Universidad Fermín ToroVicerrectorado AcadémicoFacultad de IngenieríaEscuela de Eléctrica

UNIDAD I

Yoselin Barrera C.I: 20.35.647Prof: Domingo Mendes.SAIA B

Análisis Numérico

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de lasmatemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través denumero y reglas matemáticas simples, simular procesosmatemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de losordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticosextremadamente complejos, pero en última instancia operan connúmeros binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todoel andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellosprocedimientos matemáticos susceptibles de expresarsealgorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan susimulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Numero de Maquinas Decimales

El nombre de BINARIO significa “dos dígitos”, y se debe a la nomenclatura

“BI” que significa “DOS”, Recordemos que un sistema binario solo se

representa con ceros y unos (0,1), el significado de Binario es de “dos dígitos”

pero no por eso se usara el digito numero 2, si no los primeros dos dígitos del

sistema decimal.

La representación de máquinas a decimal viene dada de la siguiente forma:

± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9

para cada i=2, 3, 4, ..., k";

De lo antes descrito, se indica que las maxi computadoras IBM (mainframes)

tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

Errores Absolutos

El error absoluto de una medida es la diferencia entre el

valor real de una magnitud y el valor que se ha medido.

El error absoluto que se comete cuando aproximamos 10

6 por 1,66 viene dado por:

| 10 6 - 1 , 66 | = | 10 - 9 , 96 6 | = | 0 , 04 6 | = 4 600 = 1 150

Errores Relativos

El error de una medida es el cociente entre el error absoluto de la

medida y el valor real de ésta .

E r = Error absoluto Valor real = | E a V r e a l |

El error relativo proporciona la magnitud del error cometido al

compararlo con el valor exacto y se suele expresar en tanto por ciento

(para ello basta con multiplicarlo por 100). En este caso, recibe el

nombre de porcentaje de error.

El error relativo que se comete cuando aproximamos 10 6 por 1,66 viene

dado por:

1 150 : 10 6 = 6 1.500 = 1 250 = 0 , 004 . Es decir, el 0,4%.

Fuentes Básicas de los Errores.

Existen Dos fuentes Básicas de Errores y son las siguientes:

Error de Truncamiento.

Error de Redondeo.

• ERROR DE TRUNCAMIENTO:ESTOS ERRORES RESULTAN AL USAR UNA APROXIMACIÓN EN LUGAR DE UN PROCEDIMIENTOMATEMÁTICO EXACTO Y DEPENDEN DEL MÉTODO NUMÉRICO EMPLEADO.

ERROR DE REDONDEO:ESTOS ERRORES RESULTAN DE REPRESENTAR EN FORMA APROXIMADA NÚMEROS EXACTOS,DEPENDEN DE LA COMPUTADORA O DE QUIEN REALICE LOS CÁLCULOS.

Errores en la Resolución Numérica

Errores de una Suma y una Resta

Cuando se hace una suma o una Resta de muchos números en un computador, se le agregan bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional.

Ejemplos Con Respectos a esta explicación en la siguiente Lamina.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

Cálculos Estables e Inestables

Estabilidad e Inestabilidad

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbrede los valores de entrada aumentan considerablemente porel método numérico.

Un proceso numérico es inestable cuando los pequeñoserrores que se producen en alguna de sus etapas, seagrandan en etapas posteriores y degradan seriamente laexactitud del cálculo en su conjunto.

Condicionamiento

Un problema está mal condicionado si pequeños cambiosen los datos pueden dar lugar a grandes cambios en lasrespuestas. Para ciertos tipos de problemas se puededefinir un número de condición: "Un número condicionadopuede definirse como la razón de los errores relativos".