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Anlisis NumricoFacultad de CienciasKay [email protected]

SUMA Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes (ULA) Merida, 5101 - VENEZUELA

Analisis Numerico p. 1/196

Programa del CursoFuente y propagacin de errores Solucin de ecuaciones no lineales de una variable Solucin de sistemas de ecuaciones lineales Teora de interpolacin Integracin numrica


Bibliografa y MaterialesBibliografa Kincaid D. & Cheney W. An Introduction to Numerical Analisys Atkinton Kendall E. An Introduction to Numerical Analisys Burden R. y Faires D. Analisis Numerico Trevisan M. C. Notas de Analisis Numerico

Materialeshttp://www.matematica.ula.ve/publicaciones/index.html http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/kay

Recomendaciones Generales


Algunos conceptosProblema numrico: Descripcin precisa de la relacin funcional entre un conjunto nito de datos de entrada y un conjunto nito de datos de salida. Algoritmo: secuencia ordenada y nita de pasos, excenta de ambigedades, que seguidas en su orden lgico nos conduce a la solucin de un problema especco Mtodo numrico: Procedimiento para transformar un problema matemtico en numrico y resolver este ltimo


Pasos GeneralesEl anlisis numrico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemtico, es decir hallar una relacin funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio terico del problema: existencia y unicidad de la solucin. 2. Aproximacin: Crear una solucin para un nmero nito de valores existencia y unicidad estabilidad y convergencia 3. Resolucin: Eleccin de un algoritmo numrico Eleccin del algoritmo: Costo y estabilidad Codicacin del algoritmo Ejecucin del programa Analisis Numerico p. 5/196

Fuente y propagacin de erroresSistemas numricos Aritmtica del computador Fuentes de errores Errores de redondeo y discretizacin Propagacin de errores Estabilidad e inestabilidad numrica


Sistemas numricosLos sistemas numricos ms antiguos son: Babilnico: base 60 Romano: (I, V, X, L, C, D y M) Hind y rabe: decimal El extendido uso del sistema decimal oculta la existencia de otros sistemas numricos: Binario: base 2 Octal: base 8 Hexadecimal: base 16 ... Analisis Numerico p. 7/196

Sistemas numricos de posicinLos sistemas nmericos actuales, decimal, binario, octal, hexadecimal, entre otros; representan a los nmeros reales mediante un sistema de posicin con base b.n

x = (an bn + an1 bn1 + an2 bn2 + . . . ) =

ai bi ;i=

donde, a es el valor absoluto del nmero real a representar, 0 ai b 1 en el dgito que ocupa la posicin i en a contadas a partir del punto decimal, positivos a la izquierda y negativos a la derecha; y n en la posicin ms a la izquierda ocupada por un dgito an = 0 Ambigedades: a.ccccc = a + 1 ; c=b1 Analisis Numerico p. 8/196

Sistema numricos de posicinConversin de base 10 a base b: convertir el nmero 12.312510 a base 2 1. Dividir, sucesivamente, la parte entera del nmero (1210 ), entre la nueva base (2), hasta obtener un cociente ms pequeo que esta ltima (2), asignando sucesivamente los restos de la divisin entera a a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1. 1210 = 11002 2. Multiplicamos la parte fraccionaria del nmero decimal (0.312510 ) por la nueva base b (2), restando y asignando sucesivamente la parte entera del producto a a1 = 0, a2 = 1, a3 = 0, a4 = 1 0.312510 = 0.01012 12.312510 = 1100.01012


El computadorCPUAcum

PC

CU

ALU

Registros Instrucciones

Registros

Memoria PrincipalRAM ROM Bus Control

Cache

Bus DatosControlador I/O Controlador I/O Controlador I/OCache

Controlador de Discos

Controlador I/O

Interfaz Entrada/Salida

Memoria Secundaria


Sistema de numeracin binarioUtiliza solamente dos dgitos o smbolos: 0 y 1, y su base es 2. Deniciones:bit:

del ingles Binary digIT, representa un dgito binario. Ademas, el bit es la unidad mnima de informacin empleada en la teora de la informacin. Generalmente se reere a 8 bits. Formalmente es una secuencia de bits contiguos, cuyo tamao depende del cdigo de informacin o de carcteres en que est usando.

byte u octeto:


Sistema de numeracin binarioNombre kilo mega giga tera peta exa zetta yotta bronto geop Abrev. K M G T P E Z Y B Ge Factor 210 220 230 240 250 260 270 280 290 2100 Valor 1024 1048576 1073741824 1099511627776 1125899906842624 1152921504606846976 1180591620717411303424 1208925819614629174706176 1237940039285380274899124224 1267650600228229401496703205376 Analisis Numerico p. 12/196

Sistema de numeracin binarioExisten variantes del sistema de numeracin binarioBinario puro:

Solamente se pueden representar nmeros no negativos

Signo Magnitud:

El bit ms signicativo representa el signo (0 = +) y (1 = ) y los restantes n 1 bits representan el valor absoluto del nmero. En los nmeros negativos cada dgito se escribe como [d]b = (b 1) (di )b [N ]b de un nmero (N )b se dene como: [N ]b = bn (N )b ,

Complemento a la Base Disminuida:

Complemento a la Base:

donde, n es el nmero de dgitos de (N )b Analisis Numerico p. 13/196

Sistema de numeracin binarioEn 1985 la IEEE establece el Binary Floating Point Arithmetic Standard 754-1985, donde se establecen los formatos para representar nmeros punto otantes de precisin simple (32 bits) y doble (64 bits) Los nmeros se distribuyen de forma exponencial en la recta real (1)S 2E127 (1 + 0.F ) | (1)S 2E1023 (1 + 0.F )

donde, S representa el bit de signo, E el exponente y F la parte fraccin binaria del nmero. presicin simple doble signo 1 1 exponente 8 bits 11 bits 10308 10308 1039 1038 mantisa 23 bits 52 bits 7 cifras dec. 16 cifras dec.


DesbordamientoLos resultados que en valor absoluto son menores que el valor mnimo que soporta el formato de representacin son considerados underows, mientras los que son mayores que el valor mximo permitido se consideran overows.x 1 ; i 0 Repita | ant x x 1

i 0

Mientras (1 + x > 1 ) | x x / 2

| i i + 1 | x 2*x | Escribir(i, ant, x) hasta(ant > x)

| i i + 1

| Escribir(i, x)


Fuentes de erroresEn los datos de entrada En los cdigos Temperamento del computador: El programa no quiere correr Cuantizacin del sistema de numeracin de redondeo o truncamiento: 2 2 1 3 = 0.6666666 0.6666667 = 0.0000001 3 Aproximacin en los algoritmos: xn xn ex = = n! n! n=0 n=0 N


Errores relativo y absolutoSea x el valor aproximado de una cantidad x Error absoluto: |x x| Error relativo:x x x

,x = 0

m es una cota del error absoluto si: m > 0 y |x x| m m es una cota del error relativo si: m > 0 yx x x

m, x = 0


Cifras signicativasDecimos que a es la representacin normalizada de un nmero real no nulo x si x = 0.a1 a2 a3 10e , donde, a1 es un dgito del 1 al 9; ai , i = 2, 3, . . . , son dgitos del 0 al 9 y e Z es el exponente. a aproxima a a con t decimales correctos si t es el mayor entero no negativo para el cual: |a a| 0.5 10t a aproxima a a con t cifras signicativas si t es el mayor entero no negativo para el cual: |a a| < 0.5 10et donde, a el valor aproximado de una cantidad a


Propagacin de erroresSean x , y los valores aproximados de x, y; y x , y 1 sus respectivos errores relativos.Suma / Resta

: xy y (x y ) (x y) x = x y = xy xy xy (x y ) (xy) = = x + y + x y x + y = xy (x /y ) (x/y) x y = = = x y x/y 1 + y

Multiplicacion

: xy

Division

: x/y


Propagacin de erroresPara evitar la propagacin rdida de los errores hay que tener en cuenta que en la aritmtica del computador la propiedad asosiativa no se cumple. Resta de nmeros muy parecidos 2c b + b2 4ac = x1 = 2a b + b2 4ac Sumatorias largas de nmeros 1 x= 5 10 1 xi = 100 i=1105 99 j=0

1 100

100

xi+100ji=1

Ordenar los terminos de menor a mayor


Error total e iteraciones ptimasGeneralmente en los algoritmos iterativos los errores de aproximacin dependen del nmero de iteraciones N y pueden modelarse como, aprox , N

y los errores de redondeo dependen del precisin de la mquina maq y van como red N maq Entonces, el error total t viene dado por, t = aprox + red + N maq N

El nmero de iteraciones ptima se alcanza cuando t sea mnimo


Clculo del errorCmo se propagan el errores de los datos x cuando se calcula f (x) f = f ( x) xi |xi | xi f (x)

i

Empricamente, comparamos los valores calculados con N y 2N iteraciones. Cuando se alcanza el valor asimttico y el error de redondeo no es signicativo se tiene que, fN (x) f2N (x) , N

En un grco log10 (fN f2N ) vs log10 (N ) esto es una recta. En la grca anterior, el punto No en el que cambia la pendiente indica aproximadamente el nmero ptimo de iteraciones, y el log10 (No ) aproxima al nmero de cifras signicativas del resultado numrico. Analisis Numerico p. 22/196

Smbolos O y oDecimos que f es de orden O grande con respecto a g cuando x a si existe una constante K > 0 tal que, f (x) K, g(x) para x = a en un entorno de a. Pondremos f = O(g) cuando x a. Decimos que f es de orden o pequea con respecto a g cuando x a si, f (x) = 0. lim xa g(x) Pondremos f = o(g) cuando x a.


Smbolos O y oEjemplo: f = O(1) cuando x a signica que f (x) se mantiane acotada cuando x a f = o(1) cuando x a signica que f (x) tiende a cero cuando xa Propiedades: Si f = o(1) cuando x a entonces f = O(1) cuando x a Si f = O(xn ) cuando x 0 para algn n Z+ entonces f = O(xn1 ) cuando x 0


Estabilidad y CondicinLos algortmos numricos debe dar resultados precisos y exactos. Estabilidad: Un algoritmo es estable si cambios pequeos en los datos iniciales producen cambios pequeos en los resultados Condicin: Algunos algoritmos son estables solamente para un conjunto de condiciones iniciales. Estos algoritmos son condicionalmente estables Crecimiento del error: Si 0 denota el error inicial y n el error despues de n iteraciones, decimos que el error crece: linealmente si n kn0 exponencialmente si n k n 0

Hay que evitarlo

Por lo general es inevitable el crecimiento lineal del error.


Ecuaciones no LinealesIntroduccin Mtodo de biseccin Mtodo de la secante Mtodo de Newton Mtodos iterativos de un punto Raices mltiples Clculo de races de polinomios


Ecuaciones no LinealesEn las Matemticas aplicada frecuentemente se debe hallar soluciones de la ecuacin f(x) = 0 , donde, x Rn y f : Rn Rm es una funcin no lineal. En particular, en este curso nos centraremos en la busqueda de las raices o ceros de funciones unidimensionales, m = 1, y monovaluadas n = 1; es decir, f (x) = 0 , donde, x R y f : R R Analisis Numerico p. 27/196

Ecuaciones no LinealesEcuaciones algebraicas: x2 x + 2 = 0 x6 = x 1 sin(x) x 2

Ecuaciones tracendentes: =0

tan(x) = ex Slo existen soluciones exactas en casos muy particulares y generalmente, se tendrn que utilizar mtodos numricos, en particular, metodos iterativos.


Metodo IterativoEs aquel mtodo numrico en el que partiendo de un valor x0 arbitrario, se calcula una sucesin x0 , x1 , x2 , . . . de forma recurrente, mediante una relacion de la forma xn+1 = g(xn ) , n = 0, 1, 2, . . . ; donde, xi R y g : R R Los mtodos iterativos tambin se utilizan en otros problemas numricos y, en general, son muy poco vulnerables al crecimiento del error por redondeo Iteracin: Los pasos que se dan, en un algoritmo, para calcular un iterado, xn+1 , a partir del iterado anterior, xn . Analisis Numerico p. 29/196

Orden de convergenciaSea {xn } una sucesin que converge a y n = xn . n=0 Si existe una constante C (0, 1) tal que |n+1 | =C, lim n |n | entonce, la sucesin converge a linealmente con una tasa o velocidad de convergencia C Si lo anterior ocurre para C = 0, entonces se dice que la sucesin converge superlinealmente.


Orden de convergenciaSea {xn } una sucesin que converge a y n = xn . n=0 Si existe un p 1 y una constante C tal que |n+1 | =C, lim n |n |p entonce, {xn } converge a con orden p. n=0 En particular, la convergencia con orden p = 2 se le llama cuadrtica y la con orden p = 3 cbica En general los mtodos que generen sucesiones con alto orden de convergencia se aproximan ms rpidamente a la solucin que aquellos que generen sucesiones con bajo orden. Analisis Numerico p. 31/196

Mtodo de biseccinEntrada: a, b, t, n Salida: c, error leer(a, b, t, n) i 1 fa f(a) repita | c a+(b-a)/2 | fc f(c) | i i + 1 |si (sign(fa)sign(fc)>0) | | fa fc ; a c | sino | | b c hasta (in)(fc=0)(|b-a|/2t) si (fc=0)(|b-a|/2t) | escribir(c) sino | escribir(error)

y

y=f(x)

a3 a2 a1 a1= a2 a= a1 c2= a3 c2

c3

b3 b2 c1 b1

c3 b2 = b3 c1= b2 b= b1


Mtodo de biseccinConvergencia Como f (a)f (b) 0 sabemos que existe un [a, b] tal que f () = 0. Partiendo del algoritmo y mediante induccin se puede ver que bn+1 an+1 = 1 (bn an ) 2 y que bn an = 1 2n1 (b1 a1 )

Como [an , cn ] o [cn , bn ] tenemos que |cn | an cn = cn bn = 1 (an bn ) 2

Combinando las dos equaciones anteriores tenemos que |cn | Lo que implica quen

1 2n1

(b1 a1 )

,

n1

lim cn = 1 2

es decir, convergencia lineal, p = 1 con una velocidad de convergencia C =


Mtodo de biseccinComentarios del mtodo de biseccin: Hay que dar dos valores iniciales, uno a cada lado de la raiz que se est buscando. Esto es un problema, especialmente si no se tiene ninguna idea del comportamiento de la funcin o si esta presenta raices muy similares o mltiples. Errores de redondeo o de cuanticacin pueden causar problemas cuando el intervalo de bsqueda se vuelve pequeo Al evaluar la funcin cerca de la raiz, f (x) 0, para el clculo del cambio de signo, los errores por operar con nmeros muy pequeos pueden hacerse presentes


Mtodo de la posicin falsaEntrada: a, b, t, n Salida: c, error leer(a, b, t, n) i 0; c a fa f(a); fb f(b) repita | i i + 1; ant c | c b-fb(b-a)/(fb-fa) | fc f(c) |si (sign(fa)sign(fc)>0) | | fa fc ; a c | sino | | fb fc ; b c hasta (in)(|c-ant|t) si (|c-ant|t) | escribir(c) sino | escribir(error)

y

y=f(x)

a3 a2 a1 c1 c2

c3

b3 b2 b1 b1 = b2 b= b1 b2 = b3

c3 a= a1 c1= a2 c2= a3


Mtodo de la posicin falsaConvergencia Diferencias divididas: Denicion:

Sean a = b = c, diferencia dividida de primer orden: f [a, b] = diferencia dividida de segundo orden: f [a, b, c] = f (b) f (a) ba f [b, c] f [a, b] ca

Propiedades:

f [a, b] = f [b, a] f [a1 , a2 , a3 ] = f [ai , aj , ak ] con i = j = k y i, j, k {1, 2, 3} si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe (a, b) tal que f [a, b] = f () (Teorema del valor medio) si f es derivable en (min(a, b, c), max(a, b, c)), existe tal que f [a, b, c] = f ()


Mtodo de la posicin falsaConvergencia Del mtodo tenemos que: c = b f (b) donde el error se calcula como ba 1 f () c= b = (a )(b ) , f (b) f (a) 2 f () , (a, b) ba , f (b) f (a)

segn sea caso del estremo del intervalo [a, b] que no se modique, entonces el mtodo converge linealmente. an+1 C(an ) , si = b o bn+1 C(bn ) , si = a

Teorema: Sea f dos veces continuamente diferenciable en [a, b] con la nica raiz en [a, b]. Suponiendo que f (a)f (b) < 0, f () = 0 y f no cambia de signo en [a, b]. Si f (x) C= 2 maxx[a,b] f (x) < 1 , con = a o = b ,


Mtodo de la posicin falsaComentarios del mtodo de la posicin falsa: Hay que dar dos valores iniciales, uno a cada lado de la raiz que se est buscando. Esto es un problema, especialmente si no se tiene ninguna idea del comportamiento de la funcin o si esta presenta raices muy similares o mltiples. Si la funcin es convexa o cncava en [a, b] uno de los extremos de intervalo no se mover por lo que el mtodo solamente aproxima a la raiz por uno de los lados. Al evaluar la funcin cerca de la raiz, f (x) 0, para el clculo del cambio de signo, los errores por operar con nmeros muy pequeos pueden hacerse presentes


Mtodo de la secanteEntrada: a, b, t, n Salida: c, error leer(a, b, t, n) i 1 fa f(a) fb f(b) repita | c b-fb(b-a)/(fb-fa) | i i + 1 | a b; fa fb | b c; fb f(c) hasta (in)(fc=0)(|b-a|/2t) si (fc=0)(|b-a|/2t) | escribir(c) sino | escribir(error)

y

y=f(x)

a3 b2 a1 c1

b3 c3 c2 a2 b1 b1= a2 b= b1

b2= a3 c2= b3 a= a1 c1= b2 c3


Mtodo de la secanteConvergencia Del mtodo tenemos que: c = b f (b) ba , f (b) f (a)

donde, usando diferencias divididas, el error se calcula como ba 1 f () c= b = (a )(b ) , f (b) f (a) 2 f () sustituyendo c = xn+1 , b = xn , a = xn1 tenemos que n+1 f (n ) = n n1 2f (n ) , (a, b)

Teorema: Supongamos que f : R R es una funcin C 2 en una vecindad de para la cual f () = 0 y f () = 0. Entonces si x0 y x1 se seleccionan sucientemente cerca de las iteraciones del mtodo de la secante convergen a . Adems, n+1 f () p1 1+ 5 lim 1.62 = , p= n (n )p 2f () 2 Analisis Numerico p. 40/196

Mtodo de la secanteDemostracin de la convergencia:Sea f (x) M = max x I = [ , + ] , > 0 2f (x) y supongamos que x0 y x1 son escogidos de forma tal que = max{M |0 |, M |1 |} < 1 Como |2 | M |1 ||0 | tenemos que M |2 | M 2 |1 ||0 | 2 < < 1 = |2 | < 2) | i 0 | repita | | i i + 1 | | xa x | | horner(a, m, xa, | | b, px, qx) | | x xa - px/qx | hasta (in)(|x-xa|t) | si (|x-xa|t)| | escribir(x) | | deflacion(m-1, b, x, | | t, n) | sino | | escribir(error) sino | d=sqrt(a[1]a[1] | - 4a[2]a[0]) | si(d 0) | | escribir((-a[1] d) | | /(2a[2]) El subprograma deflacion debe ser llamado por otro programa. Analisis Numerico p. 77/196

Mtodo de HornerComentarios del mtodo: Una raiz aproximada i , ms que una aproximacin a una raiz de P (x), es efectivamente una aproximacin a una raiz de Qi1 (x) que a su vez se obtiene iterativamente mediante la deacin aproximada de P (x). Esto trae como consecuencia que a medida que i aumenta los errores se acumulan y las aproximaciones i a los valores reales de las raices,en general, sern cada vez peores. Por lo general los polinomios tiene raices complejas. Para calcularlas utilizando este mtodo (Newton-Raphson) hay que operar usando nmeros complejos. Las raices mltiples se van encontrando una a una.


Mtodo de MllerTeorema: Si z = + i es una raiz compleja de multiplicidad del polinomio P (x) entonces z = i tambin es una raiz de multiplicidad de P (x) y el polinomio D(x) = (x2 2x + 2 + 2 ) es un factor de P (x), es decir, P (x) = Q(x) D(x) Con este resultado podemos pensar en generalizar la divisin sinttica para que los trminos sean polinomios cuadrticos. El mtodo de Mller se basa sobre esta idea, pero a diferencia del mtodo de Horner tambin permite calcular las raices complejas del polinomio. En cambio de aproximar a la funcin con una recta, como en el mtodo de la secante, se aproxima usando un polinomio cuadrtico Analisis Numerico p. 79/196

Mtodo de MllerSean x0 , x1 y x2 los tres puntos iniciales del mtodo y D(x) = a(x x2 )2 + b(x x2 ) + c que pasa por (x0 , P (x0 )), (x1 , P (x1 )) y (x2 , P (x2 )), tenemos que b2 4ac D(x x2 ) = 0 x x2 = 2a Para evitar problemas de errores por la resta de nmeros parecidos y seleccionando el valor de x3 = x tal que sea la raiz ms cercana a x2 1, si b < 0 2c x3 = x2 , sig(b) = 2 4ac 1, si b 0 b + sig(b) b b Analisis Numerico p. 80/196

Mtodo de MllerComo P (x0 ) P (x1 ) P (x2 ) = = = a(x1 x2 ) + b(x1 x2 ) + c a(x0 x2 ) + b(x0 x2 ) + c

a(x2 x2 ) + b(x2 x2 ) + c = c

resolviendo el sistema de tres equaciones obtenemos a =(x0 x2 )(P (x1 )P (x2 ))(x1 x2 )(P (x0 )P (x2 )) (x0 x2 )(x1 x2 )(x0 x1 )

b

=

P (x0 )P (x2 ) (x0 x2 )

c

=

P (x2 )

(x0 x2 )(P (x1 ) P (x2 )) (x1 x2 )(P (x0 ) P (x2 )) (x1 x2 )(x0 x1 ) {z } |a(x0 x2 )

En general podemos tener xn+1 = xn 2c b + sig(b) b2 4ac Analisis Numerico p. 81/196

Mtodo de MllerEntrada: x0,x1,x2,t,n Salida: x2, error leer(x0,x1,x2,t,n) repita | c P(x2) | P02 P(x0)-c ; x02 x0-x2 | P12 P(x1)-c ; x12 x1-x2 | a (x02P12 - x12P02) | /(x02x12(x0-x1)) | b P02/x02 - ax02 | x0 x1 | x1 x2 | x2 = x2 - 2c/(b + sig(b) | sqrt(bb - 4ac)) hasta (in)(|x2-x1|t) si (|x2-x1|t) escribir(x2) sino escribir(error)y y=f(x) D(x) = a(xx2)2+ b(xx ) + c2

D(x) = a(xx3)2+ b(xx ) + c3

x0

x1

x2

x3

x4 x5

D(x) = a(xx4)2+ b(xx ) + c4

Nota: x0, x1 y x2 son variables complejas. En caso de que el lenguaje no las soporte hay que modicar el algoritmo


Algebra LinealIntroduccin Mtodos Directos Regla de Crammer Eliminacin Gaussiana Factorizacin LU Factorizacin de Cholesky Matrices tridiagonales Normas y errores Mtodos Iterativos Renamiento iterativo Jacobi Gauss-Seidel Errores y Convergencia Aceleracin S.O.R.


Algebra Lineal NumricaLos problemas ms importantes que son atacados con el lgebra lineal nmerica son: Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales Clculo de valores propios Ajuste de rectas El problema bsico se puede resumir en Ax = b , donde, A es una matriz n n, y x y b son dos vectorer columna n 1, siendo A y b conocidos


Regla de Cramerdet(Ai ) xi = , det(A) donde, Ai es la matriz A con la i-esima columna remplazada por b Nmero de operaciones para el clculo de cada determinante se requieren (n 1)n! multiplicaciones y (n! 1) sumas evaluar (n + 1) determinantes realizar n divisiones En total son (n2 + n)n! 1 operaciones


Eliminacin de Gausstransformar mediante operaciones lineales entre las a Ax = b donde, L 2 l11 6 6 l 21 6 6 . 6 . 6 . 6 6 6 ln11 4 ln1 0 l22 . . . ln12 ln2 0 0 .. . .. . ln1n1 lnn1 0 0 . . . 0 lnn 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 u11 0 . . . 0 0 u12 u22 .. . .. . 0 0 U u1n1 u2n1 . . . un1n1 0 u1n u2n . . . un1n unn 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 en Lx = c o en Ux = d ,

Triangular Inferior

Triangular Superior


Eliminacin de GaussSustitucin hacia atrs Triangular Inferior x1 = c1 /l11 i = 2, 3, . . . , n xi = (ci i1 j=1 lij xj )/(lii )

Triangular Superior xn = dn /unn i = n 1, n 2, . . . 1 xi = (di n j=i+1

uij xj )/(uii )

Para obtener, por ejemplo, la matriz U y el vector d a partir de A y b se procede de la siguiente forma sobre la matriz ampliada = A|b aij = aij a1j ai1 /a11 ,(1) (1) (0) (0) (0) (0)

i = 2, 3, . . . , n ,

j = 1, 2, . . . , n + 1 ;

donde, aij es el elemento que est en la la i, columna j de luego de aplicarle una transformacin y aij es el elemento original. Analisis Numerico p. 87/196

(0)

Eliminacin de GaussNote que ai1 = 0 i > 1. En este paso a a11 se le conoce como el pivote. Para acomodar la segunda columna de usamos a a22 como pivote aij = aij a2j ai2 /a22 ,(2) (1) (1) (1) (1)

i = 3, 4, . . . , n ,

j = 2, 3, . . . , n + 1 ;

Repitiendo este proceso para tenemos que aij = aij con k = 1, 2 . . . , n 1 , donde, akk(k1) (k) (k1)

akj

(k1) (k1) (k1) aik /akk

,

i = k + 1, k + 2, . . . , n ,

j = k, k + 1, . . . , n + 1 ;

es el pivote de la k-esima transformacin Analisis Numerico p. 88/196

Eliminacin de GaussAsi que (0) a11 (0) a12 (1) a22 (0) a13 (1) a23 (2) a33

U =

0 0 . . . 0

0 . . . 0

..

.

.. . 0

(0) a1n (1) a2n (2) a3n

. . . ann(n1)

d=

(0) a1n+1 (1) a2n+1 (2) a3n+1

. . . ann+1(n1)

Note que para que la eliminacin de Gauss funcione todos los n 1 (k1) tienen que ser distintos de cero. Pero en la prctica esto pivotes akk no es todo, porque pivotes pequeos pueden provocar que el error de redondeo aumente


Eliminacin de GaussCrecimiento del error por pivotes pequeosa 1.406 0.0004 1.402 x , 1 = x2 2.501 0.4003 1.502

0.4003 = 1001 0.0004

Aplicando la eliminacin de Gauss tenemos que 1.406 0.0004 1.402 x 1 = 1404 0 1405 x2 de donde se obtiene que x2 =a

1.406 1.402 0.9993 1404 = 0.9993 y x1 = = 12.5 1405 0.0004 Analisis Numerico p. 90/196

usando aritmetica de punto otante de cuatro cifras decimales

Eliminacin de Gauss4 3 2 Solucin exacta o

x2

1 0 1 2 0 5

x

Solucin aproximada o

10

15

20

x1 Analisis Numerico p. 91/196

Eliminacin de GaussCrecimiento del error por pivotes pequeosa Si ahora usamos la eliminacin de Gauss con una matriz L tenemos 1.406 0.0004 1.402 x 1.402 , 1 = = 0.9334 1.502 2.501 0.4003 1.502 x2

Aplicando la eliminacin de Gauss tenemos que 3.74 x 0.374 0 de donde se obtiene que 1 = 2.501 x2 0.4003 1.502 x1 =a

3.74 2.501 0.4003 10 = 10 y x1 = =1 0.374 1.502 Analisis Numerico p. 92/196

usando aritmetica de punto otante de cuatro cifras decimales

Eliminacin de GaussEstrategias de pivoteo Pivoteo Parcial: Se escoje r tal que ark(k1)

= max ( aikkin

(k1)

)

luego se intercambian la la k con la la r Menos efectivo, menos costoso, ms usado Pivoteo Total: Se escoje r y s tales que(k1) ars = max ( aij ki,jn (k1)

)

Se intercambian la la k con la r y la columna k con la s Ms efectivo, ms costoso, menos usado Analisis Numerico p. 93/196

Eliminacin de GaussEntrada: n, A[n,n+1] Salida: Las x[n] gauss(n, A, x) para k 1 hasta n | f[k] k para k 1 hasta n-1 | r k | para i k+1 hasta n | | si (A[i,k] > A[r,k] | | | r i | | si A[r,k] = 0 | | | escribir("Singular") | | | retornar | | si (k = r) | | | aux f[k] | | | f[k] f[r] | | | f[r] aux| | m A[f[i],k]/A[f[k],k] | | para j k hasta n+1 | | | A[f[i],j] A[f[i],j] | | | - mA[f[k],j] si A[f[n],n] = 0 | escribir("Singular") x[n] A[f[n],n+1]/Af[n],n] para i n-1 hasta 1 | x[i] 0 | para j i+1 hasta n | | x[i] x[i] | | + A[f[i],j]x[j] | x[i] (A[f[i],n+1] | - x[i])/A[f[i],i] retornar Analisis Numerico p. 94/196

Eliminacin de GaussComentarios El nmero de operaciones es aproximadamente 2 n2 3 Si se quieren resolver varios sistemas con la misma matriz A la matriz ampliada ser = A|b1 |b2 |

Para el clculo de la inversa de la matriz A aplicamos el mtodo de la eliminacin de Gauss a la matriz ampliada = A|I, donde I es la matriz identidad

El determinante de A se puede calcular a partir de la diagonal de la matriz triangularn

det(A) = (1)sk=1

akk

(k1)

,

donde s es el nmero de intercambios de las realizados por las estrategia de pivoteo parcial Analisis Numerico p. 95/196

Factorizacin LUSi la matriz A se usa varias veces es conveniente factorizarla usando una matriz triangular inferior L y una triangular superior U A = LU ; Ax = b Ly = b , Ux = y

Donde, conocidas L y U se requieren n2 operaciones para resolver el sistema Ax = b2 1 6 6 6 l21 6 6 l 6 31 6 . 6 . 6 . 6 6 6 ln11 4 ln1 0 1 l32 0 0 1 .. . ln3 0 0 0 .. . ln1n2 . . . 1 lnn1 0 7 7 0 7 7 0 7 7 7 , 7 7 7 7 0 7 5 1 3

L=

lik =

8 > a(k1) < ikakk

(k1)

, si i k , si i < k

ln12 ln2

> :0


Factorizacin LU U= (0) a11 (0) a12 (1) a22 (0) a13 (1) a23 (2) a33

0 0 . . . 0

0 . . . 0

..

.

.. . 0

(0) a1n (1) a2n (2) a3n

. . .

ann

(n1)

Teorema: La factorizacin LU de una matriz A no singular en nica. Corolario: det(A) = det(LU) = det(L) det(U) =n k=1

,

aij = aij

(k)

(k1)

lik akj

(k1)

k = 1, 2, . . . , n 1 i, j = k + 1, k + 2 . . . n

akk

(k1)

Si se utilizan estrategias de pivoteo parcial o total, la factorizacin LU ser de la matriz permutada PA donde la matriz P, llamada matriz de permutacin, es el resultado de realizar las permutaciones hechas en A en la matriz identidad I Analisis Numerico p. 97/196

Mtodo de CholeskySi la matriz A es simtrica y denida positiva no es necesario aplicar estrategias de pivoteo Teorema de Cholesky: Sea A una matriz simtrica denida positiva. Entonces existe una nica matriz triangular inferior L con lii = 0 tal que A = LLT A es simtrica si: A = AT , aij = aji i, j

A1 , si existe es simtrica Las submatrices principales de A son simtricas


Mtodo de CholeskyA es denida positiva si: xT Ax > 0 aii > 0 i AT es denida positiva A1 siempre existe A1 es denida positiva x=0

Las submatrices principales son denidas positivas det(A) > 0 Los menores principales son positivos

Una matriz simtrica es denida positiva si y solo si todos sus menores principales son positivos (Teorema de Sylvester) Para la demostracin del teorema de Cholesky ver las notas del curso "Anlisis Numrico", de la Prof. Mara C. Trevisan. http://www.matematicas.ula.ve/publicaciones/guias/cursonum.pdf Analisis Numerico p. 99/196

Mtodo de CholeskyEl mtodo requiere n3 /3 operaciones, la mitad de las 2n3 /3 operaciones requeridas para la factorizacin LU Se deben calcular n raices cuadradas Los elementos lii de L pueden ser diferente de 1 Si se quiere eliminar el clculo de las n raices cuadradas se puede modicar la factorizacin a A = LDLT , donde,i1

lii = 1 ,

li1 = ai1

y lij =

aij

2 ljk dkk k=1

/dii

y D es una matriz diagonal coni1

d11 = a11

y

dii = aii

2 lij djj j=1 Analisis Numerico p. 100/196

Mtodo de CholeskyEntrada: n, A[n,n],b[n] Salida: Las x[n] cholesky(n, A, b x) para i 1 hasta n | para j 1 hasta i-1 | | v[j] = l[i,j]d[j] | d[i] A[i,i] | para j 1 hasta i-1 | | d[i] d[i] | | - l[i,j]v[j] | para j i+1 hasta n | | l[i,j] A[j,i] | | para k 1 hasta i-1 | | | l[i,j] l[i,j] | | | - l[j,k]v[k] | | l[i,j] l[j,k]/d[i]

para i 1 hasta n | y[i] b[i] | para j 1 hasta i-1 | | y[i] y[i] | | - l[i,j]y[j] para i 1 hasta n | z[i] y[i]/d[i] para i n hasta 1 | x[i] z[i] | para j i+1 hasta n | | x[i] x[i] | | - l[j,i]x[j] retornar


Matrices Tridiagonalesa11 a21 0 A= . . . 0 0 a12 a22 a32 .. . 0 a23 a33 .. . 0 0 0 0 a34 .. . an1n2 0 .. . .. . an1n1 ann1 0 0 . . . 0 an1n ann

Si la matriz A es no singular entonce podemos factorizarla A = LU , donde,


Matrices TridiagonalesL .. . .. . .. . 0 U 0 0 v3 .. . 0 0

donde, vi = aii+1 ,

1 l 1 0 0 . . . 0

0 1 l2 0 .. .

0 0 1 .. .. . .

0 0 . . . 0 1 ln1

0 0 . . .

0

0 0 1

u1 0 0 . . . 0 0

v1 u2 0 .. . 0

0 v2 u3 .. . 0

.. . .. . .. . un1 0

0 . . . 0 0 vn1 un

u1 = a11 ,

ai+1i li = , ui1

ui = aii li vi1


Normas Vectoriales y MatricialesDenicin: Una norma vectorial en Rn es una funcin, R con las siguientes propiedades: x 0 ax = |a| x = 0 si y slo si x = 0 x + x+y x y a R y x Rn x, y Rn x Rn , de Rn en

Denicin: Sea x = (x1 , x2 , . . . , xn )T un vector en Rn , las normas x p y x vienen dadas porn 1/p

x La norma La norma x x

p= i=1 2

|xi |p

y

x

=

1in

max |xi |

se conoce como norma Euclidiana se conoce como norma uniforme Analisis Numerico p. 104/196

Normas Vectoriales y MatricialesDenicin: Sean x = (x1 , x2 , . . . , xn )T y y = (y1 , y2 , . . . , yn )T dos vectores en Rn , las distancias lp y l entre x y y vienen dadas porn 1/p

xy

p= i=1

|xi yi |p

y

xy

=

1in

max |xi yi |

Ejemplo 1: Si x = (1, 1, 1)T y y = (1.1, 0.99, 1.04)T xy2=

0.1081665 ,

xy

=

0.1

Ejemplo 2: Si x = (1, 1, 1)T y y = (1.1, 0.999999, 1.0000001)T xy2

0.1 ,

xy

=

0.1


Normas Vectoriales y MatricialesDenicin: Se dice que una sucesin {x(k) } converge a x k=1 respecto a la norma si dado cualquier > 0, existe un entero N () tal que x(k) x < , k N () . Teorema: La sucesin de vectores {x(k) } converge a x respecto a la norma si y slo sik

lim xi

(k)

= xin

,

i = 1, 2, . . . , n .

Teorema: Para todo x R , x x 2 n x Demostracin: Sea xj la coordenada de x tal que x Entoncesn n

=

|xj |. x2

x

2 =

x2 j

x2 = x ii=1

2 2

x2 = nx2 = n j ji=1


Normas Vectoriales y MatricialesDenicin: Una norma matricial en Rn,n es una funcin, en R tal que: A 0 A = 0 si y slo si A = 0 aA = |a| A + B A+B A AB A B a R y A Rn,n A, B Rn,n A, B Rn,n A Rn,n , de Rn,n

Denicin: Dada una norma vectorial en Rn , se dene la norma matricial inducida pora dicha norma vectorial como A = maxx=0a

Ax x

= max

x =1

Ax

Tambien se le llama subordinada a la norma vectorial


Normas Vectoriales y MatricialesTeorema: Si A = (aij ) es una matriz n n, entoncesn

A

1=

maxj i=1

|aij |

Teorema: Si A = (aij ) es una matriz n n, entoncesn

A

=

maxi j=1

|aij |

Teorema: Si A = (aij ) es una matriz n n, entonces A2=

((AT A) ,

donde, (A) es el radio espectral de A y se dene como (A) = max || y (A) es el espectro de autovalores de A(A) Analisis Numerico p. 108/196

ErroresPor lo general, la solucin calculada numricamente x x = A1 b Ax = b r ,

donde r es el vector residual. Se puede pensar erroneamente que un vector residual pequeo est asociado a un error pequeo, por ejemplo, si la solucin numrica el sistema 0.9999x1 x1 1.0001x2 x2 =1 =1 ,

es x = (1 , 0)T , el vector residual r = (0.0001 , 0)T es pequeo y a pesar de esto el error, que viene dado por la expresin x x = x A1 b , es grande, ya que la solucin exacta es x = (0.5 , 0.5)T Analisis Numerico p. 109/196

ErroresError Absoluto Teorema: Si x es una aproximacin de la solucin de Ax = b y A es una matriz no singular, entonces para cualquier norma subordinada el error absoluto xx r A , Demostracin: De la denicin del vector residual tenemos que r = b Ax = Ax Ax = A(x x) de donde se obtiene x x = A1 r A1 r x x = A1 r


ErroresError Relativo Teorema: Si x es una aproximacin de la solucin de Ax = b y A es una matriz no singular, entonces para cualquier norma subordinada el error relativo xx x r b A A1 , si x = 0, b = 0

Demostracin: Como b = Ax b A x x b b A / A ,

Dividiendo al error absoluto por x y a su cota por tenemos que xx r A A1 x b


ErroresNmero de condicin Denicin: El nmero de condicin de una matriz no singular A relativo a la norma es K(A) = A A1 Con esta denicin los errores absoluto y relativo se pueden escribir como r x x K(A) A , xx x r b A A1

Una matriz A est bien condicionada si K(A) esta cerca de 1 y est mal condicionada si K(A) 1 Un buen condicionamiento garantiza que un vector residual pequeo implica que el error de la solucin aproximada es pequeo. Calcule el nmero de condicin para la matriz del problema anterior Analisis Numerico p. 112/196

Metodos IterativosPara resolver el problema Ax = b , un mtodo iterativo comienza con una aproximacin inicial de la solucin x(0) , y genera una sucesin de vectores {x(k) } que k=0 converge a la solucin x; convirtiendo el problema en uno equivalende de la forma x = Bx + c , donde, B es una matriz constante n n y c es un vector columna tambin constante. Si una sucesin de vectores {x(k) } tiende a x, es decir que k=0k

lim

x(k) x = 0 ,

entonces, x(k) es solucin de x = Bx + c y Ax = b Analisis Numerico p. 113/196

Mtodos IterativosVeremos que para generalizar, es conveniente expresar a la matriz A como A = D(L + I + U) , donde,I en la matriz identidad; aii dij = 0 aij /aii , si j < i lij = 0 , si j i

, si j = i ; , si j = i aij /aii 0 , si j > i , si j i

;

uij =


Mtodos IterativosDespejamos por cada una de las equaciones una variables diferente, por ejemplo 4x1 + 3x2 + x3 x1 + 5x2 x3 2x1 + 3x2 + 3x3 = = = 1 2 4 x1 x2 x33 = x2 + 1 x3 4 4 1 = 5 x1 + 1 x3 + 5 2 = 3 x1 x2 + 1 4 2 5 4 3

En general podemos decir que xi = bi j=i

Ordenando las equaciones de tal forma que todos los aii = 0

aij xj /aii

,

i = 1, 2 . . . , n


Mtodo de JacobiPara calcular la sucesin de vectores {x(k) } comenzamos con un k=0 vector inicial x(0) y usando la expresin anterior calculamos i = 1, 2, . . . , n (k+1) (k) xi = bi aij xj /aii , k = 0, 1, . . . j=i Escrito en forma vectorial tenemos x(k+1) = (L + U)x(k) + D1 b , es decir que en la expresin iterativa x(k+1) = Bx(k) + c , k = 0, 1, . . .

la matriz de iteracin B y el vector c vienen dados por BJ = (L + U) , cJ = D1 b Analisis Numerico p. 116/196

Mtodo de JacobiEntrada: n,A[n,n],b[n],x[n],t,m Salida: x[n], e jacobi(n, A, b, t, m, x, e) k 0 repita | k k + 1 | para i 1 hasta n | | xa[i] x[i] | para i 1 hasta n | | x[i] b[i] | | + A[i,i]xa[i] | | para j 1 hasta n | | | x[i] x[i] | | | - A[i,j]xa[j] | | x[i] x[i]/A[i,i]| para i 1 hasta n | | d[i] x[i] - xa[i] | si(norma(n,d)> tol) | | e verdadero | sino | | e falso hasta(( e) (k>m)) retornar

Note que para la condicin de parada estamos usando la funcin norma que calcula la norma vectorial de e


Mtodo de Gauss-SeidelPara calcular la sucesin de vectores {x(k) } comenzamos con un k=0 vector inicial x(0) , pero a diferencia del mtodo de Jacobi donde para (k+1) calcular el valor de xi se usan solamente los valores estimados en (k+1) la iteracin anterior, en este mtodo para calcular el valor de xi usamos los xj , j = 1, 2, . . . i 1 valores ya calculados de la iteracin actual y xj , j = i + 1, i + 2, . . . n valores de la iteracin anterior. n i1 i = 1, 2, . . . , n (k+1) (k) (k+1) bi aij xj xi aij xj /aii , = k = 0, 1, . . . j=i+1 j=1 Escrito en forma vectorial tenemos x(k+1) = Lx(k+1) Ux(k) + D1 b ,


Mtodo de Gauss-Seidelde donde y por lo tanto (I + L)x(k+1) = Ux(k) + D1 b , ,

x(k+1) = (I + L)1 Ux(k) + (I + L)1 D1 b es decir que en la expresin iterativa x(k+1) = Bx(k) + c , k = 0, 1, . . .

la matriz de iteracin B y el vector c vienen dados por BGS = (I + L)1 U , cGS = (I + L)1 D1 b


Mtodo de Gauss-SeidelEntrada: n,A[n,n],b[n],x[n],t,m Salida: x[n], e gs(n, A, b, t, m, x, e) k 0 repita | k k + 1 | para i 1 hasta n | | xa[i] x[i] | para i 1 hasta n | | x[i] b[i] | | para j 1 hasta i-1 | | | x[i] x[i] | | | - A[i,j]x[j] | | para j i+1 hasta n | | | x[i] x[i] | | | - A[i,j]xa[j]| | x[i] x[i]/A[i,i] | para i 1 hasta n | | d[i] x[i] - xa[i] | si(norma(n,d)> tol) | | e verdadero | sino | | e falso hasta(( e) (k>m)) retornar

Note que para la condicin de parada estamos usando la funcin norma que calcula la norma vectorial de d


Mtodos IterativosUnicidad La ecuacin vectorial x = Bx + c tiene una nica solucin ya que (I B)1 existe. Para Jacobi viene expresada como I BJ = L + I + U = D1 A y para Gauss-Seidel como I BGS = I + (I + L)1 U = (I + L)1 (I + L) + (I + L)1 U = (I + L)1 (L + I + U) = (I + L)1 D1 A

Convergencia Lema 1: Si el radio espectral (B) < 1 entonces (I B)1 existe y adems (I B)1 = I + B + B2 + =

Bk

k=0 Analisis Numerico p. 121/196

Mtodos IterativosConvergencia Lema 2: Las siguientes armaciones son equivalentes 1. limk ak = 0 ij 2. limk 3. (A) < 1 Lema 3: (A) < A , para cualquier norma inducida Prueba: Sea tal que (A) = || y u su autovector asociado. Entonces Au = u Au = || u (A) = || = Au u maxx=0

Ak = 0 x

4. limk Ak x = 0

Ax x

= A


Mtodos IterativosConvergencia Teorema: Para cualquier x(0) Rn , la sucesin {x(k) } k=0 determinada por x(k+1) = Bx(k) + c , k = 0, 1, . . . y c=0

converge a una solucin nica, x = Bx + c, si y slo si (B) < 1 Demostracin x(1) x(2) x(3) . . . x(k) = = = . . . = Bx(0) + c Bx(1) + c = B2 x(0) + (B + I)c Bx(2) + c = B3 x(0) + (B2 + B + I)c . . . Bx(k1) + c = Bk x(0) + (Bk1 + + B + I)ck1 j=0

= Bk x(0) +

Bj c


Mtodos IterativosConvergencia Si (B) < 1, lim x(k) = lim Bk x(0) + lim k k lema2

k

k1 j=0

lema1

Bj c

,

entonces,k

lim x(k) = (I B)1 c

es decir, la sucesin {x(k) } converge si (B) < 1 k=0


Mtodos IterativosConvergencia Por otro lado, sea {x(k) } tal que k=0k

lim x(k) = x

entonces, x = Bx + c y x(k) = Bx(k1) + c, y el error viene dado por x x(k) = = = = Bx + c Bx(k1) c = Bx Bx(k1) = B(x x(k1) ) B(Bx + c Bx(k2) c) = B2 (x x(k2) ) Bk (x x(0) ) Por lo quek

lim x x(k) = lim Bk (x x(0) ) = 0k

y como el error inicial es arbitrario, del lema 2 tenemos que (B) < 1


Mtodos IterativosConvergencia Por el lema 3 tenemos que Corolario: Una condicin suciente para que un mtodo iterativo estacionario x(k) = Bx(k1) + c converja para toda aproximacin inicial x(0) es que B < 1 para alguna norma matricial inducida; y el error est acotado por x x(k) B x x(k) k

B 1 B

x x(0)

x(k) x(k1)

La segunda cota viene de x x(k) = B(x x(k1) ) = B(x x(k) ) B(x(k) + x(k1) ) x x(k) B x x(k) + B x(k) + x(k1) Analisis Numerico p. 126/196

Mtodos IterativosConvergencia La convergencia de los mtodos iterativos estacionarios es lineal x x(k) B El criterio de parada viene dado por B 1 y para estimar el valor de B B x(k) x(k1) tenemos que para k grande x(k1) x(k2) x + x(k1)

x(k) x(k1) B por lo que B

x(k) x(k1) x(k1) x(k2) Analisis Numerico p. 127/196

Metodo de RelajacinEn trminos del vector residual el mtodo de Gauss-Seidel se puede escribir como xi con(k) ri (k+1)

= xi

(k)

+ ri

(k)

,

i = 1, 2, . . . , n

Si modicamos el mtodo anterior a xi(k+1)

=

i1 (k) aij xj j=1

n

+j=i+1

(k1) /aii aij xj (k)

,

i = 1, 2, . . . , n k = 0, 1, . . .

= xi

(k)

+ ri

,

i = 1, 2, . . . , n

cuya forma matricial es x(k+1) = x(k) + (Lx(k+1) Ux(k) Ix(k) ) + D1 b , obtenemos Analisis Numerico p. 128/196

Metodo de RelajacinB = (I + L)1 ((1 )I U) , c = (I + L)1 D1 b

Para ciertos valores de la convergencia del mtodo mejora Para 0 < < 1, el mtodo se llama de subrelajacin y logra converger para algunos casos en los que el mtodo de Gauss-Seidel diverge Para > 1, el metodo se llama de sobrerelajacin o S.O.R Succesive Over-Relaxation y acelera la convergencia Teorema de Kahan: Si aii = 0 i, entonces (B ) | 1|. Es decir que para que el mtodo converja, (B ) < 1, nesesariamente 0 < < 2. Demostracin: Por un lado tenemos que det(B ) = 1 2 n ,

donde, 1 , 2 , . . . , n ; son los autovalores de B Analisis Numerico p. 129/196

Metodo de RelajacinPor otro lado, det(B ) = det (I + L)1 ((1 )I U) = det (I + L)1 det ((1 )I U) = (1 )n ,

de lo anterior tenemos que |1 |n = |1 ||2 | |n | (B )n 1 es decir, 0m)) | | para j 1 hasta i-1 retornar | | | x[i] x[i] Note que para la condicin de | | | - A[i,j]x[j] parada estamos usando la fun| | para j i+1 hasta n cin norma que calcula la nor| | | x[i] x[i] ma vectorial de d | | | - A[i,j]xa[j] Analisis Numerico p. 132/196

ErroresSe puede demostrara que si usamos aleminacin gaussiana con aritmtica de t dgitos, que el vector residual r de la solucin aproximada x de Ax = b puede aproximarse a r 10t A x

Para calcular una aproximacin del nmero de condicin K(A) resolvemos el sistema Ay = r, cuya solucin aproximada y A1 r = A1 (b Ax) = A1 b A1 Ax = x x ; lo que implica que y xx A1 r 10t A1K(A)a

A

x

Forsythe G.E., Moler C.B., Computer solution of linear algebraic systems, Prentice-Hall, Englewood

Cliffs, NJ, 1967, 148 pp


Erroresde donde obtenemos que K(A) 10t

y x

Ejemplo: En el sistema lineal siguiente tiene por solucin a x = (1, 1)T 1 1 2999 6666 x1 x2 = 3000 6667

Aplicando eliminacin de Gauss con aritmtica de t = 5 dgitos 0.5501 0 1 6666 x1 x2 = 0.49489 6667


Errores La solucin aproximada del sistema es x = (0.89964, 1)T El vector resudual correspondiente a x es r = b Ax = 0.10036 0.10036 , r=

0.10036

Para estimar el nmero de condicin resolvemos el sistema Ay = r , obteniendo y = 0.10036 0

Utilizando la estimacin tenemos que K(A) 105

y x

= 10036 ;

K(A) = 12117.69


Mtodo de Renamiento IterativoPara el clculo aproximado del nmero de condicin estimamos el error mediante la expresin xxy El mtodo consiste en calcular a partir de un valor inicial de x el vector residual r, luego con este ltimo calculamos el vector y y nalmente usamos a y para calcular una nueva solucin aproximada x r(k) LUy(k) x(k+1) = b Ax(k) = r(k) = x(k) + y(k)

En general, x + y aproxima mejor a x que x.


Mtodo de Renamiento IterativoComentarios: Una vez factorizada la matriz A = LU en cada iteracin se requieren 2n2 operaciones Si el sistema est bien condicionado con una o dos iteraciones se obtiene la solucin exacta. Con aritmtica de t dgitos, un sistema con K(A) 10q luego de k iteraciones el nmero de dgitos correctos en la solucion es aproximadamente min(t, k(t q)) En general la solucin en sistemas mal condicionados puede mejorarse signicativamente excepto cuando K(A) > 10t


Teora de InterpolacinInterpolacin polinomial Forma de Lagrange del polinomio interpolatorio Diferencias divididas. Forma de Newton del polinomio de interpolacin Diferencias progresivas y regresivas. Diferencias divididas con nodos repetidos Convergencia de los polinomios interpolatorios. Nodos de Polinomios de Chebyshev Interpolacin con funciones splines. Splines cbicas


InterpolacinDenicin: proceso de obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. Problemas: Teniendo de cierto nmero de puntos, obtenidos por muestreo o a partir de un experimento, se quiere construir una funcin que los ajuste. Aproximacin de una funcin complicada, es decir una funcin cuyo clculo resulta costoso; por una ms simple. Esto se logra partiendo de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple En general, se trata de obtener una funcin f (x), denominade funcin interpolante, a partir de n puntos distintos (xk , yk ), llamados nodos, tal que f (xk ) = yk , k = 1, . . . , n


Interpolacin de TaylorUsa el desarrollo de Taylor de una funcin en un punto,x0 para construir un polinomio de grado n que la aproxima.n

P (x) =i=1

f (i) (x0 ) (x x0 )i i!

;

f (n+1) ((x)) (x) = (x x0 )n+1 (n + 1)!

Ventajas: Slo necesita de un punto x0 de la funcin El clculo es sencillo comparado con otras formas de interpolacin polinmica Desventajas: Se debe conocer a la funcin Requiere que la funcin sea sucientemente diferenciable en un entorno a x0 El error de interpolacin por lo general crece al alejarse de x0 Analisis Numerico p. 140/196

Interpolacin de Taylor2

1

sin(x)

P1 (x)

P5 (x)f (x) = sin(x)

P13 (x) f (x)0

P1 (x) = x P3 (x) = x x3 6

1

P5 (x) =

P3 (x)2 2 0 2

x3 x5 x 6 + 120

x


Interpolacin de Taylor(x) = | sin(x) Pn (x)|100 10 1 0.1

P3 (x) P1 (x)

(x)0.01 0.001 0.0001 1e 05 2 0

P5 (x) P13 (x)

2

x Analisis Numerico p. 142/196

Interpolacin LinealEs la ms simple de las interpolaciones. Supongamos que se quiere calcular el valor una funcin f (), de la x cual conocemos un conjunto de puntos {(xi , f (xi )}, i = 0, 1, . . . , m; con xi < xi+1 i < m, y xi < x < xi+1

El polinomio interpolatorio lineal que aproxima a f () viene dado por x la expresin x xi (f (xi+1 ) f (xi )) P (x) = f (xi ) + xi+1 xia1

, reordenandoa0

f (xi+1 ) f (xi ) f (xi+1 ) f (xi ) P (x) = x + f (xi ) xi+1 xi xi+1 xi P (x) = a1 x + a0 Analisis Numerico p. 143/196

Interpolacin Linealf (x) =1 x

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 3 5 7 9 11

f (x)

x Analisis Numerico p. 144/196

Interpolacin PolinomialEn general, una mejor aproximacin a f (x) se puede obtener con un polinomio de grado mayor. Teorema: Dados n + 1 puntos distintos {(xi , f (xi )}, i = 0, 1, . . . , n existe un nico polinomio de grado n que interpola a f (x) Demostracin: Supongamos que existen dos polinomios P (x) y Q(x) que interpolan al conjunto de puntos. la diferencia entre los dos polinomios viene dada por R(x) = P (x) Q(x) , donde, R(x) es un polinomio de grado n. Como f (xi ) = P (xi ) = Q(xi ), i = 0, 1, . . . , n; entonces R(x) tiene n + 1 ceros, sin embargo como el grado de R(x) es a lo sumo n solamente podra tener n ceros, As que R(x) no puede existir a menos que sea igual a cero. Es decir P (x) = Q(x) Analisis Numerico p. 145/196

Interpolacin PolinmicaConocidos m + 1 puntos, x0 , x1 , . . . xm ; si se usan: 2 puntos P (x) = a0 + a1 x 3 puntos P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ...

4 puntos P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 n + 1 puntos con n m P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an1 xn1 + an xn A diferencia del caso lineal, el clculo de los n + 1 coecientes de los polinomios de grado n > 1 no es tan fcil de calcular Existen diferentes mtodos para el clculo de los coecientes


Mtodo DirectoCon los n + 1 puntos podemos plantear el sistema de ecuaciones Pn (x0 ) = a0 + a1 x0 + a2 x2 + + an1 xn1 + an xn 0 0 0 Pn (x1 ) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + + an1 xn1 + an xn 1 1 1 . . . . . . . . . Pn (xn ) = a0 + a1 xn + a2 x2 + + an1 xn1 + an xn n n n = f (x0 ) = f (x1 ) . . . . . . = f (xn )

Note que las n + 1 incognitas son los coecientes de los polinomios ai y no las xi , como es lo acostumbrado La matriz del sistema, Vm a , viene dada por 2 n 1 x0 x0 x0 1 x1 x2 xn 1 1 . Vn a = f(x) donde Vn = . . . .. . . . . . . . . . 1 xn x2 n xn na

Llamada matriz de Vandermonde


Mtodo de LagrangeEl polinomio interpolatorio de Lagrange tiene la forman

Pn (x) = f (x0 )L0 (x)+f (x1 )L1 (x)+ +f (xn )Ln (x) =

f (xi )Li (x)i=0

,

Una forma de construirlos es usando la expresin Li (x) =

donde, Li (x), i = 0, 1, . . . , n son polinomios construidos para que 1 , si i = j Li (xj ) = 0 , si j = i (x x0 )(x x1 ) (x xi1 )(x xi+1 ) (x xn ) (xi x0 )(xi x1 ) (xi xi1 )(xi xi+1 ) (xi xn )

Los Li (x) se llaman polinomios de Lagrange Analisis Numerico p. 148/196

Mtodo de Lagrange Ejemplo: Conocidos los puntos (0, 0); (/6, 1/2); (/3, 3/2) y (, 1); calcular el polinomio interpolador de grado 3 que pasa por los 4 punto. P (x) = +(x/6)(x/3)(x) (0/6)(0/3)(0) 0

+

(x0)(x/3)(x) 1 (/60)(/6/3)(/6) 2

(x0)(x/6)(x) 3 (/30)(/3/6)(/3) 2

+

(x0)(x/6)(x/3) (0)(/6)(/3) 1

P (x) = 1.0204287x 0.065470801x2 0.11387190x3


Mtodo de Lagrange2 10 1 1 0.1

f (x)

0

(x)

0.01 0.001

1 2 2

1e 04 0 2 1e 05 0 /2

x

x

Rojo f (x) = sin(x). Azul polinomio interpolatorio de grado 3. Verde Polinomio de Taylor de grado tres en x0 = 0


Mtodo de LagrangeEjemplo: dados los puntos (1, 1), (1.2, 0.8333), (3, 0.3333), (5, 0.2), (6, 0.1667) y (9, 0.1111) calcular el valor de la funcin en x = 4 0.4 1 0.35 0.8 0.3 0.6 0.4 0.2 0 1 3 5 7 9 11

f (x)

f (x)0.25 0.2 0.15 3 3.5 4 4.5 5

x

x

Rojo f (x) = 1/x. Verde P1 (x).

Azul P2 (x). Violeta P3 (x) Analisis Numerico p. 151/196

Error del polinomio interpolatorioTeorema: Sean f (x) una funcin (n + 1) veces continuamente diferenciable en el intervalo I = (mini=0:n (xi ), maxi=0:n (xi )); Pn (x) el polinomio de interpolacin de f (x) en los puntos x0 , x1 , . . . , xn ; y x un punto en el intervalo I. Entonces existe un I tal que () = f () Pn () = f x x xn+1

() x () (n + 1)!

donde, (x) = (x x0 )(x x1 ) (x xn ). Demostracin: Si x = xi el error () y no es necesario interpolar. x Para x = xi , i = 0, 1, . . . , n denamos una nueva funcin g(x) tal que f () Pn () x x g(x) = f (x) Pn (x) (x) () x La funcin g(x) tiene (n + 2) raices en el intervalo I: g(xi ) = 0 , i = 0, 1, . . . , n y g() = 0 x Analisis Numerico p. 152/196

Error del polinomio interpolatorioNote que () = 0 y f (x), Pn (x) y (x) son continuas y diferenciables x entonces g(x) es contnua y diferenciable podemos aplicar el Teorema de Rolle o del Valor Medio: Sea g(x) y su derivada g (x) continuas en el intervalo [a, b]. Entonces existe al menos un valor x = en [a, b] tal que g () = g(b) g(a) . ba

As que si g(x) tiene (n + 2) ceros en I, entonces g (x) tendr (n + 1) ceros en I, g (x) tendr (n) ceros en I y as sucesivamente hasta g (n+1) (x) que tendr 1 ceros en I. Llamemos a este punto donde g (n+1) () = 0


Error del polinomio interpolatorioDerivando (n + 1) veces a g(x) respecto a x tenemos g(n+1)

(x) = f

(n+1)

(x) +

(n+1) Pn (x) + (n+1) (x) 0 (n+1)!

f () Pn () x x () x

Evaluando en x = tenemos g (n+1) () = f (n+1) () + (n + 1)! de donde obtenemos () = f () Pn () = f (n+1) () x x x () x (n + 1)! f () Pn () x x =0, () x

Solamente se puede usar en funciones donde la (n + 1) derivada tiene una cota conocida en el intervalo I.


Mtodo de NewtonAlgortmicamente, el mtodo de Lagrange, presenta un problema: para pasar de un polinomio de interpolacin de grado n a uno de grado (n + 1) hay que iniciar los clculos desde el principio, es decir que no se pueden utilizar los coecientes de Pn para calcular los de Pn+1 . El mtodo de Newton, que es algortmicamente ms eciente, construye el polinomio de interpolacin Pn cuando se conoce el polinomio de interpolacin de grado (n 1).Pn1 (x)

Pn (x)

= a0 + a1 (x x0 ) + a2 (x x0 )(x x1 ) + + an (x x0 )(x x1 ) (x xn1 ) = Pn1 (x) + an (x x0 )(x x1 ) (x xn1 )

Pn (x)


Mtodo de NewtonUsando la notacin de diferencias divididasa tenemos P0 (x) P1 (x) P2 (x) = f (x0 ) = f [x0 ] = f (x0 ) + = f (x0 ) +f (x1 )f (x0 ) (x x1 x0 f (x1 )f (x0 ) (x x1 x0

x0 ) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x x0 ) x0 ) +f (x2 )f (x1 ) f (x1 )f (x0 ) x2 x1 x1 x0

x2 x0

(x x0 )(x x1 )

= f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) donde, a0 = f [x0 ] ,a

a1 = f [x0 , x1 ] ,

a2 = f [x0 , x1 , x2 ]

Estudiada en el metodo de biseccion para el calculo de raices


Mtodo de NewtonSiguiendo con polinomios de grado cada vez mayor obtenemos Pn (x) donde, an = f [x0 , x1 , . . . , xn ] = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 )+ f [x0 , x1 , . . . , xn ](x x0 )(x x1 ) (x xn1 )


Mtodo de NewtonEjemplo: dados los puntos (1, 1), (1.2, 0.8333), (3, 0.3333), (5, 0.2), (6, 0.1667) y (9, 0.1111) calcular el valor de la funcin en x = 4 x f f [, ] f [, , ] f [, , , ] f [, , , , ] f [, , , , , ] 1 1 -4.167 1.2 0.8333 0.6945 2.778 -0.09425 3 0.3333 0.3175 0.006084 0.06665 0.06383 0.0002426 0.2 0.01112 0.008025 5 0.0333 -0.001238 6 0.1667 0.003693 -0.01853 9 0.1111 Analisis Numerico p. 158/196

Mtodo de NewtonDiferencias Divididas Entrada: f[n], x[n], n Salida: a[n]difDiv(f, x, n, a) para i 0 hasta n | a[i] f[i] para i 1 hasta n | para j n hasta i | | a[j] (a[j]-a[j-1]) | | /(x[j]-x[j-i])

Polinomio de Newton Entrada: a[n], x[n], n, xx Salida: PnpoliInter(a, x, n, xx,Pn) Pn a[n] para i n-1 hasta 0 | Pn a[i] + Pn(xx - x[i])

El subprograma poliInter() recibe como entrada al vector a[] que previamente calcula el subprograma difDiv


Mtodo de NewtonCuando los nodos estn igualmente espaciados podemos usar el operador de Diferencias Progresivas Denida como de orden k 1 se dene con 0 f (x) = f (x) por lo que tenemos ` Pk kj k f (x + jh) k f (x) = j=0 (1) jk f (x0 ) k!hk

Diferencias Regresivas Denida como de orden k 1 se dene con 0 f (x) = f (x) por lo que tenemos ` Pk j k f (x jh) k f (x) = j=0 (1) j Lema: f [xnk , . . . , xn1 , xn ] =k f (xn ) k!hk

f (x) = f (x + h) f (x)

f (x) = f (x) f (x h) k f (x) = k1 f (x) k1 f (x h)

k f (x) = k1 f (x + h) k1 f (x)

Lema:

f [x0 , x1 , . . . , xk ] = donde, k 0


Mtodo de NewtonDiferencias Progresivas Prueba del Lema: Para k = 0 tenemos 0 f (x0 ) f [x0 ] = f (x0 ) = 0!h0 Para k = 1 tenemos f (x + h) f (x) 1 f (x0 ) f (x1 ) f (x0 ) = = f [x0 , x1 ] = x1 x0 h 1!h1 Supongamos que cierta la k y probemos para k + 1 f [x0 , x1 , . . . , xk+1 ] = k f (x1 ) k f (x0 ) k!hk k!hk f [x1 , x2 , . . . , xk+1 ] f [x0 , x1 , . . . , xk ] = xk+1 x0

k+1 f (x0 ) k f (x0 + h) k f (x0 ) = /(r+1)h = (r + 1)!hk+1 (r + 1)!hk+1


Mtodo de NewtonDiferencias Progresivas: Sea x = x0 + sh entonces x xi = (s i)h Pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ] s h + f [x0 , x1 , x2 ] s(s 1) h2 +s (2)2! f [x0 , x1 , x2 , x3 ] s(s 1)(s 2) h3 + +

(s)1! 1

(s)3! 3 f [x0 , . . . , xk ] s(s 1) . . . (s k + 1) hk + +s (k)k! f [x0 , . . . , xn ] s(s 1) (s n + 1) hn s (n)n!

Entonces,n

Pn (x) = Pn (x0 + sh) =k=0

s k f (x0 ) k Analisis Numerico p. 162/196

Mtodo de NewtonDiferencias Regresivas: Como tarea demuestre en primer lugar el lema para el clculo de las diferencias regresivas y luego demuestre que el polinomio de interpolacin de Newton para diferencias regresivas tiene la forman

Pn (x) = Pn (xn sh) =

(1)k=0

k

s k f (xk ) k


Fenmeno de RungeRunge descubri que el polinomio de interpolacin Pn (x) de algunas funciones construido usando puntos equidistantes oscila hacia los extremos del intervalo que si se interpola. Este fenmeno lo observ con la funcin 1 f (x) = 1 + 25x2 usando puntos equidistantes xi [1, 1] tal que 2 xi = 1 + i , n i {0, 1, 2, . . . , n}

Con esta funcin, el error de interpolacin tiende a innito cuando crece el grado del polinomio:n

lim

1x1

max |f (x) Pn (x)|

= .


Fenmeno de Runge2 1.5 1 0.5 0.5 0 0 0.5 1 0.5 0.5 0 0.5 1 1 1 0.5 0 0.5 1 P2 P5 P10 f 2 1.5 1 P10 f

El error entre la funcin f (x) y el polinomio de interpolacin Pn (x) est limitado por el n-esima derivada de f (x). Para el caso de la funcin de Runge la magnitud del valor mximo de las derivadas en el intervalo [1, 1] aumenta al incrementarse el orden, por lo que la cota del error crece a medida que aumenta el grado de Pn (x)


Fenmeno de RungeLa oscilacin se puede minimizar usando nodos de Chebyshev en lugar de nodos equidistantes. En este caso se garantiza que el error mximo disminuye al crecer el orden polinmico. El fenmeno demuestra que los polinomios de grado alto no son, en general, aptos para la interpolacin. El problema se puede evitar usando curvas spline que son polinomios por partes. Cuando se intenta reducir el error de interpolacin se puede incrementar el nmero de partes del polinomio que se usan para construir la s pline, en lugar de incrementar su grado.


Nodos de ChebyshevEl polinomio de interpolacin que resulta del uso de los nodos de Chebyshev reduce al mnimo el problema generado por el fenmeno de Runge. Los nodos de Chebyshev xk = cos (2k + 1) 2(n + 1) , k = 0, 1, . . . , n

son las races del polinomio de Chebyshev de primer tipo Tn+1 (x) = 2xTn (x)Tn1 (x) , Teorema: Tn (x) = cos(n arccos(x)) , de donde Tn (cos()) = cos(n) , n = 0, 1, . . . n 0 y x [1, 1] n > 2 con T0 (x) = 1 y T1 (x) = x


Nodos de ChebyshevDemostracin: Como cos((n + 1)) = cos() cos(n) sin() sin(n) cos((n 1)) = cos() cos(n) + sin() sin(n) tenemos que cos((n + 1)) = 2 cos() cos(n) cos((n 1)) Denamos fn (x) = cos(n arccos(x)) con x = cos() entonces f0 (x) = cos(0 ) = 1 , f1 (x) = cos() = x , fn+1 = cos((n + 1) arccos(cos())) = cos((n + 1)) = 2 cos() cos(n) cos((n 1))x Tn (x) Tn1 (x)

y

= Tn+1 (x) = 2xTn (x) Tn1 (x) Analisis Numerico p. 168/196

Nodos de ChebyshevComo los nodos de Chebyshev estn contenidos en el intervalo xk [1, 1], para obtener los nodos en un intervalo arbitrario xk [a, b] usamos la transformacin 1 1 xk = (a + b) + (b a) cos 2 22 1.5 1 0.5 0.01 0 0.5 1 0.001 1 T10 P10 f

2k 1 . 2n

1

|f (x) T10 (x)| |f (x) P10 (x)|

0.1

0.5

0

0.5

1

0.5

0

0.5

1


Nodos de ChebyshevTeorema: Si Pn (x) es un polinomio mnicoa de grado n, entonces Pn (x)= 1x1

max |Pn (x)|

Tn (x) 2n1

=

1 2n1

Demostracin: Supongamos que existe un polinomio mnico Pn (x) de grado n tal que |Pn (x)| 1 2n1 , x [1, 1] , denamos

Como (Tn (x))/(2n1 ) y Pn (x) son mnicos de grado n entonce el grado de Q(x) es (n 1). En los puntos extremos de Tn (x) xk = cosa

Q(x) = (Tn (x))/(2n1 ) Pn (x)

k n

tenemos que

Tn (xk ) = (1)k=1 Analisis Numerico p. 170/196

Un polinomio monico es aquel cuyo termino de mayor grado an xn tiene por coeciente an

Nodos de ChebyshevEntonces Tn (xk ) (1)k Q(xk ) = n1 Pn (xk ) = n1 Pn (xk ) 2 2 y como Pn (xk ) < 1/2n1 tenemos que Q(xk ) 0 , si k es impar 0 , si k es par , cambia de signo al menos (n + 1) veces,

es decir, que Q(x) tiene al menos n raices. Pero como Q(x) es a lo sumo de grado (n 1) entonces tenemos que Tn (xk ) Pn (xk ) n1 2 Este resultado adems nos permite acotar el error de interpolacin


Error del polinomio interpolatorioSuponiendo que el intervalo de interpolacin sea el I = [1, 1], con x I, el error (x) = |f (x) Pn (x)| = |f n+1 ()| max |(x)| |(x)| max |f n+1 (x)| (n + 1)! (n + 1)!

donde, (x) = (x x0 ) (x xn ) es un polinomio mnico de grado (n + 1). Si los xi son los nodos de Chebyshev, por el teorema anterior max |(x)| = 2n , y en consecuencia max((x)) = max |f (x) Pn (x)| = f (x) Pn (x)xI xI

f n+1 (x) 2n (n + 1)!

Es decir, el error de interpolacin usando los nodos de Chebyshev est acotado.


SplineLa Interpolacin por Splines usa secciones de varios polinomios en distintos intervalos de la funcin a interpolar para evitar problemas de oscilacin como el Fenmeno de Runge.Por ejemplo [0] , si x [x0 , x1 ] Pm (x) [1] Pm (x) , si x [x1 , x2 ] Sm (x) = . . . [n1] Pm (x) , si x [xn1 , xn ]

Denicin: Sea a = x0 < x1 < < xn = b un conjunto de puntos en [a, b]. La funcin spline o trazador de grado m con nodos en los punto xi , con i = 0, 1, . . . , n es la funcin Sm (x) que cumple con Si x [xi , xi+1 ] entonces Sm (x) = Pm (x)[i]

Las primeras (m 1) derivadas de Sm (x) son continuas Analisis Numerico p. 173/196

Spline

1

S0 S1 S3 f

1

0.75

0.75

0.5

0.5

0.25

0.25

0 1

0.5

0

0.5

1

0 1

0.5

0

0.5

1


Spline CbicoEl spline cbico S3 (x), que llamaremos S(x), es la ms comn de las interpolaciones por trazadores Condiciones: S(x) = P [i] (x) para xi x xi+1 , donde P [i] (x) es un pol. cbico S(xi ) = f (xi ) para i = 0, 1, . . . , n P[i+1]

P [i+1] (xi+1 ) = P [i] (xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n 2 (xi+1 ) = P[i]

P [i] (xi ) = P [i+1] (xi ) para i = 0, 1, . . . , n 2

(xi+1 ) para i = 0, 1, . . . , n 2

Y una de estas condiciones de frontera se satisface S (x0 ) = S (xn ) = 0 (Frontera natural o libre) S (x0 ) = f (x0 ) y S (xn ) = f (xn ) (Frontera sujeta)


Spline CbicoSea y denamos hi = (xi+1 xi ) para i = 0, 1, . . . , n 1. Entonces de la 2da condicin tenemos ai = P [i] (xi ) = S(xi ) = f (xi ) , P [i] (x) = ai + bi (x xi ) + ci (x xi )2 + di (x xi )3

i = 0, 1, . . . , n 1 i = 0, 1, . . . , n 2 i = 0, 1, . . . , n 2

De lo anterior y la 3ra condicin tenemos ai+1 = ai + bi hi + ci h2 + di h3 i i ,

Derivando a P [i] (x) y aplicanco la 4ta condicin tenemos bi+1 = bi + 2ci hi + 3di h2 i ,

Volviendo a derivar a P [i] (x) y aplicando la 5ta condicin obtenemos ci+1 = ci + 3di hi , i = 0, 1, . . . , n 2 Analisis Numerico p. 176/196

Spline CbicoOperando con las 4 ecuaciones previas obtenemos hi1 ci1 + 2(hi1 + hi )ci + hi ci+1 3 3 (ai ai1 ) = (ai+1 ai ) hi hi1

con i = 1, 2, . . . , n 1. Como los ai y los hi estn determinados por los (n + 1) puntos, nos queda un sistema de (n + 1) incognitas, ci , con (n 1) ecuaciones. Las dos ecuaciones restantes las obtenemos aplicando alguna condicin de frontera de tal forma que el problema se reduzca a un sistema de ecuaciones lineales de la forma Mc = z , donde, M es una matriz tridiagonal (n + 1) (n + 1), c es el vector que contiene a los coecientes ci y z es un vector columna. Conocidos todos los ai y los ci usando las ecuaciones anteriores se pueden calcular los bi y los di Analisis Numerico p. 177/196

Spline CbicoSi enumeramos las (n + 1) las de M desde la 0 hasta la n, los trminos de M vienen dados por , si i = j 1 y i = 1, 2, . . . , n 1 hi1 2(h i1 + hi ) , si i = j y i = 1, 2, . . . , n 1 mij = hi , si i = j + 1 y i = 1, 2, . . . , n 1 depende del borde , para (i, j) = (0, 0); (0, 1); (n, n 1); (n, n) 0 , en otros casos zi =3 hi (ai+1

y los trminos del vector z vienen dados por ai ) hi1 (ai 3

depende del borde

ai1 ) , si i = 1, 2, . . . , n 1 , si i = 0 o i = n


Spline CbicoBorde m00 m01 mnn1 mnn z0 zn Natural 1 0 0 1 0 0 Sujeto 2h0 h0 hn1 2hn1 3 (a1 a0 ) 3f (x0 ) h0 3 3f (xn ) hn1 (an an1 )

Como la matriz M es estrictamente diagonal dominante, entonces en no singular, por lo que el sistema de ecuaciones lineales tiene una solucin y esta es nica Se pueden establecer otras condiciones de borde pero esto implica un clculo de todos los trminos de las ecuaciones 0 y n del sistema lo que puede traer como consecuencia la perdida de la forma tridiagonal de M Analisis Numerico p. 179/196

Polinomio de InterpolacinComentarios No se mejoran los resultados tomando un numero elevado de puntos en un mismo intervalo, pues veremos que esto acarrea mejoras en determinadas zonas pero notables mermas de precision en otras, fenomeno Runge: el error de interpolacion es menor en la zona central del intervalo y mayor en los extremos. Desde el punto de vista numerico es preferible, en vez de generar un nico polinomio interpolador en base a muchos puntos de un intervalo, dividir el intervalo en otros de modo que por medio de varios polinomios lograr mejorar la precision en la interpolacion. Debemos seleccionar un intervalo de interpolacion tal que el punto que queremos aproximar se encuentre en la zona central del soporte. No debemos usar el polinomio para aproximar valores que esten fuera del intervalo de interpolacion. Analisis Numerico p. 180/196

Integracin NumricaFrmulas de integracin basadas en interpolacin. Anlisis del error Cuadratura gaussiana. Mtodo de Monte Carlos


Integracin basada en interpolacinEl problema a resolver numricamente esb

I=a

f (x)dx

A diferencia del caso analtico, el problema numrico es mucho ms sencillo tanto as que numricamente podemos decir: Deriva el que puede e integra el que sabe Denicin de la integral Riemman babh

I=

a

En general, la idea es aproximar la integral por el rea bajo la curva medida en cuadrculas

f (x)dx = lim hh0

1

i=0

f (xi )

, con xi = a + ih


Integracin basada en interpolacin1 1

1 0.75 0.5 0.25 0 1

f (x)dx f

1 0.75 0.5 0.25 0 1

1 1

f (x)dx f

0.5

0

0.5

1

0.5

0

0.5

1

La expresin general para la integracin numrica esb n1

I=a

f (x)dx

f (xi )wii=0

,

a xi b

i

donde wi son los pesos asociados al mtodo. Analisis Numerico p. 183/196

Integracin basada en interpolacinUno de los esquemas es el cerrado de Newton-Cotes para funciones razonablemente bien comportadas. Los puntos, xi se toman igualmente espaciados en el intervalo [a, b] con x0 = a y xn = b, as tenemos xi+1 = xi + h = x0 + ih , con h = ctte y n = (b a)/h

Si expandimos a f (x) en series de potencias obtenemosn1 xi +h xi

I=i=0

x2 x3 f (xi ) + xf (xi ) + f (xi ) + f (xi ) + 2! 3!

dx

Usando los dos primeros trminos tendremos una aproximacin la funcin con rectas y la expresin anterior quedan1 i=0 xi +h xi

f (xi ) + xf (xi ) + O(x2 ) dx


Mtodo de los trapeciosUna forma de trazar las rectas, si se desconoce la derivada de la funcin, es mediante el polinomio de interpolacin de primer orden. Luego para calcular numricamente la integral calculamos el rea bajo los segmentos de recta, es decir las reas de los trapecios.b a n1 xi+1 xi n1

f (x)dx

i=1

x xi+1 x xi f (xi ) + f (xi+1 ) dx xi xi+1 xi+1 xi h 1 1 f (xi ) + f (xi+1 ) 2 2 ,

=i=0

h h = f (x0 ) + hf (xi ) + hf (x2 ) + + hf (xn2 ) + hf (xn1 ) + f (xn ) 2 2 donde, los pesos wi vienen dados por h h w = , h, h, . . . , h, h, 2 2


Mtodo de los trapecios1 1

f (x)dx f (x) 1 0.75 0.5 0.25 0 1

1 0.75 0.5 0.25 0 1

1 1

f (x)dx f (x)

0.5

0

0.5

1

0.5

0

0.5

1

Para calcular el error del mtodo denamosxi+1

Ii =xi

f (x)dx ,

Ai = h

1 1 f (xi ) + f (xi+1 ) 2 2

y al error como

Ei = |Ai Ii | Analisis Numerico p. 186/196

Mtodo de los trapeciosExpandiendo a f(x) alrededor de xi para calcular xi+1 tenemos (xi+1 xi )2 f (xi ) + f (xi+1 ) = f (xi ) + (xi+1 xi )f (xi ) + 2! h h

Entonces Ai =h 2

(f (xi ) + f (xi+1 )) =h2 2 f (xi )

h 2

f (xi ) + f (xi ) + hf (xi ) + h2 f (xi ) + + h2 2! F (xi )

= hf (xi ) + por otro lado Ii

+

h3 f (xi ) 22!

= F (xi ) + F (xi + 1) = F (xi ) + F (xi ) + hF (xi ) +f (xi ) f (xi ) f (xi )

+

= h F (xi ) + h F (xi ) + h F (xi ) + 2! 3! Analisis Numerico p. 187/196

2

3

Mtodo de los trapeciosSi tenemos que h3 h3 i = |Ai Ii | = f (xi ) f (xi )+O(h4 ) 2 2! 3!1 103 real double

=

1 3 i h f (xi ) 12

1 0

106 109 1012 1 256 216 224

6x x6 dx = 5 = t + maq maq h2/3 t h2

n Analisis Numerico p. 188/196

Mtodo de SimpsonSi extendemos la aproximacin de la funcin hasta el trmino cuadrtico tenemosb n2 xi +2h xi

I=a

f (x)dx =i=0

f (xi ) + xf (xi ) +

1 2 x f (xi ) + O(x3 ) dx 2!

donde, h = (b a)/2n. Esto equivale a aproximar a f (x) usando un polinomio de grado 2 en cada intervalo [xi , xi+2 ].n2 xi+2

I

(Li f (xi ) + Li+1 f (xi+1 ) + Li+2 f (xi+2 )) dxi=1 xi (xxi+1 )(xxi+2 ) (xi xi+1 )(xi xi+2 ) n2

donde , Li =

es un polinomio de Lagrange

=i=0

h

1 4 1 f (xi ) + f (xi+1 ) + f (xi+2 ) 3 3 3 Analisis Numerico p. 189/196

Mtodo de SimpsonEl nmero de divisiones debe ser par y los pesos wi seran w= 1 4 2 4 2 4 2 1 h, h, h, h, h, . . . , h, h, h 3 3 3 3 3 3 3 3

1 103 106 109 1012

real double trapecios

1 0

6x x6 dx = 5 = t + maq maq h2/3 t h4

1

256

216

224

n Analisis Numerico p. 190/196

Integracin basada en interpolacinLos pesos de los mtodos integracin usando polinomios de interpolacin son Mtodo Ordel Pesos en [xi , xi+1 ] h h Trapecios 1 2, 2 h 4h h Simpson 2 3, 3 , 3 3h 9h 9h 3h 3/8 3 8 , 8 , 8 , 8 14h 64h 24h 64h 14h Milne 4 45 , 45 , 45 , 45 , 45 Si contamos con n + 1 puntos en [a, b] y usamos un mtodo de orden p n, podemos hallar los pesos w, tales queb n

f (x)dx =a i=1

wi f (xi )

,

siempre que f (x) sea de grado p


Cuadratura GaussianaGauss determin que la seleccin de puntos equidistantes en los mtodos de Newton-Cotes y Romberg limita su exactitudf(x) f(a) f(x) a

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