1

Tema 4. ESTÁTICAFísica, J.W. Kane, M. M. Sternheim, Reverté, 1989

Tema 4 Estática Caps. 4 y 8Estática Cap. 4, pp 70-88Propiedades elásticas Cap. 8, pp 183-195

TS 4.8 Las mandíbulas de los animales Cap.4, pp 89-90

Problema clásico de la masa colgante: http://www.youtube.com/watch?v=dxM9lsbUbpw

2

X

Y

Z

CENTRO DE MASAS

n

nnCM mmm

rmrmrmr

...

...

21

2211

n

i

n

ii

m

rm

1

1

n

ii rmM 1

1

1r

2r

nr

1m

2m

nm

CMr

Sistema de partículas

El sistema de partículas responde ante la acción de fuerzas exterioresdel mismo modo que respondería si la resultante de todas ellas seaplicase en el centro de masas.La ecuación vectorial anterior contiene tres ecuaciones escalares,una por cada coordenada

n

nnCM mmm

xmxmxmx

...

...

21

2211

n

i

n

ii

m

xm

1

1

n

ii xmM 1

1

M es la masa total

Sólido rígidoSistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas son invariables. Es decir, se trata de un sólido indeformable.

X

Y

Z

dm

dmrrCM

dmr

M 1

Nosotros no acometeremos cálculoscomplicados, nos basaremos sobretodo en propiedades de simetría.r

dmPosición del CM

en un sólido rígido

3

CENTRO DE MASAS

Ejemplo.El polo inferior de la esfera mostradaen el esquema está en contacto con elcentro de la base superior delcilindro. Determinar la posición delCM del conjunto, sabiendo que elcilindro y la esfera tienen el mismodiámetro, que la altura del cilindro esdos veces su diámetro y que ladensidad del material que forma laesfera es la mitad de la del materialdel cilindro.

Resolución1. Elegimos arbitrariamente un origen de coordenadas en elpunto de contacto de ambos sólidos.

X

Y

Z

Por razón de la simetría del problema, esta elección implicaque el CM va a estar sobre el eje Z.

2. Tanto la esfera E como el cilindro C son figuras consimetría, y sus centros de masas respectivos están situados enlos respectivos centros de las figuras, cuyas coordenadas son

RE ,0,0 RC 2,0,0 R es el radio de la esfera

3. Calculamos las masas. Sea la densidad de la esfera.

34 3RM E 82 4 32 RRRM C

4. Ahora representamos la esfera y el cilindro por dos masaspuntuales ocupando la posición de su CM respectivo.

X

Y

Z

RC 2,0,0

RE ,0,0 EM

CM

8 3/4

8 2 3/433

33

RRRRRRzCM

8 3/4163/4

RzCM R711

RE ,0,0

RC 2,0,0

Discusión: ¿cuál sería elresultado de haber elegidootro origen de coordenadas?

4

F

Okzjyixr

FrO

sin FrOO

O

MOMENTO DE UNA FUERZA

kFjFiFF zyx

zyx FFFzyxkji

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Dirección: perpendicular al plano determinado por yr F

Sentido: el indicado por la regla de la mano derecha

Módulo:

Punto de aplicación: el punto O

El momento respecto a unpunto está asociado con unarotación en el sentido indicadopor la regla de la manoderecha.

Puesto que un sólido rígido puedegirar además de trasladarse, parasu equilibrio de rotación espreciso que sobre él no actúeningún momento neto.

Brazo de la fuerza

Terminología alternativa: Momento de una fuerza Torque

r

F

O

O

5

MOMENTO DE UNA FUERZA

r

F

O

Línea de acción de la fuerza

O

Momento de una fuerza con respecto a un puntoVista desde arriba (vector normal y saliente)O

Ejemplo

Nótese que sin FrO Fd pues sin rd

Brazo de la fuerza

El momento respecto a O es igual al producto del brazo por la componente de la fuerza perpendicular a dicho brazo . sinF

(a) (b) (c)

Ejemplo 2. ¿En qué caso se ejerce mayor fuerza? ¿En qué caso se ejerce mayor momento?

6

CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO DE UN CUERPO RÍGIDO

Equilibrio de traslación: Suma de fuerzas externas igual a ceroEquilibrio de rotación: Suma de momentos de las fuerzas externas igual a cero

0F

0

Ejemplo. Barra homogénea horizontal sostenida por un pivote y un cable.Longitud de la barra L = 75 cm. Peso W = 650 N.

A W

Tº12

cm 15

Calcular la tensión y la reacción en el pivote A.

AW

Tº12

cm 15N M

0º12sin15.02

LTLWA

N 1954º12sin60.02

75.0650

T

Tomamos momentos respecto al punto A

Diagrama de sólido libre de la barra

X

Y

012cosTMFX

012sinTWNFY

N 191112cos TM

N 24412sin TWN

La resultante de estas fuerzas es

N 192722 NM

N

M

7

PALANCAS

Las palancas son máquinas simples que constan de un fulcro o punto de apoyo f, una fuerzaaplicada F y una fuerza resistente o resistencia R. El propósito de las palancas es equilibrar laresistencia R con la fuerza F mediante la elección apropiada del fulcro, aprovechando el hechode que los momentos respecto al fulcro de ambas fuerzas sean iguales.Se denomina ventaja mecánica (VM) de la palanca al cociente R/F.

RF xRxF

R

F

xx

FRVM

f

R

F

f

RF

f

F

R

1er género 2º género 3er género

Fx Rx FxRx

Fx Rx

RF xRxF

R

F

xx

FRVM

VM puede ser mayor o menor que la unidad

VM siempre es mayor que la unidad

RF xRxF

R

F

xx

FRVM

VM siempre es menor que la unidad

Clases de palancas

8

PALANCAS EN EL CUERPO HUMANO

Adaptado de http://www.periodictable.com/Properties/A/YoungModulus.html

f

R

F

f

RF

f

F

R

f

f

FR F

R f

F

R

1er género2º género 3er género

9

A

T

º12

W

cm 15

Un hombre de 102 kg cuya columna vertebral mide 75 cm desde las cervicales hasta el final dela zona lumbar se inclina manteniendo la espalda recta. En esta postura el tronco pivotaalrededor del sacro. Si suponemos que los diversos músculos de la espalda que actúan paramantenerla recta equivalen a un único músculo unido a la columna 15 cm por debajo de lascervicales y de manera que la tensión que ejerce forma 12º con la horizontal, calcular la tensiónde ese hipotético músculo y cuál es la fuerza que se aplica sobre el sacro. Puede suponerse queel peso del tronco, la cabeza y los brazos es un 65% del peso del hombre y que el CM estásituado en el centro de la columna vertebral.

PALANCAS EN EL CUERPO HUMANO. EJEMPLO.

Sacro

cm 75

El peso del tronco, cabeza y brazos del hombre es N 65065.08.9102 WObserve que el diagrama de fuerzas y las dimensiones son las mismas que en el ejemplo anterior.

AW

Tº12

cm 15N M

El sacro es el pivote A del caso de la barra

N 1954º12sin60.02

75.0650

T

N 191112cos TM

N 24412sin TWN

Haciendo el mismo planteamiento de antes, la solución es

La resultante de estas fuerzas es

N 192722 NM

NM

Observación: véase que la fuerza sobre el sacro es casi dos veces el peso del hombre, debido a que el ángulo de la tensión con la horizontal es pequeño.

f R

F

10

La figura muestra el diagrama de fuerzas sobre la cadera izquierda de una persona de 70 kgpuesta en pie que apoya todo su peso sobre el pie izquierdo (ha encogido la pierna derecha demodo que el pie derecho no toca el suelo). Los músculos de la cadera izquierda debencontraerse para mantener la pelvis horizontal contrarrestando el peso del cuerpo.

AFW

º75

cm 41

cm 5

EJEMPLO 2. PROBLEMA 2 (1º parcial 2012-2013)

(a) ¿Qué género de palanca es el mostrado en la figura? Identifíquese el fulcro, la potencia y laresistencia.(b) Usando los valores de distancias y ángulos dados en la figura, calcular la fuerza FArealizada por los músculos de la cadera.

AFW

º75

cm 41

cm 5

075sin · 5 · º90sin · 14 · AFW

a) Palanca de primer género Fulcro

Res

iste

ncia

b) Cálculo de la fuerza:aplicamos la ecuación demomentos

N 1989.96590 · 5

.89 · 07 · 14

a

b

0sin · · º90sin · · bFaW A

sin · º90sin · ·

baWFA

11

AF

gF

mF040203 gAm FFF

Suma de momentos respecto al codo (C):

3408.93208.94.2

34020

gAm

FFF N 8.548

311764.470

C

0 gAmC FFFFSuma de fuerzas (eje vertical)8.94.28.94.28.548 gAmC FFFF

CF

N 88.49540.2952.238.548

El signo negativo del resultado quiere decir que el vector FC tiene en realidad sentido contrario al indicado en el esquema

Calcular la fuerza de reacción en el codo y la fuerza Fm que ha de ejercer elbíceps para contrarrestar el peso del antebrazo (cuya masa es 2.4 kg) y delobjeto que sostiene la mano (peso indicado con Fg, masa 3 kg). Puedesuponerse que el centro de masa del antebrazo está a 20 cm de la articulacióndel codo. Datos de distancias en la figura.

EJEMPLO 3. PROBLEMA 3 (junio 2013)

12

Fig. 4.57. Centro de gravedad del cuerpo(CG), articulaciones (círculos negros) yposición del CG. de las partes del cuerpo(círculos blancos) de un hombre típicoen posición erguida (K & S, p. 92)

Fig. 4.58. Centro de gravedad del cuerpo(CG), articulaciones (círculos negros) yposición del CG. de las partes del cuerpo(círculos blancos) de un hombre típico enposición inclinada (K & S, p. 92)

Datos biométricos promedio para el cuerpo de un hombre (Figuras 4.57 y 4.58). Masa m , altura h Fuente: K & S, p. 93

Posición del centro de gravedad Figura 4.57 (erguido) Figura 4.58 (inclinado)

Parte del cuerpo Masa (% m ) x (% h ) y (% h ) x (% h ) y (% h )Tronco y cabeza 59,3 10 70 26 52Brazos 5,3 14 75 35 45Antebrazos y manos 4,3 24 64 34 29Muslos 19,3 12 42 11 40Piernas y pies 11,8 10 19 17 18

Algunos datos biométricos del cuerpo humanoh %

80

60

40

20

100

h %20 40

60

40

20

h %

h %20 40

13

Causa deformadora (fuerza)

Def

orm

ació

n

Límite elástico

Esfuerzo máximo

Deformación residual

ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN

Comportamiento elástico: la deformación D es proporcional a la causa C que la produce

Cuando desaparece la causa C, se recupera la forma original

Deformación permanente

Los cuerpos sometidos a esfuerzos se deforman

Punto fractura

14

ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN. LEY DE HOOKE

Causa deformadora (fuerza)

Def

orm

ació

n

Límite elástico

Incr

emen

to d

e lo

ngitu

d

Fuerza aplicada

Aplicación a un sistema simple: el resorte

En ausencia de fuerza aplicada

0l

l

Aplicando fuerzaF

La deformación en este caso consiste en un alargamiento

0llx

x

kFx Ley de Hooke La deformación es proporcional a

la fuerza aplicada

Fuerza a aplicar para conseguir un

incremento unitario de la longitud

k: Constante elástica del

resorte

pendiente /1 kN/m (S.I.)

Aplicación directa: el dinamómetro

Válida mientras no sobrepasemos el límite elástico

F

x

xkF

pendiente k

Límite elástico

Forma alternativa

15

ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN. LEY DE HOOKE (2)

Formulación más general de la ley de Hooke. Tracción en materiales. Módulo de Young.

Causa deformadora (fuerza)

Def

orm

ació

n

Límite elástico

0l

S

0ll

l

F

Causa deformadora: fuerza aplicada por unidad de superficie

Deformación: Alargamiento relativo

SF

0

0

lll

SF

Elll 1

0

0Ley de Hooke

E: módulo de Young

Ala

rgam

ient

o re

lativ

o

Fuerza aplicada por unidad de superficie

El alargamiento relativo es proporcional a la fuerza aplicada

por unidad de superficieUnidades S.I. Nm-2

pendiente /1 E

Pendiente pequeña E grande

Mayor E Material más elástico

• Sólo depende del material (no de la forma, geometría)• Sólo tiene sentido por debajo del límite elástico• Es tanto mayor cuanto más elástico sea el material

Valores típicosMaterial E (´1010 N×m-2)Goma 0,0007

Cartílago 0,0024Tendón 0,06Hueso 2Vidrio 7Acero 20

E

16

ELASTICIDAD y DEFORMACIÓN. LEY DE HOOKE (3)

Formulación más general de la ley de Hooke. Tracción y compresión. Módulo de Young.

TRACCIÓN. Cambio de forma y de volumen

COMPRESIÓN. Cambio de forma y de volumen

Fuerza por unidad de superficie (tracción)

Ala

rgam

ient

o re

lativ

o

Límite elástico

Diferente comportamiento elástico entracción y en compresión. (La gráficarepresenta un material más elástico bajotracción que en compresión).

Aco

rtam

ient

o re

lativ

o

Fuerza por unidad de superficie (compresión)

Límite elástico

Más elástico

Menos elástico

Los materiales homogéneos (p. ej. el acero) tienen módulos de Young iguales en tracción y en compresión. Pero los materiales heterogéneos (p. ej. el hormigón o los huesos) tienen módulos de Young diferentes en tracción y en compresión.