1

SemnticadelaLgicaProposicional.

y Tenemos:y ladefinicinsintcticadellenguajeproposicional.y sabemosquecumpleconelTeoremadeLecturanica.

y Ahora,lapreguntaes:qusignificacadaunadeesasfrmulasdellenguaje?

y Debemosinterpretarellenguaje,darleunsignificadoalasfrmulas,esdecir,construirunasemntica paraelmismo.

2

Principiodebivalencia.

y Decimosquelalgicaesbivalente,desdeelpuntodevistasemntico,sisusenunciadossoloadmitendosvaloresdeverdad.

y Unenunciadosolamentepuedeserverdaderoofalso,peronoambos.

3

Semnticaextensional

y Lasemnticaquevamosaconstruiresextensional,esosignificaquecadafrmulavaadenotarunvalordeverdad,esdecir,verdaderoofalso.

y VamosadesignarloverdaderoconlaletraVylofalsoconlaletraF.

4

Composicindelsignificado

y Elprincipiodecomposicionalidad seatribuyeaFrege.

y Estoquieredecir,queelsignificado(enestecontextoeselvalordeverdad)deunafrmulacompleja(omsengeneral,deunaexpresincompleja)esfuncindelossignificadosdelasfrmulasquelacomponen(delasexpresionesquelacomponen).

5

y Definicin1. Unavaluacinesunaasignacindeunnicovalordeverdadacadafrmuladellenguaje.

y (Notacin:SiAesunafrmula,yvunavaluacin,representaremosconv(A)elvalordeverdadquelavaluacinvasignaalafrmulaA.)

6

Ejemplos:

y Juanestudiay trabaja.

y Serepresentacomo(pq)

y Cmodeberacomportarseunavaluacinconrespectoa(pq)?,esdecir,cuandoelconectorprincipalesunaconjuncin.

7

Argumento

SiJuanestudiaentoncessalvaelexamen.Juanestudia.Porlotanto,salvaelexamen.

y Representoelargumentoconellenguajeproposicional.y Esunargumentoqueconsideramosintuitivamentecorrecto.y Qurestriccindeberatenerlavaluacinparaquenoocurraquelaspremisasseanverdaderasylaconclusinfalsa?

8

y Cmocapturarelsignificadodelosconectoreslgicos?

y Cmorestringirlasvaluaciones,paraquesecomportenadecuadamentedesdeelpuntodevistasemntico?

9

y Ladefinicinsemnticadecadaconectivotendrencuenta,porlomenos,doscosas:

y Elsignificadointuitivoquetieneelconectorenelusocotidianodellenguajenatural.

y Lasinferenciasqueconsideramosintuitivamentecorrectas,yquequeremosvalidarformalmente.

10

y Notodaslasvaluacionesrespetanelsignificadointuitivodelosconectoreslgicos.

y Solamenteinterpretarancorrectamentelasfrmulasdellenguaje,aquellasvaluacionesquesatisfaganciertasrestricciones,segnlascualessecapturaelsignificadointuitivodelosconectoreslgicos.

11

y Definicin2.SedicequeunavaluacinIesunainterpretacinsiysolosicumplelassiguientescondiciones(parafrmulasAyBcualesquiera):

1. I(A)=VsiysolosiI(A)=F2. I(AB)=VsiysolosiI(A)=VyI(B)=V3. I(AB)=FsiysolosiI(A)=FyI(B)=F4. I(AB)=FsiysolosiI(A)=VyI(B)=F5. I(AB)=VsiysolosiI(A)=I(B)

y Podemosrepresentarcadapasodeladefinicinconunatabladeverdadenlaqueseveantodaslasposibilidadesquetienecadaconectorlgico.

12

Argumento

Elrelojestrotooestsinpila.Elrelojnoestroto.Porlotanto,estsinpila.

13

Argumento

Existeunaleymoralobjetiva.Siexisteunaleymoralobjetiva,entonceshayunafuentedelaleymoral.

Sihayunafuentedelaleymoral,entoncesDiosexiste.

Porlotanto,Diosexiste.

14

y Definicin3. Llamaremosasignacinproposicionalaunaasignacindevaloresdeverdadatodaslasletrasproposicionales.

y (Notacin:Ij eslainterpretacininducidaporlaasignacinproposicionalj.)

15

y Unaasignacinproposicional induceunainterpretacin yunainterpretacincontieneunaasignacinproposicional.

16

y SidosinterpretacionescoincidensobreLP(asignanelmismovalordeverdadacadaletraproposicional),entoncescoincidensobreFOR(asignanelmismovalordeverdadatodaslasfrmulasdellenguaje,osea,son,enrealidad,lamismainterpretacin).

y (Pruebamsdetalladaenlaspginas9y10delasnotasSemnticadeLP)

17

1. SupongamosdosinterpretacionesLyMquecoincidensobreLPperoquedifierensobreFOR.

2. LlamemoselgradodeunafrmulaAalnmerodeconectivasquetieneA,ynotmoslocomogr(A).

3. TomemosunafrmulaA,quetienegradomnimo,deentreaquellasquenocoinciden.

4. Anotienegradocero,porqueporsuposicincoincidensobreLP.

18

5. Luego,analizamoscadacasoposibleparaA:1. EsdelaformaX.Pero,estonopuedeserporqueelgrado

deXesmenorqueelgradodeX,porlocual,LyMdebencoincidirenX,yluego,porserinterpretaciones,debencoincidirenX.

2. Esdelaforma(X*Y).Pero,estonopuedeserporqueelgradodeXydeYesmenorqueelgradode(X*Y),porlotanto,LyMcoincidenenXyenY,yalserinterpretacionesdebencoincidiren(X*Y).

6. Porlotanto,sinoexistetalfrmulaA,entonces,LyMcoincidensobreFOR.

7. Porlotanto,nohaydosinterpretacionesquecoincidanenelLPydifieranenFOR,oloqueeslomismo,unaasignacin induceunanicainterpretacin.

19

Modelosycontramodelos

y Definicin4. Lasinterpretacionesquehacenverdaderaunafrmulasellamanmodelosdelafrmula,ylasquelahacenfalsasellamancontramodelosdelafrmula.

20

Tabladeverdad

y Latabladeverdad esunmtodoalgortmicoquepermiteinterpretarunafrmuladeacuerdoacadaunadelasposiblesasignacionesproposicionales.

y Estemtodonospermitehallardesdeunpuntodevistaalgortmico(mecnico)todoslosmodelosycontramodelosdeunafrmula.

21

Clasificacindefrmulas Tautologa:unafrmulaesunatautologa siesverdaderabajocualquierinterpretacin.

Contradiccin:unafrmulaesunacontradiccin siesfalsabajocualquierinterpretacin.

Contingencia:unafrmulaesunacontingencia sinoestautologanicontradiccin.

22

Semntica de la Lgica ProposicionalSemntica de la Lgica Proposicional.Principio de bivalencia. Semntica extensionalComposicin del significadoSlide Number 6Ejemplos:ArgumentoSlide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12ArgumentoArgumentoSlide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Modelos y contramodelosTabla de verdadClasificacin de frmulas