UNIDAD IIISOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

David Alejandro Singer CI. 21.048.686

Análisis Numérico SAIA B

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

DECANATO DE INGENIERIA

ESCUELA DE COMPUTACION

• El objetivo primordial de la unidad III es conocer y entender los diferentes

métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre los cuales tenemos los de

eliminación y los iterativos.

• Entre los métodos de eliminación tenemos: Eliminación gaussiana, el método de

eliminación de Gauss-Jordan, (descomposición LU, factorización de Cholesky y el

de QR, factorización Householder.) Los métodos iterativos son el de Gauss Seidel y

el de Jacobi.

CONTENIDOS:

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN: Eliminación Gaussiana: Este método consiste en descomponer una matriz ampliada del

sistema de ecuaciones dado, en una matriz Diagonal superior o Diagonal inferior, y según el

caso se hace sustitución hacia atrás o hacia adelante para hallar el valor de las variables en

cuestión.

Para la descomposición matricial existen varios métodos: descomposición LU, factorización

de Cholesky y el de QR, factorización Householder.

Para la eliminación Gaussiana se requiere conocer las operaciones básicas con

matrices, a saber:

• Cualquier renglón de la matriz de coeficientes aumentadas puede multiplicarse

por cualquier constante.

• Es posible sumar un múltiplo de un renglón a un múltiplo de cualquier otro

renglón.

• Es posible intercambiar el orden de dos renglones cualesquiera.

Supongamos que se quiere resolver el sistema:

4x1-2x2+x3=15

-3x1-x2+4x3=8

X1-x2+3x3 =13

La matriz ampliada es:

Si multiplicamos

La matriz final resultante se conoce por matriz triangular superior, puesto que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Pudimos haber hecho que todos los ceros quedaran por encima de la diagonal principal, en este caso sería una matriz diagonal inferior.

Esta matriz podría descomponerse de la forma A=L*U donde L es diagonal inferior y U diagonal superior. Pero podría descomponerse de la forma: A=L*Lt, siendo Lt la transpuesta de la matriz diagonal inferior (Esto se conoce por factorización de Cholesky) y finalmente pudimos descomponerla con el método QR, que es un método computacional que trabaja con valores propios de la matrices.

ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN:

Este método consiste en realizar las mismas operaciones anteriores pero en mayor

cantidad, pues se requiere dejar una matriz ampliada Diagonal, es decir los elementos por

encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. En el ejemplo anterior, si

operásemos un poco mas deberíamos llegar a la matriz:

MÉTODOS ITERATIVOS:

• Los métodos anteriores son métodos fijos que utilizan un número determinado de

operaciones que permiten llegar a un resultado exacto o aproximado. Los métodos

iterativos resuelven un sistema de ecuaciones A.X=B a partir de valores iniciales Xo.

• Si el limite de Xn converge se dice que el método es consistente con el sistema y la

solución existente converge a la solución del mismo.

• Entre estos métodos tenemos el de Jacobi y el de Gauss-Seidel.

MÉTODO DE JACOBI:

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más

simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como

ecuaciones.

Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para el lo se ordenan las ecuaciones y las

incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse

como

Donde x es el vector de incógnitas

Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por ́Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

Ejemplo partiendo de aplique dos iteraciones del método de jacobi para resolver el sistema: 

Solución

Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente

Escrito en la notación vectorial quedaría:

Aplicamos la primera iteración partiendo de

Aplicamos la segunda iteración partiendo de

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de

EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL:

El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de

Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de

Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma

iteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el primer

calculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración. En el método

de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para

calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se

utilizan las variables recién calculadas

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: EJEMPLO

Partiendo de aplique dos iteraciones del método de Gauss-Seidel para

resolver el sistema:

Solución

Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente

Aplicamos la primera iteración partiendo de

Aplicamos la tercera iteración partiendo de

Aplicamos la segunda iteración partiendo de