REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

METODOS DE ELIMINACION GAUSSIANA.

ALUMNO: IVAN GOBBO. C.I.: V-21.299.216.

PROFESOR: DOMINGO MENDEZ.

ANALISIS NUMERICO. SAIA “A”.

METODOS DE ELIMINACION GAUSSIANA

Una vez analizado los temas de la unidad III podemos indicar que el proceso en el método de Eliminación de Gaussiana o de Gauss, radica en efectuar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o columnas), destinadas a transformarlo en un sistema triangular superior, que resolveremos por remonte. En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

DESCOMPOSICION LU

El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de manera eficiente.

La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout.

FACTORIZACION DE CHOLESKY

Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos contextos: el matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores triangula es resultantes son la traspuesta de cada uno.

FACTORIZACION DE QR, HOUSHOLDER

Anteriormente analizamos la factorización LU de una matriz el cual conduce a un método muy eficiente para resolver un sistema lineal. Otro método de factorización de una A, llamada factorización QR de A. Esta factorización se usa ampliamente en los programas de computadora para determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar aproximaciones por mínimos cuadrados

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en

cualquier rama de la Ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas.

MÉTODO DE ITERATIVO DE GAUSS – SEIDEL

Los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución, se van sustituyen a las siguiente ecuaciones (iteraciones).

Ejemplo:

10X1 + 1X2 = 11

2X1 + 10X2 = 12

Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

X1 = 11 - 1 X2

10X2 = 12 - 2 X 2

10

X2 = 0

1 Iteración

X1 = 11 - 1 (0) = 1.1 10

X2 = 12 - 2 (1.1) = .98 10

2 IteraciónX1 = 11 - 1 (.98) = 1.002

10

X2 = 12 - 2 (1.002) = .999610

3 Iteración

X1 = 11 - 1 (.9996) = 1.00002

10

X2 = 12 - 2 (1.00002) = .99999210

Sustitución de valores en la ecuación

1 y 2. 10X1 + 1X2 = 11

10(1)+1 (1) = 1111 = 11

Error aproximado

2X1 + 10X2= 122(1) +10(1) = 12

12 = 12

a = 1.00004-1.002 * 100 = -1.959 = .1959 %1.00004

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA:

1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán.

Solución.

a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.

Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para ésto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo.

Notación para las operaciones elementales en

renglones Nuevo renglón i de la matriz aumentada.

Intercambio del renglón i con el renglón j.

Nuevo renglón j de la matriz aumentada.

b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Solución.

Escribiendo la matriz aumentada del sistema y reduciendo operación indicada tenemos:

de acuerdo a la

B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES:

1) Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones

lineales. Solución.

La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de donde obtenemos:

Despejando x, y

Luego x, y dependen de z, si z = t, t � ¸ R, tenemos

Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de t habrá un valor para x, y, z.

Por ejemplo:

Si T=0 entonces, es una solución para el sistema de

ecuaciones. Si T=1 entonces es otra solución para el

sistema de ecuaciones.

Si T=4 entonces también es solución para el sistema de ecuaciones.

Así una vez más, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

2) Resolver el sistema de

ecuaciones: Solución.

Si w = t, tenemos:

Hay infinidad de soluciones.

C) SISTEMAS SIN SOLUCION:

1) Resolver el siguiente sistema de

ecuaciones. Solución.

No hay necesidad de seguir reduciendo, del segundo renglón se tiene que da la igualdad (¡contradicción!), por lo tanto, el sistema no tiene solución.

2) Resolver el siguiente sistema de

ecuaciones. Solución.

Del tercer renglón se tiene que da la igualdad 0=3, luego el sistema no tiene solución.

D) SISTEMAS HOMOGENEOS:

Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGENEO si cada una de las ecuaciones está igualada a cero es decir

Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que

Es solución del sistema, ésta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones.

1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solución.

Luego x=y=z=0, el sistema tiene solución única, la

solución trivial. Algo más para agregar

Hay dos temas adicionales que se deben de mencionar: La interpolación con los datos igualmente espaciados y la Extrapolación.

Ya que los métodos de Newton y de LaGrange son compatibles con los datos espaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por qué se aborda el caso de los datos igualmente espaciados. Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos métodos tuvieron gran utilidad en la interpolación de tablas con datos igualmente espaciados. De hecho se desarrolla un esquema conocido como tabla de diferencias divididas para facilitar la implementación de estas técnicas.

Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de los esquemas de Newton y LaGrange compatibles con la computadora y ya que se dispone de muchas funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad de puntos equidistantes se fue perdiendo. En particular, se puede emplear en la derivación de fórmulas de integración numérica que emplean comúnmente datos equidistantes.

La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(X) que cae fuera del rango de los puntos base conocidos X0, X1,..., Xn. La interpolación más exacta usualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base.

Obviamente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y por lo tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande. La naturaleza abierta en los extremos de la extrapolación representa un paso en la incógnita porque el proceso extiende la curva más allá de la región conocida. Como tal, la curva verdadera diverge fácilmente de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar.

MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI

Este método consiste en despejar las variables X1, X2, X3 … X4

por cada reglón según el numero de ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se sustituye en la ecuación del despeje para encontrar el valor de la primera iteración y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor de la segunda ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor.

Ejemplo:

10X1 + 1X2 = 11

2X1 + 10X2 = 12

Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

X1 = 11 - 1 X2

10X2 = 12 - 2 X 2

10

Divergente: Se aleja del valor real.

El valor de las incógnitas

Convergente: Se a próxima al valor real.

X 1 = X2 = 0

1 Iteración

X1 = 11 - 1 (0) = 11/10

10X2 = 12 - 2 (0) = 12/10

10

2 IteraciónX1 = 11 - 1 (12/2) = .98

10

X2 = 12 - 2 (11/10) = .9810

3 Iteración

X1 = 11 - 1 (.98) = 1.00210

Sustitución de valores en la ecuación

1 y 2. 10X1 + 1X2 = 11

10(1)+1 (1) = 1111 = 11

X2 = 12 - 2 (.98) = 1.00410

2X1 + 10X2= 122(1) +10(1) = 12

12 = 12

COMPARACIONES: MÉTODO DE JACOBI Y GAUSS-SEIDEL: (CON VISUAL BASIC)

Son dos métodos numéricos, que nos permite hallar soluciones a sistemas con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.

En los dos métodos se realiza el siguiente proceso, con una pequeña variación en Gauss-Seidel.

Tenemos estas

ecuaciones: 5X-

2Y+Z=3

-X-

7Y+3Z=-2

2X-Y+8Z=1

1. Despejar cada incógnita en función de las

demás. X= (3+2Y-Z)/5

Y= (X-3Z-2)/-7

Z= (1-2X+Y)/8

2. Dar valores iníciales a las

incógnitas X1= 0

Y1= 0

Z1= 0

Por Jacobi:

Reemplazar en cada ecuación los valores iníciales, esto nos dará nuevos valores que serán usados en la próxima iteración

X= (3+2*0-0)/5 =

0,60 Y= (0-3*0-2)/-7

= 0,28 Z= (1-

2X+Y)/8 = 0,12

Por Gauss-SeidelReemplazar en cada ecuación los valores más próximos

hallados. X= (3+2*0-0)/5 = 0,6

Y= (0,6-3*0-2)/-7 = 0,2

Z= (1-2*0,6+0,2)/ 8=0

Se realiza cuantas iteraciones se desee, usando como valores iníciales los nuevos valores hallados. Se puede detener la ejecución del algoritmo al calcular el error del cálculo, el cual lo podemos hallar con esta fórmula: sqr( (x1-x0)^2 + (y1- y0)^2 +(z1-z0)^2 )

Con Jacobi

Con Gauss-Seidel

La principal diferencia, es que como el método de gauss_seidel utiliza los valores inmediatamente encontrados, entonces hace que todo el proceso sea más rápido, y como consecuencia hace de éste, un método más eficaz.

Las fórmulas usadas en la hoja de Excel para el método de Jacobi son

= (3+2*D5-E5)/5

=(C5-3*E5-2)/-7

=(1-2*C5+D5)/8

=(RAIZ((C6-C5)^2+ (D6-D5)^2 + (E6-E5)^2)

Que corresponde a la variable X,Y,Z y Error

respectivamente. Y para el método de Gauss-Seidel:

= (3+2*J5-K5)/5

= (I6-3*K5-2)/-7

= (1-2*I6+J6)/8

= (RAIZ((I6-I5)^2+ (J6-J5)^2 + (K6-K5)^2)