiene que:

x2+x - A(x2+1) + (Bx+C)(x-1) ...(1)



67.

Haciendo x = 1 obtenemos:

2 = 2A => A = 1

Sustituyendo A = 1 en (1) y realizando el producto in-

di cado:x2+x = x2+l + Bx2 - Bx + Cx - C

= (1+B)x2 + (C-B)x + 1-C

Comparando coeficientes:

1+B = 1

C-B = 1

1-C = 0

de manera que B = 0 y C = 1 •

Luego:

x2+x 1 1

¿be = í J x + ( dx

= ln x-11 -i- arctan + C

8. Calcular*/2

4sen9+3cos00

Solución:

Como 0 <_ 0 5 )l entonces u = tan( /2) va de 0 a 1 ,



68.

podemos tomar:. eos 9 = j ~ 2 sen 6=3^2 y ¿6 = ffjp

y entonces escribimos

V2 1 2du

J 4sen8 + 3cos60

0

12du { 2du

8U+3-3U'' J (3u+l) (3-u)Ó

Considerando solo el integrando:

multiplicéuido por, (3u+l) (.3-u)

2 = A(3-u) + B(3u+1) ... (1)

Si u = 3 tenemos

2 = B (9+1) ==&• B = i

Por otra parte, si u = - j , se tiene que:

o 1 0 . • . 32 - T A "* A = S

Por lo tanto podemos escribir la integral como



69.

1 1 3_2du _ f 5 J

8u+3-3u2 " J 3Ü+IclU +

O Q O

= [i ln|3u+l| - | ln|3-u|l =

(| ln 4 - | ln 2)-(| ln 1 - | ln 3)

ln 4 - ln 2 + ln 3 _ ln 65 ' ""5~

Q , 5x2+6x+17(x2+x+l)2(2-x)

Solución:

El desarrollo en fracciones parciales del integrando es

de la forma:

5x2 + 6x+17 A Bx-hD Ex+F(x z +x+ l ) 2 (2-x) 2 -x x2-fx+l (x 2 +x+l ) 2

Multiplicando por (x2+x+l)2(2-x) :

5x2+6x+17 = A(x2+x+l)2 + (Bx+D)(x2+x+l)(2-x) + (Ex+F)(2-x)

Si hacemos x = 2 , se obtiene : 49 = 49A así que

A = 1 .

Por otra parte, con A = 1 f desarrollamos los productos

indicados y agrupamos de acuerdo a las potencias de x ,DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


70.

obteniendo;

5x2+6x+17 = (l-B)x1* + (2-D+B)x3 + (3-E+B+D)x2 + (2+2E-F+2B+D)x +

+ (2F+2D+1)

Comparando coeficientes :

1 - B = 0

2 - D + B = 0

3 - E + B + D - 5

2 + 2E - F + 2B + D = 6

2F + 2D + 1 = 17

de donde se concluye que : B=lr D=3, E=2 y F=5.

Luego:

5x2+6x+17 1 . x+3 , 2x+5T +(x2+x+l)2(2-x) 2-x x2x+l (x2+x+l)2

Por lo que:

í 5x2+6x+17 ... í dx , í x+3 . . f 2x+5(x2+x+IT

Ahora bien:

Ü - - ln|2-x|



7 1 .

x+3-—- 1 í_ j 2x+l 5_2

dxX 2 +X+l

= i In|x2+x+l| + - /I arctan Z3" + C:

2x+5(X2+X+1)2 dx =

dx(X2+X+1)2

2x+l3(x2+x+l) 3 J x2+x+lj

dx

xz+x+l+ 4 2x+l

Por lo tantio:

5x2+6x+17(x2+x+l) 2 (2-x)

•dx = ln (x2+x+l) 1/2

2-x arctan

3(X2+X+1)

Ejercicios propuestos

1.dx

x3+3x2 Sol. i ln x+3x

13x

2. x¿-4x+3¿dx Sol. ln 27

T

3. dxX2(X+1)2

Sol. 2 ln x+1x x+T + c



72.

d94cos6+3sen6 Sol. 1+2 tanC6/2)

2 - tan(6/2)+ C

5.

1T/4

í dxl+2cosx-senx

Sol. 1 ,„, 3+2/2.j ln(—j1—)

• í Sol. 2e/*(/x-l) + C

xSo 1

8. Expresar como suma de fracciones simples

2x2+3x+lSol-...5c=T +

9. Expresar como suma de fracciones simples

5x3+llx2+6x+l Sol. 5x+6 + ^px x+1

10. Calcule 10xdx So1*10

-1) (4x2+9)Sol. ln arctan

117-52X18(4x2+9) + C

dx(X2-X)(X2-X+1)2 Sol. ln x-1

X10

arctan-l) /3

2x-l3(x2-x+l)

+ CDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


73,

Integración por substitución

dxEncontrar

Solución:

Completando el trinomio cuadrado perfecto

8+2x - x2

8 + 2x-x2 = - (x2-2x «8) = - (x2-2x+l -9)

= - [(x-l)2-32)] = 32 - (x-1)2


dx ( dx

/8+2x-x2 1 /32-Cx-l)2

haciendo t = x - 1 y t = 3 sen9

dt = 3 cosG d0

tenemos:dt f 3 cosed6f dt f

J /32-t2 = J

3 r eos9 i

substituyendo el valor de 6 tenemos

dx

/32-t2x—1

= arcsen —=-- + C



74.

í x 1 / 2Encontrar í

Solución:

hacemos x * u6 de nodo que dx = 6u5du substituyendo

la integral tenemos:

1 / 2 • u-rrr-2 6uMu

Efectuando la divisións

u5du * 6 | ( u ^ u W - 1 + ^3-) du

6 I +

pero como u * x obtenemos

í x 1 / 2 íx7 / 6 X5/6 x 1 / 2 1/6 - 1/6)

Hallar x/x+T dx

Solución:

hacemos u « /x+1 entonces u2 = x+1 así que x = u 2 - l

y dx = 2udu

substituyendo

x/Z+T dx = (u2- l ) (u) (2u)du = 2 (u '-u2) du



75.

H-i

= 2+ c

= 2(Vx+T) x+1 1+ c

= 2(/x+T) x 25 ' 15 + C

_ 2(/x+T)3(3x-2)15

Encuentre ¿ n dxJ X "T" X

Solución:

x , 1 f 2x*TT dx = 2 xí+1 dx

haciendo t = x2+l ; dt = 2xdx y substituyendo en la ecua

ción anterior

22x

2dt _ 1

Hallar dx

Solución:

haciendo x = tan 0 ; x2

/x2+l = sec 0

= tan20 + 1 = sec26 dx = sec29d9

Sustituyendo:



7 6 .

dx = í J££4 sec2ed0 = Í 5SSl| de

J tan 0 J tan 9

substituyendo sec26 = 1 + tan29 tenemos

f /xz+1 , _ í sec3e , _ f sec9(H-tan26) ,A _ í sec 6 ,ñJ " i r - d x " J tiíTe d " J —tSn~T5 de " J tlKT de +

( sec6tan26 ,Q _ f 1 d6 [ 1 sen6 ,fiJ tan 6 J cose sen9 J cose cose

haciendo t = cose , dt = - sene de para la segunda in

tegral:

í /72+T í f lx dx = cscede | 2 dt

= ln|esc9-cote| + £ + C

= ínlcsce-cotel + - i r + c

Sustituyendo por la variable original : 6 = arctan x

dx = lnI esc(arctan x) - cot(arctan x) 1 +eos(arctan x)

dx1. Encontrar I /^z^2 S Q 1 > a r c g e n fx-2x + Q

2. Encontrar x3/4-x2dx

I rj— "13. Encontrar I n dx Sol. -/4-x2 -3 sen { 1 + C



77 .

4. Encontrar dx Sol. x - 2/x + C

5. Encontrar Sol . - + C

6. Encuentre Sol. (3+2x2)/x2^1 / o., 3+ C2 7x

7. Encuentre j x5dx

8. Encuentredx

gol .

í dx

9. Encuentre i+/~O

(2x5+3x2)dx10. Encontrar I+2x

Sol .3 / 2

15x'*-48x2+1281 + C

+ ifi. ln (v^c-2) (yx+4 - 2/2 )

C^c+2)

S o l . 4 - 2 l n 3

Sol. -i /T+2x3 (2x3+9) + C



78.

Integrales impropias

dx1. Investigar si la integral diverge

Solución:dx c dx

Ó "*°° O

hacemos u = x - 2 entonces du = dx substituyendo

/-dulím y- « límt->-°° A t->-°°

f ui

~1/3du = lím || uI2

2 / 3]

= lím i (x-; = llm0

= lím |-[V(t-2)2-3/4t->oo ¿ L

Í dxCorao lím V(t-2) 2 = + °° / l a integral 3/—5- diverge.

t->°° J ^

Discutir la convergencia de las siguientes integrales impro^

pias:

1

dx2.

Solución:

1-tdx 1-t

= liradx



lím í-2(l-x)t-+0+L

1 / 2 l1- t

= - lím

= 2

3. ln x dx = lím dx

u = ln x dv =dxx

j dxdu = —x v = ln x

-^ dx = ln x ln x - I ln x —X J X

2 I — dx = (ln x) 2 + CI —J x

| ^ d x = (ln_2£)2+ c

Entonces:

7 9 .

Evaluemos primero la integral indefinida i n . x dx

Integrando por partes:

límt-x»

ln x dx = lira (ln x) \ [= l í m | [ ( l n t ) 2 - ( ln i) ' ]

= l í m j ( l n t ) 2

= + 00



80.

Por lo tanto | ^ x dx diverge.x

• í4. | x sen x dx

Ó

x sen x dx = lím x sen x dx = lím

Jsen x.- x eos x

= lím |sent - tcost - sen(0) + 0(cos0)

= lím (sent - tcost)

Como lím (sent - tcost) no existe,Í

I x sen x dx diverge-

5.i sen x

Analizar la convergencia de la integral 5— dx

Solución:

Sabemos que sen x

Ahora bien:

dxX^ = lím

12

Luego, la integral sen x dx es convergente y por

tanto la integral original también converge.

6. Calculardx



81

Solución:2fi xV

dx

x^l = £Jj

= lirat->l

= l ímt+1

= sec

2r

r

sec"

[sec"

"I2 =

dx

^ 1 =

2

1 - 1 1

2 - sec t]

TF/3

7.

00

dxU+273

Ó

Solución:

dx•3

= l£ í L

1.8

Ejercicios

Discutir la convergencia de las siguientes integrales im-

propias:



82.

1. I ;& Sol: 21ooo( dx

T Sol:

• \ k

oo

" a x

3. I =-=5— dx Sol: ln(l+ct) (a>-l)0 x e

Ldx

4. j ^ Sol: diverge-1

+ 0O

># J x*+4x+9— 00

dx n n IISol: —

/5-oo

6. e"lx'dx Sol: 2— 00

7. Averigüe si las siguientes integrales son convergentes:

2í dxa) j-—-- Sol: diverge

1+ oo

b) [ S e^ X dx Sol: converge

8. Determine un valor de n para el cual la integral impropia:+ 0O

(-XT ~ 2~*2T~)dx es convergente y evalúe la integral para(-XT

este valor de n .

Sol: n = ^ ; j ln jg



EJERCICIOS DE COORDENADAS POLARES

Ejemplo 1 : Ubicar los puntos cuyas coordenadas polares son:

a) Pi(4,J)

b) Q( ~

c) R(5,-7T

a)

Solución:

Para localizar el punto P (4,5-) , toma

mos un segmento tal que uno de sus ex-

tremos coincide con el polo y el otro

extremo con el punto PJ sobre el eje

polar, este segmento de longitud de 4

unidades. Luego lo giramos en sentido

positivo un ángulo de j radianes con el

extremo en el polo fijo.

Localizamos primero el punto

= P(.3,y)

,- ~

como en a) y al reflejarlo con respecto

al polo encontramos a Q(-3,-~) , nótese

que ^1 lugar geométrico que ocupa este

punto, coincide con el del punto que

tiene coordenadas (3, -)

QO, ^



8 4 .

c)

P a r a l o c a l i z a r e l p u n t o R ( 5 , - ~) , l oo

hacemos como en a) sólo que tomando el

ángulo en el mismo sentido de las mane

cillas del reloj, - 7- radianes.

R(5, - £)

Ejemplo 2 : Dadas las coordenadas polares de un punto, encontrar

las coordenadas cartesianas del mismo punto.

b) (-2, 30°).a) (2, %

Solución:

Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, éstas es-

tan relacionadas con las coordenadas polares del mismo, de la si-

guiente manera:

x = r eos 9; y = r sen 9

Por lo que:

a) (x,y) = (r eos 9, r sen 6 ) =

= (2 eos3TT

, 2 sen

(-/2 , /2 )

/22

(x,y) = (-

b) (x,y) = (-2 eos 30°, -2 sen 30°) =

= (-/J, -1). (x,y) = (-/I, -1) .



85.

Ejemplo 3 : Dadas las coordenadas cartesianas de un punto, (3,5),

encontrar las coordenadas polares del mismo.

Solución:

Como r = /x2 + y2 y 9 = are tan 2Lx

Se tiene que r =

= /34 .

y 0 = arctan | -

t 59(/34 / i o" ) son las coordenadas polares del punto

Ejemplo 4 : Hallar la ecuación en coordenadas polares que corres-

ponde a la ecuación x2 + y2 - 4x = 0 en coordenadas polares.

Solución:

Por las relaciones x = r eos 9, y = r sen 9 que existen entre

los dos sistemas coordenados, la ecuación cartesiana

x2 + y2 - 4x = 0 se convierte en:

r2cos29 + r2sen29 - 4 r eos 9 = 0 <=>

r2(cos26 +' sen20) - 4 r eos 9 = 0 <=>

r2 - 4 r eos 9 = 0 pues, eos29 + sen29 = 1 .

y, r(r - 4 cos9) = 0 <==> r = 0 ó r - 4 eos 9 = 0

.*. r = 0 ó r = 4 eos 0, pero cuando 9 = j ,

entonces r = 0 , de modo que la ecuación en coordenadas polares

estará dada por: r = 4 eos 9 .



86.

Ejemplo 5 : Dada la ecuación r(2-cos6) = 2 en coordenadas po-

lares, hallar la ecuación en coordenadas cartesianas.

Solución:

Puesto que r = /x^+y2 y eos 6 =

Tenemos que r(2-cos6) = 2

xT (2 - —±— ) = 2x2+y

2 /x2+y2 - x = 2

2 /x2+y2 = x + 2

4(x2+y2) = (x+2)2

Luego la ecuación en coordenadas cartesianas es:

16

Ejercicios

1. Ubicar los puntos cuyas coordenadas polares son:

a) (-1,0) ; b) (4, - 1 ) ; c) (-3, ^ ) ; f) (-4,

g) (-3, -7T) .



87.

a) b)

(-1,0)0

c)

g)

f)

2. A continuación se dan varios puntos representados con coordena-

das polares, encuentre sus coordenadas cartesianas auxiliándose

con un dibujo.

a) (2, j

d) (4, £)

f) (2,TT)

b) (3, - J)

c) (./3, ) d) (4, 1)

e) (3,-y-)

g) (1,0)

Soluciones:

a) (0,2) b) (0,-3)

c) (- j,^) d) (2/3, 2)

d) (2/3, 2) e) (- ^ ,

f) (-2,0) g) (1,0)

h) (-2, ir) i) (2, "/2) h) (2,0) i) (-1,0)



88.

j) í-l,--y-) k) (2,-lj-) j) (/I, -1) k) (2, -2/3)

1) (-1, - j) m) (O, -ir) 1) (1^1,-^?} m) (0,0)

3. A continuación se dan varios puntos representados con coorde-

nadas cartesianas, encuentre sus coordenadas polares auxiliar^

dose con un dibujo:

Soluciones:

a) (0, |) i) (-2,2) a) (i , J) i) (2/2, f.)

b) (-/3, 1) j) (3,-3) b) (2, ^ ) j) (3/2, - J)

c) (1,-/1) k) (-/3,1) c) (2, ^L) k) (2, 2£)

d) (3,3) 1) (2/3,2) d) (3/2, |) 1) (4, £)

e) (0,4) m) (2,2/3) e) (4, J) m) (4, ^)

f) (-l,/3) f) (2, Zj-)

g) (0,-1) g) (1,- J)

h) (2,0) h) (2,0)

4. Se da una ecuación en coordenadas cartesianas. Hallar para

cada una, la ecuación en coordenadas polares que describe la

misma gráfica.

Soluciones:

a) x = - 2 a) r eos 9 = - 2

b) x - y = 0 b) 9 = ~



89.

c) 2x + y/2 = Q

d) xy = 4

e) x2 + y2 + 2x - 4y = O

f) x2 + y2 + 2x + 6y = O

g) (x2 + y 2 ) 2 = 4(x2 - y2) g) r2 = 4 eos 2

h) x3 + y3 - 3axy = 0

c) r(2 eos 0 + /2 sen G) = 4

d) r2sen 20 = 8

e) r + 2 eos 6 - 4 sen 0 = 0

f) r + 2 eos 9 + 6 sen 6 = 0

h) r = 3a sen 292 (sen3 0 + eos3 0)

5. Encuentre una ecuación polinómica en coordenadas cartesianas

cuya gráfica contenga a cada ecuación dada en coordenadas po^

lares. Discuta las posibles soluciones extrañas.

a) r = 7

b) r = 3 eos 6

c) r eos 6 = 5

d) r eos (6 - j) = 2

e) r2cos 2 6 = 4

f) r2 = sen 2

g) r = 2 sec 6 tan 0

Soluciones:

a) x2 + y2 = 49

b) x2 + y2 - 3x = 0

c) x = 5

d) x+y = 2/7

e) x2 - y2 = 4

f) (x2 + y2) 2= 2xy

g) x2 = 2y



90

h) r(l-2 eos 9) = 2 h) 3x2 - y2 + 8x + 4 = 0

i) r = a sen(3 6) i) (x2+y2)2 = a(3x2y-y3)

j) r = 1-2 sen 9 j) (x2+y2+2y)2 = x2+y2



91.

GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES

Supongamos que r y 9 están relacionados por una ecuación

r = f (9) • Definimos la gráfica de una ecuación en coordena-

das polares (r,9) como el conjunto de todos los puntos P

que tienen por lo menos un par de qoordenadas polares (r,6)

que satisfacen la ecuación dada.

Ejemplo 6. Trace la gráfica de la ecuación dada.

r = 3 eos 2 6 .

Solución:

Primero veamos si la gráfica es simétrica con respecto al eje

polar, la recta 5- o el polo.

Simetría con respecto ál eje polar. Para esto sustituyamos las

coordenadas (r#9) por (r,-9) en la ecuación r = 3 eos 2 9

r = 3 eos 2(-9); = 3 eos(-29) = 3 eos 29 .

La ecuación no cambia, por lo tanto la gráfica ess simétrica con

respecto al eje polar.

Simetría con respecto a la recta y .Sustituyamos las coordena

das (r,9) por (r, TT-9) en la ecuación.

r = 3 eos 2(TT-9) = 3 COS(2TT-29) = 3(cas 2TT eos 2 6+ sen 2TT sen 2 9]

= 3 eos 29 . Y, entonces la gráfica es simétrica con respecto a

la recta y

Simetría con respecto al polo. Nuevamente las coordenadas (r,9)

de la ecuación las sustituimos por (r, TT+9) .



9 2 .

r = 3 e o s 2 ( T T + 9 ) = 3 C O S ( 2 T T + 2 0 ) = 3 [ e o s 2TT eos 28 - s e n 2ir s e n 2 6 ]

= 3 eos 2 9

Así que la gráfica es simétrica con respecto al polo.

NOTA 1 . Se puede demostrar - hágalo como ejercicio - que si una

gráfica cumple con dos de las simetrías de las tres antes menciona

das aquí entonces cumple con la simetría restante. En este ejem-

plo, dado que se encontró simetría con respecto al eje polar y con

respecto al polo, se sigue de inmediato que la gráfica es simétri-

ca con respecto a la recta i .

A continuación tabulamos algunos puntos de la gráfica.

e

2 6

r

0

0

3

V2

Ve

2 . 6

Ve

V3

1 .5

V4

V2

0

V3

2V3

- 1 . 5

5TT

1 2

5_IL6

- 2 . 6

V2

- 3

Con esta tabulación podemos hacer la siguiente parte de la gráfica,

A la parte de la gráfica de la

Fig. 1 aplicando las simetrías

se completa a la de la Fig. 2.

FIG. 1.DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


93.

FIG. 2

En general la gráfica de una ecuación de la forma r = a eos n 0

ó r = a sen n 6 es una rosa de n hojas si n es impar y

2n hojas si n es par.

Ejemplo 7 : Trace la gráfica de la ecuación dada.

r = 3 + 3 eos 9 .

Solución:

SIMETRÍAS:

Con respecto al eje polar, sustituimos (r,9) por (ri-8)

r = 3 + 3 eos (-6) = 3 + 3 eos 9. Luego la gráfica es simétri^

ca con respecto al eje polar.

Con respecto a la recta y , sustituimos (r,9) por (r,Tr-0).

r = 3 + 3 COS(TT-9) = 3 + 3 (COSTTCOS9 + seniTsen9) = 3 - 3 cos0 .

Por lo tanto la gráfica no es simétrica con respecto a la re£

ta y . Con respecto al polo, suponiendo que lo fuera, enton

ees como con respecto al eje polar hay simetría, la habría con

respecto a la recta ~ , io cual no puede ser. Por lo tanto

no es simétrica con respecto al polo. A continuación damos una



94 .

tabulación para algunos valores del ángulo 6 con 0 <_ 9 <_ TI.

0

r

0

6

TT

6

5 . 6

TT

1

4 . 5

Tí

2

3

2TT

3

1.5

5 TT6

0 . 4

TT

0

La gráfica obtenida a partir de los puntos tabulados se muestra

en el siguiente párrafo con línea continua:

Tí/2

7Í/3

57T/6 TT/6

Dado que esta gráfica es simétrica con respecto al eje polar,

la otra parte se puede dibujar sin necesidad de volver a tabu-

lar, esta parte es la que esta punteada en el dibujo anterior.

Generalmente a las gráficas de este tipo se les llama cardioi-

des, su ecuación es de la forma:

r = a(l ± eos 6) o bien

r = a(l ± sen 0) donde aelR



95.

El procedimiento para dibujar estas gráficas es similar al que

hemos desarrollado en este ejemplo•

Ejemplo 8 : Trazar la gráfica de la ecuación dada

r = 2 - 3 sen 9

Solución:

Analicemos las posibles simetrías.

Con respecto al eje polar, las coordenadas (r,6) las sustituí^

mos por (r,-9) en la ecuación r = 2 - 3 sen 9

r = 2 - 3 sen (-9)

= 2 + 3 sen 9

o bien las coordenadas (r,9) por {^r,i\-Q)

- r =. 2 - 3 | sen (TT-6) ] = 2 - 3 [sen TT eos 9 - eos TT sen 9 J

= 2 - 3 [0 eos 9 - (-1) sen 9 ] = 2 - 3 sen 9

- r = 2 - 3 sen 9

r = - 2 + 3 sen 9

Luego, no es simétrica con respecto al eje polar. Con respec-

TT

to al eje y , las coordenadas (r,9) las sustituimos por

(r,7T-9)

r = 2 - 3 sen (TT-9)

= 2 - 3 [sen TT eos 9 - eos TT sen 9 ]

= 2 - 3 sen 9

Así que es simétrica respecto al eje yNo puede haber simetría con respecto al polo, pues si la hubierade acuerdo a la nota 1 del ejemplo 5 habría simetría con respec-



to al eje polar, lo cual no puede ser.

96.

TíEn seguida tabulamos algunos puntos para - y ± e </ T

r = 2 - 3 sen 6 .

e

r

TT

" 2

5

TT

" "3

4 . 6

TT

6"

3 . 5

0

2

TI

6"

0 . 5

TT

3

- 0 . 6

TT

2

- 1

La parte de la gráfica que se puede hacer con estos puntos se

muestra a continuación

dado que es simétrica con respecto al eje y , la otra parte

la obtenemos reflejándola con respecto a este eje, obteniendo:



97.

A esta gráfica se le llama caracol o limazón. Si la ecuación

tiene la forma r = a + b eos 0 ó r = a + b sen 6 donde

a < b , la gráfica presenta un riso como en el ejemplo ante-

rior.

Ejemplo 9 : Trace la gráfica de la ecuación dada

r = 3 - 4 eos 0

Solución:

Analizamos las simetrías;

Con respecto al eje polar; para esto, sustituimos las coordena-

das (r,6) por (r,-6)

r = 3 - 4 cos(-0) = 3 - 4 eos 0

.*. la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

Con respecto al eje ^ . Hacemos la sustitución de (r,8) por

(r,TT-0)

r = 3 - 4 eos (TT-0)



98.

= 3 - 4 [eos TT eos 0 + sen TT sen 9 ]

= 3 + 4 eos 0

o bien (r/0) por (-r,-0), coordenadas que también alteran

la ecuación. Por lo tanto no hay simetría con respecto a la

2L2recta ~ , y, por consiguiente tampoco con respecto al polo.

La única simetría que tiene es con respecto al eje polar por

ello tabularemos algunos valores de 9 entre 0 y TT .

r = 3 - 4 eos 0

0

r

0

- 1

TT

6"

- 0 . 4 6

I

1

2

3

2TT

~T

5

6

6.46

TT

7

La gráfica es la siguiente.



99.

Dado que la gráfica es simétrica respecto al eje polar, la par

te punteada es obtenida al reflejar con respecto al eje polar

la porción de gráfica que dibujamos con los puntos tabulados.

Ejemplo 10 : Trace la gráfica de la ecuación dada

r = 4 - 3 eos 9

Solución:

Analicemos las simetrías;

Con respecto al eje polar. Sustituimos (r,0) por (r,-6)

r = 4 - -3 eos (-9)

= 4 - 3 eos 0

por lo tanto la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

Simetría respecto al eje j . Sustituimos (r,9) por (r,7T-9)

r = 4 - 3 eos (TT-9) =

= 4 - 3 [eos TT eos 9 + sen n sen 0 ]

= 4 + 3 eos 9

o bien (r,9) por (-r,-9)

- r = 4 - 3 eos (-0)

- r = 4 - 3 eos 9

Luego, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y

tampoco con respecto al polo.

A continuación tabulamos algunos valores de 9 tales que

0 < 0 < TT



100.

e

r

0

1

TT

6

1.40

TT

1

2 . 5

7

4

2TT

T

5 . 5

5TT

6

6 . 6

n

7

A continuación se presenta la gráfica

La parte punteada corresponde a la reflexión de la parte de la

gráfica que queda por arriba del eje polar, de la cual tabula-

mos algunos puntos. Esto se hizo porque la gráfica es simétri^

ca con respecto al eje polar. Las gráficas de esta forma se -



101.

llaman limacones o caracoles, la diferencia con la anterior es

que no tiene el riso. Todas las gráficas de la ecuación

r = a + b eos 8 o r = a + b sen 9 con a > b tienen

esta forma.

Ejemplo 11 : Discutir la simetría y dibujar la gráfica de la

ecuación r2 = eos 2 8

Solución: (r#8) por (r,-6)

r2 = eos 2 (-6) = eos 2 8

.'. La gráfica es simétrica respecto al eje polar.

Sustituimos (r,7T-8) en lugar de (r,8) para ver la simetría

con respecto a la recta y

r2 = COS(2TT-28) = cos2 TT cos2 8 + sen2 TT sen2 8

= cos2 8

.*. es simétrica con respecto a la recta j

Como se tienen ya 2 simetrías se deben tener también la sime-

tría con respecto al polo.

Tabulemos algunos puntos (r,8) para " £ 9 £ j " 7 £ e £ "

r2 = eos 2 8

e

26

r

0

0

+ 1

TT

12

ir

6"

+ 0 .9

TT

6

TT

3~

+ 0 .7

ir

?

7T

2

0

TT

I

2TT

3

-

57T

12

5TT

6

-

TT

2

TT

-



102.

Una parte de la gráfica se muestra a continuación, para tenerla

completa se hace tomando en cuenta las simetrías, con la parte

punteada. Queda construida la gráfica.

Ejercicios

6. Escribir la ecuación de un conjunto de puntos tales, que el

producto de sus distancias a los puntos Fi(a,0) y F2(~a,0)

sea una constante igual a a2 .

Respuesta: (x2 + y 2 ) 2 = 2a2(x2 - y2) la curva hallada

se llama lemniscata.

7. Escribir la ecuación de la lemniscata en coordenadas polares

y construir la curva

Respuesta: r2 = eos 2 0



10 3.

8. En cada uno de los siguientes ejercicios esboce la gráfica

cuya ecuación se da con respecto a las coordenadas polares

(r,0). Haga una tabla para valores de r y 9 fácilmente cal.

culables.

Explorar cualquier simetría en la ecuación.

a) r = 2 sen

b) r = sen 3

c) r = 1 + eos



104

d) r = 2 - sen 6

s) r = 2 (1 + 2 eos 0)

f) r = -Ó



105

g) r =sen 9 - eos 9

h) r2 • - 9 sen 2 6

i) r = eos =•



10 6

j) r = 1 + 2 sen 2 6

O



10 7.

Cálculo de áreas en coordenadas polares

Sea R la región limitada por las rectas 0 = a y 0 = 3

y la curva cuya ecuación es r = f(0) donde f es continua

y no negativa en el intervalo cerrado [a,3] • Entonces si A

unidades cuadradas es el área de la región R :

35 1 I i 2 1 í

A = lím I £ f(E.) A.0 = ± i f(8) 2 d0||A||-0 i=l 2 L i J i 2 J

a

Si l a reg ión e s t á l imitada por l as r e c t a s 8 = a , 0 = 3 y

l a s dos curvas cuyas ecuac iones son r = f(8) , r = g(0) don

de f y g son con t inuas en e l i n t e r v a l o ce r rado [ot,3] y

f (9) >_ g(0) en [a , 3] y s i A unidades cuadradas es e l área

de l a r e g i ó n , en tonces :

A"||Í|H> Í

2 Ja

Ejemplo 11 : Calcular el área acotada por la curva r = 3 eos 2 0

Solución: La gráfica de la curva fue construida en el ejemplo

5.



10 8,

TT/4

La gráfica es simétrica respecto al eje polar, la recta -r- y

el polo. Para obtener el área basta calcular la de la parte -

acotada por las rectas 6 = 0 , 6 = -j y

multiplicar el valor obtenido por ocho.

Tí

. " . A = 8 I • i [3 eos 2 6] 2 d6 =

r = 3 eos 2 6

8_2 9 cos220d9 = 36 cos22ed9 =

= 36 fl+cos49I 9

•} d9 = 18 (l+cos46) d6

[o

Tí

"4



= 18 [I senu - O - sen 0

A = ~Y Unidades cuadradas

109.

) - 18 • J -Tí 9TT

Ejemplo 12 : Encontrar el área acotada fuera del rizo y dentro de la

cardioide

r = 3 - 4 eos 9

Solución: La gráfica fue construida en el ejemplo 9 y la

mostramos otra vez. ^/^

Como lo probamos anteriormente, esta gráfica es simétrica con

respecto al eje polar. El área que nos interesa calcular es

la que está fuera del rizo y dentro de la "cardioide11.



110.

Esta gráfica se cruza en el eje polar . ' . r = 0 y el ángulo

0 de esta coordenada se calcula de la manera siguiente

si r = 0

0 = 3 - 4 eos 9

4 eos 0 = 3 => eos 0 = j

entonces 8 = +_ 0.23ir

El área acotada por la curva, tal que está fuera del rizo y

dentro de la cardioide esta dada por

. 23T ÍTí

A = 2 j | i (3 - 4 e o s e ) 2 d 9 - ~ (3 - 4 e o s 9 ) 2 de l0 . 2 3 T T 0

. 2 3 *

( 3 - 4 e o s 0 ) 2 d 0 - I ( 3 - 4 e o s 6 ) 2 d 6

0 . 2 3 T T 0

7T

I ( 9 - 2 4 e o s 0 + 1 6 1 + ^ Q s 2 9 ) d 0 -

0 . 2 3 T T

- 24 eos + 16 1 + CO2S 2 9) d0

Ejercicios

9. Hallar el área del campo limitado por un arco de la cicloi^

de x = a (T - sent) , y = a (1 - cost), y el eje absci-

sas. Respuesta: 3ira2



111.

10. Hallar el área de la gráfica limitada por la hipocicloide:

x = a cos2t , y = a sen3t .

3Respuesta: p- na

11. Hallar el área total del campo limitada por la lemniscata

r2 = a2 eos 2 0Respuesta: a2

12. Calcular el área del campo limitado por un lazo de la cur-

va r = a sen 2 8 -Respuesta: -5- ira2

o

13. Calcular el área total del campo limitado por la cardioide

Respuesta: ~- TTa2r = a(l - eos 9) ^

3

14. Hallar el área del campo limitado por la curva r = a eos

_ . na2Respuesta: --r-



1 1 2 .

APLICACIONES DE LA IiSÍTEGRAL DEFINIDA

1. Calcule el área limitada por las gráficas de

f(x) = x3-3x2+2x y g(x) = - x3+4x2-3x .

Solución:

Primero encontramos los puntos de intersección igualando

ambas ecuaciones y resolviendo la que se obtiene.

x3-3x2+2x = - x3+4x2-3x

2x3-7x2+5x = 0

x(2x-5) (x-1) = 0 < = > x = 0 ó 2x-5 = 0 6 x-1 = 0 .

Por lo tanto las gráficas se in tersec tan cuando x = Ü ,

x = 1 , x = — .

Tomemos un punto x 0 e [ 0 , l ] , digamos x0 = y , entonces

g(x0) = - Q- y f(x0) = -5- , vemos de aquí queo o

g(x0) < f(xo) y debido a que las funciones son continuas

concluimos que:

f(x) >_ g(x) en el intervalo [0, lj . Razonando de la mis_

ma manera tomamos un número real xf:\±f — \f digamos x} = 2.

xie[l, 2"] -

f(x2) = 0 y g(xx) = 2 . ". gtxj > f (xj y en tonrr

ces f(x) < g(x) en el intervalo [l> y] - A continuación

mostramos la gráfica



113.

x

El área A que nos interesa es A = Ai+A2 , donde :

1 Í

Ai = (f(x)-g(x))dx y A2 = (g(x)-f(x))dx .

0

Luego:

íA = (2xJ-7x:

"_ 7x3 5x2

0

(-2xJ+7x -5x)dx =

\ 7x3 5 x ¿ ¡ ?

325396

unidades cuadr.

2. Encuentre el área de la región, limitada por las gráficas de

y = x2, x = y3 y x+y = 2 .

Solución:

Sean F(x) = 2 - x

G(x) = x2

H(x) = xaDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


Calculamos los puntos de intersección:

a) para G(x) y H(x)

x* =, x+'«> (x2) 3 - (xi) 3

Luego x6 - x = 0 = x(x5-l) = 0

> x6 = x

x = 0 ó x = 1

b) para F(x) y G(x)

x2 =:2-x <=^> x2+x-2=0 <==> (x+2) (x-1) = 0

» # . x ~ - 2 6 •• x = 1 .

c) para P (x) y H(x) , tenemos:

2~x « xT <==> x = (2-x) 3 <==> x =f - x3 + 6x2-12x 4- 8

< = > (x-1). (-x2+5x-8) = 0 (ya que -x2+5x-8 f 0

= 0 X =

A continuación mostrarnos una gráfica de estas ecuaciones

y = G(x)

= H(x¡



115.

El área A es:

O 1

A = Ai + A2 = (F(x)-G(x) )dx + I (F(x)-H(x) ) dx =

-2 O

r 49(2-x)-x¿|dx + (2-x-x3)dx = pr- unidades cuadradas.

12O

3. Hallar el área de la región dentro del cardiode

r = a(l + eos 9) y fuera del círculo r = a

Solución:

Calculemos los puntos de intersección de estas curvas

r = a (1 + eos 9)

r = a entonces

a = a (1 + eos 9) ; a ^ 0 = >

1 + eos 9 = 1

. # . eos 9 = 0

luego 9 = y ° 9

de intersección son:

9 Y los puntos

(a, 2") & (a, -y) .

La gráfica se muestra a continuación.

= a

= a(l + cose)

Dado que la gráfica es simé-

trica con respecto al eje

polar, basta calcular el área

sombreada.

El área total sora el (lob 1 e

do ósta.



116.

A = 2 j [a2 (l+cos6) 2-a2] de = I (a2+2a2cos6+a2cos2e-a2) de

4. Determine el área de la región limitada por las gráficas de

y2 = 4(x-2) & y = 2(x-2) - 4

Solución:

Para encontrar los puntos de intersección, despejamos x-2

de cualesquiera de las dos ecuaciones y este valor lo sus-

tituimos en la que nos haya quedado.

De y = 2(x-2) - 4

(x-2) = Z±i

sustituyendo este valor en y = 4(x-2) se obtiene que

y2 - 2y - 8 = 0

= > (y-4)(y+2) = 0 ; luego y = 4 ó y = - 2

entonces si y = 4 , al sustituir este valor en una de las

ecuaciones se encuentra que x = 6 . Si y = - 2 entonces

x = 3 .

Por lo tanto, los puntos de intersección son:

(3,-2) & (6,4) . La gráfica de la ecuación y2 = 4(x-2)

es una parábola con eje horizontal, mientras que la de

y = 2(x-2)-4 es una recta. A continuación mostramos la

gráfica en el mismos plano.



X / y = 2(x-2)-4

117.

= 4(x - 2)

Tomando rectángulos paralelos al eje de las x tendremos

entonces y2 = 4x-8 = > x = y .+ 8

y = 2(x-2)-4 => x = *• + 4 .

4

.'. el área es í 1"ÍY . J _ fy +8-2

+ 41 - dy = 9u:

LONGITUD DE ARCO

Recuerde que si f : [a,b] -»• IR es una función de clase

C (es decir, diferenciable y con derivada continua),

entonces la longitud del arco formado por la trayectoria

de la gráfica de f en [a,b] , está dada por

b

L = /f'(x)2+1 dx.



118.

5. Sea y = 3x+5 , O £ x £ 2 (segmento de recta) , entonces

la longitud es ; 2

/9+1 dx = 2/TO unidades.

0

(En este ejemplo se puede comprobar geométricamentef que

la distancia entre los puntos (0,5), (2,11} es precisa-

mente 2/Tü unidades).

6. Determine la longitud del arco de la curva parametrizada

descrita por las ecuaciones paramétricas:

V = t3+l , y = 2t9/2-4 sobre [l,3]

Solución: o

Sabemos que / f ' ( t ) 2 +g"( t ) 2 dt es la longitud del ar

a

co de la curva parametrizada por x = f(t) , y = g(t)

en [a,3] .

. * . En nuestro caso tenemos:

3

L = / (3t2)2+(9t7 / 2 ) 2

dt

1

3

I t2/I+9t3 dt

1

3= ~ (l+9t3)3/2

1

_ 4

(488/6T - 10/10) unidades.

(244/5T - 5/Tff) unidadesDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


119.

7. Determine la longitud del arco de f (x) = x ' en [q- / 4]

Solución:

L = /I + J x dx = |~ ~ 2 7 u n i d a d e s -

Volumen de Sólidos de revolución

8. Obtenga el volumen del sólido generado por la rotación, ..

alrededor del eje x , de la región acotada por la para,

bola y2 = 4x y la recta y = x .

Solución:

Sean f (x) = 2/x , g(x) = x

Calculamos los puntos de intersección:

4x = x2 <=> 0 = x2 - 4x = x(x-4)

. * . x = 0 , x = 4 y los puntos de intersección

son (0,0) (4,4) .

Sea P una partición del intervalo I 0,4 i :

P : x0 = 0 < Xi < x2 < ... < x = 4 y sean:n

= 1,2,...,n)



12 0.

La medida del volumen del anillo circular es :

AVÍ =

n£

A.X

AV. es aproximadamente el volumen reque_

rido.

nVolumen = l ím :±)z - g u ^ 2 ] AXÍ

(f (x) 2 - g(x) 2)dx

= II I (4x-x2)dx = ~ ñ

0

9. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al

girar, alrededor de la recta x = 4 , la región limitada

por la curva x = y2 , el eje x y la recta x = 4 .

Solución: Sea f(y) = y2 f2 x=y

-2 x=4

Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando

el rectángulo genérico de la figura gire alrededor de la



121.

recta x = 4 , se produce un disco de radio r = 4-f(£.) ,

de altura h = Ay. y por tanto de volumen A .V = 11(4-(5 .) ) 2Ay

y volúmenes de los "n"-discos, correspondientes a los

n-rectangulos genéricos es:

I A.V = I II(4-fU ))2Ay=l

x i=i x x

Note la simetría de la parábola con respecto al eje x .

Luego, el volumen pedido es :

V = lim I il(4-f(ei))2 Ay± = 2 I n(4-y2)2dy

||p| .|+0i=l O

512 „ 3

10. Calcule el volumen de la esfera generada al girar alrede-

dor del diámetro, la región encerrada por la circunferen-

cia x2 + y2 = r2

^ X'

Como en el ejemplo anterior, di-

vidamos el área mediante franjas

horizontales,; cuando él rectán-

gulo genérico de la figura gire

alrededor del eje y , se produ



122.

ce un disco de radio v = x , altura h = Ay. y de volu

men A.V = íl (x) 2Ay . La suma de los volúmenes de los

n-discos, correspondientes a los n-rectángulos genéricos

es:

£ A .V = £ II x2 Ay y el volumen pedido es:

r r

V = 2 f n(/P^y2)2dy = 2 n í (r2-y2)dyo o

11. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del

eje y la región acotada por y = 1 + sen x , el eje x ,

entre x = 0 y x = 211:

Solución:

Por el método de las capas ciY

2 lindricas (o concéntricas), -

y=l+senx tenemos que:

n 211 x

211

Volumen = 211 x ( l + sen x) dx

0

2n 2Ü

Volinnen = 211 xdx + II x sen x dx

0 0

= |2i[ y I + 2 ü | - x eos x + sen x

= 4II3 - 4n2 unidades c ú b i c a s .DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


TRABAJO:

12. Calcule el trabajo efectuado para estirar un resorte desde

su longitud natural de 8 cm. hasta una longitud de 11 cm,

si sabemos que 20Kg estira el resorte y cm.b ¿

Solución: Por definición, J f(x)dx = trabajo efectuadoa

por una función con fuerza continua f, al desplazar un obje^

to desde el punto x = a hasta el punto x = b . Ahora,

para encontrar la fuerza f(x) , de acuerdo a la ley de

Hooke f (x) = kx . Sustituimos x0 = y para f (xo) = 20

y k = 404 = 20

Así, f(x) = 40x y el trabajo será3 3

W = / f (x)dx = / 40xdx = 180 kg-cm.0 0

13. Un tanque que tiene la forma de un cilindro circular rec-

to de altura 4m y radio de la base 2m. se encuentra lleno

de agua. Calcule el trabajo efectuado al bombear toda el

agua del tanque hasta un nivel de 8 metros por encima de

la parte superior del tanque.

Solución:

Sea P un partición del intervalo [0>4]

P : yo = 0 < yi < y2 < .. • < yn = 4

Sean i " 1/2/---/n

Consideremos el i-ésimo disco

de altura Ay. y volumen:

± = ¡1(2) 2Ay±



124.

.*. El trabajo realizado al bombear el agua de este disco

es: w. = F. d. , donde F. = 1000 Av. = fuerza necesa-

ria para levantar el i-ésimo disco, d. = 12-r . = distancia' i i

que se tiene que levantar el disco.

.'. w¿ = (1000n(4)Ayi)(12-C±)

w± = 400011(12-^)Ay±

n. *. I w. es aproximadamente el trabajo realizado al va-

i=l

ciar el tanque.

Finalmente el trabajo será:

w = 4000n(12~y)dy = 16000JI kq-m.

0

Otras aplicaciones.

14. Hallar el momento Mx respecto al eje x de una placa con

densidad constante 3 encerrada por y = 0 , y = sen x

para 0 ^ x ^ : 1

Solución:

Tenemos que la masa dm = p*dA = 3 sen < dx

tomemos . = y

. * . Mx = i y dmi

Mx =

3¿

(3 sen x) dx



125.

15. Encontrar el centro de masa de una barra de 2 metros de lar

go si la densidad en un punto a x metros del extremo iz-

quierdo de la barra es p(x) , donde p(x) = /x2+5

Solución:

Colocamos la barra en el eje x con su extremo izquierdo

en el origen. Entonces

2

x/x2+5 dx

x =° —° (Si una barra de longitud L m

dx

0

tiene su extremo izquierdo en el origen y el número p(x)

representa la densidad a x metros del origen, con p

continua en [0 , L ] , entonces el centro de masa de la barra

es:

L

x p(x)dx

Óx =

fI • p(x) dx

0

(2 2Ahora x/x^T5 dx = y (x2+5)3/2 = ~ (27-5/5) y

0 0

• x^+S" dx = 5 [~ x/x*2T5 + i- ln (, 2 + 5 + x) ]L2 2 J 0

= 3 + j ln 5



126.

El centro de masa de la barra es :

¿ (27-5/5)x = -——= * 1.05 .

3 + | ln 5

16. Determine el momento de inercia de un disco delgado de ra

dio R y masa M con respecto a uno de sus diámetros.

Solución:

La ecuación para un disco cir

cular es x2+y2= R2

y ,

. -.y = .+ . /R2-X2

Sean y arriba = /R2-x2

y abajo = - /R2-x2

Podemos tomar una diferencial de volumen de la siguiente

manera:

dv = t(y arriba - y abajo)dx * Substituyendo en esta ecua

ción las y arriba y y abajo tenemos:

dv = 2t /R2-x2dx i donde t = espersor del disco.

El momento de inercia está definido por:

M ÍI = — rzdv sobre el volumen completo v del cuerpo.

Entonces:

T = ü 2t /R2-x2dx

Si el volumen del disco es v = entonces:

I = M2HR2t

= j 1IR

-R



127.

17. Un punto se desplaza por una recta que será el eje de las

y . Su velocidad en el tiempo t es v(t) (en m/seg. por

ejemplo). Encontrar el desplazamiento total desde el ins-

tante t = a hasta el instante t = 3 (a<3) •

Solución:

Sea P un partición de [a#3]

P = {to=a < ti < t2 < ... < t = B)

Para cada subintervalo de tiempo [t.^^t.] , la distancia

recorrida está entre m.(t.-t. -) y M.(t.-t. -) , donde

m. , M. son respectivamente la mínima y la máxima velocidad

en, el intervalo [t. -,t. J.

Si la partición es suficientemente refinada, podemos consi^

derar que la velocidad en cada subintervalo [t.-zt.] es

v(^.) donde £.e[t.-#t.] es cualquier instante. Por --

tanto, la distancia, aproximadamente, recorrida en el i-ésjL

mo intervalo es

n\ v(^.)At. es aproximadamente la distancia re-

corrida de • t = a a t = 3

n•*. Distancia recorrida = lím Y v(£.)At.

Distancia recorrida = I v(t)dt

a



128.

18. Encuentre el área lateral de un cilindro de altura h y

radio r .

Solución:

Recordemos que el área lateral de la superficie de revolu

ción generada al hacer girar la gráfica de f alrededor

del eje x en La'kj e s :

A lateral = 2H f(x)/1+f•(x)2dx

a

Para resolver nuestro problema, consideremos el cilindro

como la superficie obtenida al girar alrededor del eje x

la recta y = r en el intervalo [0,h]

y<

-r

y=r

h

.*. área lateral = 2H ( r/l-f (0)

o

= 2nrh. M3

19. La corriente i(t) producida por un rectificador de media

onda se encuentra dada por:

I sen2ilt

i(t) =

O si

si 0 < t £ -j T

i- T < t < T¿



129.

| r T

La constante I es la corrien

te máxima. ¿Cuál es la carga

total que se transporta durante

un ciclo completo?

Solución:

Como i * g£ ••/ dq = idt . Entonces la carga total es la suma

de todas la* dq , es decir,

i^l i(t)dt =

0

IT co,2nt^2f S T

ITTT *

0

1/2T

0

(0)dt

20. Un cable coaxial largo está constituido por dos cilindros

conce^tricbs de radios a y b . El conducto central lleva

una oorriehte i y el conductor externo proporciona el -

camino de regreso de i . Calcular la energía almacenada

en el campo magnético para un tramo de longitud 1 de ese

cable.

Solución:

Según le ley de ampere, el cam

po magnético está dado por

2 nr

La densidad de energía u para



130 .

B 2

puntos colocados entre los conductores es u = ~ — ,

sustituyendo el valor de B :

.2

2p7 l2lTr;" = 8ÍbT2 "

Consideremos un elemento de volumen dv formado por un

cascarón cilindrico cuyos radios $on r y r+dr con una

longitud 1 . La energía dE contenida en él es

dE = udv• 2

.*. dE = j|^_2(2IIrl)dr .

d r

La energía total almacenada será :

b bE = ü l í l 1 É£ = ^ o i 2 l í dr

j -TIT r " ¡í j ra

m (J



131.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Encuentre el área limitada por las funciones f(x) = /x y

g(x) = x2 .

Solución: ^ .

2. Calcule el área bajo la curva en el intervalo dado:

a) y = — ; l£x£2 Solución: ln 2 *

b) y = -iy ; Kx<3 : ln 2 .X X — —

c) y = ln x ; l£x<2 : 2 l n 2~1 *

d) y2 = 1-x ; 2<y<5 : 36 u2

3. Hallar el área de la región R si

a) R está limitada por y = x2 + l, y = x a , x = 0 , x = l .

b) R está limitada por el eje yf x = 1, g(x)=x2 + l, f (x) =xl'-x3-l

c) R limitada por f(x)=x3-3x2+2x, el eje x en [0,3]

d) R está limitada por f(x)=^ +1, g(x)=-~ x* + 3 en [0,3]

e) R está limitada por sen x en f -Ií, -j-\

Solución: a) ^ ; b) -rrr ; c) -j- ; d) T /3 ; e) 5 .

4. Determine el área de la región acotada por las gráficas de

y = x3+3 , y = 2x - x2 + 3 .

Solución: -^j- .



132.

5. Calcule la longitud de arco de las siguientes funciones en

el intervalo dado:

a) y = £3+ ¿ de x = 2 a x = 5

393Solución: -**-

b) Y = I + Ü x 3 de X ~ 2 a X = 1

79Solución:

x

c ) y = / u d u de x = 0 a x = j

0^ n . (TT+4) /ÍT+4 - 8Solución: -—~—r-^

d) x = a cos36 , y = a sen36 # 0 < 6 < r IÍ

Solución: -y-

e) x = eos t + t sen t , y = sen t - t eos t 0 £ t. <_ ~

Solución: Q-

f) x = r eos 9 , y = r sen 0 en [0, 2IT]

Solución: 2ur

Solución: 2/1

6. Calcule el volumen de un cono troncado de radios ri y

v altura h .



133.

Solución: 27T2a*b

8. Encontrar el volumen del sólido generado cuando se gira al

rededor de la recta x = 4 , acotada por y2 = x3 , x = 4

eje x .

Solución: - 29.26

b) encontrar el volumen del sólido generado al girar alrede^

dor de la recta y = 8 la región del inciso a)

Solución: ~- TT

9. Determine el volumen del sólido generado por la rotación,

alrededor del eje x = - 4 de la región, limitada por di-

cha recta y la parábola x = 4 + 6y - 2y2

Solución: "™QZ~"

10. Calcule e l área de las siguientes regiones

a) La región encerrada por r = 2 - sen Q

9Solución: ^ TÍ

b) La región encerrada por r = 4 eos 3 0

Solución: 4TT-8

c) La región dentro de r = a y fuera de r = a(l - eos 9)

Solución: A = 2a2 - a2 ~



134.

d) Dentro de r2 = 4 sen 2 6 y fuera de r = /2~

2Solución: 2/3 - j TÍ

e) Dentro de r = 2 sen 0 y fuera de r = senG + cos0

Solución: TT~2

f) Contenida en r = a/cos 2 6

Solución: a2

11. Un resorte tiene una longitud natural de 12 cm. Una fuer

za de 600 dinas lo comprime a 10 cm. Determine el traba-

jo realizado al comprimir dicho resorte de 12 cm. a 9 cm.

3

Solución: w = 300 xdx = 1350 joules

0

12. El volumen y la presión de cierto gas varian de acuerdo -

1 2con la ley pv * = 115 , donde las unidades de medida son

pulgadas y libras. Encuentre el trabajo realizado cuando

el gas se expande de 32 a 40 pulgadas cúbicas.

b

Solución: w = pdv = 5 75

a

i - 52

13. Una partícula se mueve a lo largo del eje x desde x = 1

hasta x = 2 de acuerdo con la ley de fuerza

F(x) = x3+2x2+6x-l. Calcular el trabajo efectuado.

173Respuesta: -y=-



135.

14. Si un resorte de longitud natural 10 cm. requiere 15 Kg. para

estirarse hasta 11,5 cm. calcular el trabajo efectuado para -

estirarlo:

a) De 10 a 12 cm. Solución: 20 Kg-cm.

b) De 12 a 14 cm. Solución: 60 Kg-cm.

15. Un tanque cilindrico vertical de 3 m de diámetro y 5m de al-

tura está lleno de agua hasta la mitad;

calcular el trabajo efectuado para bombear el agua hasta

la parte superior del tanque.

Solución: ~-¿~-—2_üü ; w e s e l peso del agua por cada

m3 (metro cúbico).

16* Un tanque hemisférico de 2m de diámetro está lleno de agua.

Solución:

a) Calcular el trabajo efectuado para bombear el agua por

encima del tanque

Solución: w j Kg-m

b) calcular el trabajo efectuado para vaciar el tanque me-

diante un tubo de 60 cm. colocado en la parte superior

del tanque:

Solución: -jñ W7T

w peso por metro cúbico.

17. Calcule el área lateral de un cono troncado de radios rx ,

r2

Solución: TTI ( n + r2) 1 = generatriz



136.

18. Calcule el área lateral de la superficie generada al girar

alrededor del eje y

a) la gráfica de y = x¿ en 1.0,2]

Solución: J- (17/17 - 1)o

b) la gráfica y = ¿ (x2+2)3/2 en [0,3]

99Solución: -y-

19. Encontrar e l área l a te ra l de las superficies obtenida al

girar alrededor del eje x la gráfica de

a) y = x3 en [0,1]

Solución: — [lO/To - l]

b) y = IÍIX , x = 0 , x = 2

Solución: 47Tm /mk+l

\ i o o a ac) y = / a 2 -x 2 , x = ~ J ' x = 2

Solución: 2ua2

20. Encuentre el centro de gravedad de la región acotada por

x - :y = e , x = 1 , eje x , eje y

o -, 1 e+1Solución: x = — y , y = -—-

21. Encuentre el radio de gravedad de un semicirculo de radio

a .

Solución: (0, |~ )



137.

22. Hallar el centro de gravedad del arco del primer cuadrante

limitada por la parábola y = 4-x2

Solución: [j , -r)

23. Encuentre las coordenadas del centro de masa de la región

limitada por las parábolas x = y2 , x2 = - 8y

— 9 — 9Solución: x = F- # y = - -TQ-

24. Calcule el centro de gravedad (x,0) del sólido generado

por la rotación de la región del problema 22 alrededor del

eje x .

Solución: x = -g-



138,

Ecuaciones Diferenciales

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

Variables separables:

1, -T^ = ky (ley de crecimiento o decrecimiento) k = cteQ.X

Solución: La ecuación es de variables separables

separando las variables tenemos:

y

Integramos:

dx 2

dy = kydx

& = kdx

**<í f " í. * . ln y = kx+Ci Ci = constante

Aplicamos exponencial y tenemos:

ln ye = e

y = ce , donde c = eCl

ÉL = (x3+x2)ydx " x2(y3+2y)

Solución: Primero simplificamos

- (x3+x2)y = _ x2 (x+1) y = _ x+1

x2(y3+2y) ~ x2(y2+2)y

Luego:

dx y2+2DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


5 9 .

Separando variables:

(y -1-2) dy = - ix+Udx

Integrando:

^ + ¿y - ^ - x + c es la soluc, 61

- e ^ ^ d y = u

Solución: la ecuación es nuevaraente de variables separa-

b l e s : x+2y 2x-ye 7dx - e Jdy = 0

i 2x .

x 2y e , _ ^ , . v 2xe e dx - — - dy = 0 . Dividimos por e *v :x ¿\ 2x,

e e d x _ e dy . „\y 2x y 2y 2x

~ x , - )y , , ^t d x - e y a v - 0 . l n t e c i i a r a - f t - i ' - m o b :

e dx -

- e • ^ ..» - J e^ i a s lu

Soljcion: Separamos las variabLcs:

- — d x + -T-^-T dy = 0 . I n t e g r a l - . * u ñ e m o s

— d x + ' > i dy c •x y ^ - 1 y



140.

. • . % x2 + ln|x| + | In|y2-l| = c

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

5. (x+3y)dx + xdy = 0

Solución: Sean M(x,y) = x+3y N(x,y) = x

Como M y N son funciones homogéneas del mismo grado (gra

do uno), la ecuación diferencial es homogénea. Sea y = xv,

de manera que:

dy = vdx + xdv

Sustituyendo en la ecuación original

(x+3xv)dx + x(vdx + xdv) = 0

(l+4v)dx + xdv = 0

dxX

í dxX

dvl+4v

í dvl+4v

ln x = - j ln| l+4v| 4- c

ln x(l+4v) 1 / 4 = c

. # . x1* (l+4yx""1) = c1 (c1 = ev

6. 3ydx + (x+2y)dy = 0 .

Solución:Esta ecuación es homogénea. En este caso conviene

hacer la sustitución x = vy . Entonces:



dx =• vdy + ydv

Sustituyendo en la ecuación original tenemos:

3y(vdy + ydv) + (vy + 2y)dy - 0

(4v+2) dy + 3ydv = 0

51 + 3dv51 +

y 2 Í2v + 1_ A

9 í dy. í dv _

2 ln y + 3 j| ln(2v+l)| = c

ln y2 + | ln(2v+l) = c

ln y2 + | l n ( — + 1) = c

ln ¡ y Mf + l)3/2{ -c

^ + 1 ) 3 / 2 = ci (cj = eC)

dj; JT

dx

Solución: Hacemos la sustitución y = ux . Entonces

= u + x ~ . Sustituimos en la ecuación original

du _ x2+x(ux)+(ux)2

u + x dx xz

Integrando tenemos:



are tan u =- ln x + c

u = tan (ln x + c)

.*. y = ux = x tan (ln,x\ + c)

8. (3y-7x+7)dx - (3x-7y-3)dy = O

Solución: Tenemos

£ = 3y-7x+7dx 3x-7y-3 . . . . 1

Esta ecuación se puede reducir a una ecuación diferencial

homogénea mediante las sustituciones:

x = Xi + h

y = yi + h ,

Se tiene que: -3-*-1 = -5 - y sustituyendo en 1 tenemos

dxi " 3xi-7yi + T3h-11í-3) m # - "

Escogemos h#k de tal forma que la ecuación (2) sea homo

genea:

f 3k-7h+7 = 0

. 3h-7k-3 = 0

Resolviendo el sistema tenemos h = 1 , k - 0 , por lo que

x = xi + 1 , y = yi



143.

Sustituimos en 2

_ -7xx+3yi3xi-7yi

Sea yi = uxi . Entonces

du _ -7xi+3uxi _ -7+3uU X l dx! 3xi-7uxj ~ 3-7u

du _ 7u2-7Xl dx, 3 7u"

£2± du = í dXl

y ln¡(u+1) 5(u-1) 2| = ln Xi +

Sustituimos u = %r- Y aplicamos exponencialX 1

Finalmente, como x¡ = x - 1 # y¡ = y

5/7 , 2/7' t X - l -> '

Lineales de ler. orden

9. x 5x + (x+1)y = *3 Sol: Dividimos la ecuación por x

dx x *

La ecuación 1 es lineal de leré orderi,



144.

El factor de integración es:

dx , nx x + ln x x

e7 = e = xe

Multiplicamos 1 por xe

x dy , x . , . > 3 xxe - - + e (x+1) y = x e

Dx(xe y) = x3e Integrando tenemos:

xeXy = I x3exdx = eX(x3~3x2+6x-6) + c

.*. y = — e + x2-3x+6 - —1 x x

10. (x2+l) -^- + 4xy = x con la condición inicial

y = 1 si x = 2 .

Solución: Dividimos la ecuación por x2+l y obtenemos:

y = ^ T T . . . 1 (lineal 1? orden)

El factor de integración es :

J ^ + T dx 2 In(x2+1) In|(x2 + l ) 2 | . ,, _ 2eJ = e = e ' = (x +1)

Multiplicamos 1 por (x2+l)2

(x2+l) 4xy = (x2+l) x

Dx|(x¿+l)2y| = (xz+l) x . Integrando tenemos

jQ.X



145.

(x2+l)2y = ¡ (x3+x)dx = j

c 1 rxr x2^

solución general de la ecuación. Para obtener la solución

particular que cumple las condiciones iniciales y * 1 ,

x = 2 , sustituimos estos valores en la solución general:

fül\ lil2 <> 4 2

c = 19

Luego la solución particular es:

19 1 x1* x2^y = (x2+l) 2 + Tv2TiT2 1J + T i

11. xy1 + y = 4x3

Solución: Como ^— (xy) = xy1 + y , tenemos

^— (xy) = 4x3 . Integrando

= J 4x3xy = 4x3dx = x"+c

(Bernoulli) y Otras:



146.

12. y1 + y - y2ex

Solución: La ecuación es una ecuación diferencial de Ber-

noulli. Para resolverla, dividimos la ecuación por y2:

. • . y 2 y ' + y 1 = e X

— dz — "Sea z = y l . Entonces: -=— = - y 2 yf

Sustituimos en 1

dz , x-=r— 4- z = edx

dz x n

- z = - e . . . . 2 que es una ecuación

diferencial lineal de ler. orden.

i "** r~] yEl factor de integración es: eJ = e

""Xmultiplicando 2 por e tenemos:

-x dz -x -e -5— ~ e z = - 1dx

Dx|e z| = - 1 . Integrando tenemos:

e z = - x + c

x xz = - xe + ce

Finalmente como z = y L , tenemos:



147.

xx-xe + ce

13. 2(u2 + uv)du + (u2 + v2)dv = O

Solución: Reagrupamos los términos de la siguiente forma:

2u2du + v2dv + (2uvdu + u2dv) = 0

Por inspección reconocemos que : 2uvdu + u2dv es la

diferencial de u2v y que los términos restantes son in-

tegrables. Por lo tanto, integrando la ecuación diferen-

cial; se obtiene que:

2 v3

j u3 + rr + u2v = c , o bien ,

2u3 + v3 + 3u2v = c ?

14. (x2-y)dx - xdy = 0

Solución: Reagrupando términos tenemos:

x2dx - ydx - xdy = 0

.'. x2dx - (ydx + xdy) = 0

Integramos directamente, considerando que ydx + xdy es

la diferencial de yx :

x3

- xy = c

x2 . cY = 3 t



148.

Ejercicios Propuestos

Resolver:

1. (l+x3)dy - x2ydx = 0 con las condiciones iniciales

x = 1 , y = 2 .

(Sol. y3 = 4(l+x3)).

2.a) §- + 25 = st2 (Sol. s(t) = ce ^ - 2t)dt 3

b) con las condiciones s(0) = 1 (c = 1) .

:L3. xdy + (2y-3)dx = 0 (Sol. |3-2y| 2 = ex).

4. |Z = eX~ y (Sol. y = ln(eX+c) ).

5. (3x+l)dx + eX+Ydy = 0 (Sol. x+y = ln | 3x+4+ceX | )

r 1 dx x /n i ln x N6. ln x -T— = — (Sol. y = c x ).

7. (cos2e-sen28)dr + 2r sen9cos6d6 = 0

(Sol. r2 = c eos 20 )

8. ydx - xdy = y2dx + dy con las condiciones x=l , y=l .1/2

(Sol. ye = (x+1) (1-y2) ) .

9. x2(y2+l)dx + y/x3+l dy = 0

(Sol. 4/x^ + l + 3 In(y2 + 1) = c ).

10. xy1 + y = (xy) 3 (Sol. (xy)"2 - c-2x) .

1 1 . xy 1 - y = Sx¿ + y2 ( S o l . y + ¿ixX+^z = ex 2 )



149.

.„ dx x-tx2 ,_ , tx12' dt = tTxt2 ( S o 1' x e = c t ) '

13. cot x - r ^ + y + 3 = 0 (Sol. y = c eos x - 3)

t14. eX (^ + 1] = 1 ; x(0) = 0

u u 1—e

15. ^ = X ^ (Sol. x2-2xy - y¿ = c)dx x+y ii'

16. x -r*- - 2y = x2 + x con y = 1 si x = 1dx

(Sol. y = x2(2+ln|x|)-x)

17. p~ + 2y = e~X (Sol. y = (eX + c) e"2x )

^ + -rír = x3 condx x2+l

1 o 17 "1/2(Sol. y = i x2(x2+l) - — (x2+l)2 + =4 (x:

19. j^ - (tanx)y = sen x con y = 1 si x = 4

(Soi. y = (5§n!i + eos 4 - SgnÜ) s e c x .t

2 0 . a) - ^ = 30 - 2lJo ( S o l . y •= 2 0 0 ( 3 0 - c e

b) Con las condiciones iniciales y = 0 , t = 0

(y = 6000 (1 - e-t/20°)

21. y1 + sen X Y = sen — ^ (Sol. ln|tan ^| = c - 2 sen —

2+y222. (a2+y2)dx + 2x/ax-x2 dy = 0

(Sol. y = a tan/ - - 1).

23. (x2y3+y+x-2)dx + (x3y2+x)dy = 0 sea , t = xy

(Sol. 3x2-12x + 2x3y3+ 6xy = c)



150

24. (y-^x^dy = - xy dx (Sol. x¿ = y" + cy6)

25. (2x-4y)dx + (x+y-3)dy = 0 (Sol. (y-2x+3) 3 = c(y-x+l)2)

26. y '+y eos x = sen x eos x : y(0) = 1

(Sol. y = 2 e " s e n x+ sen x-1)

1 n-1

27. I <})(ax)da = n <j»-(x) (Sol. 4> (x) = ex n )

0

28. y1 - ^ - = eX ( l+x) n (Sol . y = (x+l)n (c+ex)



151.

Aplicaciones

1. Sea k una constante positiva. Hallar la curva con la pro

piedad de que para todo punto P de la curva, la distancia

de P al punto donde la recta tangente en P intersecta al

eje y en igual a k .

Solución:

Sea y=f(x) la curva buscada. Si P = (xo,yo) es un pun-

to de la curva, entonces la ecuación de la recta tangente -

que pasa por P es :

Y " Yo = yo (x-x0) , donde yj = f'(x0)

La ordenada al origen es :

(0 , - x0 yo + yu) / así que la distancia de P a

la ordenada al origen es :

k = /x§ + (y

de donde: k2 = x] + x*(yj)2

Como (xo,yo) es un punto arbitrario sobre la curva, teñe

mos la ecuación diferencial:

k2 = x2 + x2(y1) 2

/k2-x2

y1 = +_ integrando :

( ( . X+ dy = dx

J x



152.

-k m

2. Un paracaidista cae con una velocidad de 176 pies/seg2 cuan

do abre su paracaidas. Si la resistencia del aire es de --

~yr Ib. , donde w es el peso del hombre y su paracaidas,¿DO

obtener la velocidad en función del tiempo después de abrir

el paracaidas.

Solución:

La fuerza neta del sistema es igual al peso del sistema me-

nos la resistencia del aire, es decir:

w dv _ wv2

g dt " w "" 256

256-v

v'¿'M-2 56 = "" T" "

2 = 156' d t ' c o m o 9 = 32 pies/seg2 tenemos;

= Sabemos que si t = 0 , v = 176

tds 1

s2-256 ~ 8176 '0

de

1 ,32 ln

s-16s+16

-, 6+5e. . v = 16

176 8 'o

-4t

3. Se lanza un cohete desde una posición inicial (xo,yo) .

Con una velocidad inicial v y un ángulo 6(0<6< '/2) .



15 3.

Encuentre las coordenadas horizontales y verticales x(t),

y(t) respectivamente como funciones del tiempo.

Suponga que no hay resistencia del aire y que la fuerza

de gravedad es constante.

Solución:

d2y _ _dt* g y(t) Á

x(t)

Si t = O , v = v0 sen 9= -r~ • Sustituyendo tenemos:

c = v0 sen 0

•# _X = - gt + vo sen 0 . Integrando nuevamente:

y(t) = ~ k gt2 + (v0 sen 9)t + d

Si t = 0 , y(0) = ci , es decir, su posición inicial y0 ,

entonces:

y(t) = " § gt2 + (v0 sen 9)t + y0

Ahora, g^- = 0

^~ = k y para t = 0 , v = v O x = v0 eos 9

—- = v0 eos 9 . Integrando una vez más:

x(t) = (v0 eos 0)t + c1

Si t = 0 , x(0) = c1 es decir, su posición inicial Xj



154.

.'. x(t) = (vQ eos 9) t + x0

4. Un lago que contiene un millón de m3 de agua está alimenta

do por corrientes, agua de lluvia y agua pura a razón de -

3500 m3 por día. Además, diariamente llega agua de desecho

de una planta industrial recien construida a razón de 1500

m3 . El agua de desecho representa el 2% de materias noci-

vas. Cuando el nivel del material nocivo en el lago alcan-

ce 0.5% se producirá un serio desequilibrio ecológico*

¿Está amenazado el lago en un futuro cercano?

Solución:

Primero observamos que diariamente entran al lago 50 00 m3

de agua y salen otros tantos, pues la cantidad total del

agua es cte.

También, diariamente, entran en el lago (2% de 1500 m3) =

30 m3 de materias nocivas.

Sea f(t) = cantidad de material nocivo en el lago en el

tiempo t (medido en días).

Si suponemos que el agua que entra en el lago se mezcla

con el agua existente, tenemos que diario salen del lago:

f (t) = Úo f (t) V de «"ferial nocivo.

Tenemos así la ecuación diferencial:

~~"dt— = 30 - 2*()o" f ^ c o n l a c o n d i c i ° n inicial f (0) = 0



155.

De acuerdo con el ejercicio 20 b) propuesto de la sección

anterior tenemos que la solución de esta ecuación es:

t

y = f(t) = 6000 (1 - e~ 2 0 0)

Ahora bien# se producirá un desequilibrio ecológico cuando

sea f(t) >_ (0-5% de 1000 000 m3) = 5000 m3, es decir, —

cuando:

6000 (1 - e~ 2 0 0) ^ 5000

t„ ^ - 200 ^ 1

— O

< = >

< = > t ^ 360

.*. El lago se habrá contaminado en un año aproximadamente

si no se toman las debidas precuaciones.


1. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una al-

tura inicial de 6 m. La velocidad es v = 7 - 9.8t (m/s)

¿Después de cuantos segundos llegará la pelota a tierra?

Solución: t = 2 seg. aproximadamente .

2. Un automóvil frena con aceleración constante hasta un alto.

Si el tiempo de frenado es 20 sgs. durante los que el auto-



156 .

móvil recorre 200 m, hallar la aceleración.

Solución: A = - 1 m/seg2 .

3. Se sabe que la rapidez con la cual se forma una sustancia

química en una reacción se gobierna por la ecuación

|| = (a-x) (b-x) ,

donde x es la cantidad (masa) de la substancia que hay

en el momento t y a,b son las cantidades de algunas -

otras substancias que hay en la reacción cuando t = 0 ,

donde 0 < b < a . Cuando t = 0 , x = j (a+b).

Encuentre x como función de t .

(a-b)tsoluci6n: x = i ^ ^ r r4. La tasa de crecimiento de una población queda descrita

por la ecuación:

§| = kx + be"1

Aquí, el término be representa el efecto de la inmigra

ción, que disminuye cuando crece el tiempo t , en años,

y kx , donde k es constante positiva, describe el efec

to del crecimiento natural de las familias. Podemos consi^

derar el número x como estimación del tamaño de la pobla

ción.

a) Si b = 0 , k = 0.03 , ¿cuántos años han de transcurrir

para que la población se duplique?

Solución: 2 3 años 1 mes 7 días 18 hrs. 2 3 minutos.



15 7.

b) Si k = 0.03, b = 10,000 , x = 500 000 cuando t = 0 ,

encuentre x cuando t = 10 años.

Solución: x(10) * 688 034.39

5. La planta del ejemplo 4 instala un equipo de purificación

que reduce la cantidad de material nocivo en el agua de -

desecho hasta 1.5% . La compañía informa entonces que el

lago ya no se encuentra amenazado con 0.5% de contamina—

ción. Demuestre que la información de la compañía está -

justificada.

Solución: Leer cuidadosamente el ejemplo 4 .

6. Se ha establecido que la velocidad de la desintegración del

radio es directamente proporcional a su masa en cada instan

te dado. Encuentre la variación de la masa del radio en -

función del tiempo, si para t = 0 la masa del radio es

nio .

„ T dm , . -ktSolución: -TT- = - km . . m = moedt

7. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas

sus normales pasan por un punto fijo, es una circunferencia,

8. Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tan

gente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del

punto de contacto, es una parábola.

9. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en

cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la

recta que une este punto con el origen de coordenadas.

Solución: y = ex



158.

10. Hallar la curva que tiene la propiedad de que en el segmento

de la tangente a la curva comprendido entre los ejes de coor

denadas se divide por la mitad en el punto de contacto.

Solución: c = xy ; c ^ 0 .

11. Hallar la curva para la cual la razón de segmento intercepta

do por la tangente en el eje 0Y al radio vector es una can

tidad constante.

1 1 — Ir 1 1c4~ 1

Solución: Y = ± - ( c x ± K - - xK+1)2 c

12. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm de espesor

con la velocidad v0 = 200 m/s traspasándola con la veloci-

dad vi = 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla

al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la

velocidad, hallar el tiempo de movimiento de la bala por la

tabla.

Vo

13. Un barco retrasa su movimiento por la acción del barco. La

velocidad inicial del barco es 10 m/s, después de 5s su

velocidad será 8 m/s.

¿Después de cuánto tiempo la velocidad se hará 1 m/s?.

51nlQSolución: t = - ln0.8

14. Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el

tiempo t , si su velocidad es proporcional al trayecto, sa



159.

hiendo que en 10 seg. el cuerpo recorre 100 m y en 15 seg.,

200 m.

Solución: s = 25 x 2

t,5

15. Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del es

pejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejar-

se, son paralelos a una dirección dada:

Solución: y2 = 2cx + c2 , una parábola.

16. Hallar en coordenadas polares la ecuación de una curva tal

que, en cada uno de sus puntos, la tangente del ángulo for

mado por el radio vector y la tangente a la curva sea igual

a la magnitud inversa del radio vector, tomada con signo -

contrario.

Solución: r(6 + c) = 1 .



160.

VECTORES EN IR2 Y IR3

Ejemplo 1. Sean A,B y C tres puntos en el espacio y sea M

el punto medio del segmento de recta BC . Demuestre que :

AM = j (AB + AC)

Solución: Considérese la siguiente figura

observemos que CB = ÁB - ÁC y además que ÁB - AC + (AB - AC)

Como M es el punto medio del segmento CB

CM = | CB = ¿ (AB - ÁC)

y ÁM = ÁC + CM = ÁC + | CB = ÁC + | (ÁB - ÁC) =

= AC + ^ AB - y AC = y AC + y AB

ÁC + AB

2 ; •-> AC "f* Afí

Por lo t a n t o AM = ——x

Ejemplo 2. Encontrar un vector v ortogonal al vector c = (-l#0/l)

Solución: Existe una infinidad de vectores que son ortogonales

a C , procederemos a encontrar solamente uno de ellos el vector

v tiene que ser de la forma v = (Vi,v2,v3).



161.

Por definición, V será ortogonal a C si y sólo si O V = 0

Por lo que:

C-V = (-1,0,1) (Vi,V2,V3) = 0

- Vi + 0V2 + V3 = 0

V3 = Vi

Sea Vi = 1 entonces V3 = 1 y a V2

le podemos asignar cualquier valor, por ejemplo, 1 de modo que

V = (1,1,1) es un vector ortogonal al vector C .

Ejemplo 3. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los s.i

guientes tres puntos.

(2,1,1),(3,-1,1),(4,1,-1)

Solución: Sean Pi = (2,1,3), P2 = (3,-1,1), P3 = (4,1,-1).

buscaremos un vector n que sea perpendicular a P1P2 y P1P3.

P2-P1 = (3,-l,l)-(2,l,3) = (1,-2,-2) = PTP2

P3-PI = (4,l,-l)t(2,l,3) = (2,0,-4) = PTP 3

Sea n = (n

Se debe tener entonces que

(nx,n2,n3)•(1,-2,-2) = 0

(nifn2/n3)•(2,0,-4) = 0

<=>



16 2

ni - 2n 2 - 2n3 = O

2rii - 4n 3 = O

Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene que

m = 2n3 y n = -j (n¡ - 2:n3)

Hagamos n;i =• 1 . Entonces n i = 2 y n2 = 0 . Luego:

n = (2,0,1)

y la ecuación del plano es :

(x - Pi) • n = 0

(x-2,y-l,z-3) • (2,0,1) - 0

2x + z = 7

Ejemplo 4. Encontrar un vector que sea perpendicular a

(1,2,-3) y a (2,-1,3).

Solución:

Sea (x,y,z) un vector que es perpendicular a (1,2,-3) y

(2,-1, 3) . Entonces:

(x,y,z) • (1,2,-3) = 0 <=> x+2y - 3z = ü (*)

y (x,y,z) • (2,-1, 3) = 0 <=> 2x-y + 3z = 0

sumando miembro a miembro ambas ecuaciones resulta:

3x 4- y = 0

3x = - vDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


16 3.

sea y = 3 = > x = - 1

. *. sustituyendo en (*)

- l + 6 - 3 z = 0

3z = 5 y z = |

luego para este caso el vector buscado es (-1, 3, ^) •

Cabe hacer notar que existe una infinidad de estos vectores

aquí solo escogimos uno de ellos.

Ejemplo 5. Sea P el punto (1,-1,3,1) y Q el punto

(1,1,-1,2)• Sea A el vector (1,-3,2,1)y L la recta que

pasa por P y que es paralela al vector A .

a) Dado un punto X sobre la recta L , calcular la distan

cia entre Q & X . (Como una función f de un parámetro

t ) .

b) Demostrar que hay precisamente un punto Xo sobre la rec

ta, tal que esta distancia alcanza un mínimo y que este -

mínimo es igual a

/T5"c) Demostrar que Xo - Q es perpendicular a la recta L .

Solución:

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,3,1)

y que es paralela al vector A = (1,-3,2,1) está dada por

X(t) = (1,-1,3,1) + t (1,-3,2,1) : teTR

= (t+1, -l-3t, 2t+3, t+1)



164.

La distancia de un punto cualquiera sobre la recta al punto

0(1,1,-1,2) está dada por

f(t) = d(x(t),Q) = /(t+1-1) 2 + (-l-3t-l) 2 + (3+2t+l)2 + (l+t-2)*

= /t2+(-2-3t)2 + (4+2t)2 +

= /15t2 + 26t + 21

Luego: f(t) = /15t2 + 26t + 21 es la función que da la distan

cia de cualquier punto sobre la recta al punto Q .

30t + 26b) f'(t) =

2/15t2 + 26t + 21

f • (t*) = O <==> 30t* + 26 = O

t* = - ür 15

Ejercicio: pruebe que f"(t*) > 0

Por lo tanto, cuando t = t* la función-distancia asume un va-

lor mínimo igual a :

El punto XQ sobre la recta tal que la distancia al punto Q

es mínima :

x - r - M + i - i + Ü - 2 6 _ + 3 . M + ii0 ~ *• TF 15 ' 15 ' 15 '

f 2 8 19 _2_ ,X° " v 15- ' 5 ' T5 ' 15 J



165.

c) X - O - í- ±2- I 11 _ 28 ,C) A ° g " í 15 ' 5 ' 15 ' 15 -'

(Xo - Q) - X ( t ) = [ - ± | f - , g r - J | J . ( t + l # - 3 t - l , 2 t + 3 ,

= 0 V teffi

Ejemplo 6. La dirección y magnitud de una fuerza están dadas por

el vector a = - i + 5j - 3k . Calcular el trabajo efectuado si

el punto de aplicación se mueve de P(4,0,-7) a Q(2,4,0) .

Solución:

El vector correspondiente a PQ = (-2,4,7) y

el vector correspondiente a a = (-1,5,-3)

El trabajo efectuado será

a«P~Q = 2 + 20 - 21 = 1

Ejemplo 7. Encuentre C tal que los vectores ii = 3i - j + ck

y b = 2ci + 3j + 4k sean ortogonales

Solución:

Si los vectores son ortogonales, entonces:

a»É> = 0 , es decir

(3r-l,c)•(2c,3,4) = 0

6c - 3 + 4c = 0

10c - 3 = 0

c - 3/10



166 .

Ejemplo 8. Encontrar los cosenos directores de PQ donde

P(7,-2,4) y 0(3,2,-1)

Solución:

Sea a el vector asociado a PQ , entonces a = (-4,4,-5)

Los cosenos directores de a están definidos como

eos a = — — , eos 6 = -~2 f eos y = — ~

donde | |a| | = /16+16+25 + /§7 y a = (a

por lo tanto:

-4 4 -5

eos a = y -y , eos 3 = f?rj , eos y =


1. Encuentre un vector que tenga la misma dirección que

(-6,3,0) y (a) el doble de su magnitud; (b) la mitad

de su magnitud.

Solución:

a) (-12,6,0) ; b) (-3, | , 0)

2. Demuestre que I P.P. - + P P2 es el vector cero, dondei=l x 1 + x n

P1,P2,...,P son puntos coordenados arbitrarios en un pía

no coordenado. Ilustrar este hecho para n = 3,4,5,6 .



16 7.

3. Demuestre gráficamente que | |a+b| | <_ | |a| | +

4.

a)

¿Bajo que condiciones ||a+b| b

Dados los vectores a = (-8,-3,2) ; b = (5,-3,1)

para cada uno un valor unitario tal que :

a) tenga la misma dirección

b) tenga la dirección opuesta

Solución:

' /7T ' /Ti /35" # 35"

determine

b) V7T ' ST7 /35" ' /35 ' 35

5. Sea Vi,V2,V3 e IR3 vectores diferentes al cero que son

mutuamente perpendiculares; en otras palabras, V.#V. = 0

si i T¿ j . Sean c1#c2 /C3 números reales tales que

Vi + c2V2 + c3V3 = 0

Demuestre que Ci = c2 = C3 = 0

Sugerencia: use adecuadamente las propiedades del produc_

to escalar.

6. Sea v,w e IR3 y 6 el ángulo formado por ellos.

Si eos 9 = 1-, demostrar que v & w tienen el mismo sen-

tido. Si eos 0= - 1, demostrar que v & w tienen senti_

do opuesto.



16 3 .

Ayuda: Si c es la componente de v a lo largo de w ,

demostrar que ¡ |v-cw|J2 = 0 , donde w = ¡

7. Para cualesquiera vectores v,w e IR3 , probar las siguien

tes relaciones.

v + w | I2 + I Iv-w| I2 = 2 I |v| I2 + 2 i |w| |2

(interprétese como la ley del paralelogramo).

b) ||v+w||¿ = ¡|v||2 + ||w||2 + 2 v w

c) ||v+w||z - I I v—w| I = 4 v w

8. Determinar el coseno de los ángulos del triángulo cuyos

vértices son:

a) (2,-1,1),(1,-3,-5),(3,-4,-4)

35 -6Solución: ^j^ , ,JT^ , 0

b) (3,1,1), (-1/2,1) , (2,-2,5)

1 -16 25Solución: •17-26 ' /17-41 ' /26*41

9. Sean u,v#w e IR3 distintos del cero. Si u»v = u*w ,

entonces demostrar mediante un ejemplo que no necesariamen_

te se tiene que v=w .



169

10. Demostrar que si 0 es el ángulo formado por v y w ,

entonces

I I v-w¡ V w - 2 | I v í W ! C O S '•» .

11. Sean v,w vectores diferentes al vector cero, mutuamente

perpendiculares. Demostrar que para cualquier número c ,

s e t i e n e 1 I v + c w I I > v i l .

12. Sean v,w c IR:

póngase que

vectores diferentes al vector cero. Su-

v+cw > I|v|I para todo número c .

Demostrar que v,w son perpendiculares entre si.

(Sugerencia: tómese c con valor muy grande, ya sea

tivo o negativo).

13. Sean Vi,V2/V3 vectores de longitud igual a 1 en el espa

ció de tres dimensiones, mutuamente perpendiculares; esto

es v.-v. = 0 si i T¿ j . Sea v un vector IR3

y sea c. la componente de v a lo largo de V. . Sean

Xi,x2,x3 números.

Demostrar que :

v - c2V2 + c3V3 V - iVj + X 2 V 2 + X3V3)

14. Encontrar una ecuación paramétrica de la recta que pasa por:

a) (1,1,-1) y (-2,1,3) Solución: X(t) = (1,1,-1) + t(3,0,-4)

b) (-1,5,2) y (3,-4,1) Solución: X(t) = (-1,5,2) + t(-4,9,l)



170.

15. Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al vec

tor N y que pasa por el punto P dado.

a) N = (1,-1,3), P = (4,2,-1) Sol: x-y + 3z = - 1

b) N = (-3,-2,4), P = (2,TT,-5) Sol: 3x + 2y - 4z =-2JT + 26

c) N = (-1,0,5), P = (2,3,7) Sol: x - 5z = - 33

16. Encontrar la ecuación del plano que pasa por

a) (-2,3,-1),(2,2,3),(-4,-1,1) Sol: 7x - 8y - 9z = - 29

b) (-5,-1,2),(1,2,-1),(3,-1,2) Sol: y + z = 1

17. Sea P el punto (1,2,3,4) y Q el punto (4,3,2,1) .

Sea V el vector (1,1,1,1) . Sea L la recta que pasa

por P y que es paralela al vector V .

a) Dado un punto X sobre la recta L , calcular la distancia

entre Q y X (como una función de un parámetro t ) .

b) Demostrar que hay precisamente un punto Xo sobre la recta,

tal que esta distancia alcanza un mínimo y que este mínimo

es igual a 2/5* .

c) Demostrar que Xo-Q es perpendicular a la recta.

Solución: a) f(t) = /4t* + 20

18. Encontrar un vector que sea paralelo a la recta formada por

la intersección de los planos.



171.

2x - y 4- z = 1

3x + y + z = 2

Solución: (-2,1,5) .

19. Encontrar el coseno del ángulo formado por los siguientes

planos.

a) x + 2y - z = 1

- x + 3 y + z = 2

4Solución:

•66

b) 2x + y + z = • 3

x - y + z = TÍ

Solución: - •=-

20. Sean P,Q puntos y n un vector, todos en IR3 . Sea P1

el punto de intersección de la recta que pasa por P , en

la dirección de n , y del plano que pasa por Q perpen

dicular a n . Definimos la distancia de P a ese plano

como la distancia que hay entre P y P1 . Demuestre que

la distancia esta dada por

I ( Q - P ) - n i

In



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