apuntes de logica proposicional

7/26/2019 Apuntes de Logica Proposicional

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Apunte de Algebra (Version preliminar)[No publicar]

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c u l t a d d e I n g e n i e r ´ ı a - 2 0 1 4

1. Logica Proposicional

1.1. Introduccion

La logica actual, se ocupa fundamentalmente del discurso (o razonamiento) cuyos enun-ciados (o propuestas) son, o bien verdaderos o bien falsos (discurso apof antico).

Observacion: Una de las razoque motivo la aparicion de la lca matematica, fue evitar la biguedad del lenguaje naturatransformar el pensamiento encalculo. Simplificar o simbolizaroraciones o juicios para poder orar con ellas. En general, se pudecir, que la logica es la ciencialos principios de inferencia o ranamientos formalmente validoslogica se ocupa de la validez derazonamientos y no de la verdafalsedad de los enunciados quecomponen.

Lo especıfico de un razonamieninferencia consiste en derivar conclusion a partir de unas presas siguiendo una regla de infercia dada. De esta conclusion se dque es formalmente valida, es deque si sus premisas son verdadeentonces la conclusion tambienverdadera.

Frente a un largo discurso en relacion a un tema que ignoramos, sera imposible pro-nunciarnos sobre la verdad o falsedad de las afirmaciones que contiene; pero si entreellas existen dos contradictorias entre sı, sabemos que dicho discurso no es verıdico. Eneste proceso habremos utilizado ”la logica formal”que, independiente de su contenido,identifica las relaciones aceptables entre las proposiciones.Es ası como la logica constituye una herramienta muy necesaria al momento de analizarsi un discurso es o no verdadero, o bien extraer el real contenido del discurso en cuantoa que se propone en el.

Por ejemplo: LA BODA. Cuando Marıa pregunto a Mario si querıa casarse con ella, estecontesto: ”No estarıa mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposiblenegarte que si creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos”.

Marıa se mareo. ¿Puede ayudarla diciendola si Mario quiere o no quiere casarse?Vemos en el caso anterior que el discurso esta construido en base a una serie de afirma-ciones y negaciones que en conjunto establecen si Mario quiere o no casarse con Marıa.La logıca proposicional nos permite analizar y obtener el ”valor de verdad”del discurso.

1.2. Calculo Proposicional

Definicion 1.1. Se entiende por proposici´ on (o enunciado) el contenido transmi-tido en un discurso apof´ antica. Es decir una proposici´ on se distingue por ser o bien verdadero o bien falso, pero no ambos simultaneamente.

En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Ası, por ejemplo:

Observacion: A l a l ogica leteresa unicamente la forma derazonamientos. A esto se le demina logica formal o ciencia deformas o esquemas validos de ranamientos. La logica ha de hacecon un lenguaje en el cual la foraparezca aislada, y en el que latructura del razonamiento se mutre sola.

Si llueve, entonces no ire al teatro.

Si pago las deudas, entonces no tendre problemas.

Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma, sin embargo, es la misma. Suestructura se representa ası:

Si........., entonces..........

Se puede llenar el espacio vacıo con letras mayusculas, que representaran el contenido

de los enunciados (proposiciones) quedando la expresion:

Si P entonces Q

De esta manera para el primer razonamiento:

P corresponde a la afirmacion ”Llueve”, y

Q corresponde a la afirmacion ”No ire al teatro”

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Definicion 1.2. (Simbolizaci´ on de proposiciones): cada proposici on tiene una forma l´ ogica a la cual se le da un nombre.

Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples (formulas) y complejas (com-puestas).

Una proposici´ on se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna conectiva l´ ogica o termino de enlace ( y , o, no, si...entonces..., si y s´ olo si ).

Si se juntan una o varias proposiciones simples con un conectivo l´ ogico (o terminode enlace), se forma una proposici´ on compleja.

Observacion: Los llamados nectivos logicos, a saber: ”y”, ””si... entonces...”, y ”s i y s

si”; se usan para ligar dos propciones, en cambio el conectivo lco ”no”se agrega a una sola prosicion.

Observacion: La forma de proposiciones compuestas depedel conectivo logico utilizado, ydel contenido de las proposiciosimples. Es decir, si en una pposicion compuesta se sustitulas proposiciones simples por otproposiciones simples cualesquila forma de la proposicion computa se conserva.

Ejemplos:

1. Hoy es Miercoles

2. Hay clases de Algebra

Son, ambas, proposiciones simples (o formulas). Con ellas podemos construir pro-posiciones compuestas tales como:

1. Hoy es Miercoles y hay clases de Algebra

2. Hoy es Miercoles o hay clases de Algebra

3. Si hoy es Miercoles entonces hay clases de Algebra

4. Hoy no es Miercoles.

Observacion: Para represenlas proposiciones se utilizan letlatinas tales como P , Q, R, etcEjemplo:

Hoy es Miercoles y hay clase de Algebra.

La forma de la proposicion serıa ................ y .............

En los espacios punteados pueden colocarse las proposiciones anteriormente dadas uotras proposiciones.

Observacion: se usan sımbpara representar los terminos delace, ası:Para la “y” se utiliza el sımb∧.Para la “o” se utiliza el sımb∨.Para el “no” se utiliza el sımlo ∼.Para el “si...entonces..” seliza el s ımbolo −→.Para “si y solo si” se utiel sımb olo ←→.

Ejemplo:

Sean:P : Hoy es Miercoles.Q: Hay clase de Algebra.

Luego la proposicion:Hoy es Miercoles y hay clase de Algebra, se simboliza:

P y Q

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Ejemplos:

1. Es tarde y esta muy oscuro.

2. Es tarde o esta muy oscuro.

3. Si madrugo entonces llego temprano.

4. No ocurre que el dıa este caluroso.

Definicion 1.3.* Cuando una proposici´ on compuesta utiliza el termino de enlace “y” es una con-

junci´ on .* Si el enlace se hace mediante la conectiva “o” es una disyunci´ on .* Si se usa el termino “no” es una negaci´ on .* Cuando la conectiva es “si ...entonces... ” es una proposici´ on condicional , la primera proposici´ on se denomina “ antecedente” y la segunda “ consecuente”.* si utiliza “si y s´ olo si” se tiene un bicondicional .

En proposiciones que tienen mas de un termino de enlace es preciso indicar la manerade agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En l ogicala agrupacion se indica por medio de parentesis.

Ejemplo:

O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo serefugiaron en las montanas.

Este texto se simboliza de la siguiente forma:P : Los soldados encontraron cerrado el paso.Q: Los soldados temieron un ataque enemigo.R: Los soldados se refugiaron en las montanas.

La proposicion compuesta es: P ∨ (Q → R)

Observacion: Debemos notar P ∨(Q→ R) tiene un sentido disto de la proposicion (P ∨Q) →

Esto es: “Si los soldados enconron cerrado el paso o temieronataque enemigo, se refugiaron enmontanas”.

Definicion 1.4. Cuando no hay lugar a ambiguedades, pueden omitirse los pa-rentesis y se adopta una convenci´ on con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos, La convenci´ on indica que “ ←→” y “ →” dominan a “ ∧” y “ ∨”

Con esta convencion, no esta claro lo que significa por ejemplo:P ∧ Q ∨ R o P ↔ Q → R

Aquı, es necesario usar parentesis para aclarar, en el primer caso, si se trata de:(P ∧ Q) ∨ R o bien de P ∧ (Q ∨ R)

Y en el segundo caso, si se trata de :

(P ↔ Q) → R o bien de P ↔ (Q → R)

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Ejemplos:

simbolizar completamente las proposiciones, utilizando los sımbolos correspondien-tes a cada conectivo logico. Indicar las proposiciones simples sustituidas por cadaletra mayuscula.

1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.

2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continuan conservando la forma original.

3. Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad.

4. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.

5. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey esta sobre elcuadro rojo.

1.3. Tablas de Verdad

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretacion de los signos logicos, “∼”,“∧” y “∨”, “−→” y “←→”, como: no, o, y, si. . . entonces, sı y solo si, respectivamente.La interpretacion corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razo-

namiento.Observacion: Denominamos“Teorema” a una proposicion (amacion logica) que es verdadPuede establecerse una corpondencia entre los resultadosestas tablas y la deduccion logmatematica.En consecuencia, las tablas de vdad constituyen un metodo de cision para chequear si una prosicion es o no verdadera (es o noteorema).

Para la construccion de la tabla se asignara el valor V o 1(uno) a una proposicion ciertay F o 0 (cero) a una proposicion falsa. Las siguientes son las tablas de verdad definidaspara las proposiciones mas simples.

Definicion 1.5. Negaci´ on : El valor de verdad de la negaci´ on ∼ P es el contrariode la proposici´ on negada P , su tabla de verdad es:

P ∼ P

V F F V

Observacion: En lenguaje cdiano es comun la utilizacion degumentos con doble negacion co”No, no puedo asistir.entendiend”No puedo asistir”, por lo cuanecesario puntualizar que, en logformal, ∼ (∼ P ) equivale a amar P .

Ejemplos:

Vamos a ayudar a Marıa a entender la respuesta de Mario. Esta fue:”No estarıa mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarteque si creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos”.

Ası, si P : vamos a casarnos,tenemos que podemos validar la proposicion original a fin de encontrar proposicionesequivalentes mas claras:

No estarıa mintiendo ⇒ Es Verdadsi te dijera queno puedo no decirte que es imposible negarte ⇒ Es imposible negartequesi creo que es verdadero ⇒ Es Verdadqueno deja de ser falso ⇒ Es falsoqueno vayamos a casarnos”.

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Ası, tenemos:”Es verdad si te dijera que es imposible negarte que es falso que no vayamos acasarnos”

Que equivale a que la afirmacion:”Es imposible negarte que es falso que no vayamos a casarnos”, es verdadera.

Que equivale a que la afirmacion:

”Es falso que no vayamos a casarnos”, es verdadera.

Que equivale a que la afirmacion:”Vamos a casarnos”, es verdadera.

Luego P es verdadera y Mario piensa casarse con Maria.

Observacion: Para que la disycion P ∨Q sea verdadera, basta una de sus componentes sea dadera. Sin embargo existen pposiciones que no son verdadesi ambas, P y Q, son verdadeEn tal caso hablamos de una ”D

yuncion excluyente 2

la simbolmos con P Q.

Definicion 1.6. Disyunci´ on : La disyunci´ on P ∨ Q considera dos proposiciones componentes ( P y Q) y solamente es falsa si, simultaneamente, son falsas sus dos componentes. Su tabla de verdad es:

P Q P ∨ Q

V V V V F V F V V F F F

Observacion: Para que la conjcion P ∧Q sea falsa, basta que ude sus dos componentes sea fals

Definicion 1.7. Conjunci´ on : La conjunci´ on P ∧ Q considera dos proposiciones

componentes ( P y Q) y solamente es verdadera si, simultaneamente, son ambas verdaderas. Su tabla de verdad es:

P Q P ∧ Q

V V V V F F F V F F F F

Observacion: En la condicioP → Q, denominamos a P coantecedente y a Q como con

cuente. Ası, plantea que un antdente verdadero no puede concen un consecuente falso.

Definicion 1.8. Condicional : La condicional P → Q considera dos proposicio-nes componentes ( P y Q) y solamente es falsa si, simultaneamente, el antecedente

es verdadero y el consecuente es falso. Su tabla de verdad es:

P Q P → Q

V V V V F F F V V F F V

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Observacion: Para que la bicdicional P ↔ Q sea falsa, basta una de las propocisiones compontes lo sea.Definicion 1.9. Bicondicional : La bicondicional P ↔ Q considera dos propo-

siciones componentes ( P y Q) y solamente es verdadera si ambas tienen el mismovalor de verdad. Su tabla de verdad es:

P Q P ↔ Q

V V V

V F F F V F F F V

Observacion: Puede incluir chas proposiciones simples complejas y cualquiera sea el vade verdad de las propocisiones sples que la componen, ella resuverdadera.

Definicion 1.10. Tautologıa : corresponde a una proposici´ on compleja que es cierta para cualquier valor de verdad de cada una de sus componentes.

Observacion: Puede incluir chas proposiciones simples complejas y cualquiera sea el vade verdad de las propocisiones sples que la componen, ella resufalsa. Se entiende como la negacde una tautologıa.

Definicion 1.11. Contradicci´ on : corresponde a una proposici´ on compleja que es una falsa cualesquiera sea el valor de verdad de cada una de sus componentes.

Observacion: Puede incluir chas proposiciones simples complejas y para diferentes comnaciones del valor de verdad depropocisiones simples que la coponen, ella resulta con diferente

lor de verdad.

Definicion 1.12. Contingencia : corresponde a una proposici´ on compleja que es verdadera para algunos valores de verdad de cada una de sus componentes y es

falsa para otros.

Definicion 1.13. Equivalencia : dos proposiciones son logicamente equivalentes si al conectarlas mediante la bicondicional, la proposici´ on resultante es una tau-tologıa. Si esto ocurre escribimos P ≡ Q o bien P ⇐⇒ Q. Esto es, sus tablas de verdad son identicas. (Implicancia l´ ogica, equivalencia l´ ogica.)

Ejemplos:

1. la proposicion [((∼ P ) ∨ Q)∧ ∼ Q] →∼ P

es una Tautologıa. En Efecto:

P Q ∼ P ∼ Q (∼ P ) ∨ Q [((∼ P ) ∨ Q)∧ ∼ Q] [((∼ P ) ∨ Q)∧ ∼ Q] →∼ P

V V F F V F VV F F V F F VF V V F V F VF F V V V V V

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2. la proposicion [(P ∧ Q) ∨ Q]∧ ∼ Q

es una contradiccion. En Efecto:

P Q ∼ Q (P ∧ Q) [(P ∧ Q) ∨ Q] [(P ∧ Q) ∨ Q]∧ ∼ Q

V V F V V FV F V F F FF V F F V FF F V F F F

3. la proposicion P ∧ (P ∨ Q) ↔ P

es una equivalencia logica. En Efecto:

P Q (P ∨ Q) P ∧ (P ∨ Q) P ∧ (P ∨ Q) ↔ P

V V V V VV F V V VF V V F VF F F F V

4. Demuestre usando la tabla de verdad que

[( p→∼

q )∧

(r→

q )]⇒

( p→∼

r)

es una propiedad. Desarrollo:

P Q R ∼ Q ∼ R P →∼ Q R → Q (P →∼ Q) ∧ (R → Q) (P →∼ R)

(P →∼ Q) ∧ (R → Q)→ (P →∼ R)

V V V F F F V F F VV V F F V F V F V VV F V V F V F F F VV F F V V V V V V VF V V F F V V V V VF V F F V V V V V VF F V V F V F F V VF F F V V V V V V V

Como el condicional es una tautologıa, queda demostrada la proposicion.

5. Sean p, q y r tres proposiciones, tal que ( p∧q ) → r tiene valor de verdad Falso.

Determinar el valor de verdad de (∼ p ∧ r) →∼ q ∨ pDesarrollo:( p ∧ q ) → r Falso =⇒ ( p ∧ q ) Verdadero y r Falso

Luego p Verdadero, q Verdadero y r Falso

Luego ∼ p Falso, ∼ q Falso, y ası (∼ p ∧ r) es Falso

Por lo tanto la condicional (∼ p ∧ r) →∼ q ∨ p es Verdadera.

6. Suponga que, p : 7 + 4 > 5, q : El dıa tiene 25 horas y r : Este es un test deAlgebra; siendo p, q y r verdadera, falsa y verdadera respectivamente. Escriba

en lenguaje comun y determine el valor de verdad de la proposici on.T : ( p → q ) ∧ ( p → r).

Desarrollo”Si 7 + 4 > 5 entonces el dia tiene 25 horas, y si 7 + 4 > 5 entonces este es untest de Algebra”

Ahora:( p → q ) es Falso, pues p es verdadero y q es falsa( p → r) es Verdadero, pues p y r son verdaderas.

Luego la Proposicion T es Falsa.

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7. Sean P , Q, R y S proposiciones. Si se sabe unicamente que P es verdadero,¿Que puede afirmarse del valor de verdad de cada una de las proposicionessiguientes

a ) P ∧ Q

b) R → P

c ) S →∼ P

d ) R ∨ P

e ) P → Q

f ) R → (S → P )

g ) R ∧ P

h ) P → P ∨ S

i ) S ∨ ∼ P

j ) ∼ P → Q ∧ R

k ) Q ∼ P → R ∧ Q

8. ¿Que puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, si P esfalsa, Q es verdadera y R es verdadera?

9. Sean P , Q y R proposiciones simples, si R ∨ P → Q ∧ P es falsa y tambien P

es falsa; ¿Que puede afirmarse de R y de Q?.

10. Sean P , Q y R proposiciones simples, si R ∧ P → Q ∧ P es falsa; ¿Que puedeafirmarse de P , Q y R?.

11. Sean P , Q y R proposiciones simples. Determinar cuales de las siguientesproposiciones son tautologıas:

a ) P ∧ Q → P ∧ R

b) (P → Q) → (∼ Q → P )

c ) P → P ∧ Q

d ) (P → Q) ∧ (P ∧ ∼ Q)

e ) P ∧ ∼ (Q ∨ P )

f ) P ∧ ∼ ((P ∨ Q) ∨ R)

1.4. Algebra de Proposiciones

La logica Proposicional satisface el siguiente conjunto de propiedades. Esto es cada una de las siguientesproposiciones constituye una tautologıa.

1. ∼∼ P ⇐⇒ P Doble negacion.

2. a. (P ∧ P ) ⇐⇒ P b. (P ∨ P ) ⇐⇒ P Idempotencia.

3. a. (P ∧ Q) ⇐⇒ (Q ∧ P ) b. (P ∨ Q) ⇐⇒ (Q ∨ P ) c. (P ↔ Q) ⇐⇒ (Q ↔ P ) Conmutatividad

4. a. [(P ∧ Q) ∧ R] ⇐⇒ [P ∧ (Q ∧ R)] b. [(P ∨ Q) ∨ R] ⇐⇒ [P ∨ (Q ∨ R)] Asociatividad.

5. a. [P

∧(Q

∨R)]

⇐⇒[(P

∧Q)

∨(P

∧R)] b. [P

∨(Q

∧R)]

⇐⇒[(P

∨Q)

∧(P

∨R)] Distributividad.

6. a. ∼ (P ∧ Q) ⇐⇒ (∼ P ∨ ∼ Q) b. ∼ (P ∨ Q) ⇐⇒ (∼ P ∧ ∼ Q) Leyes de Morgan.

7. (P → Q) ⇐⇒ (∼ Q →∼ P ) Contra Reciproca.

8. a. ∼ (P → Q) ⇐⇒ (P ∧ ∼ Q) b. ∼ (P ↔ Q) ⇐⇒ (P ∧ ∼ Q) ∨ (Q∧ ∼ P ) Negaciones.

9. a. (P ↔ Q) ⇐⇒ [(P → Q) ∧ (Q → P ) b. (P ↔ Q) ⇐⇒ [(P ∧ Q) ∨ (∼ P ∧ ∼ Q)

c. (P → Q) ⇐⇒ (∼ P ∨ Q) Otras: Condicional y Bicondicionales

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Ejemplo 1. Sean P y Q, dos proposiciones. Utilizando las leyes del algebra de proposiciones, simplificarla siguiente formula ∼ [∼ (P ∧ Q) →∼ Q] ∨ Q

Desarrollo:

∼ [∼ (P ∧ Q) →∼ Q] ∨ Q ⇐⇒∼ [∼ (∼ (P ∧ Q))∨ ∼ Q] ∨ Q por 9C.

⇐⇒∼ [(P ∧ Q))∨ ∼ Q] ∨ Q por 1.

⇐⇒ [∼ (P ∧ Q)∧ ∼ (∼ Q)] ∨ Q por 6b.

⇐⇒ [(∼ P ∨ ∼ Q) ∧ Q] ∨ Q por 6a y 1.⇐⇒ Q ∨ [(∼ P ∨ ∼ Q) ∧ Q] por 3b.

⇐⇒ (Q ∨ (∼ P ∨ ∼ Q)) ∧ (Q ∨ Q) por 5b.

⇐⇒ (Q ∨ (∼ P ∨ ∼ Q)) ∧ Q por 2b.

⇐⇒ (Q ∨ (∼ Q∨ ∼ P )) ∧ Q por 3b.

⇐⇒ ((Q∨ ∼ Q)∨ ∼ P )) ∧ Q por 4b.

Ejemplo 2. Sea el conectivo logico definido por: p q ⇔∼ ( p → q ) Demuestre la equivalencia logica

p ( p q ) ⇔ p ∧ q

.

Desarrollo:

p ( p q ) ⇔∼ ( p → ( p q )) , usando la definicion

⇔∼ ( p →∼ ( p → q )) , usando la definicion

⇔∼ ( p →∼ (∼ p ∨ q )) , condicional

⇔∼ ( p → ( p∧ ∼ q )) , De Morgan

⇔∼ (∼ p ∨ ( p∧ ∼ q )) , condicional

⇔∼ ((∼ p ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q )) , distributividad

⇔∼ (V ∧ (∼ p∨ ∼ q )) , ∼ p complemento de p⇔∼ (∼ p∨ ∼ q ) , identidad

⇔ p ∧ q , de Morgan

Ejemplo 3. Demuestre que: ∼ p ∧ (q → p) ⇐⇒∼ p∧ ∼ q

Desarrollo:

∼ p ∧ (q → p) ⇐⇒ ∼ p ∧ (∼ q ∨ p) , Condicional

⇐⇒ (∼ p∧ ∼ q ) ∨ (∼ p ∧ p) , Distributividad

⇐⇒ (∼ p∧ ∼ q ) ∨ F , ∼ p Complemento de p⇐⇒ ∼ p∧ ∼ q , Disyuncion

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1.5. Razonamiento Logico

Definicion 1.14. Argumento L´ ogico: Un argumento l´ ogico ( o argumento) es una condicional de la forma: (P 1 ∧ P 1 ∧ · · · ∧ P k) → Q donde las proposiciones P 1, P 2, · · · , P k son llamadas premisas y originan como consecuencia otra proposici´ on Q, llamada conclusi´ on .

a) Un argumento l´ ogico se denomina Argumento Valido si dicha condicional es una tautologıa.

b) Un argumento l´ ogico se denomina Falacia si dicha condicional es falsa (contradicci´ on).

Nota: un argumento no se modifica si una o varias de las premisas se reemplazan por otras premisasequivalentes.

Teorema 1.1. Si un argumento es valido y las premisas son verdaderas, entonces la conclusi´ on es verdadera.

1.6. Metodos de Demostracion

Teoricamente, todos los teoremas de la logica proposicional se pueden demostrar utili-zando solamente los axiomas y las reglas de validez; sin embargo, se establecen reglasde prueba y metodos de demostracion con el fin de abreviar el proceso deductivo. Acontinuacion se presentan los principales metodos de demostracion y reglas de prueba.

Observacion: Este es un metconstructivo, el cual a partir de proposicion inicial R, que se codera verdadera, se avanza a unaguiente verdad y ası sucesivamehasta arrivar a que la proposicS es verdadera. De esta manerconcluye que la proposicion concional (implicancia) R ⇒ S es vdadera.Ası, lo que realmente se pruebala validez de la implicancia. Mtras que, solo si se ”sabe”quees realmente verdadera, concluimque tambien S es verdadera.

Definicion 1.15. Metodo directo o de Hip´ otesis auxiliar . Se utiliza para la demostraci´ on de implicaciones, y dice:Sean R y S proposiciones (f´ ormulas). Si al suponer que R es verdadera, se puede hacer una demostraci´ on de que S es verdadera, entonces la implicaci´ on R ⇒ S es una Proposici´ on (f´ ormula) verdadera.

Esquema Operativo General:

Para demostrar que una formula del tipo R ⇒ S es teorema, se procedera ası:

a) Se supone que el antecedente R es verdadero (hipotesis auxiliar).

b) A partir de la hipotesis, se construye un argumento logico en el cual se puedenutilizar los axiomas y los teoremas ya probados, mediante la aplicacion de las reglas devalidez, para llegar a la formula S como conclusion o tesis.

c) En este punto concluye la prueba y queda establecida la verdad de R ⇒ S .

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Ejercicio: demostrar, de manera directa que la siguiente proposicion

[(P −→∼ Q) ∧ (∼ R ∨ Q) ∧ R] −→∼ P

es un teorema.

Solucion.:

[( p−→∼

q )∧

(∼

r

∨q )

∧r]

−→∼ p

⇐⇒∼ [( p −→∼ q ) ∧ (∼ r ∨ q ) ∧ r]∨ ∼ p , por 9c

⇐⇒∼ [(∼ p∨ ∼ q ) ∧ (∼ r ∨ q ) ∧ r]∨ ∼ p , por 9c

⇐⇒∼ [∼ ( p ∧ q ) ∧ (∼ r ∨ q ) ∧ r]∨ ∼ p , leyes de Morgan

⇐⇒∼ ([∼ ( p ∧ q ) ∧ (∼ r ∨ q ) ∧ r] ∧ p) , leyes de Morgan

⇐⇒∼ ([∼ ( p ∧ q ) ∧ {(r∧ ∼ r) ∨ (q ∧ r)}] ∧ p) , leyes de Morgan

⇐⇒∼ ([∼ ( p ∧ q ) ∧ {(F ∨ (q ∧ r)}] ∧ p) , r opuesto a ∼ r

⇐⇒∼ ([∼ ( p ∧ q ) ∧ (q ∧ r)] ∧ p) , disyuncion

⇐⇒∼ ([∼ ( p ∧ q ) ∧ ( p ∧ q )] ∧ r) , distributividad

⇐⇒∼ (F ∧ r) , opuesto

⇐⇒∼F , conjuncion

⇐⇒ V , negacion

Definicion 1.16. Metodo indirecto o de reducci´ on al absurdo. Se utiliza para la demostraci´ on de implicaciones, y dice:Sean P 1, P 2, · · · , P k proposiciones (premisas). Si al suponer que una proposic´ on Q es falsa, se puede hacer una demostraci´ on de que una o m´ as premisas es falsa, entonces la implicaci´ on

(P 1 ∧ P 2 ∧ · · · ∧ P k) −→ Q

es una f´ ormula verdadera.

Observacion: En la demostracde un teorema por contradiccionponemos que la conclusion, Qfalsa y utilizando la hipotesis Potros teoremas y equivalencias lcas cuya validez fue establecida pviamente, se llega a una contradcion. Es decir, alguna de las verdes ya establecidas es contradic

Esquema Operativo General:Para demostrar que una formula del tipo

(P 1 ∧ P 2 ∧ · · · ∧ P k) −→ Q es un teorema.

Se procedera ası:

a) Se supone que la conclusion Q es falsa (hipotesis auxiliar).Esto es equivalente a suponer que

(P 1 ∧ P 2 ∧ · · · ∧ P k) −→∼ Q es verdadera

b) A partir de la hipotesis, se construye un argumento logico en el cual se puedenutilizar los axiomas y los teoremas ya probados, mediante la aplicacion de las reglas devalidez, para llegar a ∼ P j (para algun j) como conclusion o tesis.

c) En este punto concluye la prueba y queda establecida la verdad de(P 1 ∧ P 2 ∧ · · · ∧ P k) −→ Q

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Ejercicio: demostrar que Si m ∈ , entonces:

”si m2 par → m es par”.

Solucion: Supongamos, por el contrario, que m2 es par y m impar (negacion de lapropiedad).

m impar

⇒m = 2n + 1 , para algun n

∈

⇒ m2 = (2n + 1)2

⇒ m2 = 4n2 + 4n + 1⇒ m2 = 2(2n2 + 2n) + 1 , es impar, pues 2n2 + 2n ∈ .

lo que contradice la hipotesis (m2 par).

Definicion 1.17. Metodo por la contrarrecıproca . Se utiliza para la demostraci´ on de implicacio-nes P → Q.La demostraci on de un teorema se dice que es utilizando la contrarrecıproca cuando suponiendo que la conclusi´ on, Q, es falsa y utilizando la hip´ otesis y otros teoremas y equivalencias l´ ogicas establecidas previamente, se concluye que P es falso. Est´ a basada en la equivalencia l´ ogica entre una condicional y la condicional llamada “su contrarrecıproca”:

(P → Q) ⇐⇒ (∼ Q →∼ P )

Esquema Operativo General: En este caso se utiliza el Esquema de la demostraci on directa, perosobre el condicional (∼ Q →∼ P )

Ejercicio: Demuestre usando el contrarrecıproco que

Sea x ∈ . Si x2 es par, entonces x es par.

Desarrollo:Hipotesis (P ): x2 es par.Tesis (Q): x es par.

Usando el metodo del contrarrecıproco P ⇒ Q ⇔ ∼ Q ⇒∼ P

Entonces: ∼ Q (Tesis del contrarreciproco): x no es par.∼ P (Hipotesis del contrarreciproco): x2 no es par.

Ası, al suponer que x ∈ no es par, es decir x es impar, tenemos que existe k ∈ tal que x = 2k − 1.Se tiene que

x2 = (2k − 1)2 = 4k2 − 4k + 1 = 2(2k2 − 2k) + 1 = 2r + 1

con r = 2k2 − 2k ∈ .

Por lo tanto x2 es par.

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Ejemplo:

Demuestre, de manera directa, que si a y b son numeros pares, entonces a + b esnumero par. Donde un numero par se caracteriza por poder escribirse como 2k paraalgun k entero. Solucion directa :

suponga que a y b son numeros pares, ( Hipotesis auxiliar.)

luego, a = 2n y b = 2m con n, m ∈ Z .Entonces, a + b = 2n + 2m = 2(n + m); y (n + m)

∈ .

Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k,es decir, a + b es un numero par.

1.7. Cuantificadores

Observacion: Otros giros utildos para la expresion “ para to

x”, son:Todo x

Cualquiera x

Cada x.

Para la expresion “Existe un

son:Hay x

Existe x, tal queAlgun x

Algunos x

Las proposiciones (expresiones o razonamientos):

Todo hombre es mortal.Algunos hombres son sabios.

Pueden escribirse, respectivamente como:

Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.

Que, en el primer caso se simbolizan por ∀x y se llama cuantificador universal.Mientras que en el segundo caso se simbolizan por ∃x y se llama cuantificador existen-cial.

Ası, en el primer caso se escribe: ∀x, si x es hombre → x es mortal.Mientras que la segunda propocision sera: ∃x: x es hombre ∧ x es sabio.

1.8. Funciones Proposicionales

Considerense las siguientes proposiciones:Observacion: La expresion “xmedico” no puede considerarsemo una proposicion puesto quees ni verdadera ni falsa.Ası en el caso anterior “x es hobre”, “x es mortal” y “x es sabno son proposiciones, pues severdaderas (o falsas) de acuerdnombre que reemplace a x.

P : Gustavo es medico.

Q : Alvaro es medico.

R : Enrique es medico.

Estas proposiciones tienen algo en comun, y es la propiedad de “ser medico”. Estopuede formularse recurriendo a la expresion “x es medico” en donde x es una variableindividual, la cual indica que el sujeto o termino que tiene la propiedad de ser medicoes indeterminada.

Expresiones de esta forma, dadas en terminos de una o varias variables, reciben elnombre de funciones proposicionales y las denotamos por P x, Qx, etc..

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Definicion 1.18. Existen tres formas de convertir una funci´ on proposicional P x en una proposici´ on a saber:

a) Haciendo la sustituci´ on de las variables por un termino especıfico.b) Anteponiendo la expresi´ on “para todo x” o cuantificador universal.c) Anteponiendo la expresi´ on “existe al menos un x” o cuantificador existencial.

Definicion 1.19. El enunciado “existe al menos un x tal que P x” se representa como:(∃x) (P x)

El enunciado “para todo x, P x” se representa como:(∀x) (P x)

Una proposicion de la forma (∀x) (P x) es verdadera cuando cada valor diferente de la

variable x convierten a P x en enunciado verdadero.Observacion: Para determinaun enunciado que incluye Pxverdadero o falso, debemos cocer cuales son los x a que se rere la expresion. Al total de estollamaremos “Conjunto de Refecia”, y cada uno sera un “Termidel conjunto de referencia.

Un enunciado de la forma (∃x) (P x) es verdadero cuando al menos un caso de sustitu-cion de la variable x por un termino especıfico del conjunto de referencia, convierte aP x en un enunciado verdadero. Ası este enunciado sera verdadero si en 1, 2, 3 ... etc.casos, es verdadero.

Nota: Las proposiciones universales pueden aparecer negadas “∼”.

Observacion: Las palab“ningun”, “ninguno”, “nad“nadie” corresponden a enunciauniversales con negaciones, perouna manera distinta.

La proposicion “ninguno es mecanico” no es equivalente a la proposicion “no todos sonmecanicos”.

Ası, negar que (∀x) (P x)

se harıa mediante la proposicion ∼ (∀x) (P x)

y serıa verdadera si P x es falsa para almenos uno de los valores de x.Es decir si:

(∃x) (∼ P x), es verdadera

Observacion: Cuando es clarconjunto de referencia, este noidentifica. Pero si no es as ı, debidentificarse.

Ejemplo:

El enunciado: “Todos los Gatos rasgunan” se escribe: (∀x)(P x)

Donde la funcion proposicional esta dada por:

P x: Rasguna

y el conjunto de referencia son los gatos.

Su negacion serıa: “No todos los Gatos rasgunan”que se escribe: ∼ (∀x)(P x)

o equivalentemente: “Almenos existe un gato que no rasguna”que se escribe: (∃x)(∼ P x)

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Ejemplo:

simbolizar los siguientes enunciados:

a. Todo es perecedero.

b. Hay marcianos.

c. Alguien no es perfecto.

d. No hay cosas solidas.

e. Si todo es rojo, hay algo rojo.

f. Nada se mueve.

Observacion: Existe una vacion del cuantificador existencdado por “Existe un unico”, qudenota por ∃!, y que, a diferendel cuantificador existencial, es so si Px es verdadero para masun valor de x (termino de refercia).

Analogamente negar que (∃x) (P x)

serıa ∼ (∃x) (P x)

que serıa verdadera si P x es falsa para todos los valores de x.

Es decir si: (∀x) (∼ P x), es verdadera

1.9. Cuantificacion Restringida

Existen proposiciones universales o existenciales que poseen, en el lenguaje ordinario, estructuras simplespero que internamente tienen estructura de proposiciones compuestas. Es el caso del ejemplo anterior, si nose asumiera que el conjunto de referencia (los gatos) es totalmente definido.Si, no fuera ası, se deberıa especificar el conjunto de referencia.

Ası, por ejemplo, la expresion:“todas las hormigas son insectos”

se puede escribir de una manera plausible:

“para toda x, si x es hormiga entonces x es insecto”

Que si Hx simboliza la expresion: “ x es hormiga”,e Ix simboliza la expresion “x es insecto”.

la expresion “todas las hormigas son insectos” se puede simbolizar: (∀x) (Hx → Ix)

Observacion: En general el c junto de referencia no es claro, lo que debe ser especificado.

De igual forma, al considerar la expresion del lenguaje ordinario:

“Hay animales carnıvoros”

se observa que se puede escribir como:

“existe almenos un x, tal que x es animal y x es carnıvoro”

que si consideramos las funciones proposicionales Ax dado por “x es animal” y Cx

dado por “x es carnıvoro”, se puede simbolizar como:

(∃x) (Ax ∧ Cx)

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Ejemplo: Escribir simbolicamente y negar el siguiente predicado.”Todos los estudiantes de algebra asisten a clases y existen estudiantes de algebra queestudian clase a clase”.

Desarrollo:Sean:A = {x : x es estudiante de Algebra }

px

= ”x Asiste a Clase”

q x = ”x Estudia Clase a Clase”

Tenemos: (∀x ∈ A, px) ∨ (∃x ∈ A : q x)

y su negacion sera:(∃x ∈ A, ∼ px) ∧ (∀x ∈ A :∼ q x)

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1.10. Ejercicios

1. En cada caso, determine si es o no una proposicion, justificando adecuadamente. De ser una proposicionindique el valor de verdad.

a ) 5+2=7.

b) Vicente Huidobro es matematico.

c ) Tu voto es tu opinion.

d ) 2 + 4 < 3 + 2.

e ) Me gusta el cine. f ) El polo norte es frıo y el polo sur es caliente.

2. Dadas las proposiciones: p : “Obama firmo el tratado a tiempo”, q : “El Congreso no Aprobo elproyecto”,r : “Iran se molesta”.

Escriba las siguientes proposiciones.

a ) q ∧ ∼ p

b) p r

c ) ( p ∨ q ) ↔ ( p ∧ r)

d ) p q

e ) ( p

∧q )

↔( p r)

f ) ( p ∨ q ) → ( p ∧ r)

g ) ( p ∨ r) q

h ) ( p → q ) ∧ ( p → r)

i ) ( p ∨ q ) → r

3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a ) Si 2 = 2, entonces 3 = 4.

b) Si 1 = 0, entonces 3 = 5.

c ) Si 1 = 0, entonces 6 = 6.

d ) Si 2 = 2 o 3 = 4, entonces 1 = 2.

e ) 2 = 0 es una condicion suficiente para que

3 = 4.

f ) 1 = 2 o bien 3 = 3.

g ) 4 = 5 es una condicion suficiente para que1 = 5.

4. Suponga que Ana le confiesa a su amigo Luis despues de mucha insistencia de parte de el, “no es verdadque: Si me gusta salir a bailar entonces no me gusta el cine; o salir a comer”. ¿A que podrıa Luis invitara Ana?

5. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones indicando si corresponde auna tautologıa, contradiccion o contingencia.

a ) ( p → q ) ∧ (q →∼ p).

b) ( p∧ ∼ p) ↔ (q ∧ ∼ q ).

c ) p ∨ q ∨ ∼ r.

d ) ( p ∧ q ) → r.

e ) ( p ∨ q ) ↔∼ (∼ p∧ ∼ q ).

f ) p ∧ (q ∨ p) ↔∼ p.

g ) p ∨ (q ∧ p) ↔∼ p.

6. Si q es verdadera, ¿Por que p

→q es tambien verdadera independiente del valor de verdad de p?

7. Sean p y q dos proposiciones y sea el conectivo logico tal que pq es verdadero, si p y q son falsas.En cualquier otro caso la proposicion pq es falsa. Construya una tabla de verdad para las siguientesproposiciones e indique en cada caso si es Tautologıa, Contingencia o Contradiccion.

a ) [∼ ( pq )] ↔ [∼ ( p ∨ q ) ∧ ( p ↔ q )]

b) [ pq ] ↔ [∼ p∧ ∼ q ]

c ) [ p∧ ∼ q ] → [( pq )( pq )]

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8 Dadas p y q proposiciones, definimos el conectivo logico p

q como la proposicion que es verdadera solo cuandq es verdadera y p es falsa.

a ) Escriba la tabla de verdad para p

q .

b) ¿Es

asociativo?, ¿Es

conmutativo?.

c ) Demueste que (∼ p)

(∼ q ) ⇔ q

p.

d ) Demuestre que p

p es una contradiccion y que (∼ p)

p corresponde a una tautologıa.

9 Escriba las siguientes proposiciones utilizando cuantificadores y encuentre su valor de verdad.Suponga que A es un subconjunto de .

a ) Todos los numeros naturales son mayores que −1.

b) Todos los cuadrados de numeros reales son mayores o iguales que cero.

c ) Si todos los numeros reales son mayores que 10, entonces 0 = 1.

d ) Todos los elementos de A son mayores que 10, o bien todos los elementos de A son menores que 25.

e ) Existe un numero natural mayor que 1000.

f ) Existe un numero real que es mayor que cero y existe otro numero real que es menor que cero.

g ) La suma de dos numeros naturales es mayor o igual que cada uno de los dos numeros.

10 Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas.

a ) ∀n, m ∈ : n · m es par ⇔ (n es par ) ∧ (m es par).

b) ∀n ∈ : n no divide a n + 1.

11 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones, negandolas posteriormente:

a ) (∀z ∈ )(√

z2 = z).

b) (∃x ∈ )((x2 − 2)2 = x4 − 24).

c ) (∀x ∈ A)(∃y ∈ A tal que x2 − y ≤ 5; donde A = {1, 2, 3, 4}).

d ) (∃

a

∈ ) a2 = 1

⇒00 = 1.

12 Considere el conjunto A =

−1, −1

2, 0,

1

2, 1

. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsa

(justifique):

p :(∀x, y ∈ A)(x + y ≤ 1).

q :(∀x ∈ A)(∃y ∈ A)(x2 ≤ y).

Escriba la negacion de las proposiciones anteriores.

apuntes de logica proposicional

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