sistemas automáticos

INGENIERA DE SISTEMAS Y AUTOMTICA

SISTEMAS AUTOMTICOS 1

SISTEMAS AUTOMTICOS (Grado en Ingeniera Mecnica) Examen 1 convocatoria 18 de junio de 2013

Ejercicio 1 (2 puntos)

Se ha diseado un mecanismo sencillo que permitir medir el par ejercido por un motor a partir del desplazamiento x de una masa m. El mecanismo consiste en un husillo de paso p (m/rad) que transforma el movimiento rotacional del motor en traslacin x de la masa m. El comportamiento esttico y dinmico del sistema dependen de la constante de rigidez k del muelle y de la amortiguacin b usados para limitar el desplazamiento x. Sobre la masa se ha de considerar que acta una fuerza de rozamiento que se opone a su desplazamiento con un coeficiente . El motor se conecta al husillo a travs de un eje de inercia J que presenta un rozamiento viscoso f.

Se pide: a) Construir el diagrama de bloques del sistema; b) Simplificar el diagrama de bloques para hallar la funcin de transferencia que

relaciona la tensin de entrada U(s) del motor con el desplazamiento X(s) de la masa m.



Solucin: a) Primero calculamos las ecuaciones diferenciales que determinan el comportamiento dinmico del sistema:

u t( ) = R i t( )+Ke i t( )

Mm t( ) = Kp i t( ) = J d 21dt2 + f

d1dt +M1 t( )

M1 t( ) =M2 t( )n

2 t( ) =1 t( )n

x t( ) = p 2 t( ) M2 t( ) = p F t( )

F t( ) m g t( ) k x t( ) b dxdt =m d 2xdt2

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones anteriores obtenemos:

U s( ) = R I s( )+Ke I s( ) Mm s( ) = Kp I s( ) = J s2 1 s( )+ f s 1 s( )+M1 s( )

M1 s( ) =M2 s( )n

2 s( ) =1 s( )n

X s( ) = p 2 s( ) M2 s( ) = p F s( ) F s( ) m g s( ) k X s( ) b s X s( ) =m s2 X s( )

A partir de las ecuaciones en el dominio transformado obtenernos el siguiente diagrama de bloques:

b) Simplificando el diagrama en pasos sucesivos obtenemos:



G1 s( ) =1

J s2 + f s1+ 1J s2 + f s

p2n2 m s

2 + b s+ k( )=

1J s2 + f s+ p

2

n2 m s2 + b s+ k( )

=

=1

s2 J + p2 mn2

"

#$

%

&'+ s f + p

2 bn2

"

#$

%

&'+

p2 kn2

de donde

X s( )U s( )

=

Kp / Rs2 J + p

2 mn2

"

#$

%

&'+ s f + p

2 bn2

"

#$

%

&'+

p2 kn2

1+ Kp / Rs2 J + p

2 mn2

"

#$

%

&'+ s f + p

2 bn2

"

#$

%

&'+

p2 kn2

Ke spn =

=Kp pR n

1s2 J + p

2 mn2

"

#$

%

&'+ s f + p

2 bn2 +

Ke KpR

"

#$

%

&'+

p2 kn2



Ejercicio 2 (5 puntos) Se desea realizar el control del sistema dado por la siguiente funcin de transferencia:

G s( ) = 11+ 0.4 s( ) 1+ 2 s( )

utilizando el esquema de control por realimentacin. Para medir la salida se dispone de un sensor de ganancia 2.

Se pide: a) Aplicar el criterio de Routh para determinar el rango de valores que se pueden dar a

la ganancia de un regulador proporcional R(s)=Kr de forma que el sistema controlado sea estable.

b) Utilizando el lugar de las races, demostrar que con un regulador proporcional R(s)=Kr no se puede obtener un tiempo de respuesta menor que 1 segundo y SO=0%.

c) Calcular el regulador ms sencillo que permita obtener un error en rgimen permanente exactamente igual a 0.2 cuando la entrada es una rampa unitaria.

d) En el caso del regulador calculado en el apartado anterior, calcular el valor mximo alcanzado por la salida para una entrada en escaln de amplitud 10. Si la accin del regulador est comprendida en el rango 10 calcula, la expresin temporal de la salida S(s) del sistema mientras la accin est saturada a +10.

e) Obtener el regulador ms sencillo que permita conseguir las siguientes especificaciones:

ep=0 SO 20% tr 1 segundo

f) Con el regulador calculado en el apartado e), cul seria el efecto en rgimen permanente sobre la seal de salida de una perturbacin aditiva en forma de escaln de valor 0.01 situada entre el regulador y el sistema a controlar?



Solucin: a)

R s( ) = Kr GBC s( ) =2 Kr

0.8 s2 + 2.4 s+1+ 2 Kr

Sistema de segundo orden en BC el sistema es estable si todos los coeficientes de la ecuacin caracterstica tienen en mismo signo 1+ 2 Kr 0 Kr 0.5

b) El lugar de las races es:

Es un sistema de segundo orden, por lo cual, el menor tiempo de respuesta sin

sobreoscilacin se obtiene para =1 s1,2 = 1.5 tr =4.751.5 3.17 >1

c) Se pide ev finito sistema de tipo 1 en BA R s( ) = Kr1+ 2 s2 s

= limt t( ) = lims0 s s( ) = lims0 s 2 E s( ) S s( )( ) = lims0 s 2 E s( ) 1

1+GBA s( )=

lims0

s 2 10s2 1

1+ 2 Kr 1+ 2 s2 s 1

1+ 0.4 s( ) 1+ 2 s( )=2Kr

2Kr

= 0.2 Kr =10

d) R s( ) =101+ 2 s2 s = 51+ 2 ss

GBA s( ) = 2 5 1+ 2 ss

11+ 0.4 s( ) 1+ 2 s( )

=10

s 1+ 0.4 s( )

GBC s( ) =10

0.4 s2 + s+10 =25

s2 + 2.5 s + 25

Resulta n2 = 25n = 5 =

2.52 5 = 0.25 SO 45%

La salida mxima es igual a 10 (valor de rgimen permanente) + 45% de 10: 10+4.5=14.5



Para obtener la salida cuando la accin esta saturada:

S s( ) =U s( ) G s( ) = 10s 1

1+ 0.4 s( ) 1+ 2 s( )=10s +

11+ 0.4 s

251+ 2 s

Aplicando la antitransformada, se obtiene: s t( ) =10+ 2.5 e2.5t 12.5 e0.5t

e) PI no cumple de acuerdo con los resultados obtenidos en el a) PID

R s( ) = Kr1+ 2 s( ) 1+ 0.4 s( )

s

GBA s( ) =Krs GBC s( ) =

Krs+Kr

=1

1+ 1Krs

Sistema de primer orden en BC SO=0%

tr = 31Kr

1 Kr 3 Kr = 3 de donde se obtiene

R s( ) = 3 1+ 2 s( ) 1+ 0.4 s( )s g) El efecto es nulo porque el regulador PID elimina las perturbaciones de tipo escaln

situadas despus del integrador



Ejercicio 3 (2 puntos) Se considera un sistema de fabricacin compuesto por tres mquinas M1, M2 y M3 tal que cada maquina puede llevar a cabo distintos tipos de operaciones:

M1 puede hacer solo la operacin op1; M2 solo op2; M3 las operaciones op2 y op3.

M1 puede producir 2 piezas en paralelo y M2 y M3 un nmero de 3 piezas en paralelo. El sistema de fabricacin fabrica 2 tipos de piezas. Para fabricar piezas de tipo 1 se tienen que hacer en secuencia las operaciones op1 op2 y para piezas de tipo 2 se requieren las operaciones op2 - op3. Las maquinas se cargan de forma automtica con piezas pero para descargarlas se utiliza un robot. Con el fin de poder ser procesadas en las mquinas, las piezas de materia prima se fijan en algunos palets. Hay 5 palets para fabricar piezas de tipo 1 y 6 palets para fabricar piezas de tipo 2. Se supone que hay un nmero suficientemente grande de materia prima para ser procesada.

a) Modela mediante una red de Petri el sistema de fabricacin descrito, incluyendo la interpretacin de los lugares y las transiciones.

b) Se bloquea la red? En caso afirmativo escribe un marcado que refleje dicho bloqueo.



Solucin: a)

.

3 p4p3t2

p1

p5

p6

p7

t1

t4

p8

p10

p13

p16p15

p14

p9

p11p12

t3

t3t3

t3t3

t3t3

p2

5

6

.. ......

t

donde: p1 palets para piezas de tipo 1 p2 palets para piezas de tipo 2 p3 operacin 1 en M1, piezas tipo 1 p4 transporte a M2 o M3 p5 operacin 2 en M2 piezas tipo 1 p6 operacin 2 en M3 piezas tipo 1 p7 transporte final p8 operacin 2 en M2 piezas tipo 2 p9 transporte a M3 p10 operacin 2 en M3 piezas tipo 2 p11 operacin 3 en M3 piezas tipo 2 p12 transporte final p13 M1 p14 M2 p15 M3 p16 robot



b) La red si que se bloquea. El marcado de bloqueo es:

.

3 p4p3t2

p1

p5

p6

p7

t1

t4

p8

p10

p13

p16p15

p14

p9

p11p12

t3

t3t3

t3t3

t3t3

p2

5

..

....

..

t



Ejercicio 4 (1 punto) El comportamiento de un sistema se describe mediante una funcin de transferencia de tercer orden sin ceros. Las constantes de tiempo de los polos cumplen 1> 2> 3>0. Utilizando el esquema de control por realimentacin, se requiere error de posicin cero.

a) Cul es el controlador ms sencillo que se puede utilizar? b) Utilizar el lugar de las races para el ajuste de su ganancia. c) A partir del lugar de las races razonar como ser la respuesta temporal en

funcin de los valores posibles de la ganancia del controlador propuesto.

Solucin:

a) PI con 1= 1 b)

c) sobre amortiguado

k=k1 -> crticamente amortiguado

k1 subamortiguado

k=k2 -> Marginalmente estable

k>k2 ->inestable

sistemas automáticos

Documents