XPLog = XPLoga

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe loga P,g , y ga ,al exponente al que hay que elevar la base a paraobtener P.

PaxPLog xa =⇔=

Ejemplo:

8238log 3 =⇔= 8238log2 =⇔=

L l it b 2 d 8 3 2Leemos, logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2elevado a 3 es 8.

Análogamente podemos decir:

12553125log 35 =⇔=

813481log

g

43

5

=⇔=

10000001061000000log 610 =⇔=

0001,0100001

1011040001,0log 4

410 ===⇔−= −

84,5310731105051,184,53log

1000010731105051,1

10 =⇔=g10

Los logaritmos en base 10 segllaman logaritmos decimales yson los más utilizados. Por eso, latecla de la calculadora es parael cálculo de los logaritmosdecimales (también en el usodecimales. (también en el usohabitual podemos poner log enlugar de log10 ).g g10 )Para Calcular, por ejemplo, log1053,84 se hace:

53,84 1,731105051

El ál l d l it tEl cálculo de logaritmos en otrabase se hace a partir de loslogaritmos decimales como selogaritmos decimales, como severá en las propiedades

Ejercicio 1.- Decir el valor de los logaritmos poniendo losú f d t inúmeros en forma de potencias:a. Log6 1296b. Log2 0,125g2

1112541296log61296) 6

4 =⇒=a

3125,0log221

81

1000125125,0) 2

33 −=⇒==== −b

Ejercicio 2.- Con la tecla ,calcular log 5, log 50, log500, log 5000

6989705l

...69897,150log

...69897,05log

=

=

...69897,2500log

...69897,150log

=

...69897,35000log =

Ejercicio 3.-Utilizando la tecla para hallar potencias, ^ ó xy ,calcular de forma aproximada log7532.calcular de forma aproximada log7532.

,...3532log240173437

74

3

=→=

240174 =

Hallemos la cifra de las décimas

...2,3532log6147

,...506773,3

2,3

=→

=

=

,...6147 =

5167 213

Hallemos la cifra de las centésimas

...22,3532log...5267,...5167

722,3

21,3

=→

=

=

...5367 23,3 =

Así sucesivamente, podemos aproximarnos tanto comoqueramos al valor de log7532.

I.- El logaritmo de 1 es 0 cualquiera que sea la base.g q q

01log =a Ejemplo: 1501log 05 =⇔=

II.- Cualquiera que sea la base, su logaritmo es 1.

1log =aa 7717log 17 =⇔=Ejemplo:

III.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de loslogaritmos de los factores.

( ) QPQP aaa logloglog +=⋅Ejemplo:Ejemplo:

9368log64log)864(log512log 2222 =+=+=⋅=

51229512log 92 =⇔=

IV.- El logaritmo del cociente de dos números es igual allogaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisorlogaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

QPPaaa logloglog −= QP

Q aaa logloglog

23527l243l243lEjemplo:

23527log243log27

log 333 =−=−=

243 9329log27243log 2

33 =⇔==

V.- El logaritmo de una potencia es igual al exponentepor el logaritmo de la base.

Ejemplo:PnP an

a loglog ⋅=236

49log349log 73

7

⋅=⋅=236 ⋅=

VI.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo delradicando dividido por el índice de la raízradicando dividido por el índice de la raíz.

PP ana

loglog = Ejemplo:24log4log 23

2 ==n

Palog Ejemplo:33

4log2

Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:

PPPP aa

na

na

loglog1loglog1

=⋅==nn aaa ggg

VII Cambio de base El logaritmo en base a de unVII.- Cambio de base. El logaritmo en base a de unnúmero se puede obtener, a partir de los logaritmosdecimales, según la siguiente igualdad.decimales, según la siguiente igualdad.

PPPalogloglog 10 == De esta forma se puede

h l l daaPa loglog

log10

hacer por calculadora

Ejercicio 4.-Sabiendo que el log 2=0,301 y aplicando laspropiedades anteriores, calcula log 507.propiedades anteriores, calcula log 50 .

( )2log100log72100log750log750log 7 =−⋅=⋅=⋅=

( ) 893,11301,0272

=−⋅=

Ejercicio 5.-Con ayuda de la calculadora, obtener:a. log2 1500b log7 593

Teclab. log7 593

1500255074679,103010299950176091259,3

2l1500log1500log) 55074697,10

2 =→===a301029995,02log2

5937281340817,384509804,0773054693,2

7log593log593log) 281340817,3

7 =→===b

Ejercicio 4.-Sabiendo el valor de log 2= 0,301030 y el delog 3= 0,477121, calcula los siguientes logaritmos.log 3 0,477121, calcula los siguientes logaritmos.

4loga).-

602060,0301030,022log22log4log 2 =⋅=⋅==

b).- 12log

( ) ( ) + 2log3log23log43log12log 22( ) ( )=⋅+=⋅+==+=⋅=⋅=

301030,02477121,02log23log2log3log23log43log12log

c) - 15logc). 15log

( ) =−+=⋅

== 2log10log3log2103log

230log15log ( )

=−+= 301030,01477121,0

ggg2

g2

gg

Ejercicio 4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones

a).-35

6 2

2 5122464log

⋅⋅5122 ⋅

( ) ( )464 356 26 2⋅ ( ) ( )( ) 4l264l512l464l

5122log464log5122464log

2

352

6 22352

=⋅−⋅=⋅

( )6

4log264log3512log2log

6464log 2225

2

22 −

+=

+−

⋅=

8610

3915

6226

3512log2log5 2

2 =−=

+⋅−

⋅+=

+⋅−

319

638

64810

−=−=−

=366

En este tema vamos a ver:

Ecuaciones Exponenciales

813 52

=−x 1502 1 =+x

Ecuaciones Logarítmicas

1log2log 1log2log =+ x

Si t d E iSistemas de Ecuaciones

( )

=⋅=−⋅

4log5loglog2

yxyx

( ) og y

Ejercicio 6.-Resuelve2

Puesto que 81 es una potencia enterade 3, ha resultado muy sencillo

813 52

=−x

544533813 22455 22 xx

a).-de 3, ha resultado muy sencillodespejar x.

544533813 22455 +=→=−→=→= −− xxxx

2 3,399 212 −==→±=→= xxxx

b) 1502 1+x A li l t d l itb).- 1502 1 =+x Aplicamos el concepto de logaritmo

1760912592150log 2288,7301029995,0176091259,2

2log150log150log1 2 ====+x

Como150 no es potencia entera de 2, para despejar x tenemosque tener en cuenta la definición de logaritmo (propiedad VII)

2288,612288,72288,71 =−=→=+ xx

Ejercicio 7.-Resuelve

a).- 1log2log =+ x

Aplicamos la propiedad III logaritmo de un producto eAplicamos la propiedad III, logaritmo de un producto eigualamos logaritmos y la propiedad II.

10log)2log(1log2log =⋅→=+ xx

Es lógico que si dos logaritmos son iguales lo que hay dentrotiene que ser igual ¡¡¡IMPORTANTE!!!

10 521010210log)2log( ==→=→=⋅ xxx

b).- 23loglog 55 =−x

Aplicamos la propiedad IV, logaritmo de un cociente yaplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 enaplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 enlogaritmo.

x 2555 5log25log

3log ==

x

Al igualar logaritmos, igualamos lo que contienen y por lotanto:tanto:

752532552x 752532553

2 =⋅=→== x

c).- ( ) 27log3log6 22 =+⋅ x

Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia eigualamosigualamos.

( ) 27log3log 26

2 =+x( ) gg 22

( ) ( ) 3693333 2236 =++→=+→=+ xxxx( ) ( ) 3693333 =++→=+→=+ xxxx

0662 =++ xx6143664

0662 ⋅⋅−±−

=⋅⋅−±−

=

=++cabbx

xx

126122

±−⋅⋅

x

ax

2=x

Ejercicio 8.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

22a).-

=−=+

1loglog22yx

yx Aplicamos las propiedadescomo en los casos anteriores.

1010loglog1loglog =→=→=−xxyx 1010loglog1loglog →→yy

yx

Resolvemos el sistema

2221122101022 =→=→=+→

=+ yyyyyx

yx

2020210210

=→=⋅=→==

xxyyx

Solución del sistema

20;2 == xy

Ejercicio 9.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

ll2a).-( )

=⋅=−

4log5loglog2

yxyx Aplicamos las propiedades

como en los casos anteriores.

52 10log100000logloglog5loglog2 ==−→=− yxyx

52

52

52 1010loglog10logloglog =→=→=−xxyx

De la otra ecuación obtenemos

gggggyy

y

( ) 410log10000log)log(4log ==⋅→=⋅ yxyx

44 1010log)log( =⋅→=⋅ yxyx

C l bt i tCon lo que obtenemos un nuevo sistema que pasamos aresolver

32452

1010

= xxx5

45

44

1010

1010

10

10

10=→=→=→

=⋅

= xxx

yyx

y10 x

yx

333 9935

4

3

1010101010

==→=→= xxx

Resolvemos la y101010

43 10

1010 3

3 ==→= yx

Solución

10;10 3 == yx ; y

Ejercicio 9.-Resuelve

1222 1 =+ +xx

Hacemos que 2x = z y aplicando las propiedades de laspotencias:

222 1 ⋅=+ xx

Llegamos a que:Llegamos a que:

12312222222 1 =→=+=⋅+=+ + zzzxxxx

Resolvemos

2424123 =→=→=→= xzz x

Ejercicio 10.- Resuelve la ecuación.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )23log6log1log +=++− xxx

Aplicamos la propiedad V logaritmo de una potencia eAplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia eigualamos.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )236123log61log ++→++ xxxxxx( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )236123log61log +=+⋅−→+=+⋅− xxxxxx

0822365 22 +++ xxxxx( )814424

08223652

22

−⋅⋅−±−=

⋅⋅−±−=

=−+→+=−+cabbx

xxxxx

4;2122

21 −==⋅

=⋅

=

xxa

x

21

Comprobamos que x=-4 no verifica la ecuación porquelog(-5) no existe La solución es:log(-5) no existe. La solución es:

21 =x