INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA ACADEMIA DE COMPUTACIN UNIDAD DE APRENDIZAJE: ANLISIS NUMRICO TRABAJO: METODOS NUMERICOS (SECANTE, BARISTOW, HORNER) PROF- ING.FELIPE CALZADA SERAFIN ALUMNO-ESTRADA SOUBRAN JUAN MANUELBOLETA: 2010300188 CORREO: soubrang@hotmail.com GRUPO- 4C5V 1 INDICE MARCO TEORICO..2 RESUMEN.3 METODO DE LA SECANTE..4 METODO DE BARISTOW..10 METODO DE HORNER..15 CONCLUSIONES.20 BIBLIOGRAFIA.20 2 MARCO TEORICO ANLISIS NUMRICO. Una definicin de anlisis numrico podra ser el estudio de los errores en los clculos; error aqu no quiere decir un disparate, equivocacin u omisin, sino ms bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los nmeros o frmulas.Otra definicin de anlisis numrico podra ser el diseo, uso y anlisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o funcin.Un especialista de anlisis numrico se interesa en la creacin y comprensin de buenos mtodos que resuelvan problemas numricamente. Una caracterstica importante del estudio de los mtodos es su variacin.El anlisis numrico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan clculos puramente aritmticos. Pero hay que tomar en cuenta las caractersticas especiales y limitaciones de los instrumentos de clculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecucin de las instrucciones del algoritmo.Si bien no nos interesa la construccin de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarn los sistemas numricos de mquinas en contraposicin con nuestro sistema de nmeros reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema.Una buena razn para estudiar el anlisis numrico es mejorar nuestra comprensin de los conceptos de las matemticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemticas computacionales.Despus de todo, el anlisis numrico es importante porque es necesario en la solucin de muchos problemas del mundo real.MTODOS NUMRICOS. Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas. Hay muchos tipos de mtodos numricos, y comparten una caracterstica comn: invariablemente se deben realizar un buen nmero de tediosos clculos aritmticos.Los mtodos numricos son herramientas muy poderosas para a solucin de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometras complicadas, comunes en la ingeniera. Tambin es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga mtodos numricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teora bsica de estos mtodos; adems hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los mtodos numricos se puede disear programas propios y as no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximacin que son inseparables de los clculos numricos a gran escala.Los mtodos numricos son un medio para reforzar la comprensin de las matemticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultaran obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia. 3 RESUMEN En anlisis numrico el mtodo de la secante es un mtodo para encontrar los ceros de una funcin de forma iterativa. Es una variacin del mtodo de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la funcin en el punto de estudio, teniendo en mente la definicin de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la funcin evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteracin anterior. Este mtodo es de especial inters cuando el coste computacional de derivar la funcin de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el mtodo de Newton no resulta atractivo. En otras palabras, el mtodo de la secante es un algoritmo de la raz de investigacin que utiliza una serie de races de las lneas secantes para aproximar mejor la raz de una funcin f. El mtodo de la secante se puede considerar como una aproximacin en diferencias finitas del mtodo de Newton-Raphson. Sin embargo, este mtodo fue desarrollado independientemente de este ltimo. En anlisis numrico, el mtodo de Bairstow es un algoritmo eficiente de bsqueda de las races de un polinomio real de grado arbitrario. Es un mtodo iterativo, basado en el mtodo de Mller y de Newton Raphson. Dado un polinonio f_n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrtico y El procedimiento general para el mtodo de Bairstow es: Dadoyy 1.-Utilizando el mtodo de Newton Raphson calculamosy, tal que, el residuo desea igual a cero. 2.-Se determinan la races, utilizando la formula general. 3.-Se calcula 4.-Hacemos 5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2 6.-Si no, terminamos La principal diferencia de este mtodo, respecto a otros, es que permite calcular todas las races de un polinomio (reales e imaginarias). Mtodo numrico debido al britnico W.G. Horner (1786-1837) que, a base de aproximaciones sucesivas, permite calcular las soluciones reales de cualquier ecuacin algebraica con coeficientes reales, con tanta aproximacin como se desee. 4 MTODO DE LA SECANTE En anlisis numrico el mtodo de la secante es un mtodo para encontrar los ceros de unafuncindeformaiterativa.Unodelosobjetivosdeeste mtodoeseliminarel problemadeladerivadadelafuncin,yaqueexistenfuncionesquedescriben fenmenos fsicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja. El mtodo dela secante es muy similar al de Newton conla diferencia principal que en este mtodo de la secante no requiere de la segunda derivada. El mtodo se basa en obtenerla ecuacin dela recta que pasa porlos puntos (xn1), f(xn1))y(xn,f(xn)).Adicharectaselellamasecanteporcortarlagrficadela funcin. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relacin de recurrencia, xn+1, la interseccin de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la frmula Definicin: La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de cortese acercan, dicharecta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. Dados los puntos de interseccin A y B puede calcularse la ecuacin de la recta secante empleandoparasaberlarespuestadestaoperacinseempleaen matemticasla ecuacin de la recta que pasa por dos puntos: Estemtodo,adiferenciadeldebiseccinyreglafalsa,casinuncafallayaquesolorequierede2 puntos al principio, y despus el mismo mtodo se va retroalimentando.Loquehacebsicamenteesirtirandorectassecantesalacurvadelaecuacinquesetiene originalmente, y va checando la interseccin de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raz que se busca.El mtodo de la secante parte de dos puntos (y no slo uno como el mtodo de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximacin de acuerdo con la expresin: SustituyendoestaexpresinenlaecuacindelmtododeNewton,obtenemoslaexpresindel mtodo de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteracin:5 Figura: Representacin geomtrica del mtodo de la secante. En la siguiente iteracin, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo punto ms prximo a larazdeacuerdoconlaecuacindearriba.Enlafiguraserepresentageomtricamenteeste mtodo.Engeneral,elmtododelasecantepresentalasmismasventajasylimitacionesqueelmtodode Newton-Raphson.Forma de hacerlo:Primero hay que definir algunos conceptos como:Xn: es el valor actual de XXn- 1: es el valor anterior de XXn+1: es el valor siguiente de XPara simplificar la formula que se usa en este mtodo se dir que:A=Xn-1B=Xn+1C=XnComosunombrelodice,estemtodovatrazandorectassecantesalacurvaoriginal,ycomo despusdelprimerpasonodependedeotrascantidadessinoquesolitovausandolasqueyase obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentra la raz.Lo primero que se hace, igual que con otros mtodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C.Despussesustituyenesospuntosenlaecuacinoriginalparaobtenerf(A)yf.Unavezquese tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la formula B=((Af)-(C(f(A)))/(f-f(A)).6 A diferencia del resto de los mtodos,aqu no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sinoqueseutilizalasimplificacindeconceptosycomosesimplificalafrmulaparaseguirconel mtodo. Aqu solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra de f(Xn).Supngase que se tiene la ecuacin X32X2 + 8X-9 Xnf(Xn) A 10 871C 15 3036B 7.9884 437.054Como se ve en la tabla de valores, los 2 primeros puntos que se dieron, o sea A y C, son 10 y 15, y se saco su respectiva f(X) y se puso en su lugar, despus para sacar B se uso la formula dada arriba y seobtuvosuf(X),ahoralonicoquesetienequehacerparaseguirconelmtodoes imaginariamente bajar las letras que estn a la izquierda un lugar abajo, as el que era C se convierte en A y A se ignora ahora, el que era B ahora es C y B queda vacio para seguir con el mtodo.El mtodo sigue hasta queel valor absoluto de f(Xn) seaigual a0, pero realmente nunca pasa, as quesefijaalprincipio unvalorcercanoa0parallegarael,porejemplo0.001,ycuandoenf(Xn) haya un valor menor o igual a 0.001, el mtodo termina y la raz que se estaba buscando queda en el ultimo valor de Xn.El mtodo se define por la relacin de recurrencia: Como se puede ver, este mtodo necesitar dos aproximaciones iniciales de la raz para poder inducir una pendiente inicial. Ejemplo 1 Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de

, comenzando con x0 = 0 , x1 = 1 y hasta que r 1% . 7 Fig 4. Primera iteracin para la

, con x0 = 0 , x1 = 1, aplicando el mtodo de la secante Solucin Se Tiene que f (x0 ) = 1 y f (x1) = 0.632120558, que se sustituye en la frmula de la secante para calcular la aproximacin x2

[

(

)(

)] (

)0.612699837 Con un error aproximado de: |

||

| Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raz Error aprox. 01 100% 8 0.612699837 63.2% 0.653442133 6.23% 0.652917265 0.08% De lo cual se concluye que la aproximacin a la raz es: x4 = 0.652917265 Ejemplo 2 Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de , comenzando con y , y hasta que. Solucin Tenemos los valores y , que sustitumos en la frmula de la secante para obtener la aproximacin : Con un error aproximado de: Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la raz Error aprox.01 100%0.823315073 21.4%0.852330280 3.40%0.853169121 0.09% 9 Programa secante #include #include double f (double x) { return (x * x) - 1; }

double df (double x) { return (2 * x); }

double Secante (double x01, double x02, int N, double T, double (*fx) (double)){ int i = 1; double x; while (i