Unidad III de Análisis Numerico

Alumno: Eliezer Pacheco 24537005

Es uno de los métodos ma utilizados para resolver sistemas lineales, la técnica consiste en transformar mediante operaciones elementales la matriz aumentada del sistema [A|b] en una matriz de la forma [A'|b'] donde A’ es una matriz triangular superior y así el sistema AX=b se transforma en un sistema equivalente A’X=b’ que es un sistema fácil de resolver ya que es triangular superior y se puede resolver con sustitución hacia atrás.

Ejemplo:

Resolver el sistema lineal usando el método de eliminación gaussiana.

Solución:

La matriz aumentada del sistema es:

a11=1 es el elemento pivote, para anular los elementos que están debajo de la primera columna se usan los multiplicadores M21=a21/a11 = 2/1 = 2 y M31=a31/a11 = 4/1 = 4.

a22=-4 es el elemento pivote, para anular el elemento que está debajo de la segunda columna se usa el multiplicador M22=a32/a22 = -6/-4 = 1.5

Finalmente se obtiene el sistema

usando sustitución hacia atrás se tiene que x3=4, x2=-1 y x1=3, luego la solución del sistema es X = (3,-1,4).

El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier i≠ 𝑗). El algoritmo de Gauss-Jordan o método de escalonamiento nos transforma cualquier matriz en una escalonada reducida única y que es la forma más sencilla de solucionar.

Ejemplo:

Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por−3 4 y la restamos a la primera:

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por 2 2 y la restamos a la primera:

Repetimos la operación con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por −2 −4 y la sumamos a la primera:

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

El paso de la eliminación que consume tiempo se puede reformular de tal manera que involucre sólo operaciones sobre los coeficientes de “A”.

Esto es:

Donde:

L - Matriz triangular inferior

U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

La matriz a ser factoriza o "descompone" en matrices triangular inferior (L), y superior (U).

Puede ser descompuesta una matriz definida positivamente, como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior triangular original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación.

Ejemplo:

Para la matriz

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:

El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:

En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por:

Es un utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial: