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Tema 1: Conceptos generales del AnalisisNumerico

Calculo Numerico I

Anna Doubova y Blanca Climent Ezquerra

Dpto. EDAN, Universidad de Sevilla

11 de febrero de 2018

A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Analisis Numerico 1/37

Un problema real

'&

$%

ProblemaReal -Modelar

'&

$%

ModeloMatem.(ecs)

-Discretizar

'&

$%

EcsAproxim.

-Programar

'&

$%

CodigoOrdenador-

SolucionAproximada

¿Solucion?Estudiarppdes

solucion

Solucionaprox

y soluc.exacta

¿parecidas?

¿Lenguaje?


Calculo Numerico (Analisis Numerico)

Analisis NumericoRama de las Matematicas que estudia metodos constructivospara la resolucion de problemas

Resolucion analıtica o simbolica 6= Resolucion numerica



Un metodo no constructivo permite afirmar la existencia de la/ssolucion/es, sin proporcionar la forma de calcularla.

Ejemplo

Probar que ax2 + bx + c = 0, con a,b, c ∈ R y a 6= 0 tieneexactamente 2 soluciones reales cuando b2 − 4ac > 0.

1 Metodo no constructivo: usar el Teorema de Bolzano2 Metodo constructivo: manipular la ecuacion hasta obtener

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a



Encontrar soluciones a problemas complejos mediantemuchos pasos faciles

Resolucion enfocada al uso del ordenador

Necesidad de traducir las Matematicas a un lenguajecomprensible para la maquina(un ordenador es capaz de realizar “solo” determinadas accionessencillas: sumar, comparar, transferir datos,. . . , pero los problemas quenormalmente interesa resolver son mas complejos)

Metodo del Analisis Numerico: Algoritmos


Algoritmo

Un algoritmo es un metodo para resolver un problemamediante una secuencia de pasos bien definidos, ordenados yfinitos

Caracterısticas de un algoritmo

Preciso: estar compuesto de pasos bien definidos (no ambiguos) yordenados

Definido: si se sigue dos veces, se obtiene el mismo resultado cadavez

Finito: tener un numero finito de pasos


Metodos directos e iterativos

Los algoritmos pueden ser:

1 Directos: obtener la solucion exacta en un numero finitode pasos (por ejemplo la resolucion de la ecuacion de 2o

grado)2 Iterativos: obtener la solucion mediante aproximaciones

sucesivas empezando desde una estimacion inicial.


El problema de los errores


Representacion de numeros en el ordenador

El ordenador almacena solamente ceros y unos

BIT= BInary uniT es la unidad mınima de informacion: 0, 1

Agrupaciones de 4 bytes = 32 bits y 8 bytes = 64 bits:PALABRA

Los ordenadores almacenan la informacion en sistemabinario.


Representacion de numeros en el ordenador

Representacion decimal

N = 3459 = 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101 + 9 · 100

R = 0.325 = 3 · 10−1 + 2 · 10−2 + 5 · 10−3

Representacion binaria

N = 10111 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 23

R = 0.111 = 1 · 2−1 + 1 · 2−2 + 1 · 2−3 = 0.875

(consulta la Seccion 1.7 de http://departamento.us.es/edan/php/

asig/GRAFIS/GFIPC/Tema1FISPC.pdf)


http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRAFIS/GFIPC/Tema1FISPC.pdf

http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRAFIS/GFIPC/Tema1FISPC.pdf

Almacenamiento de numeros enteros

En palabras de 32 bits:

1 bit para el signo del numero (0 si es positivo, 1 si esnegativo)los 31 bits restantes son para almacenar los dıgitosbinarios del numero sin signo.

EjemploN = 77(10) = 1001101(2)


Almacenamiento de numeros reales

coma flotante (floating point): consiste en trasladar la coma (opunto) decimal hasta la posicion de la primera cifra significativa(la primera, comenzando por la izquierda, que no es nula) a lavez que se multiplica el numero por la potencia adecuada de labase de numeracion.

Ejemplo

17.02625 = 0.1702625 × 102 (sistema decimal)0.0000000234 = 0.234 × 10−7 (sistema decimal)101.11000101 = 0.10111000101 × 103 (sistema binario)



R = (±)0.m1m2m3 . . .mk · 2±e ,

m1m2m3 . . .mk se llama la mantisae es el exponente (el numero de lugares que hay quetrasladar la coma a derecha o izquierda para obtener elnumero inicial)m1 = 1

Ejemplo

R = 5.625(10) = 101.101(2) = 0.101101 · 23



R = (±)0.m1m2m3 . . .mk · 2±e

1 bit para el signo del numero (0 positivo, 1 negativo).23 bits para la mantisa (en realidad 24, pues m1 = 1...)8 bits para el exponente con su signo (se guardacodificado como un numero entero).



Teniendo en cuenta que una de las 8 posiciones para elexponente guarda el signo,

Mayor exponente positivo que se puede almacenar:27 − 1 = 127Menor exponente negativo: −27 = −128Numero de mayor magnitud: ≈ 2127 ≈ 1038

Numero de menor magnitud: ≈ 2−128 ≈ 10−38


Overflow y underflow

Cantidad finita de numeros (palabras de 32 bits)

Overflow: fenomeno que se produce cuando el resultadode un calculo es un numero real con exponentedemasiado grande ( > 127).Cuando se produce un overflow durante la ejecucion de unprograma, los ordenadores actuales generan un “evento”de error y como resultado devuelven el sımbolo Inf.Underflow: fenomeno que se produce cuando el resultadode un calculo es un numero real con exponentedemasiado pequeno ( < −127).Cuando se produce durante la ejecucion de un programa,normalmente se sustituye el numero por cero.


Errores de redondeo

Errores de redondeo: debidos a un desarrollo decimal infinito.

Existen numeros en base 10 cuya representacion binaria tieneinfinitas cifras no nulas:

R = 1/5 = 0.2 = 0.0011(2) = 0.00110011001100110011 . . .R = 0.1(10) = 0.00011(2) = 0.00011001100110011 . . .

¡ La memoria de ordenador es finita ! .

Los numeros binarios con infinitas cifras se almacenan en elordenador aproximados (por redondeo o truncamiento) porotros con un numero finito de cifras.


Errores de redondeo

Errores de redondeo: debidos al almacenamiento en unordenador.Consideramos dos numeros reales consecutivos con el mismoexponente y cuyas mantisas sean

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Representan los numeros

2−1 = 0.5, 2−1 + 2−24 = 0.500000596046 . . .

Los numeros comprendidos entre ellos se representan poralguno de los dos anteriores.


Errores de redondeo

Numero maquina es aquel que se puede representar de modoexacto en el ordenador.

La diferencia entre dos numeros maquina consecutivos es2−24. El error que se comete al aproximar un numero por elnumero maquina mas cercano llamado error de redondeo dealmacenamiento es menor que 2−25 < 1

210−7.

Para una mantisa de 24 dıgitos se obtiene una precision de 7.


Tipos de errores

1 Errores en toma de datos: mediciones, datos estadısticos,etc.

2 Errores de aproximacion (de discretizacion)

Por ejemplo, para calcular el numero e =∞∑

k=0

1k !

se toma el

valor aproximado eN =N∑

k=0

1k !

y se comete un error

e − eN =∞∑

k=N+1

1k !

3 Errores de redondeo: producidos por el ordenador (quetiene memoria limitada...!!!)


Error absoluto y error relativo

Para medir la proximidad de dos cantidades numericas seusan:

Error absoluto (x ≈ x)

Ea = |x − x |

Error relativo (x ≈ x)

Er =|x − x ||x |

si x 6= 0 o bien Er =|x − x ||x |

si x 6= 0


Error absoluto y error relativo

Ejemplos:

(a): x = 3, x = 3.1

Ea = |3− 3.1| = 0.1, Er =0.13

= 0.03333 . . .

(b): x = 3100, x = 3000.

Ea = 100, Er =100

3000= 0.03333 . . .

Es importante la magnitud de los datos


Cifras decimales exactas

En los calculos es habitual aproximar un numero real con mcifras decimales por otro con n < m cifras decimales. Comocriterio de proximidad de dos numeros reales no es objetivofijarse en el numero de cifras decimales coincidentes. Porejemplo, los numeros x = 0.999 y x = 1.1 son proximos y notienen ninguna cifra decimal en comun.

x aproxima a x con s cifras decimales exactas si s es elmayor entero no negativo tal que:

Ea = |x − x | ≤ 0.5× 10−s

Ejemplos (a): x1 = 0.1, x1 = 0.10005,Ea = 0.00005 = 0.5× 10−4 coinciden en 4 cifras decimales

(b): x2 = 1000, x2 = 1000.5, Ea = 0.5× 100:0 cifras decimalesexactas(c): x3 = 3.141592, x3 = 3.1415

Ea = |π − 3.1415| = 0.000092 < 0.0005 = 0.5× 10−3

coinciden en 3 cifras decimalesA.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Analisis Numerico 23/37

Cifras significativas exactas

El criterio de cifras decimales exactas puede ser enganoso, yaque no tiene en cuenta la magnitud de los numeros. En estecaso se usa otro criterio de comparacion basado en elconcepto del error relativo

x es una aproximacion de x con s cifras significativasexactas si s es el mayor entero no negativo tal que:

Er =|x − x ||x |

≤ 5× 10−s

Ejemplos (a): x2 = 1000, x2 = 1000.5,|x2 − x2||x2|

= 0.0005 = 5× 10−4 coinciden en 4 cifras

significativas(b): x4 = 124.45, x4 = 123.45

|123.45− 124.45||123.45|

=1

123.45= 0.0081 · · · < 5× 10−2

coinciden en 2 cifras significativasA.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Analisis Numerico 24/37

Consistencia, Convergencia, Estabilidad

En relacion a los tres tipos de errores (errores en toma dedatos, errores de aproximacion, errores de redondeo)cualquier metodo numerico debe verificar que los erroresno conduzcan a soluciones no deseadas. Un algoritmo tieneque cumplir:

1 Convergencia (ligada al error de aproximacion): Al realizaruna cantidad suficiente de iteraciones las aproximacionesobtenidas se acercan a la solucion del problema.

2 Consistencia (se vera en cursos proximos): La solucionexacta del problema verifica en “cierto sentido” elalgoritmo.

3 Estabilidad (ligada al error de aproximacion y deredondeo): Pequenos cambios en los datos producenpequenos cambios en la solucion del problema.


Estabilidad de un algoritmo

Algoritmo inestable:

Ejemplo 1: Sean A,B ∈ R dados y sea {xn}n≥0 definida por{x0 = A, x1 = Bxn+2 = 10.1xn+1 − xn, n ≥ 0

Se puede comprobar que el termino general de la sucesion es:

xn =−0.1A + B

9.910n +

10A− B9.9

0.1n

Para A = 10 y B = 1, xn = 10−n+1 → 0 cuando n→ +∞Para A = 10 y B = 1 + ε, xn →∞ cuando n→ +∞ Lasucesion es divergente, ya que el termino dominante es 10n.


Estabilidad Numerica

Otro concepto de estabilidad para un algoritmo es el siguiente:

Estabilidad Numerica (ligada al error de redondeo): Laacumulacion de errores no influye en el resultado del algoritmo.Puede depender de la escritura del mismo.


Estabilidad Numerica de un algoritmo

Algoritmo sensible a los errores de redondeoEjemplo 2: {

x0 = 1, x1 = 1/3

xn+2 =133

xn+1 −43

xn, n ≥ 0(1)

Se puede comprobar que el termino general de la sucesion es:

xn =13n → 0 cuando n→ +∞ (2)

Usando (1), obtenemos:

x0 = 1 x5 = 0.004117x1 = 0.333333 x6 = 0.001379x2 = 0.111111 x7 = 0.000486x3 = 0.037037 . . .x4 = 0.012346 x15 = 1.877063!!!

Usando (2), obtenemos: xn → 0 (x15 = 0.00000)A.Doubova y B. Climent Conceptos generales del Analisis Numerico 28/37

Estabilidad del problema

El fenomeno de la inestabilidad puede aparecer en el problemade partida.

Estabilidad del problema: Pequenos cambios en los datosproducen pequenos cambios en la solucion exacta delproblema. Los problemas que no verifican esta propiedad sedicen mal condicionados.


Problemas mal condicionados I

Ejemplo 3(R.S. Wilson): Consideramos el sistema linealAx = b, con

A =

10 7 8 77 5 6 58 6 10 97 5 9 10

b =

32,233331

Consideramos la siguientes variaciones:

A x1 = b A x2 = b

para

A =

10 7 8.1 7.2

7.08 5.04 6 58 5.98 9.89 9

6.99 4.99 9 9.98

b =

32.122.933.130.9


Problemas mal condicionados II

Las correspondientes soluciones no se parecen.

x =

1111

, x1 =

−81137−3422

, x2 =

9.2−12.6

4.5−1.1


Problemas mal condicionados III

Ejemplo 4: Consideramos la ecuacion

x2 − 60x + 900 = (x − 30)2 = 0

cuyas raıces sonx1 = x2 = 30

La ecuacion “variada ligeramente”:

1.1x2 − 60x + 900 = 0

tiene como raıces

x1 =27.2727+8.6244i x2 =27.2727−8.6244i

Este problema esta mal condicionado respecto a lasvariaciones en el coeficiente de mayor potencia


Ejemplos de problemas de Calculo Numerico I

B Resolucion de sistemas lineales:

Ax = b, A ∈ RN×N , b ∈ RN

Si hay solucion unica, podemos calcularla usando la regla deCramer:

xj =Dj

D, j = 1, . . . ,n donde D = det(A)

Dj es como D pero reemplazando la columna j−esima por elvector b

Regla de Cramer necesita aproximadamente 2(n + 1)!operaciones.Cuando N es grande Cramer es inviable incluso para unordenador


Ejemplos de problemas de Calculo Numerico II

Por ejemplo, con un ordenador capaz de realizar 109

operaciones por segundo, se necesitarıan en torno a 12 horaspara resolver un sistema de dimension n = 15 (aprox. 4× 1013

operaciones) por este metodo, y en torno a 3240 anos para unsistema de dimension n = 20 (aprox. 1020 operaciones).

Conclusion: Hay que buscar otros metodos menos costosos


Ejemplos de problemas de Calculo Numerico III

B Resolucion de ecuaciones y sistemas no lineales:f (x) = 0, siendo f : R 7→ R (o f : RN 7→ RN ) no lineal.

En general, no hay formulas explıcitas para calcular lassoluciones

Conclusion: Obtener metodos numericos para calcularsoluciones aproximadas


Ejemplos de problemas de Calculo Numerico IV

B Calculo de integrales definidas:∫ b

af (x)dx

En general, no se puede aplicar la regla de Barrow:∫ b

af (x)dx = F (a)− F (b) donde F ′(x) = f (x).

Por ejemplo∫ b

aex2

dx no se puede resolver de manera exacta.

Conclusion: Idear formulas de integracion numerica paracalcular aproximaciones de las integrales.


Ejemplos de problemas de Calculo Numerico V

B Interpolacion y ajuste de datos,B Aproximacion de funciones,B Calculo aproximado de autovalores y autovectores,B Resolucion aproximada de ecuaciones diferenciales,etc.


tema 1: conceptos generales del analisis´...

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