solucionario · 12 log n 2 log m (suma de fracciones) 3 2 (6 log n log m) (factorizando ) g g ) 3 2...

$: SOLUCIONARIO · 12 log n 2 log m (Suma de fracciones) 3 2 (6 log n log m) (Factorizando ) g g ) 3 2 n6 m (Logaritmo de un a potencia ) logn6m 3 2 (Logaritmo de un producto) | b 3$
SOLUCIONARIO

ENSAYO MT- 024

EN

SC

ES

MT

024-A

17

V1

1. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Números racionales

Habilidad Comprensión

I) Verdadera, ya que 3

1 es igual a 0,333…, y 0,33 es menor a 0,333…

II) Verdadera, ya que si dos fracciones tienen igual numerador, aquella que tenga

mayor denominador será la de menor valor. Como 11 es menor que 12, 11

7 es

mayor que 12

7.

III) Verdadera, ya que 23,0 es igual a 0,3222…, mientras que 32,0 es igual a

0,323232… Como la milésima del primer valor es menor a aquella del

segundo valor, entonces se cumple que 0,3222… es menor que 0,323232…

Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.

2. La alternativa correcta es A.


Habilidad Aplicación

4

1

9

4:

18

3522)25,04,0(:

6

5

9

2 (Igualando denominador/transformando)

9

1:

18

154

(Desarrollando)

1

9

18

19 (División de fracciones)

2

19

3. La alternativa correcta es C.



Se sabe que durante el primer mes Pablo logró juntar $9.000. Si en los siguientes dos

meses reunió dos tercios de lo ahorrado el mes anterior, entonces:

Mes 1: $9.000

Mes 2: 3

2$9.000 =

3

000.92$

= $6.000 Dinero acumulado: $15.000

Mes 3: 3

2$15.000 =

3

000.152$


Finalmente, el último mes ahorró tres quintos de lo ahorrado hasta el mes anterior, es

decir:

Mes 4: 000.25$5

3 =

5

000.253$


Por lo tanto, Pablo ahorró $40.000 para asistir al recital.

4. La alternativa correcta es B .

Unidad temática Potenciación


(𝑝

𝑞)2

∙ [(𝑝2

𝑞2)

−3

]

7

=𝑝2

𝑞2∙ [(

𝑝2

𝑞2)

−3

]

7

(Potencia de un cuociente)

= 𝑝2

𝑞2∙ [(

𝑞2

𝑝2)

3

]

7

(Potencia de una potencia)

= 𝑝2

𝑞2∙ [

𝑞6

𝑝6]

7

= 𝑝2

𝑞2∙𝑞42

𝑝42 (Potencia de una potencia)

= 𝑞40

𝑝40

= (𝑞

𝑝)40




Transformando cada fracción de la expresión a decimal ...7333,63,64,03

19

5

2

,

el valor aproximado por defecto a la milésima es 6,733.



Habilidad ASE

En el conjunto de los números enteros:

I) Falso, porque el producto de un número par con un número impar es siempre un

número par.

II) Verdadero, ya que la suma de dos números impares es siempre un número par.

III) Falso, porque 2 y 3 son primos, y 2 + 3 = 5 no es par.

Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera.

7. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Número racionales

Habilidad ASE

Como p y q son dos elementos del conjunto M = {1, 2, 3}, tales que p < q, entonces las

posibles parejas de valores para p y q son: p = 1 y q = 2, p = 1 y q = 3 o p = 2 y q = 3.

Luego:

I) (p – q + 2) no tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que si p = 1 y

q = 3, entonces (p – q + 2) = (1 – 3 + 2) = 0, que no pertenece a M.

II) (p + q – 2) tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que

si p = 1 y q = 2, entonces (p + q – 2) = (1 + 2 – 2) = 1



y los tres resultados pertenecen a M.

III) (q – p) tiene siempre como resultado un elemento de M, ya que

si p = 1 y q = 2, entonces (q – p) = (2 – 1) = 1



y los tres resultados pertenecen a M.

Por lo tanto, solo II y III tienen siempre como resultado un elemento de M.



Habilidad ASE

Al factorizar la expresión, resulta (323

– 319

) = 319

·(34 – 1) = 3

19·(81 – 1) = 3

19·80. Luego:

A) 30 es un divisor de (323

– 319

), ya que 833

83

30

803 181919

, el cual es un número

entero.

B) 45 es un divisor de (323

– 319

), ya que 1633

163

9

163

45

803 17

2

191919

, el cual es

un número entero.

C) 50 no es un divisor de (323

– 319

), ya que 5

83

50

803 1919

, el cual no es posible de

seguir simplificando, por lo que no es un número entero.

D) 40 es un divisor de (323

– 319

), ya que 2340

803 1919

, el cual es un número entero.

E) 72 es un divisor de (323

– 319

), ya que 1033

103

9

103

72

803 17

2

191919

, el cual es

un número entero.


Unidad temática Números irracionales

Habilidad Compresión

1

√5 + 1≈

3

10 (Racionalizando)

1

√5 + 1∙(√5 − 1)

(√5 − 1)≈

3

10 (Desarrollando el producto)

√5 − 1

5 − 1≈

3

10

√5 − 1

4≈

3

10 (Despejando la expresión √5 − 1)

√5 − 1 ≈12

10=

6

5 (Multiplicando por 4)

Por lo tanto, 6

5

15

1

.



Habilidad ASE

Si las bases y los argumentos de logaritmos son mayores que 1, entonces siempre se

cumple que a mayor argumento, mayor es el valor del logaritmo, y a mayor base, menor

es el valor del logaritmo. Luego:

- a es mayor que c, ya que tienen igual base, pero el argumento de a es mayor que

el de b.

- c es mayor que b, ya que tienen igual argumento, pero la base de c es menor que

la de c.

Luego, b < c < a.

Por lo tanto, el orden de menor a mayor es b, c y a.



Habilidad ASE

En este caso, ambas raíces tienen la misma cantidad subradical pero distinto índice, por lo

que se deben utilizar las propiedades de las potencias para obtener la raíz equivalente.

mnmn aaaa

11

(Por definición)

mna

11

(Por ser potencias con la misma base)

nm

nm

a

(Sumando fracciones en el exponente) nm mna (Trasformando a raíz)

Por lo tanto, la expresión mn aa es siempre equivalente a nm mna .




)35(2

)53(2

)35(2

106

(Factorizando por 2 )

35

53

(Simplificando por 2 )

)35)(35(

)35)(53(

(Racionalizando)

35

)53( 2

(Suma por su diferencia)

2

51523 (Cuadrado de binomio)

2

1528 (Sumando)

2

)154(2 (Factorizando por 2)

154 (Simplificando)



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que 2log5log

1

2log5log3

3

2log3

1

5log

3

, el cual es un

número irracional.

II) Verdadera, ya que 185log

5log281

5log

5log27325log27

5log

3 2

, el

cual es un número racional.

III) Verdadera, ya que 10

1

5

2

1

3255log

5log2

13

75

5log

5log

3

, el cual es un

número racional.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

14. La alternativa correcta es B.


Habilidad ASE

Aplicando propiedades de logaritmo a la expresión 3 24log mn :

3 243 24 logloglog mnmn (Logaritmo de un producto)

mn log3

2log4 (Logaritmo de una potencia/raíz)

3

log2log12 mn (Suma de fracciones)

3

)loglog6(2 mn (Factorizando)

)log(log3

2 6 mn (Logaritmo de una potencia)

mn6log3

2 (Logaritmo de un producto)

b3

2 (Reemplazando por aproximación)

3

2b (Calculando)



Habilidad ASE

(1) p = 4q. Con esta información, sí es posible determinar el valor numérico para

q

p

9

4, ya que al reemplazar en la raíz se obtiene

3

4

9

16

9

44

q

q.

(2) q = 6. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico para

q

p

9

4, ya que no se conoce una relación numérica entre p y q.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.


Unidad temática Números complejos


Transformando los denominadores a número entero, resulta:

2

1

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

12

ii

)(

i

i

i

i

i

ii

y i

i

i

i

i

i

ii

1

112

Por lo tanto, 2

1

2

21)(

2

11

1

1 iiii

i

ii

.


Unidad temática Números complejos

Habilidad ASE

(1) La suma de z con su conjugado es igual a 2. Con esta información, sí es posible

determinar el valor de m, ya que la suma entre un complejo y su conjugado es

siempre igual al doble de su parte real, es decir, 2 ∙ 𝑚 = 2. Luego, el valor de m sería

igual a 1.

(2) z se encuentra en el primer cuadrante del plano complejo. Con esta información, no es

posible determinar el valor de m, ya que solo podemos afirmar que el valor de m es

positivo, pero no es posible determinar el valor numérico exacto de m.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.


Unidad temática Transformaciones algebraicas


La expresión (9a2b – 16b

3) se puede factorizar por b, resultando b ∙ (9a

2 – 16b

2). Por otra

parte, (9a2 – 16b

2) se puede factorizar como una suma por su diferencia, resultando

(3a + 4b) ∙ (3a – 4b). Luego, la expresión (9a2b – 16b

3) resulta b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b).

Analizando cada una de las expresiones, se tiene que

A) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b

3), ya que esta es factorizable por b.

B) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b

3), ya que (9a

2b – 16b

3) = b ∙ (9a

2 – 16b

2).

C) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b

3), ya que

(9a2b – 16b

3) = b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b).

D) Corresponde a un factor de (9a2b – 16b

3), ya que

(9a2b – 16b

3) = b ∙ (3a + 4b) ∙ (3a – 4b).

E) NO corresponde a un factor de (9a2b – 16b

3), ya que no se puede obtener como el

producto entre los factores de la expresión.


Unidad temática Ecuación y sistemas de primer grado


Despejando el valor de a en términos de b

2

43

4

868646842

3

24

bbababab

a

Evaluando cada una de las alternativas:

A) Resulta un racional entero, ya que si b = 3

4, se tiene que 0

2

0

2

44

2

43

43

a .

B) Resulta un racional entero, ya que si b = 2, se tiene que 12

2

2

46

2

423

a .

C) Resulta un racional NO entero, ya que si b = 3

1, se tiene que

2

3

2

41

2

43

13

a

D) Resulta un racional entero, ya que si b = 3

2, se tiene que

12

2

2

42

2

43

23

a .

E) Resulta un racional entero, ya que si b = 4, se tiene que 42

8

2

412

2

443

a .


Unidad temática Ecuación y sistemas de primer grado

Habilidad ASE

Elevando al cuadrado la ecuación x + y = a, se obtiene x2 + 2xy + y

2 = a

2. Luego:

x2 + 2xy + y

2 = a

2

x2 + y

2 = a

2 – 2xy (Según la segunda ecuación, 2xy = b)

x2 + y

2 = a

2 – b

Por lo tanto, el valor de la expresión (x2 + y

2), en términos de a y b, es (a

2 – b).


Unidad temática Transformación algebraica

Habilidad ASE

(1) 𝑥 =2

𝑦 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya

que si 𝑥 ∙ 𝑦 = 2, entonces 𝑎 = (𝑥−𝑦

𝑥+𝑦−

𝑥−𝑦

𝑥+𝑦) =

−4𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2=

−8

𝑥2−𝑦2.

(2) 𝑥2 − 𝑦2 = 4 . Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de 𝒂,

ya que solo podemos obtener el valor numérico del denominador de 𝒂. Es decir,

𝑎 = (𝑥−𝑦

𝑥+𝑦−

𝑥−𝑦

𝑥+𝑦) =

−4𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2=

−4𝑥𝑦

4= −𝑥𝑦.

Con ambas juntas, sí es posible determinar el valor numérico de 𝒂, ya que conoceríamos

tanto el numerador como el denominador de 𝒂. Luego, 𝑎 = (𝑥−𝑦

𝑥+𝑦−

𝑥−𝑦

𝑥+𝑦) =

−4𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2 =−4∙2

4= −2.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).


Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática


𝑥(𝑥 − 7) = 60 (Desarrollando)

𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0 (Factorizando)

(𝑥 − 12)(𝑥 + 5) = 0

De la última igualdad se deduce que los valores de x que son soluciones de la ecuación de

segundo grado son 12 y − 5.




Si una de las soluciones de una ecuación cuadrática es un número complejo con parte

imaginaria no nula, entonces la otra será el conjugado de este número. En este caso, una

solución es 2 + 5i, por lo que la otra es 2 – 5i.

En una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0, se tiene que la suma de las

soluciones es igual a a

b, mientras que el producto entre ellas es igual a

a

c.

Homologando términos para la ecuación del enunciado, se tiene que a = 1, b = m y c = n.

Luego

(2 + 5i) + (2 – 5i) = – m (2 + 5i) ∙ (2 – 5i) = n

4 = – m 22 + 5

2 = n

m = – 4 29 = n

Por lo tanto, los valores de m y n son, respectivamente, – 4 y 29.




Si una de las soluciones de la ecuación x(4x – p) = p es (i – 1), entonces al reemplazar la

solución en la ecuación se cumple la igualdad.

Luego, se puede plantear y resolver:

(i – 1)·(4·(i – 1) – p) = p

(i – 1)·(4i – 4 – p) – p = 0

4i² – 4i – pi – 4i + 4 + p – p = 0

– 4 – 8i – pi + 4 = 0

– 8i – pi = 0

– i·(8 + p) = 0

Por lo tanto, dicha igualdad se cumple solo para p = – 8.


Unidad temática Inecuaciones y función potencia


Para resolver un sistema lineal de inecuaciones con una incógnita, se debe encontrar el

conjunto solución de cada inecuación por separado y luego realizar la intersección de los

intervalos obtenidos.

En este caso, al desarrollar cada inecuación con a y b positivos, resulta:

ax > b x > a

b y bx > a x >

b

a

Para graficar e intersectar los intervalos solución, es necesario considerar que si 0 < a < b,

entonces b

a <

a

b. Luego, el gráfico de los intervalos solución queda:

Por lo tanto, como la intersección se produce para todos los valores mayores que a

b,

entonces la solución del sistema de inecuaciones es

,

a

b.

+

b

a

a

b




Resolviendo la inecuación:

xxxxxxxxx 222 36982)4)(92( (Producto de binomios)

xxx 362 (Restando x2)

0362 x (Restando x)

362 x (Sumando 36)

Como las soluciones de la ecuación 362 x son 6 y – 6, entonces todos los valores

mayores o iguales que – 6 y menores o iguales que 6 satisfacen la inecuación 362 x . Es

decir, x pertenece al intervalo [– 6, 6].



Habilidad ASE

Si el número es x, entonces el enunciado se puede traducir a la expresión x – 5 < 2x.

Despejando x:

x – 5 < 2x ⟹ – 5 < x ⟹ x ∈ ]– 5, +∞[

I) Verdadera, ya que si x < 8, entonces – 5 < x < 8. Es decir, x ∈ ]– 5, 8[.

II) Falsa, ya que si x > 2, entonces – 5 < 2 < x. Es decir, x ∈ ]2, +∞[.

III) Falsa, ya que si x < 0, entonces – 5 < x < 0. Es decir, x ∈ ]– 5, 0[.

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.


Unidad temática Función afín, función lineal y función constante


Según los datos presentados en el enunciado, se puede inferir que la función que modela

el costo del gas sigue un comportamiento lineal de la forma c(x) = ax + b. En este caso, el

cargo fijo es equivalente al valor de b, es decir, 700. Como se sabe que un cliente que

consume x = 15 metros cúbicos de gas tiene que pagar c(x) = 14.950 pesos, se tiene que:

c(x) = ax + b

14.950 = 15a + 700

95015

250.14

15

700950.14

a

Entonces, la función que modela el comportamiento del enunciado es g(x) = 950x + 700.


Unidad temática Teoría de funciones

Habilidad ASE

(1) 𝑎 = 3. Con esta información, sí se puede determinar el valor numérico de

𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)), ya que 𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)) = 𝑓(2𝑎 − 𝑏) = 2𝑎 = 2 ∙ 3 = 6.

(2) 𝑏 = 2. Con esta información, no se puede determinar el valor numérico de

𝑓(𝑔(𝑏 − 𝑎)), ya que este depende, en última instancia, solo del valor de a.



Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada


Si la masa era inicialmente de M0 gramos y pierde un 1% de su masa en cada segundo, es

decir, 0,01·M0, entonces:

Después del segundo 1, la masa que queda es de 0,99·M0 gramos.

Después del segundo 2, la masa que queda es de 0,99·0,99·M0 = (0,99)²·M0 gramos.

Después del segundo 3, la masa que queda es de 0,99·0,99·0,99·M0 = (0,99)³·M0 gramos.

Después del segundo x, la masa que queda es de

0,99·…·0,99·0,99·0,99·M0 = (0,99)x·M0 gramos.

x veces

Por lo tanto, la expresión que representa la masa M(x), en gramos, del metal a los x

segundos de ser sumergido es M0·(0,99)x.




Según la figura, el punto (2, 3) pertenece a la gráfica de la función, lo que significa que se

cumple que f(2) = 3. Reemplazando en la expresión, resulta f(2) = loga 2 = 3.

Por lo tanto, aplicando la definición de logaritmo, resulta loga 2 = 3 a³ = 2 a = 3 2 .



Habilidad ASE

Sea la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, es correcto afirmar que:

I) Verdadera, ya que el dominio de la función corresponde a todos los reales.

II) Falso, ya que el recorrido de la función es el intervalo [1, +∞[.

III) Verdadera, ya que el punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función

𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 , dado que 𝑓(0) = 1.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.



Habilidad Compresión

Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)2, entonces la expresión de la

función compuesta 𝑔(𝑓(𝑥)) es:

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 + 3) = (2𝑥 + 3 + 1)2 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16

Luego, los valores de a, b y c son 𝑎 = 4, 𝑏 = 16 𝑦 𝑐 = 16.

Entonces, el eje de simetría asociado a esta función cuadrática es 𝑥 =−𝑏

2𝑎=

−16

2∙4= −2.

Por lo tanto, el eje de simetría corresponde a la recta 𝑥 = −2.



Habilidad ASE

A partir del gráfico se pueden identificar dos puntos que pertenecen a la función

(−1, 0) y (1, 2). Entonces, la función solicitada debe contener a estos puntos, es decir,

que al reemplazarlos deben satisfacer la igualdad en la función.

En este caso la función que buscamos es 𝑓(𝑥) =−𝑥2+2𝑥+3

2, ya que si se reemplazan los

puntos ocurre que 𝑓(−1) =−(−1)2+2(−1)+3

2=

−1−2+3

2= 0, es decir, el punto (−1,0)

pertenece a la función 𝑓. Por otro lado, 𝑓(1) =−(1)2+2(1)+3

2=

−1+2+3

2= 2, es decir, el

punto (1, 2) pertenece a la función 𝑓.

Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) =−𝑥2+2𝑥+3

2 es la que está mejor representada en el

gráfico.


Unidad temática Teoría de funciones


Despejando x:

xxfxxf 35)(53)( (Sumando 5)

xxf

3

5)( (Dividiendo por 3)

Por último, intercambiando las variables:

3

5)()(

3

5)( 1

xxfxgx

xf



Habilidad ASE

En primer lugar, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥4 es una curva (tipo parábola) cóncava hacia arriba,

decreciente en el intervalo ]−∞, 0[ y creciente en el intervalo ]0, +∞[ , siendo igual a

cero solo si 𝑥 = 0.

Por otro lado, la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥3 es una función potencia con exponente impar,

creciente en todo ℝ, siendo igual a cero solos si 𝑥 = 0.

Entonces:

A) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) solo para 𝒙 en el intervalo [0,2].

B) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para cualquier 𝒙 en [−∞, 0] ∪ [2,+∞].

C) Falso, ya que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) solo para 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2.

D) Verdadero, ya que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) solo para 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2. Además, dentro del

intervalo la función 𝑓(𝑥) tiene un crecimiento mayor que 𝑔(𝑥).

E) Falso, ya que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para x en el intervalo [−2,0].

Por lo tanto, la afirmación verdadera es que f(x) ≤ g(x) solo para x en el intervalo [0, 2]


Unidad temática Transformaciones isométricas


Aplicar una rotación en 90°, con centro en el origen, a un triángulo en el plano implica

aplicar una rotación a cada uno de sus vértices.

Los vértices del triángulo son (1, 2), (4, 3) y (3, 5), los que luego de aplicárseles una

rotación de 90°, con centro en el origen, resultan ser (−2, 1), (−3, 4) y (−5, 3),

obteniendo así el triangulo del gráfico B.




Del gráfico se observa que �⃗� = (5,2) 𝑦 𝑣 = (2,−2). Entonces:

I) Falso, ya que 8 ∙ �⃗� = 8 ∙ (5,2) = (40,16).

II) Verdadero, ya que �⃗� + 𝑣 = (5,2) + (2,−2) = (7,0).

III) Falso, ya que −𝑣 = −(2,−2) = (−2,2).

Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.




Al aplicar una simetría al punto (3, – 5) respecto al eje X se obtiene el par (3, 5). Por lo

tanto, al aplicarle una rotación de 180° al punto resultante se obtiene el par (– 3, – 5).




Si el punto medio entre los puntos (2 + 2𝑏, 2 + 𝑎) y (3𝑎, 𝑏 − 7) es (−5, 3),implica que

2 + 2𝑏 + 3𝑎

2= −5 y

2 + 𝑎 + 𝑏 − 7

2= 3

Ordenando estas ecuaciones, tenemos que

2𝑏 + 3𝑎 = −12 y 𝑎 + 𝑏 = 11

Formando así un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas

(1) 3𝑎 + 2𝑏 = −12

(2) 𝑎 + 𝑏 = 11

Luego, si amplificamos por (−2) la ecuación (2), obtenemos −2𝑎 − 2𝑏 = −22.

Y ahora, si esta nueva ecuación la sumamos con (1), obtenemos

−2𝑎 − 2𝑏 = −22

3𝑎 + 2𝑏 = −12 +

𝑎 = −34

Luego, reemplazando este valor en la ecuación (2), se tiene

−34 + 𝑏 = 11

𝑏 = 45

Por lo tanto, 𝑏 − 𝑎 = 45 − (−34) = 45 + 34 = 79.


Unidad temática Geometría de proporción

Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que la altura de un triángulo equilátero está relacionada con la

medida de sus lados. Como ambos triángulos tienen igual altura, entonces la

medida de los lados de ambos triángulos será congruente.

II) Verdadera, ya que al trazar ambas diagonales, estas son perpendiculares y se

dimidian entre sí.

III) Falsa, ya que las bases de un trapecio tienen distintas medidas, por lo que los

triángulos dibujados no son congruentes.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Habilidad ASE

Si la ordenada del punto (8, – 2) disminuye una unidad, implica que el punto se

transforma en (8, – 3).

Si la abscisa del punto (8, – 3) aumenta en dos unidades, implica que el punto se

transforma en (10, – 3).

Si al punto (10, – 3) se le aplica una simetría central respecto al origen, que es

equivalente a aplicar una rotación en 180° respecto al origen, basta con cambiar el signo

de las coordenadas del punto, por lo que este queda ubicado en la posición (– 10, 3).




Por teorema de las cuerdas en una circunferencia se tiene que AP · PC = BP · PD.

Reemplazando:

(2𝑥 + 1) ∙ (12) = (2𝑥 − 4) ∙ (15) (Simplificando)

(2𝑥 + 1) ∙ (4) = (2𝑥 − 4) ∙ (5) (Distribuyendo)

8𝑥 + 4 = 10𝑥 − 20 (Despejando la x)

𝑥 = 12

Por lo tanto, BD = BP + PD = 2 · 12 – 4 + 15 = 35.




Al llevar a un gráfico la descripción del enunciado resulta la figura

adjunta. Es importante tener en cuenta que cualquier relación que

incluya al punto D difícilmente podrá ser cierta, ya que este se

encuentra en una posición arbitraria.

De las cinco opciones, si se analizan las dos que no incluyen al punto

D:

A) AC² = AE·EB No se cumple, ya que es una interpretación

errónea del teorema de Euclides.

D) CB² = AB·EB Se cumple, ya que corresponde al postulado del teorema de Euclides:

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su

proyección por la hipotenusa”.




Según la figura tenemos que 𝑅𝑄 = 𝑃𝑄 − 𝑃𝑅 = (5𝑥 + 4) − (2𝑥 + 1) = 3𝑥 + 3.

A B

C

E

D

Además, se tiene que 𝑅𝑄 ∶ 𝑃𝑄 = 2 ∶ 3

Entonces, se cumple que:

3𝑥 + 3

5𝑥 + 4=

2

3 (Desarrollando la proporción)

9𝑥 + 9 = 10𝑥 + 8 (Despejando la 𝒙)

𝑥 = 1

Por lo tanto, la medida del segmento 𝑃𝑄 = 5 ∙ 1 + 4 = 9


Unidad temática Circunferencia


A partir del enunciado podemos completar los datos en la circunferencia de la figura

adjunta.

Como el arco AB = 104° y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , entonces el arco BC y el arco CA miden 128°.

128° 128°

104°

Entonces, si el ángulo ∠𝐶𝑂𝐴 mide 128°, la mitad del ángulo ∠𝐶𝑂𝐴 es 64°.


Unidad temática Circunferencia

Habilidad ASE

Según la figura adjunta, ∠𝐴𝑃𝐸 es un ángulo exterior y se obtiene de la semidiferencia

entre los arcos AE y DC, es decir:

∠𝐴𝑃𝐸 =𝐴𝐸 ̂ − 𝐷�̂�

2

40° =150° − 𝐷�̂�

2

𝐷�̂� = 70° Luego,

𝐸�̂� = 70°

Además, el arco 𝐵𝐴 = 30°, ya que 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ es diámetro de la circunferencia.

Por lo tanto, el arco CB mide 40°.



Habilidad ASE

A partir de cada figura, calculamos el valor de x usando la respectiva proporción.

I) 16

10=

𝑥

15

⇒ 𝑥 =

15∙16

10= 24

II) 12

16=

30

𝑥

⇒ 𝑥 =

16∙30

12= 40

III) 𝑥

36=

14

21

⇒ 𝑥 =

36∙14

21= 24

Por lo tanto, solo en I y III el valor de x es 24.



Habilidad ASE

En la figura se cumple que RQP SQT, por ser opuestos por el vértice. Además,

RQ:QS = k. Luego:

(1) PRS TSR. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo PQR es

semejante con el triángulo TQS, ya que se cumple el criterio de tener dos ángulos

respectivamente congruentes.

(2) PQ : QT = k. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo PQR es

semejante con el triángulo TQS, ya que se cumple los criterios de tener dos lados

respectivamente proporcionales y el ángulo congruente entre ellos.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).

30°

150°

70°

70°


Unidad temática Geometría analítica


Supongamos que el dibujo de la figura

mencionada en el enunciado

corresponde a la figura adjunta.

Como OA = 3 cm y AD = 5 cm,

entonces OD = 8 cm. Luego, la razón de

homotecia será 3

8

OA

OD. Es decir, 8 : 3.




Si la recta tiene coeficiente de posición 1, entonces su ecuación será y = mx + 1, con m la

pendiente de esta recta. Como esta recta pasa por el punto (2, 9), entonces se cumple que

9 = 2m + 1. Despejando:

9 = 2m + 1 ⟹ 8 = 2m ⟹ 4 = m




Se sabe que la forma principal de la ecuación de una recta es del tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde

m es la pendiente y n el coeficiente de posición asociado al punto de intersección con el

eje y.

A partir del gráfico se observa que 𝑛 = 3, y con los puntos que pertenecen a la recta

podemos determinar el valor de la pendiente m:

𝑚 =3 − 0

0 − (−1)= 3

Por lo tanto, la ecuación de la recta representada en el gráfico es 𝑦 = 3𝑥 + 3.

D A

F

B

O

E C



Habilidad ASE

Respecto de la recta L del gráfico adjunto:

I) Verdadera, ya que todas las rectas horizontales (paralelas al eje X) tienen pendiente

igual a 0.

II) Verdadera, ya que en la recta L se encuentran todos los puntos de la forma (𝑥, 8), en

particular (– 9, 8).

III) Falso, ya que la ecuación que representa la recta es 𝑦 = 8.




Habilidad ASE

Para que dos rectas sean paralelas no coincidentes, ambas deben tener igual pendiente

pero distinto coeficiente de posición. Luego:

(1) a es el triple de b. Con esta información, no es posible determinar que son

paralelas no coincidentes, ya que si bien se cumple que ambas pendientes son

iguales (ya que en la primera recta se cumple también que el coeficiente de x es el

triple del coeficiente de y), no se sabe nada respecto al valor de c, es decir, no se

puede afirmar que los coeficientes de posición son distintos.

(2) c es distinto de cero. Con esta información, no es posible determinar que son

paralelas no coincidentes, ya que solo nos permite concluir que las rectas tienen

distinto coeficiente de posición, ya el coeficiente de la primera recta es cero.

Con ambas juntas, sí es posible determinar que son paralelas no coincidentes, ya que la

primera información permite concluir que ambas rectas tienen igual pendiente, mientras

que la segunda permite deducir que tienen distinto coeficiente de posición, condiciones

necesarias para que cumplan con el enunciado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas, (1) y (2).


Unidad temática Cuerpos geométricos


Sea el volumen V de un cono igual a hr 2

3

1 , donde r es la longitud del radio de la

base y h es la longitud de la altura del cono. Entonces:

I) Verdadera, ya que si el radio de la base se duplica, se tiene que

Vhrhrhr 43

144

3

12

3

1 222

Por lo que el volumen del cono resultante es cuatro veces su volumen original.

II) Falsa, ya que si la altura del cono se duplica, se tiene que

Vhrhr 23

122

3

1 22

Por lo que el volumen del cono resultante es dos veces su volumen original.

III) Verdadera, ya que si la altura se cuadruplica y el radio de la base disminuye a la

mitad, se tiene que

Vhrhr

hr

2

22

3

14

43

14

23

1

Por lo que el volumen del cono resultante es igual a su volumen original.





El origen del espacio tiene coordenadas (0, 0, 0), por lo cual si un punto de la recta L se

encuentra ubicado en el origen, entonces se cumple que (0, 0, 0) = (1, 1, 1) + t⋅(p, p, p).

Por lo tanto, planteando la igualdad para cualquiera de las coordenadas, resulta

0 = 1 + t·p t·p = – 1 t = p

1.




El punto Q se encuentra 1 cm delante, 1 cm arriba y 3 cm a la derecha del punto P. Por lo

tanto, la distancia entre P y Q es 11911311 222 cm.


Unidad temática Cuerpos geométricos


El volumen del cuerpo de la figura se calcula como la diferencia entre el sólido exterior

completo y el espacio interior.

El sólido sin el espacio es un paralelepípedo recto, cuya altura mide 4a cm y con una base

cuadrada de lado 3a cm. Luego, su volumen es 4a·(3a)² = 4a·9a² = 36a³ cm³.

Por otro lado, el espacio es un paralelepípedo recto, cuya altura mide 4a cm y con una

base cuadrada de lado 2a cm. Luego, su volumen es 4a·(2a)² = 4a·4a² = 16a³ cm³.

Por lo tanto, el volumen del cuerpo de la figura es (36a³ – 16a³) = 20a³ cm³.


Unidad temática Análisis de variable estadística


El conjunto A está compuesto por 9 elementos y las muestras se extraen por combinación

de elementos. Luego:

I) Verdadera, ya que la cantidad de muestras de tamaño 3 es 84!6!3

!9

3

9

, mientras

que la cantidad de muestras de tamaño 6 es 84!3!6

!9

6

9

.

II) Falsa, ya que al ser una cantidad impar de elementos, la mayor cantidad de muestras

que se pueden obtener corresponden a los tamaños 2

1n y

2

1n, con n la cantidad

total de elementos. Por ello, la mayor cantidad de muestras se obtendrá de los

tamaños de muestra 4 y 5.

III) Verdadera, ya que de los 9 elementos se consideran solo 8 de ellos y se realiza la

combinación de 4 elementos.



Unidad temática Manejo de datos


Completando la tabla con las frecuencias acumuladas, se tiene

Días Frecuencia Frecuencia acumulada

[0, 5[ 10 10

[5, 10[ 25 35

[10, 15[ 30 65

[15, 20[ 15 80

[20, 25[ 13 93

[25, 30[ 7 100

El percentil 60 corresponde al dato bajo el cual se encuentra el 60% de todos los datos.

Como en este caso son 100 datos, entonces el percentil 60 se encuentra en la posición 60,

ya que el 60% de 100 datos es 60.

Buscando la posición 60 en la columna de la frecuencia acumulada, identificamos que

esta se encuentra en el tercer intervalo.

Por lo tanto, el percentil 60 de la muestra se encuentra en el intervalo [10, 15[ .




Traspasando los datos del gráfico a una tabla y agregando la columna de frecuencia

acumulada, se tiene

Duración

(horas)

Frecuencia Frecuencia

acumulada

[18, 20[ 7 7

[20, 22[ 15 22

[22, 24[ 12 34

[24, 26[ 9 43

[26, 28[ 4 47

El primer cuartil corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos.

Como en este caso son 47 datos, entonces el primer cuartil se ubicará en la posición

11.75, ya que el 25% de 47 es 11.75. Luego, buscando esta posición en la frecuencia

acumulada, podemos inferir que el primer cuartil se encuentra en el intervalo [20, 22[ .

Por otro lado, el séptimo decil corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 70% de

los datos. Como en este caso son 47 datos, entonces el séptimo decil se ubicará en la

posición 32.9, ya que el 70% de 47 es 32.9. Luego, buscando esta posición en la

frecuencia acumulada, podemos inferir que el séptimo decil se encuentra en el intervalo [22, 24[ .

Por lo tanto, según la información entregada en el gráfico, el primer cuartil y el séptimo

decil se encuentran, respectivamente, en los intervalos [20, 22[ y [22, 24[ .



Habilidad ASE

Basado en la tabla, se tiene que 25 de los asistentes son hombres y que 30 de los

asistentes son mujeres, con un total de 55 personas. Luego, analizando cada una de las

alternativas:

A) Verdadera, ya que hay 8 personas con un rendimiento muy bajo de un total de 55,

siendo aproximadamente un 14,55% de los asistentes.

B) Verdadera, ya que los hombres con rendimiento aceptable o alto son 15 de un total

de 25, es decir, el 60% de los hombres.

C) Verdadera, ya que el intervalo modal para los hombres es 31 – 45, mientras que para

las mujeres es 16 – 30.

D) Verdadera, ya que hay 30 mujeres, mientras que los hombres son 25.

E) Falsa, ya que al tratarse de intervalos no es posible conocer el valor exacto de los

abdominales que hizo cada asistente a la clase de gimnasia.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que 2p > p para todo valor positivo de p, por lo cual el intervalo que

tiene la mayor frecuencia es [1, 3].

II) Verdadera, ya que se realizaron un total de 3p lanzamientos, por lo cual la mediana

corresponde al dato que se encuentra en la posición 2

13 p (si p es impar), o bien es

Rendimiento Abdominales Hombres Mujeres

Muy bajo 1 – 15 3 5

Bajo 16 – 30 7 14

Aceptable 31 – 45 10 9

Alto 46 – 60 5 2

el promedio entre los datos que se encuentran en las posiciones 2

3p y

2

3p+1 (si p es

par). En ambos casos, dicho resultado se encontraría en el intervalo [1, 3].

III) Falsa, ya que las marcas de clase de los intervalos son 2 y 5, respectivamente. Luego,

el promedio obtenido a partir de la marca de clase es 33

9

3

522

p

p

p

pp.




Habilidad ASE

Como el promedio del conjunto es 4, entonces se puede plantear que 43

cba

, lo

cual implica que (a + b + c) = 12. Luego:

(1) El mayor promedio obtenido de las muestras es 5. Con esta información, sí se puede

conocer el valor numérico de a, ya que como 0 < a < b < c, entonces los dos valores

mayores son b y c. Dado que el promedio entre ellos es 5, entonces se puede plantear

que 52

cb

, lo cual implica que (b + c) = 10. Luego,

(a + b + c) – (b + c) = 12 – 10 a = 2.

(2) El menor promedio obtenido de las muestras es 2,5. Con esta información, no se

puede conocer el valor numérico de a, ya que como 0 < a < b < c, entonces los dos

valores menores son a y b. Dado que el promedio entre ellos es 2,5, entonces se

puede plantear que 5,22

ba

, lo cual implica que a + b = 5, desconociéndose el

valor de b.





Con respecto a los grupos de datos P, Q y R de la tabla:

P 1 2 3 4 5 �̅� = 3

Q 2 4 6 8 10 �̅� = 6

R 3 4 7 10 11 �̅� = 7

I) Verdadera, ya que el rango corresponde a la diferencia entre el dato mayor y el menor

de la muestra. Entonces, el rango de Q = 10 − 2 = 8 y el de R = 11 − 3 = 8.

II) Falso, ya que 𝜎𝑃 = √(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2

5= √

4+1+0+1+4

5= √

10

5= √2

y 𝜎𝑅 = √(3−7)2+(4−7)2+(7−7)2+(10−7)2+(11−7)2

5= √

16+9+0+9+16

5= √

50

5= √10.

III) Verdadero, ya que si los datos del grupo Q corresponden al doble de los datos del

grupo P, entonces su promedio también es el doble del promedio del grupo P.





I) Verdadera, ya que el rango del conjunto A es 7 – 1 = 6, mientras que el rango

del conjunto B es 8 – 2 = 6.

II) Falsa, ya que el promedio del conjunto A es 44

16

4

7531

, mientras

que el promedio del conjunto B es 54

20

4

8642

.

III) Verdadera, ya que todos los elementos del conjunto A tiene la misma

diferencia entre los elementos, al igual que todos los elementos del conjunto

B. Como la diferencia es constante, las desviaciones estándar son iguales.

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.




Calculando el promedio del conjunto: 44

16

4

7261

x . Luego, calculando la

desviación estándar:

4

)()()()( 2

4

2

3

2

2

2

1 xxxxxxxx

4

)74()24()64()14( 2222 (Reemplazando)

4

)3(2)2(3 2222 (Calculando)

4

9449

4

26

2

26



Habilidad ASE

Según la tabla, se conocen las medias de 5 de las 6 muestras que se pueden extraer de esta

población de tamaño 2, donde la media muestral que se desconoce es la de la muestra

{m, n}. Como el promedio entre todas las medias muestrales que se pueden extraer de

una población es igual a la media poblacional, si x es la media desconocida:

4242046

5,545,45,35,2

xx

x

Como la media de la muestra {m, n} es 4, entonces 842

nmnm

.



Habilidad ASE

Sabiendo que el intervalo de confianza para la media de las estaturas de las personas

mayores de 18 años de una ciudad que se modela según una distribución normal tiene la

forma [�̅� − 𝐸 , �̅� + 𝐸], donde �̅� es el promedio de la muestra y E es el error asociado.

Entonces, si buscamos el tamaño (n) de la muestra de tal manera que el intervalo de

confianza tenga un rango de 6 cm, significa que (�̅� + 𝐸) − (�̅� − 𝐸) = 6, por lo cual se

infiere que 2 ∙ 𝐸 = 6, es decir, el tamaño del error es de 3.

Además, sabemos que el error se calcula 𝐸 = 𝑍∝

2∙

𝜎

√𝑛. Por otro lado, según el problema,

la desviación estándar (σ) es de 15 cm; también, a partir de la tabla, el coeficiente (𝑍∝

2)

asociado al nivel de confianza (80%) es igual a 1,28.

Reemplazando los datos en la expresión que permite calcular el error, se tiene

3 = 1,28 ∙15

√𝑛 (Despejando √𝑛)

√𝑛 =1,28 ∙ 15

3 (Calculando)

√𝑛 = 6,4 (Elevando al cuadrado)

𝑛 = 40,96

Por lo tanto, el tamaño de la muestra, de manera que el intervalo de confianza para la

media de las estaturas tenga un rango de 6 cm con un nivel de confianza del 80%, debe

ser aproximadamente de 41.


Unidad temática Cálculo de probabilidades


Según la regla de Laplace, la probabilidad de que un suceso ocurra se calcula como

𝑃(𝐴) =N° de casos favorables de 𝐴

N° de casos totales

Entonces, al escoger una persona del pueblo al azar, la probabilidad de que sea un

anciano se expresa como

𝑃(Anciano) =N° de ancianos del pueblo

Total de habitantes del pueblo

(Reemplazando) 2

5=

N° de ancianos del pueblo

250.000

(Despejando)

N° de ancianos del pueblo = 100.000

Por lo tanto, en el pueblo hay 100.000 ancianos.




Marco coloca 50 pelotas en la piscina, de las cuales 7 son de color verde, mientras que

Gonzalo coloca 20 pelotas en la piscina, de las cuales 14 son de color verde. Entonces, en

la piscina hay un total de 70 pelotas, siendo 21 de ellas de color verde. Luego, la

probabilidad de extraer una pelota verde al azar es 10

3

70

21

pelotas de totalCantidad

verdespelotas de Cantidad .


Unidad temática Análisis de variable aleatoria


Si el valor de la variable aleatoria X corresponde a la cantidad de veces que se obtuvo un

1 o un 3 antes del sexto lanzamiento, por lo cual se puede afirmar que antes del sexto

lanzamiento pudo haber salido ninguna vez, una vez, dos veces, tres veces, cuatro veces o

5 veces un 1 o un 3.

Por lo tanto, los valores que puede tomar X son 0, 1, 2, 3, 4 y 5.




Como solo se conocen las razones en la que están las bolitas de los distintos colores,

entonces cada razón se ampliará de manera de poder hacer una comparación entre todos

los colores:

- azules : verdes = 3 : 2 = 6 : 4 = 9 : 6 = 12 : 8 = 15 : 10 = 18 : 12 = 21 : 14 = 24 : 16

- amarillas : azules = 1 : 2 = 2 : 4 = 3 : 6 = 4 : 8 = 5 : 10 = 6 : 12 = 7 : 14 = 8 : 16 = 9 :

18

- verdes : rojas = 6 : 5 = 12 : 10 = 18 : 15 = 24 : 20 = 30 : 25 = 36 : 30

Al amplificar las razones, se tiene que por cada 10 bolitas rojas, hay 12 bolitas verdes;

por cada 12 bolitas verdes, hay 18 bolitas azules; y por cada 18 bolitas azules, hay 9

bolitas amarillas. Es decir, rojas : verde : azules : amarillas = 10 : 12 : 18 : 9. Por lo tanto,

la probabilidad de escoger una bolita azul o una roja:

7

4

49

28

49

10

49

18)rojas()azules()rojas o azules( PPP




Traspasando los datos del gráfico a una tabla

X f (x)

1 m

2 n

3 0,2

4 0,5

I) Falsa, ya que el conjunto {n; 0,2; m; 0,5} corresponde al recorrido de la variable

aleatoria.

II) Verdadera, ya que se extrae a partir del gráfico.

III) Falsa, ya que la suma de todas las imágenes de f debe ser 1, luego, si f(1) = m = 0,25,

entonces n = 0,05.

Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.




I) Verdadera, ya que la función de distribución (probabilidad acumulada) y la función de

probabilidad siempre tienen la misma imagen para el primer elemento del recorrido.

II) Falsa, ya que 3c corresponde a la frecuencia acumulada del valor mayor que toma la

variable, por lo tanto 3c es igual a 1. Por otra parte, 1 – 3b siempre es igual a 2c .

III) Falsa, ya que siempre se cumple que F(xn) = P(x1) + … + P(xn). Luego, c2 = b1 + b2,

lo que no permite concluir que c2 = b2 – b1.

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.




Utilizando un diagrama de árbol para representar la situación, tenemos que

Sean los sucesos A: No tuvo pesadilla y B: Vio la película. Entonces, la probabilidad

condicionada P(B/A) se expresa de la forma:

60

35

60

25

60

Total

Vieron película No vieron película

4

5 1

5 4

25

21

25

Tuvieron pesadilla

Tuvieron pesadilla No tuvieron pesadilla

No tuvieron pesadilla

𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 𝑃(No tuvo pesadilla y vio la película)

𝑃(No tuvo pesadilla)

𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) =

15

∙3560

15

∙3560 +

2125

∙2560


760

760 +

2160


7602860

𝑃(Vio la película/No tuvo pesadilla) = 7

28=

1

4

Por lo tanto, si de los participantes del experimento se escogió al azar una persona, y esta

no tuvo pesadillas, entonces la probabilidad de que haya visto la película es de 1

4 .



Habilidad ASE

(1) El valor de n. Con esta información, no es posible determinar la probabilidad de

obtener el número n exactamente m veces, ya que para determinar la probabilidad en

este caso se debe usar la distribución binomial, esto es,

𝑃(𝑥 = 𝑚) = (8

𝑚) ∙ (

1

6)𝑚

∙ (5

6)8−𝑚

Expresión que depende solo del parámetro m en este caso y no del número del dado.

(2) El valor de m. Con esta información, sí es posible determinar la probabilidad de

obtener el número n exactamente m veces, ya que para determinar la probabilidad en

este caso se debe usar la distribución binomial, esto es,

𝑃(𝑥 = 𝑚) = (8

𝑚) ∙ (

1

6)𝑚

∙ (5

6)8−𝑚

Expresión que depende solo del parámetro m en este caso y no del número del dado.





Del enunciado del problema tenemos que 𝑌 ~ 𝑁(32, 5) y 𝑋 ~ 𝑁(0,1) son variables

aleatorias con distribución normal.

Luego, si buscamos una equivalencia de 𝑃(𝑌 ≤ 30) para X, debemos ajustarnos a la

variable tipificada 𝑋 ~ 𝑁(0,1) para 𝑌 = 30, es decir,

𝑋 =𝑌 − 𝜇

𝜎=

30 − 32

5= −0,4

Por lo tanto, la probabilidad de que 𝑌 sea menor o igual que 30 es equivalente a la

probabilidad de que 𝑋 sea menor o igual a −0,4 .




Según el problema, se tiene que P(x ≤ 243,6) = 0,1. Según la tabla de distribución de

probabilidad normal tipificada, se tiene que el valor de z asociado a un 90% de

probabilidad es 1,28.

Se puede establecer que, por simetría de la distribución normal, el valor de

1 – P(z ≤ 1,28), que equivale al 10%, es igual al valor de P(z ≤ – 1,28).

La variable x (en este caso, el volumen de gas en litros) puede ser tipificada en una

variable z, cuya transformación viene dada por

6,243z , con µ la media

poblacional de la muestra y σ la desviación estándar de la muestra. Entonces,

sustituyendo estos valores:

2504,66,2434,66,24328,15

6,243

Por lo tanto, el valor de µ es 250 litros.



Habilidad ASE

Toda función de probabilidad continua cumple con que el área bajo la curva es igual a 1,

ya que incluye el 100% de los datos. En este caso, la gráfica de la función forma un

triángulo de base 4 y altura m, por lo cual el área bajo él es igual a mm

22

4

.

Por lo tanto, planteando el área bajo la curva y despejando m, resulta 2m = 1 m = 2

1.

solucionario · 12 log n 2 log m (suma de fracciones) 3 2 (6 log n log m) (factorizando ) g g ) 3 2...

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