haugeland - sistemas formales automáticos

8/18/2019 Haugeland - Sistemas Formales Automáticos

1/18

· tí

ml.\d

l ..

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$' ti·

ni' . mi.

' ' ',

Hum

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tr

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ntra

' qu I ' bj

t . ,

ro'

xt rno ; m . ún, gún a·

b

'upon

r, 1 obj to ausan la

per

p ion s que, a

su

ez, e

parecen

a

110.

Sin embargo, Hume (como deben

haberse dado uenta) cree que todas esas cosas no son más

que tonterías. Nuestra mente

trabaja

sólo con percepcio-

nes, es decir, nosotros no tenemos

jamás

ninguna experien·

cia

directa

de los objetos, independientemente de las

percepciones. Además,

la

existencia de percepciones no po

dría jamás

implicar lógic meme que exista alguna otra co

sa. Estos

oojetos

externos",

por

lo tanto, no pueden

ser

más que ficciones de

nuestra

imaginación.

Hume nos

relata una

historia muy fina e ingeniosa

so-

bre por

qué

nuestra

imaginación nos hac e eso,

por

qué la

confusión

misma

es tan r r e ~ s t i b l e

y por

qué los filósofos

no tienen esperanzas de

poder

llegar a acla rarlo. Per o que-

da

el

hecho,

de acuerdo

con

la propia

teona de Hume, de

que la representación

mental

de objetos no mentale s es in-

concebible. Por eso,

mientras el carácter

significativo del

pensamiento incluya,

en el

fondo,

UD

"contenido represen-

t l t : i ~ l l \ a l "

~ l ~ e

no tiene

lugar para

ella. Y asi,

mientras

D e : s C l I l ' t ~ : s preguntaba: "¿Cómo puedo

saber

~ ~ p f i é o

de

Hume

trata de responder

a

la

Cómo puedo siquiera

suponer

19

2.

L 1 TE

lA

FORMALE AUTOMATI OS

LE


2/18

, uores , contadores , o lo que sea) con las que se juega el Juego.

Por ejemplo, las piezas, las fichas y las piedrecitas son los elementos

c n los que se juega el ajedrez, las damas y el go. Estos elementos

so

n,

en general, pequedos objetos físicos fácilmente manejables, que se pue -

den agarrar y mover con

lo

s dedos; pero los elementos formales no tie-

nen por qué

ser

siempre así. Tan es cierto, que los elementos de l gato

son casi siempre una

O

y una

X

escritas con una tiza o un lápiz; y en

muchos juegos electrónicos los elementos son en realidad el encendido

de

interruptores y ciertos modelos de luces de colores.

Manipular

elementos significa

una

o más de las siguientes opera-

ciones:

J cambiarlos de sitio (por ejemplo, moverlos en un tablero o en un

campo de juego);

2. alterarlos (o sustituirlos por otros);

3.

adadir otros

nuevos a la posición, y/ o

'4.

quitar

algunos.

En el

ajedrez

y en las

damas,

por ejemplo, lo más frecuente es el

cambio

de lugar de las piezas, a veces se quitan (comen) y de vez en

cuando

cambian (ascienden);

pero

nunca se le añad en nuevas. En el go,

en cambio, cada jugada consiste en

adadir

una nueva ficha en el table-

ro y, de vez en cuando, quitar algunas;

pero,

una vez que la ficha está

en

el tablero,

no

se mueve

jamás,

ni

cambia. Desde luego

que

escribir

una O o una

X,

o mover un interruptor para encender o apagar l\Ices

pueden ser también

manipulaciones de elementos, dependiendo del

jue-

• go. (A menudo es conveniente usar el término mover pa:a u a l q ~ i ~ r

ti-

po

de

manipulación

de los elementos, no sólo pa:a cambiO de O S ~ C I Ó ~ . )

Pára

poder definir

globalmente

cualquier

Juego

-cualquier SIS-

tema formal- que se baSe en la

manipulación

de elementos hay que

e s ) ~ i f i C i a r tres cosas:

:"l>tiui ·:s:on

lar

elementos;

~ ~ ; ~ ; ~ ' : # . ' C : U i l ~ ~ Í l l O s i ¡ c i ~ í n inicial (o cuáles son las posiciones iniclJ11es

al

Las posiciones cambian mediante y sólo mediante) movimientos á

lidos es decir, mediante las manipulaciones de los elementos que están

permitidas por

la

s reglas. Éstas dependen , en cada caso, de la posición

que ocupa el elemento, y de nada más. Por eso, un movimiento que

es válido en una posición puede no serlo en otra; pero si es válido en

cierta posición, entonces lo será siempre que se dé esa misma posición.

Este último punto se refuerza diciendo que los sistemas formales son

aut6nomos; el mundo exterior" (cualquier cosa que no tenga nada

que ver con la posición en juego) carece

por

completo de importancia.

Por ejemplo, en un juego de ajedrez como tal, es completamente indi-

ferente que las piezas hayan sido robadaS, o que el edificio se esté in-

cendiando, o que el destino de las naciones

dependa

de lo que

tarde

el

juego los mismos movimientos

s i ~ ~ n

siendo válidos en

las

RlÍSmu

posiciones. Aunque los jugadores y los espectadores tengan

lar

intere-

ses

más diversos, lo único que interesa al juego,

como tal,

es la poti-

ción de las piezas y las posibles

d e s p ~ é s

Una consecuencia decisiva de la autonomía es la

poca

ÜQDOIIUD ia

del aspecto significativo. Al concentrarnos hasta ahora l o ~ j l _ p » :

hemos aplazado hábilmente cualquier

pregunta

formales tienen significados.

Pero no es n c c : e 8 l i r i c l

tal para ver que estas cuestiones ya están U e ~ t t é f : t

guiente,

para

ser precisos).

Por

ahoral'lnjl'h". ....

i t W ó l ~

no es una propiedad ormol y a que

ción está relacionada

con

el D1UJlLdo ~ e ñ c ~ i

un ejemplo un poco imaginario. ~ ¡ p C ¡ l i l j ~

guiente hilera de letras sea

tapete. Y

para mayor I a r i d : a 4 , ~ I ~ ~

ni

los tapetes son ~ e l l D e J J i ~ o s

es: nada que tenga l l ~ ver_1

gato/tapete

n t 1 : u ~

go. ~ d , e ~ ~ ~ , a i


3/18

SISTEMAS FORMALES AUTOM TICOS

nando

sus movimientos con mucho cuidado; cuando hay más de un ju-

gador.

se trata a menudo de adversarios que compiten

para

ver quién

puede alcanzar primero la posición ganadora.

Pero

es

importante no-

tar que

no todos los sistemas formales son competitivos. ni tienen to-

do una posición ganadora; estas características son comunes

en

los

juegos sólo

porque

sirven para

aumentar

el entretenimiento y la diver-

sión. Pl ro muchos sistemas formales Importantes deben su importan-

cia a razones que no tienen nada que ver con la diversión y las

compurndorns son un ejemplo muy nmable de eso).

Un ejemplo muy sen 'lila

t.I

un slslema 1 01 mili que no

Implka

una

ompell

Ió

n

(aun

teni mio un

I

P Q ~ I

I é n

lImad

r )

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m o ~ o Ju

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y

1

Ir

u

lo cenlral

repre rila

el h


4/18

54

SISTEMAS FORMALE S

AUT

OMÁTICOS

tales abarcan mu cbo más que eso -incluyendo desde luego a una cate-

goría metafísica fundamental. Todo sistema formal es digital, pero no

todo lo digital es un sistema formal. El alfabeto es digital, como

lo

son

la moneda de uso corriente (el dinero), las barajas y el botón para en-

cender nuestro es téreo. En cambio la fotografla, los lingotes de oro,

las antenas re ceptoras y los controles de volumen del

es

téreo por lo ge

neral no son digitales. ¿ udl es

la

diferencia básica?

Un

/;rtl ma

digital es

un conjunto de técnlcus

pO

lJltlvas y confluble

(meltodos, dispositivos) paru produ

ci

r

y

reldentíl

h:UI

elementos, o co n-

f lguruclon dó o l o m ó n t ' ~ , u Durtlr de unu col cc iólI

d

tipo yu Dcel

1I

u d o ~

elj" nterlorldarl . VUm()1J u ver la JI lu dé todo ¡te;¡: ¡1r1m

l'

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l I f I ~ u r l l H de

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5/18

· 1:>Tl M. \S

f

RMALE

\

~ u n a an

MAnI." ,

n ~ b i han podido n

pueden haber perdid

y

tr

pueden haber d mal pia

do,

pero, n mucha

pr

obabilidad, tene-

mos a la mayoría de ellos ct mente igual

es

a como l

os

escribiera Sha

Icespeare - sin

la menor imperfección, La diferencia está,

e\ i

dentemen t

e

en que el

al f

abeto es digital (con el

ci

clo estándar de escribir

ll

eer), mien

tr

as que los colores

y

la textura de las pinturas no lo son,

En el mundo real existe siempre una pequeña variación y un peque

ño error. Una pelota no pasará jamás por la canasta dos veces de la

misma manera; el ángulo de un interruptor

es

microscópicamente dife

rente en cada nueva colocación,

y

dos representaciones de la letra A

tampoco son iguales. Nada es perfecto , deciJÜos a menudo. Los sis

temas digitales, sin embargo, alcanzan (a veces)

la

perfección, pese al

mundo. ¿Cómo? Esencialmente

al

permitir cierto

margen

de

error ,

dentro del cual todos los resultados

son

equivalentes

y

el éxito

es

total.

E elemento exacto,

por

lo tanto, no tiene importancia, siempre

y

cuando

se mantenga dentro de la tolerancia En el baloncesto, una canas

ta es

una

canasta; y fallar

una no lo

es.

Hay

muchas maneras ligera-

·mente diferentes

de

escribir

un

carácter

que

represente de

una

manera

total

e

inequívoca una

A.

Por

eso

dos

copias de un

poema

pueden ser

igualmente perfectas aunque estén escritas (o impresas) con .una l ~

diferente. siempre

y cuando cada carácter

resulte claramente

recoDOCJ-

bJe (y correcto). . .

Una razón de

por

qué es importante esto es que penmte una CIerta

eompJejidad

q

ue

de

ot ro modo s

ería

dificil o i m ~ s i b l e

para

ver eso.

J n '

a

consi

derar dos

fo

rmas comple tamente dife,fentes de manejar

de p6ker. Las dos

' ¡


6/18

5d

.

SISTEMAS FORMALES AUTOMÁTICOS

y

no en otro. como puede ver cualquier niño .

Lo

mismo

es

válido para

el

ajedrez. aunque con la complicación adi

cional de las piezas de diferente tipo. Pero una distinción positiva de

las piezas (de cualquier conjunto decente) es tan trivial como identifi

car en qué escaque están. Una

vez

más. el amplio error. el hecho de

que las piezas sean completamente distintas y que no tengan por qué

estar puestas exactamente en el centro del escaque. es lo que hace posi

ble las técnicas positivas. El billar. en cambio. no es digital: la posición

exacta de las bolas puede ser de enorme importancia Vamos a conside

rar la diferencia que puede haber entre revolver accidentalmente

un

juego

de ajedrez y

uno de billar. Los jugadores de ajedrez con buena memo

ria podrí an reconstruir perfectamente las posiciones (básicamente por

que mover las piezas unos pocos milímetros no importa). Una posición

de billar. en cambio. no puede ser jamás reconstruida exactamente. ni

siquiera con impresiones fotográficas y los mejores instrumentos; una

partida enme amigos puede recon ·truir sin problemas. pero un em

pujón a una m a durante un torneo puede er una tragedia.

El aspect digital de l i temas formales está profundam nte rela-

-i nad n la inteligencia artificial. . l

I

gra qu

alg

enorme-

ment mplej uelva factible. in

qu

e también l fundamento

d

ua

propieda d encial de l t mas f rmale : su independencia

d -ualquier

medi

material particular.

La

inteligencia debe.

e n ~ tam

bién esta propiedad para que pueda haber alguna vez robot mgeruosos.

LA INDEPENDENCIA DEL MEDIO Y LA EQUIVALENCIA FORMAL

INDEPEN

DE

NCIA DEL MEDIO Y EQUIVALENCIA FORMAL

• 59

y

las

reglas de los saltos. entonces la cosa cambia:

el

juego se transfor

ma

en otro completamente diferente.

Del mismo modo. hay piezas

de

ajedrez de muchos estilos y

tama

ños -aunque el color es importante para distinguir a los contrincan

tes. Mejor dicho. lo que verdaderamente importa es que cada< pieza sea

totalmente identificable. tantO por forma como por jugador

(así

como

el escaque que ocupa). Sin embargo. según

esa

restricción e11ímite.Ue-

ga al cielo. Dos millonarios tejanos. por ejemplo,

podrlan

upr

ajo-

drez desde sus respectivos penthouses usando

32

he1ic6ptero&

radiocontroladosy

64

azoteas. O, si fueran duelos de.

un

hotel

de

ocho

pisos, con ocho habitaciones por piso, podrían poner ea tu wnCIIDU

persianas con unas marcas muy brillantes (que redis tribuiña el

na del hotel según las órdenes).

Estos extravagantes ejemplos se mencionan

únicameateDOltlllrJIiii

extraordinaria la independencia del medio en sí;

la

DUlLYGda

gos

no formales no son independientes de su medioen'

d

lj

tar al doble o reducir a la mitad) el tama4

de

un I I 1 l l J ~ l

" ' I Y

ejemplo. cambiaria mucho el jue¡o..m.lISJleCI&¡lIIi,l_

pases y de los tir •

i

se

aumentara _ .

___

_

cionar el caso de que fuera s u s i t i l \ l i d j ~ ¡ j ~

taria jupndo no tendría nada que

l ; I ' -

es igual de sensible

al

tamaflo

las bolas.

P e q u e f t a s v a r i a c : i o n e : s l l l l l Ñ l i t ~

chocar digamos CO¡¡tra : l a ¡ ~ ~

ría imposible.

Los juguetes

electrónicos adlm

ciembre.,

los

alDlac:.m.eI¡ es1l4D i

geniosas de

h c l d c c ~

ajedrec:es

y

tre los

casos.

El hoc:blré


7/18

xpli

'a

p r qu

,n

bst m e to,

el

ajedrez parece mucho

me

n "flsi .. que ll'ut bol o in'lus que

el

billar. El punto esencial

es

que en

un

jueg.

f O ~ ~ a 1 n a ~ a

depende de ninguna característica

especí-

fica

de su medí

fISICO,

mIentras se mantengan las mismas secuencias

de movimientos posiciones válidas; el .juego mismo, por lo tanto, pa

rece estar menos ligado al material de que está hecho.

) La

digitalización hace posible la independencia del medio. Volva-

mos al caso de Shakespeare versus Rembrandt: ya que el alfabeto es

digital, los poemas son independientes del medio. Pueden estar cince

lados en piedra, grabados en Braille o en un código de computadora,

o románticamente trazados en la arena

y,

si el orden de las letras

y

la

puntuación se mantienen constantes, el poema como tal no se ve afec

tado en

nada.

Podríamos pensar que lo mismo

es

válido para'las pintu

ras: mientras el orden de los colores, las texturas, los reflejos, etc.

se mantengan exactamente,

un retrato

puede ser reproducido indistin

tamente en óleo, aCMco, acuarela, o en el medio que se desee.

El

pro

blema es que, en

la

práctica,

las

propiedades de las pinturas no se pueden

reproducir exactamente

ni

siquiera en un solo medio, no digamos en

varios. Es ia digitalización del alfabeto

y

por lo tanto la independen

cia del medio- la que hace posible la reproducción exacta de la secuencia

de

caracteres.

Hay que hacer la observación

de

que independencia de medio no quie.

re

decir que los medios

apropiados

sean totalment e arbitraños_

Es

evi

dente

que

no

se podría

jugar

ajedrez (o grabar poemas) con bocanadas

de humo ya que son

casi imposibles de

manejar

y ademáS

se

esfuman

• demasiado

pronto. En

el

otro extremo,

sería casi igual

de

difícil utilizar

un ajedrez

de acero

macizo

con todas las

piezas soldadas

al-

tablero_

Es

J

evidente que el

medio

(los elementos) de sistema

O ? D ~

febe ser

suficientemente

manejable para poder

realizar los

mOVlD11entos

tidos (de escritura) y 10 suficientemente

durable para que las ' C ? ' 1 ~ o n e s

puedan ser reconocidas bien

(leidas)

cuando

le

toca

' l0yer al slgwente.

Aunque

m.uchos

sistemas materiales y

muchos

pr()C A dlmtentOS' satisfacen

i : s j : G ~ l u ü r i t o S

otr S

muchos lo hacen: DO todo puede ser GlBlIUU

IN[WPPNDP.NCI;\ DEL MEDro y PQurVALf'NClA FORMAl

.,1

3.

Un

movimiento consiste en intercambiar dos fichas de la car.ast

Ua blanca por una ficha

de la

negra; pero hay una restricción para este

intercambio:

a olas tres fichas deben tener

la

misma letra inicial y

las últimas

letras

ser secuenciales, o

también

tener la misma letra final y las primeras ser

secuenciales; -

b o

la letra intermedia

de

la secuencia no puede estar en la ficha

que

se

va a pasar de la canastilla negra a la blanca.

Por ejemplo

AX, BX < = >ex

y

AX,

A W< = >AV son movimientos válidos;

pero ET, EV < = > EZ no

es

válido (no son letras secuenciales);

AW,

BX

<

=>CY no es válido (no es la misma letra); y

AX, CX< = >BX no

es

válido

la

letra intermedia en la canastilla

negra).

El juego lo juega una sola persona

y

el objetivo es

temliDar

tQ..

das las fichas intercambiadas (es decir, todas menosDW

u e s c ~

en la canastilla negra).

Evidentemente se

trata

de un juego

digital

y formaI. 1:

independiente-del medio.

Las

fichas pueden ser

de

a ~ r a ~

~ e r

de plástico, estar marcadas

con

dígitos

cajas en lugar- de canastillas; y desde luego

se

unos helicópteros marcados, a través del

8 1 1 , l

bargo. ¿podría

haber

diferencias

ú n ~ m : á :

: = =

respuesta asombrosa puede surgir

el

go, puesto que todavía noncm\:)& a]peeific:iii¡l

tán marcadas en esas33 fichas;

La :::

la lista puede estar ordeuada p

la posición

inicial.


8/18

02

S I::'TE

MA

S FO RMALES AUTOMATlCOS

de

fichas corresponde exactamente con la regla de los saltos

de

las

clavijas.

En

cierta medida los dos juegos son, por lo

tanto,

el "mismo".

Pe

ro

no se uata simplemente

de un

caso de medios diferentes como expu

simos antes. los

elementos,

es

decir las fichas

y

las clavijas,

11

corre

'pond n;

son 3_

clavijas,

todas

iguales,

contra 33

fichas. todas di

ferentes. Por

uo

lado, hay 33 lugares di tintos en donde puede ir una

clavija.

Dntra

'ólo

dos lugares desti nados a las ficha . En realidad, las

diferencias

de

I

simbo

o

están compen adas

con las diferencias de

los lugares. lo

que

ignifica que después

de

todo e tiene el mismo nú

mero de posibilidades. La

correpondencia

entre los dos sistemas es, por

lo tanto,

completa y

exacta.

sólo que

a un nivel más alto o más abstrac

to que

la

correspondencia

direaa elemento-por-elemento. escaque-por

escaque

de. digamos,

el

ajedrez

del helicóptero.

E.aa

conespoodencia

m s

abstracta relaciona

las

posiciones totales

ea Iupr de los elementos particulares y

sus localizaciones.

Los

movi

IIIICIIIO'.

CDlODCeS.

se coasideran como cambios

en la posición de

COD

j I dO

ati

coocebídos, se sigue daDdo la

COrTespondencia.

aunque no

paella

haber canapoodeocia direcaa en las rec:olocaciooes (etc.)

de los

d mor paniculara Estas DUeYU COIJC PCIOncs

intuitivas

de una

.eefded de

IÚ I

akom.d las podemos expresar con una dcfmidón

pHctta.

Dof

ormala

IOIl/Of11lllJmml B/u IvQWn.

JÓ.

Jo _de

I cada p . . . .6ft cIiI&lal1A

P

OS

IBILIDAD FINITA DE JUE JO

y

AL

GO RI

TMOS

61

al ajedrez común; pero ambos 50n formalmente equivalentes

también

al ajedrez que se juega por c orreo, en

el

cual los movimientos se hacen

escribiendo una fórmula (como: P4R) en tarjetas postales, en

lugar

de

mover las piezas físicas.

Si

dejamos volar un poco

la imaginación, po

demos ver que muchos sistemas formales, completamente diferentes,

tienen sin embargo la misma estructura de acceso a

la

posición

del aje-

drez

y

son, por lo

tanto,

formalmente equivalentes

a

las

nociones de independencia del medio

y

de

egujvalencia

f9 DU 1

son de

vital

importancia para la inteligencia

artificial

y

la

psicoIosía

CXIIIl-

putacional en general. Si bien algunos

de

los significadas puedaI surpr

sólo a medida que avance nuestra exposigión. el

puntO fundamepta pul>-

de

plantearse crudamente

así:

las células cid

cerebro y 1m

c:ia

. . . . . . .

dec-

Irónicos son manifiestamente '


9/18

,' lS

r li MA:S

FORMALE ' AUTOMATl OS

. ~ d e r

jugar

un

jue

go forma e ' poder seguir las reglas. Pero ¿qué

unphca eso exactamente? En principio, unos jugadores hábiles 'deben

poder siempre

(esto es, en cualquier posición

dada)

l

decir -sobre cualquier movimient o que se vaya a reaJizar- si el

movimiento

es

valido (en esa posición), y

1.

efectuar

por

lo menos

un

movimiento válido (o demostrar que no

existe

ninguno).

Así que no

tendríamos

mucho de

jugadores

de ajedrez si no pudié

ramos

decir

con seguridad

si

son

válidos los movimientos de nuestros

adversarios

o no

supiéramos mover nosotros

mismos en la forma debi

da. Insistir, pues. en que los sistemas formales tengan una posibilid d

finitil

e

es insistir en que esas dos habilidades necesarias estén

al alcance

de

los

jugadores

finitos. Y así surge

la

t a ¿qué se puede

esperar de unos jugadores finitos?

AJ&unu operaciones están claramente dentro del significado de fi-

nito. más que nada porque son triviales. o

se

necesita, por ejemplo,

i

ingún poder mágico o infinito para escribir un elemento

de la

letra

A ea

OD

ttozo

de

papel

cada

vez

que se

cierra

un

determinado interrup

tor.

Y

no sólo por

tenerlo

a la vista, sino también

porque

tenemos

una

cIemostración adicional

en

el hecho

de

que

las'máquinas

de escribir eléc·

tricas (finitas.

no

mágicas)

lo

pueden hacer. La

facultad de

identificar

eJc:mcotos

simples

de

un

conjunto

común

y

comente

es

en

principio

tan

terreDaI como se ve por ejemplo en la clasificación de las monedas que

bacca

las máquinas

tragaJnonedas. De nuevo es fácil mover, tligamos,

uaapieza de a,jedrez

de

UD escaque a otro indicándolo apuntando con

. ..,.,IIIP- ...

Di se necesita mucho para

mova: el índice basta

1D\

escaque

ACi.

......diRcci6n

dada.

etc. Sin embargo. no es p o r t a n ~ ca

cWjmjtar c:ompIda."cme, estas babiIidades

mden-

- 'ueda

esrabIa:ido

que

e:risten. Lo

que DOS

da

~ . . . .

.,.

.un fülitp

tieDe.un

que

..u-

liIüJo de

l' OSIBILlD AD FINITA DE l UEGO Y ALGORITMO :;

65

plicadas al efectuar combinaciones ordenadas de operaciones primarias .

Para ver, por ejemplo, si un

rey

está en jaque, bastaría mirar todas

las

piezas del adversario, una por una, y ver

si

algun a de eUas está atacan

do al rey (lo que a su vez podría significar

una

combinación de pasos

aún más pequedos). Obviamente, esta secuencia de pasos no se elige

descuidadamente o al azar, sino que

está

diseñada expHcitamente para

ese propósito; además, se debe hacer correctamente, o no fuDdoaa. Ea

efecto, la combinación especial de pasos que se requiere en una opera

ción compleja

debe

estar

especificada

por

a1guua

suerte

de

rqIa

o

fórmula , que después el jugador tendrá que seguir, . . . . . poda-

varia a cabo.

Por desgracia, ése es el punto con el cual e:ID,* ,.uKlI: C1IIIID

fos atrás preguntábamos qué se tenía que hacer para sea . . . . .

y ahora resulta que lo que se tiene que hacer es precie

reglas. ¡Espléntlido No todo está perdido sin

embuao.

reglas son más fáciles de

seguir

que

otras. Lo que

entonces, es definir una

categoría especial de

reglas.

de habilidades primarias para

seguir

las leilas

e s

que,

al

igual que las operaciones ptimaaias

dentro de una habilidad finita..

Estas

rear-

entonces para "collStruir"""" laDfO operacioí_

complejas

para

lo que

sigue..

- ') Un

lgoritmo

es

una

fól1III1IIt@Q_íIi

un resultado espec:ific:ado coa

a l l _ ~ i i J

el p r o c e d i m i e n , n t o ~ e s : d ~ : = = :

mero finito

de

p

t a m e n t e ) ~ ; ~ t : ; ; m

asos

1111111:

lile :

mero de

1)

la

m ~


10/18

PORMALP.S AIJTOMATI OS

zar con una

~ n t r a d a de

algún tipo (una cerradura y

un ll

avero, una

li

s

la

de nombres , la música

de

una canción),

y la

meta

es

una salida que está

relacionada

de

determinada manera con esa entrada

(esa

cerradura abier

ta

, esa

li

sta ordenada por orden alfabético" esa canción transportada) 7

El tipo de fórmula más sencillo

es

una

lista ordenada

de instruccio

nes: primero haga A,

lu

ego B

.. y,

por último, Z. No

se

necesita mucho

para

s

eguir"

ese

tipo

de

fórmula: básicamente, el jugador tiene que

leer

la

instrucción indicada, obedecerla,

y

después seguir con

las

demás

a

lo

largo de la lista. Pero estas habilidades para seguir la lista, por

mo-

destas que sean, son bas tante diferentes

de

las que

se

necesitan para

lle-

var a cabo las operaciones que están

en

la lista (decir

10

que

hay

que

hacer no

es

lo mismo que hacerlo). Un jugador necesita dos tipos

de

habilidad

para

poder llevar a cabo la fórmula

Puesto que én

el

repertorio de un jugador finito existe sólo un nú

mero finito de operaciones primarias, podemos suponer que para .cada

una existe sólo una

inslrucci n

primaria, a la cual el jugador puede

decer con confianza. Pensemos, por ejemplo, en

los

diferentes cambios

de tecla

para

cada una de las operaciones primarias de escritura en una

máquina de.escribir: cerrar uno de esos cambios

es

una operación pri

maria que la máquina de escribir puede obedecer. Es igualmente claro

que

un

jugador ímito sabe seguir ordenadamente una Iistaímita; cada

paso sucesivo está plena

y

claramente peterminado. (Considérese

una

máquina de escribir que se pueda llenar con una secuencia de instruc

ciones primarias

de

escritura, codificadas en

una i r ~

de papel.)

~ e n e -

mos

así

un repertorio inicial

de

habilidades. primanas para.

e ~ u t r

las

reglas:

1

obedecer las instrucciones prlma nas y

2

pasar ala mstruc

cieSó siguiente de

una

lista ímita . Además, estas habilidades.son, en prin

cipio suficientes

para eguÍf

cualquier

lista

orde?ada:

por

lo tanto,

cuando esa lista es también infalible, es un algontmo.

l3lproblema con las lisQIS

ordenadas, sin

m b ~ g o , es

que total-

meote..inDexibles:

la m a

secuencIa

de

pa-

•

•

POS IBILWAD FINITA DE Jl)f .(,O y ALGOflITMOC;

>7

cemente obvio, que resulta asomprosamente eficaz: en general, hacer

que el paso sig

ui

ente

dependa cID1esté

condicionado

pOr)

los resultados

del

paso anterior. Existen varias maneras.para lograrlo (todas bastante

interesantes para

los

matemáticos), pero bastará una muestra para

ilus

trarlo. Considérese la fórmu la:

l. Empiece con una llave cualquiera

y

átele una cinta roja.

2.

Pruebe esa llave

en la

cerradura.

¿SE A

BRIÓ

LA CERRADURA?

SI sto PASE AL PUNTO

4; SI

NO. PASE AL PUNTO 3_

3.

Pase a

la

siguiente llave del llavero.

¿TIENE UNA CINTA ROJA?

SI st,

PASE AL PUNTO S

SI

NO, VUELVA AL PUNTO 2.

4.

Cesa, triunfante

y

feliz,

5.

Cesa, frustrado

y

molesto.

.

Un jugador que sigue esta fórmula repetirá los pasos

2

y

3 iJlUmtaJlp

do

una llave tras otra (no importa cuántas) h 7 : ~ q ~ u : e : l a : c e r : r a : : :

= i s e ¡

abra o se hayan probado todas las llaves: así, el

bia adecuadamente de acuerdo con la ent rada

y

dios, que es e x a c ~ e n t e lo que querí8QIOS'_

Es

evidente que la mejora

se

debió

a 1 l 1 a s : = : ~ ~ : =

mtas

con mayúsculas.

&tas

no

indicaJ,t

D

pecial (como lo hacen

las

i n s t r u c c i O n e s . I l W I D ~ t a d

como indicadores explícitos

mula y especificarle

cuál es

I a . i J l l l t 1 ~

que ocurrió.

Para

llevar a

habilidades

relacionadas cou

-

ei:I1bi ¡qféi

relacionadas con el

t i ~ d O

t ~ r ~

trucciones

ciones


11/18

08

S I TEMAS FOIU4ALES UTOMÁn COS

debe poder garantizar también un éxito al final; no puede seguir siem

pre adelante en busca de una llave que no está

allí·.

La rutina termina,

normalmente, cuando encuentra la llave correcta. Pero si esa llave no

está, debe haber alguna condición que interrumpa

el

proceso

y

demuestre

que ninguna de esas llaves sirve para esa cerradura. Eso es precisamen

te lo que hacen la cinta roja y la indicación "ramifica al punto 5 .

Es evidente que un jugador finito puede contestar a algunas pregun

tas sí o no de una ma nera total

y

segura: por ejemplo la máquina traga

monedas

hará

un cambio

si

se introducen monedas más grandes de lo

que se necesita. Además, puede, con cierta facilidad,

ir

a (seguir)

los segmentos alternativos de una lista finita, dependiendo de la res

pue ta: es decir, la máquina dará (seguirá las in trucciones pa ra dar)

el cambio correcto, una vez que ha identificado las monedas. Por eso,

en principio, jugador finito pued n seguir cualquier lista ramifi-

tlda(decir , t i c n ramifi ciones ondicionadas), uponiendo que

I

ndici n en la ramificaci n (las preglDlta de ¡ o no) ean ade-

uadament primaria. a que dicha

t

ta e tambi n una fórmula pa o

a

paso,

erá

un algoritmo infalible

es

decir, i está

g r n ~ d

para

negar al resultado especificado (y ~ t e n e r s e ) .en un número

r ~ t ~

de pa-

os. Llamemos a un algoritmo de lista-ra nufica da con condiCIones de

lramificación primarias e instrucciones p r i m ~ ~

plgorjtmo

f r i m a r i ~ .

Hemos llegado

por

lo

tanto

a

establecer

la

Slgwente'

conclUSIón:

reali

zar algoritmos primarios (total

y

seguramente) está e n el campo de ac-

ción de los jugadores rmitos.

Esta

conclusión tiene una importancia extraordinaria.

En

primer lu-

• gar porque nos saca de apuros con respecto a..seguil: la regla, ya que

no

r e s u p Q n e habilidades que

no son

primarias. Y en segunde> lo que

más espectacular, porque amplía realmente el campo I&que

considerar

como primario .

Nada o n ~ e t o . se ha dicho-so-

1 i f t r l 0

U t ~

es y o que no es primario. yaque

la

realizaCIón totar ysegu-

c ¡ ~ : r a i n c l l u i c l a claramente dentro de una habilidad finita. Pero

itte áicfti

en

POSIBILIDAD FINITA DE

JUEGO

Y ALGORITMOS

¿SE ABRIÓ

LA

CERRADURA?

SI st,

PASA AL PUNTO

4; SI

NO, PASA

AL

PUNTO J.

3. Pasa a la siguiente cerradura de la fortaleza.

¿TIENE-

UNA

BANDERA AZUL?

SI st

PASA

AL

PUNTO

s SI

NO, VUELVE

AL

PUNTO

2.

4. Cesa, triunfante

y

feliz_

ó9

5. Cesa, frustrado y molesto.

El punto

2

comprende un número indeterminado de subpasos (uno

para ca da llave, no importa cuántos). Pero puesto que tenemos

un

al-

goritmo para eso, podemos considerarlo como un soto paso y darlo por

sentado. A propósito, aquí vemos también lo importante que fue

la cinta-

roja en

el

primer algoritmo:

si

se hubiera omitido, esta nueva fórmula

no habría pasado de la primera cerradura (o se abría la cerradura. o

el paso 2 hubiera continuado sin éxito y sin terminar nunca

ecuadro

LO FINITO,

LA

MAGIA Y EL ME ISMO

Supongamos que all ¡uic:n

rica y le pr4:gI. Ilta: ; -WIUC:: ' .

pequeño ... : . . ~

: c ' r . :

t r n a . ~ ~ ~ ~ , : ~ ~ ~ I P ; ;


12/18

"1 II MA'>

FURMAL

ES AlJrIJMA TI Uti

De

manera similar, se puede construir un

gran

edificio algorítmico

·cimentado en

las piezas primarias del ajedrez (identificando piezas

y

escaques, etc.). Pero

aparte

de éstos, podemos construir también algo-

ritmos

para

determinar

el

campo potencial de cada

pieza,

cUánto de ese

c mpo qued

bloqueado por las demás

piezas Ydespués qué

poodrian

en peligro

al

rey.

Aparte de

éstos.

potIlñmlllOS

COJIS

p r m m ~ b r ñ

D i I ~ . J - _ ~ utilipn o ~ ~ ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ~ ~

7

LOS

ELEMENTOS COMPLEJOS

Antes de pasar a los sistemas automáticos debemos considerar una úl ¡

tima "compLicación". a saber: los sistemas en los cuales los e l e m e n t ~ s

aislados están compuestos por elementos

aún m ~

simples. o COnstruI-

dos con ellos. trata de una idea bastante conocIda: los elementos

una oración estan compuestos por elementos de palabras, y (en la es

critura) los elementos de las palabras están compuestos

por

elementos

de letras; de la misma manera, los elementos

de

las cifras

r á b i ~ s

son

hilera de elemento dígito (con un punto decimal quizá). Esta Idea

es

tan familiar que en r alidad parece trivial;

pero

nada más

lejos.

de la

erdad.

O d


13/18

., SlEMAS

FORMA ES AUTO MATlCOS

mera

vez

que las vemos, puesto que sabemos lo que podemos hacer con

ellas por la forma en que están construidas a

panir

de los dígitos. Pero,

si esas palabras fueran nuevas para nosotros, no tendríamos la menor

idea de cómo usarlas correctamente y el deletreo no nos ayudaría en

nada.

Por

desgracia, estos ejemplos engañan: se aprovechan del significa-

o

de sus respectivos elementos. La composición de una cifra

dice

qué

número representa, mientras que el deletreo de una palabra

no dice

lo

que

ést significa.

Pero

puesto que los sistemas formales como tales

es-

tán

autocontenidos, nada que esté relacionado con ellos puede depen

der del significado.

Por

eso los ejemplos, como los hemos presentado,

no muestran realmente nada de los sistemas formales. La forma de sa

lirse de

la

trampa es dejar que sea eL us del elemento el que represente

la contribución a la posición formal e s decir, que sea válida la dife

rencia que hace con respecto a lo que se mueve. Si

la

composición de

los elementos determina su

"uso"

en este sen tido. entonces esa compo

sición es formalmente significante.

Con

esa estrategia en mente pode mos presentar también

el

ejemplo

de

la cifra,

con

un pequeilo juego de manos: el truco consiste coasi

derar a la aritmética misma un simple juego Para ser más prectSos, su-

ecuadro2

SIMPLE Y

COMPLEJO

ELEMENTOS COMPL

EJOS

pongamos que hubiéramos aprendido las reglas los movimientos de

la multiplicación (en cifras arábigas) antes de tener la menor idea de

que estos elementos tuvieran algo que ver con los números. (Aunque

pueda parecer atroz, me temo que hay niflos que aprenden la aritml ti

ca as .) De cualquier manera, la posición inicial es un par de elementos

escritos uno arriba del otro, alineados a

la

derecha, con una línea deba

jo y

un

signo a la izquierda:

Posición inicial:

54912

x78

(primer elemento)

(segundo elemento)

El jugador escribe entonces uno o más elementos nuevos d e b ~ p d ~

éstos, cuidando

Que

todos Queden escalonados hacia la ~ u r e r _ a O : :

nos el último, traza

otra

línea por arriba del último.


14/18

/1 1, / / , l t I ,

I

M

'AI/f

V I ~ N , . , ~ I I I f ,

xllltcn Inflnltoll núm

rtl fl

IlMIl }" dll'lllnlwli por

lo I nlo,

existen también Itlflnllos tipoll dlstlntu' l fr ráblga

cada una con s610 un núm ro flnlto de dlgltos.

1 Ómo

pue

de

ser

asl?

La

respuesta es que, aunque cada uno

de 108 nú-

meros

(o

clfras) en cuestión sea flhito, no existe coto o limite

a lo grande que pueda ser; son ilimitados Más precisamen-

te,

para

cada

entero positivo, no Importa cuán grande sea,

• existe siempre un "siguiente" que el aún mayor,

y

por

10

tanto distinto de todos los ante lure ; Jamás lle¡IUDOS al

final.

¿Por qu6 significa esto que son nfinltamente distintos?

Pod mos probarlo tratando de suponer lo c:otltrarlo Yver

es upongamos


15/18

76

SISTE

MA

S FORMALES AUTOMÁTICOS

l. algunas de

sus

partes o de sus estados se identifican como elementos

(en la posición) de algún sistema formal; y

2. en su operación normal. manipula estos elementos automática

mente de

acuerdo

con las reglas de ese sistema.

Así. un sistema formal

automático

es como un conjunto de piezas

de

ajedrez

que,

sometidas a

l s

leyes,

dan,

solas, vuelta por

el

tablero,

o

como una pluma

mágica que escribe derivaciones matemáticas for

malmente correctas sin la ayuda

de

ningún matemático. Estas repre

sentaciones, algo extrañas y fantásticas, merecen un momento de

reflexión, aunque

sólo

sea

para recordar que

esos sistemas maravillo

sos (o sus equivalentes) se pueden construir ya.

Jugar

un juego

en la

actualidad

presupone algo más que só lo posi

ciones y movimientos: debe haber también

uno

o más jugadores y un

árbitro.

Los jugadores hacen sus movimientos Siempre que les toca. El

rbitro no

hace ningún movimiento, pero ~ t e r m i n a a quién le toca

ju

aar

e s decir,

qué jugador es el

siguiente en

jugar y,

tal vez, con qué

lementos

debe

seguir,

árbitro también

define la posición inicial, de

ide

cuándo

s

termina

el

jueao,

anuncia

los resultado s oficiales

y

otras

por

el e ti .

En

s juegos amistosos iste la tendencia a pasar

r t fun i n del

rbitro,

ya

que

muchas veces es tan sencilla que

jusad res mi m

la pueden

Uevar a cabo.

Pero

estrictamente ha

bland

el

arbitnij

debe lar

iempre

'

separado

juego (lo que hace

'd m 'mient )

aun uando

la diferencia

no

e muy evidente;

uand e vuel en

complicados

es esencial mantener clara

• la

distinc:ión

pena de onfusiones

irremediables, ,

PUeU1 qu un juego automático juega

verdaderamente

por

sllDls

m

debe contener todos

estos elementos' yen realidad

lo

? ~ e m o s con-

'derar

básicamente como

una combinación

entre

el (los) ]ugador(es),

el árbitro

y el juego manUal" ordinario

(los elementos), Alguilas ve-

ces

desde

Juego,

un

juego

formal

está

automatizado

sólo

parclaJri¡en

te. En

el

ajedrez electrónico,

por

ejemplo, sólo

ano de los

(mú clárbitro) s t t . - : . . . ~ ~ a 1 Ú ¡ A o ~ m a~ ~ z a Í l 4 d : G 0 ; ~ e l r ~ ° r R t r ~ ~ : ~ : ~ ~ i ~ ~ ~ . l l i ~ ª

q u i l l ~ o

la

p

SISTEMAS AUTOMÁTICOS

77

to, con. docenas de micrófonos, mezcladores, amplificadores, altavoces,

etc., no puede preocuparse de cómo funciona cada pieza, siempre y

cuan

do funcione. Los diferentes componentes deben considera rse

como

ca

jas negras,

y

dadas

por

buenas, en el diseño de todo el

sistema..

Lo que se considere como caja negra depende .del

punto

de

vista

de

cada uno; lo que para un ingeniero es un compone nte puede

ser

el si.ste-

ma completo

para otro.

Por ejemplo, un amplif"Jcador

es U

sútema

de

por

sí complicado que algunós ingenieros electrónicos

debea

haba-

díseíiado a

partir

de cajas negras

aún

más

peque1las:

traJUÍltOres.

redil-

tatos, circuitos integrados, etc. El diseftador de los amplificadora

da por buenos, pero desde luego alguien más los debe

babee ditdm lc.t

también. Si lo que necesitamos saber es sólo

qué bace slp . araa.

podemos mirar simplemente su superficie (o consultar las

boja

de'

especificaciones de fábrica); pero, si lo

que queremot

eseaknderC4taro

hace todo lo que hace, entonces tenemos

que ver

a d 4 ~ r ó l ( ~ _ I Í I I .

; . ~ ~

al equipo de diseftadores

que

lo

ha

realizado).

Llegar a entender cómo

al¡o

hace lo u e ~ I b : l 8 ~ c e ~ . ~ : : = Z ; = =

ponentes

y

cómo están acoplados se

Uama t

baja un sistema complejo en térmInos

de

componentes funcionales es un

tipo

de

ejemplo.

que

estamos perplejos e

de ajedrez automático, Sabemos

de dos componentes formados : ~ ~ : : ; ; ~ i i i

componente for mado

por

e1lÚ"blitrt,

drez válidos, No s gustaría,

JlIl abras,

no ORl l " I ' "M

gras;

Una posibilidad es

eJanMiiii

,

p e q u e f t O S , e s d ~ ~ ~ ~

drfá

ser 61lDlmo

1J

plos


16/18

ISTEMAS FORMALES AUTOMAncos

juego interior son una descripción (o copia) de la posición exterior co-

rriente (proporcionada por

el

árbitro exterior), más una notación

es-

tándar para especificar los movimientos del ajedrez. Hay dos jugadores

interiores: el Cl:ltaloga,dor de movimiento y

el

elector

de

movimien-

to . El

árbitro interior, primero indica la posición (copia interior) y

la señala al catalogador de movimiento, que procede a hacer una lista

de todos los movimientos válidos

en

esa posición. Después el árbitro,

indicando al mismo tiempo la posición y la lista, las señala al elector

de movimiento, que procede'a elegir algún movimiento de

la

lista. Por

último, el árbitro comunica el movimiento elegido como salida del sub-

sistema (esto es,

el

movimiento que hace

el

jugador exterior en

el

juego

de ajedrez).

M4q UlOa

de ajedrez ....

I Elemenlos

Piezas

de

ajedrez (posioó n c:Jtlcrior)

[ ÁrtlllrO

SISTEMAS AUTOMA n

eos

Ése

es

u nivel de análisis . Pero puede haber muchos niveles: cajas

dentro de cajas, dentro de ... hasta que los componentes sean tan bási-

cos

que

ya

no se puedan analizar más (o tal

vez se

podrían analizar sólo

de alguna otra manera). Podríamos, por ejemplo, analizar los .:ompo-

oentes del catalogador

de

movimiento y/o del elector de movimiento

(a partir del sistema anterior) en sistemas aún más pequeftos; 108 dos

casos serían completamente diferentes, ilustrando cada uno

una

ense-

ñanza importante. (El árbitro inlerior podría ser analizable tambi6n;

pero

en

este caso

es

demasiado aburrido.)

En un s ntido

más

profundo, el catalogador de movimJenco es tri-

vial,

ya

que existe

un

algoritmo para listar todo los movimientos q¡J_

dos en cualquier posición del ajedrez. ¿Tiene algo que

ver

lo

que hacen

los algoritmos con los sistemas formales automáticos? En cierta t -

ma, todo. Hay que recordar que para ejecutar

un

alloritmo se requiere

de

un

repertorio finito y fijo de habilidades ~ : : ~ ~ : ¡ : ¡ . ~ = ¡ : = ~ ~

operaciones primarias como para seguir l8s fónnvJu

gamos, por lo tanto, que cada operación primaria. e J i l P

á : i s D .

solo jugador, cuya única habilidad

sea esa op eraciÓ D;iKl

que el árbitro tenga

toelas

las habilidades

ria. Con cierta aproximación.

e n j t O D . c e s ~ l

ú

mula, sei'lalar a los jUgadores en

el ¡jrdea:: i lifetl

le toca

el

tumo

y con

qué

elementos

tiellO¡QW

jugadores

son

los que 1leV8J:a a w ~

goritmo puede ser ejecutado U 1 O D 1 r á l i ~ u é

ma

compuesto por

: : : ~ = = = l 1

ero, ¿qué hay

« e l ~ : c t o

vez que una balIJiW:Iad e n ; " ' ~ ~

ritmo (en términos

de

lidad

La.


17/18

80

SISTE

MA

S FORMALES AUTOMÁTICOS

en

el

nivel más bajo.

El

punto esencial, por

lo

tanto, se puede resumir

de la siguiente manera: .

PRlNCIPIODEAUTOMATlZACIÓN: cuando

los

movimientos válidos de

un

sis-

tema formal están completamente determinados por algoritmos, enton -

ces

ese sistema

se

puede automatizar.

ecuadro

ANÁLISIS Y REDUCCION

SISTEMAS

AUTOMÁTICOS

explicadores inexplicados de una teoría. en términos de los

de

otra;

el fisicalismo,

por

lo tanto,

es realmente el punto

de vista de

que

no existen explicadores inexplicados, excep-

to los

de

la física.

De acuerdo con

esto,

las explicaciones

funcionaUsistemáticas se pueden

reducir

también, si sus ex-

plicadore s inexplicados esencialm ente las capacidades in-

teractivas de los componen tes funcionales)

pueden

ser ellas

mismas

explicadas en términos más

elementales.

Analizar los

sistemas

formales

automáticos

según

sIste-

mas aún más pequeños

de

cajas negras,

que

actúan entre

s es,

por

lo tanto, reduccionista

no

en el sentido nomo-

lógl

o sino

m s bien

en

el

sentido funcional/slstem t co

La con xión con la ffsl a estA he

ha

en el o vi el) nivel

de

opera

Iones t n prlmiti v ,

que se pueden v

r b e

m anl mas in Inl 111 n In.

8


18/18

-1

TE\

IA- FOR.\I.\LE \I;TOMAnCOS

SISTEMAS AUTO MATICOS

1

Si el objeú o

Que

no hemos propues to es hacer cuadrar

la

f ó r m ~ (caJ

cular la estimación), entonces s un algoritmo (infalible). Pero

SI

el ob

jeú es encontrnr un movimiento de ajedrez óptimo ,

e n t o ~ c ~

la runDa

es

010 un estimador falible,

y

por lo lanto sólo un procedimi ento heu

risli o.

La gra ia de lodo

esto

está en

Que:

vista

como aJaoritmo, I ru

tina puede ~ e r automatizada com cualquier otro; pero

vi

t com un

estlmfidor la miRma rulinR (ahorn aulom rizad puede fun I n co

mo un buen ele tor tle movlmlcnr, n otr s p I br

1,

do

puu

do

tlll. un

elector

d movlml

nto

bu

n

un

uc

f

libltt

p

d

or u m

1I/,ldq por

1111

IIll1nrltmt ,

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c)t)I1Hld

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haugeland - sistemas formales automáticos

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