uso del papel log log y semilog

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UNIVERSIDAD LA GRAN COLOMBIA USO DEL PAPEL LOG Y SEMILOG POR: CARLOS RICARDO BAUTISTA DOCENTE: CARLOS GOMEZ BOGOTA VIERNES 13 DE NOVIEMBRE DE 2015

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ayuda para entender y crear escalas logaritmicas tutorial completo sobre como graficar en papel logarítmico y semilogaritmico

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UNIVERSIDAD LA GRAN COLOMBIA

USO DEL PAPEL LOG Y SEMILOG

POR: CARLOS RICARDO BAUTISTA

DOCENTE: CARLOS GOMEZ

BOGOTA VIERNES 13 DE NOVIEMBRE DE 2015

INTRODUCCIÓN

Con el consecutivo avance de las matemáticas y de la estadística vemos como surgen las graficas para la interpretación y visualización de datos de resultados y demás, el único objetivo de dichas graficas es proporcionar al lector que las observa una forma fácil de representar una realidad o un resultado para que este con solo el ejercicio de la observación pueda interpretar de manera fácil lo que está queriendo decir el creador de la grafica, pero hay algunos casos en que aquellas graficas no son muy fáciles de interpretar porque sus datos se encuentran muy dispersos los unos de los otros y a su vez estos datos se dividen en grupos los cuales están muy separados unos de otros y en ellos los datos muy amontonados lo que tiene como consecuencia que este tipo de graficas al observarlas se torne muy complicada la interpretación de sus datos para este problema de las graficas “difíciles” se ha desarrollado unas escalas especiales llamadas logarítmicas y un papel especial diseñado para plasmar dichas escalas

¿QUE ES UN LOGARITMO?

Un logaritmo es una expresión algebraica que representa una igualdad y es de la forma

Se define como el numero al cual debemos elevar una base dada para tener como resultado el numero escrito.

Ejemplos:

Siendo a la base , x e l número e y e l logarí tmo .

EJEMPLOS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Propiedades de los logaritmos:

1. El logar i tmo de un producto es igual a la suma de los logar i tmos de los factores:

Ejemplo

2. El logar i tmo de un coc iente es igual a l logar i tmo de l d iv idendo menos el logari tmo del d iv isor:

Ejemplo

3. El logar i tmo de una potencia es igual a l producto del exponente por e l logar i tmo de la base:

Ejemplo

4. El logar i tmo de una ra íz es igua l a l cociente ent re e l logar i tmo del radicando y e l índ ice de la ra íz:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

COMO SE GRAFICA LA FUNCIÓN 𝒚 = 𝒆𝒙

La función 𝑦 = 𝑒𝑥 es igual a la función x = Ln y y la podemos graficar dando distintos valores a x para obtener su equivalente en y y poder obtener una tabla de datos.

Y como podemos observar tiene el típico comportamiento de una función exponencial.

GRAFICA DE LA FUNCIÓN 𝒚 = 𝐋𝐎𝐆𝒙

Para graficar la función 𝑦 = log 𝑥 podemos usar el método tradicional dando valores a x para obtener su equivalencia en y hacer una tabla y luego graficar.

Grafica de 𝒚 = 𝐥𝐧𝒙

Para la grafica de 𝑦 = ln 𝑥 usamos también el método tradicional dando valores a x para obtener su equivalencia en y hacemos una tabla y graficamos

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1Las propiedades de los logaritmos.

1

2

3

4

5

6

7

2 inyectividad del logaritmo:

3Definición de logaritmo:

4Además tenemos que comprobar las soluciones para verif icar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Ejemplos

1.

En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

Teniendo en cuenta la inyect ividad de los logartmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logartmo nulo o negativo.

2.

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente.

Restamos en los dos miembros log x y teniedo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:

Teniendo en cuenta la def inición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:

3.

En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de un logaritmo.

Teniendo en cuenta la inyect ividad de los logartmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución.

4.

Mult ipl icamos en los dos miembros por log(3x −4).

En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad de los logartmos.

Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontrariamos al sust ituir en la ecuación nos encontraríamos en el denominador un logarítmo negativo.

Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente .

Ejemplo:

Para resolver ecuaciones de este t ipo vamos a t ratar diferentes casos

Caso 1

Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

Ejemplos

1.

2.

Caso 2

Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:

Ejemplo

Caso 3

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurr ir a un cambio de variable.

Ejemplos

1.

En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.

Posteriormente realizamos el cambio de variable:

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.

2.

Caso 4

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

Ejemplo

Grafica de funciones en papel semilogaritmico.

¿Qué es una graf ica semilogaritmica?

Una grafica o representación semilogarítmica es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas o el eje de ordenadas tienen escala logarítmica mientras el otro eje tiene una escala lineal o proporcional.

Si la representación se hace manualmente, se emplea papel semilogarítmico,1 que posee la escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos decimales, de base 10.

¿Cuando se usa este tipo de graficas?

Los datos que siguen una variación similar a una función exponencial, y=a·eb·x, o aquellas serie de datos cuyo rango abarca varios órdenes de magnitud , son apropiados para una representación semilogarítmica o logarítmica. Por ello, este tipo de representación es muy usada en ciencia e ingeniería.

Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión

podrá representarse en forma de línea recta, ,

donde representa el logaritmo en base o natural, ya que ambas expresiones son equivalentes.2 Si usamos logaritmos en bases , distintas a la natural, la

relación exponencial linealizada será .

Ejemplo paso a paso para de aplicación de una grafica en semilog.

Supongamos que en un eje queremos representar los caudales de varios cauces y disponemos de los datos que aparecen acontinuacion:

ya ordenados de menor a mayor, desde un arroyo con 16 litros/seg hasta un gran río con 154 m3/seg: Si representamos estos datos en una escala aritmética (un papel cuadriculado normal) quedará algo tan poco expresivo como esto:

Los cuatro primeros están amontonados encima del 0, de modo que no sería válido si queremos que aparezcan todos los valores. Probamos otra estrategia: calculamos los logaritmos de los caudales, y los representamos de nuevo en un papel milimetrado corriente.

Ahora los puntos aparecen bien diferenciados, pero, además de la molestia de tener que calcular los logaritmos, el observador no capta los valores: ¿cómo podemos adivinar que el punto situado en 1,50 en realidad se refiere a un caudal de 32 m3 /seg? La solución es representar los puntos en una escala logarítmica: no es preciso calcular nada, nosotros situamos en la escala los valores de los caudales, pero lo que determina su posición son los logaritmos de los caudales:

Graficas en papel log

Una representación logarítmica es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas y el eje de ordenadas tienen escala logarítmica. o semi curvas lineales

Si la representación se hace manualmente, se emplea papel logarítmico,1 que posee la escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos decimales, de base 10.

usamos papel logarítmico para graficar cuando los datos que vamos a graficar siguen una variación similar a una función potencial, y=a·xn, en ambos ejes tanto en el horizontal como en el vertical o aquella serie de datos cuyo rango abarca varios órdenes de magnitud son apropiados para una representación logarítmica. Por ello, este tipo de representación es muy usada en ciencias e ingeniería.

Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión podrá

representarse en forma de línea recta, , si usamos representación logarítmica ya que ambas expresiones son equivalentes.

¿CUÁL ES LA RELACIÓN ENTRE UNA GRAFICA LOG LOG Y UNA NORMAL?

Al comparar una grafica en papel log log y una normal en muchos casos podremos observar que como los dos ejes avanzan de forma exponencial ambos gráficos de una misma serie de datos pueden quedar en forma de recta pero con la diferencia de qe en una escala en papel logarítmico los valores de dicha tabla pueden observarse mejor ya que allí hay variedad de distintos ciclos todos en base 10 ej: 1-10, 10-100, 100-1000…

Ejemplo de una grafica en papel log log

Como ejemplo de representación logarítmica vamos a representar los datos del periodo de revolución de algunos planetas en función del semieje mayor de su trayectoria (leyes de Kepler), que aparecen en la tabla inferior.

Planeta

Semieje mayor

en m

Periodo de revolución

en

Mercurio 57,9 7,58

Venus 108,2 19,36

Tierra 149,6 31,47

Marte 227,9 59,19

Júpiter 778,3 373,32

Representación logarítmica del periodo de revolución frente al semieje mayor de los planetas del sistema solar. Para un ajuste de la línea recta, ver serie estadística de dos variables.

La misma serie de datos en representación cartesiana, habría conducido a un amontonamiento de los primeros puntos para permitir colocar el último punto, y habría colocado dichos puntos en una curva parecida a unafunción polinomial.

ANÁLISIS DE REGRESIÓN

¿Que es un análisis de regresión?

El análisis de regresión lineal es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre variables. Se adapta a una amplia variedad de situaciones. En la investigación social, el análisis de regresión se utiliza para predecir un amplio rango de fenómenos, desde medidas económicas hasta diferentes aspectos del comportamiento humano. En el contexto de la investigación de mercados puede utilizarse para determinar en cuál de diferentes medios de comunicación puede resultar más eficaz invertir; o para predecir el número de ventas de un determinado producto.

La recta de regresión En el capítulo anterior (sobre correlación lineal) hemos visto que un diagrama de dispersión ofrece una idea bastante aproximada sobre el tipo de relación existente entre dos variables. Pero, además, un diagrama de dispersión también puede utilizarse como una forma de cuantificar el grado de relación lineal existente entre dos variables: basta con observar el grado en el que la nube de puntos se ajusta a una línea recta. ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos observados de la muestra. El método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene:

Ahora bien, aunque un diagrama de dispersión permite formarse una primera impresión muy rápida sobre el tipo de relación existente entre dos variables, utilizarlo como una forma de cuantificar esa relación tiene un serio inconveniente: la relación entre dos variables no siempre es perfecta o nula; de hecho, habitualmente no es ni lo uno ni lo otro . Supongamos que disponemos de un pequeño conjunto de datos con información sobre 35 marcas de cerveza y que estamos interesados en estudiar la relación entre el grado de alcohol de las cervezas y su contenido calórico. Un buen punto de partida para formarnos una primera impresión de esa relación podría ser la representación de la nube de puntos, tal como muestra

el diagrama de dispersión de la figura 18.1.

Figura 18.1. Diagrama de dispersión de porcentaje de alcohol por nº de calorías.

El eje vertical muestra el número de calorías (por cada tercio de litro) y el horizontal el contenido nde alcohol (expresado en porcentaje). A simple vista, parece existir una relación positiva entre ambas variables: conforme aumenta el porcentaje de alcohol, también aumenta el número de calorías. En esta muestra no hay cervezas que teniendo alto contenido de alcohol tengan pocas calorías y tampoco hay cervezas que teniendo muchas calorías tengan poco alcohol. La mayor parte de las cervezas de la muestra se agrupan entre el 4,5 % y el 5 % de alcohol, siendo relativamente pocas las cervezas que tienen un contenido de alcohol inferior a ése. Puesto que una línea recta posee una fórmula muy simple, Yi = B0 + B1 Xi podemos comenzar obteniendo los coeficientes B0 y B1 que definen la recta. El coeficiente B1 es la pendiente de la recta: el cambio medio que se produce en el número de calorías (Yi) por cada unidad de cambio que se produce en el porcentaje de alcohol (Xi) . El coeficiente B0 es el punto en el que la recta corta el eje vertical: el número medio de calorías que corresponde a una cerveza con porcentaje de alcohol cero. Conociendo los valores de estos dos coeficientes, nuestro interlocutor podría reproducir la recta y describir con ella la relación existente entre el contenido de alcohol y el número de calorías. Aunque no entremos todavía en detalles de

cómo obtener los valores de B0 y B1, sí podemos ver cómo es esa recta (figura 18.2).

La primera información que obtenemos (tabla 18.1) se refiere al coeficiente de correlación múltiple (R) y a su cuadrado. Puesto que sólo tenemos dos variables, el coeficiente de correlación múltiple no es otra cosa que el valor absoluto del coeficiente de correlación de Pearson entre esas dos variables (ver capítulo anterior). Su cuadrado (R cuadrado) es el coeficiente de determinación:

(los residuos son las diferencias existentes entre las puntuaciones observadas y los pronósticos obtenidos con la recta). Tal como hemos señalado ya, R 2 expresa la proporción de varianza de la variable dependiente que está explicada por la variable independiente. En nuestro ejemplo (tabla 18.1), R toma un valor muy alto (su máximo es 1); y R 2 nos indica que el 77,5 % de la variación de salario está

explicada por salini. Es importante resaltar en este momento que el análisis de regresión no permite afirmar que las relaciones detectadas sean de tipo causal: sólo es posible hablar de grado de relación.

cuadrado corregida es una corrección a la baja de R 2 que se basa en el número de casos y de variables independientes:

(p se refiere al número de variables independientes). En una situación con pocos casos y muchas variables independientes, R 2 puede ser artificialmente alta. En tal caso, el valor de R 2 corregida será sustancialmente más bajo que el de R 2. En nuestro ejemplo, como hay 474 casos y una sola variable independiente, los dos valores de R 2 (el corregido y el no corregido) son prácticamente iguales. El error típico de la estimación (al que llamaremos Se) es la desviación típica de los residuos, es decir, la desviación típica de las distancias existentes entre las puntuaciones en la variable dependiente (Yi) y los pronósticos efectuados con la

recta de regresión aunque no exactamente, pues la suma de las distancias al cuadrado están divididas por nn2:

En realidad, este error típico es la raíz cuadrada de la media cuadrática residual de la tabla 18.2). Representa una medida de la parte de variabilidad de la variable dependiente que no es explicada por la recta de regresión. En general, cuanto mejor es el ajuste, más pequeño es este error típico.

La tabla resumen del ANOVA (tabla 18.2) nos informa sobre si existe o no relación significativa entre las variables. El estadístico F permite contrastar la hipótesis nula de que el valor poblacional de R es cero, lo cual, en el modelo de regresión simple, equivale a contrastar la hipótesis de que la pendiente de la recta de regresión vale cero. El nivel crítico (Sig.) indica que, si suponemos que el valor poblacional de R es cero, es improbable (probabilidad = 0,000) que R, en esta muestra, tome el valor 0,88. Lo cual implica que R es mayor que cero y que, en consecuencia, ambas variables están linealmente relacionadas.

ECUACIÓN DE REGRESIÓN La tabla 18.3 muestra los coeficientes de la recta de regresión. La columna etiquetada Coeficientes no estandarizados contiene los coeficientes de regresión parcial que definen la ecuación de regresión en puntuaciones directas.

El coeficiente correspondiente a la Constante es el origen de la recta de regresión (lo que hemos llamado B0):

Y el coeficiente correspondiente a Salario inicial es la pendiente de la recta de regresión (lo que hemos llamado B1):

B1 indica el cambio medio que corresponde a la variable dependiente (salario) por cada unidad de cambio de la variable independiente (salini). Según esto, la ecuación de regresión queda de la siguiente manera: Pronóstico en salario = 1928,206 + 1,909 salini

A cada valor de salini le corresponde un pronóstico en salario basado en un incremento constante (1928,206) más 1,909 veces el valor de salini. Pruebas de significación Finalmente, los estadísticos t y sus niveles críticos (Sig.) nos permiten contrastar las hipótesis nulas de que los coeficientes de regresión valen cero en la población. Estos estadísticos t se obtienen dividiendo los coeficientes de regresión B0 y B1 entre sus correspondientes errores típicos:

siendo:

Estos estadísticos t se distribuyen según el modelo de probabilidad t de Student con nn2 grados de libertad. Por tanto, pueden ser utilizados para decidir si un determinado coeficiente de regresión es significativamente distinto de cero y, en consecuencia, si la variable independiente está significativamente relacionada con la dependiente. Puesto que en regresión simple sólo trabajamos con una variable independiente, el resultado del estadístico t es equivalente al del estadístico F de la tabla del ANOVA (de hecho, t 2 = F).

CONCLUSIONES:

A partir de los resultados de la tabla 18.3, podemos llegar a las siguientes conclusiones: 1. El origen poblacional de la recta de regresión (β0) es significativamente distinto de cero (generalmente, contrastar la hipótesis “β0 = 0" carece de utilidad, pues no contiene información sobre la relación entre Xi e Yi). 2. La pendiente poblacional de la recta de regresión (el coeficiente de regresión β1 correspondiente a salini) es significativamente distinta de cero, lo cual nos permite concluir que entre salario y salini existe relación lineal significativa.