Lgica Proposicional

1. Definicin: Parte de la Lgica que tiene por objeto el estudio de la proposicin y su relacin entre ellas, as como la funcin que tiene las variables proposicionales y los conectivos lgicos.

2. Enunciado: Es una frase u oracin que se expresa en la vida cotidiana sin importar su significado ni su interpretacin. Puede ser:

2.1. Proposicin lgica: Es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser Verdadero o Falso; pero no ambas a la vez. Se denotan con letras minsculas como: p, q, r, s, t, etc. A las que se les denomina variables proposicionales. 2.2. Enunciados no proposicionales: Son aquellas expresiones que no tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas dado que en su contenido llevan una fuerte carga emotiva. Pueden ser: Interrogativas: Quin ser el prximo presidente del Per? Exclamativas o admirativas: Qu hermoso da! Imperativas o exhortativas: Detngase por favor Desiderativas: Ojal maana no venga el profesor

Nota:Enunciado Abierto: Son oraciones que contienen variables o usan las palabras el o ella que no tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos no constituyen proposiciones. Sin embargo, si a una de estas palabras o variables se les asigna un determinado objeto o valor se convierten en proposiciones. Ejemplos: El gan el premio Nobel de Literatura x + 2 < 7As si a el se le reemplaza por Mario Vargas Llosa y a x por 10, se transforman en proposiciones.

3. Conectivos Lgicos: Son smbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Tambin se les denomina operadores lgicos. stos son:

CONECTIVOFORMA DE PROPOSICINLENGUAJE COMN

ConjuncinY, pero, sin embargo, adems, aunque, no obstante, a la vez.

vDisyuncin InclusivaO

Disyuncin ExclusivaO O

CondicionalSi entonces, si dado que , siempre que

Bicondicional Si y slo s

~NegacinNo, no es cierto que, no es el caso que

Negacin ConjuntivaNi ni

|Negacin AlternativaNo o no

4. Clases de Proposiciones: 4.1. Proposicin simple: Llamada tambin proposicin atmica o elemental Expresa una sola idea en su forma ms simple. Cuando no est afectada por ningn conectivo lgico. Ejemplos:p : La rosa es una flor q : El cocodrilo es un mamfero r : 3 es menor que 2s: El hombre lleg a la lunat: 8 12 = 9

4.2. Proposicin compuesta: Llamada tambin molecular o coligativa Cuando rene a ms de una proposicin simple o atmica mediante algn conectivo lgico. Ejemplos:

Cristbal Coln es espaol y lleg a Amrica en la Pinta 64 es cuadrado perfecto o es un nmero compuesto Si el Per est en Sudamrica, entonces su poblacin habla castellano. 2 es nmero primo si y slo s tiene dos divisores viajo en avin o en autobs a Lima a las 22h

Nota:Si a una proposicin simple se le antepone el conectivo no, se forma una proposicin compuesta La moneda del Per no es el Sol de oro 5. pq......V F UfValor de verdad: Existe una correspondencia entre una proposicin y su valor de verdad, as se tiene:

La correspondencia establecida entre los elementos de U y los de es:

V, si p es verdaderaF, si p es falsaf(p) =

Donde:U = { p, q, r , ... } Es el conjunto de proposiciones y = { V , F } Es el conjunto de valores de verdadPor lo tanto: Si una proposicin p es verdadera, su valor de verdad es V(p) = V que se lee valor de verdad de p es V Si una proposicin p es falsa, se dice que su valor de verdad es V(p) = F, que se lee valor de verdad de p es F

6. Tabla de valores de verdad o de WITTGENSTEIN: Wittgenstein ide el uso de las Tablas de valores de verdad para representar el conjunto de espacios o de lneas posibles al combinar los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con el fin de obtener el valor de verdad de la una proposicin compleja. As: N de lneas = 2n, siendo n nmero de proposiciones simples diferentes. Ejemplo:pq

VV

VF

FV

FF

Para las proposiciones p y q, n= 2 N de lneas = 2nN de lneas = 22 = 4Su tabla de valores de verdad es:

8. Operaciones Proposicionales:

8.1. Conjuncin (): Une dos proposiciones mediante el trmino y

pqpq

VVV

VFF

FVF

FFF

La conjuncin es VERDADERA cuando ambas proposiciones son verdaderas.

8.2. Disyuncin Inclusiva: (): Une dos proposiciones con el trmino o

pqp q

VVV

VFV

FVV

FFF

La disyuncin inclusiva es FALSA cuando ambas proposiciones son falsas.

8.3. Disyuncin Exclusiva: (): Une dos proposiciones con el trmino o o

pqp q

VVF

VFV

FVV

FFF

La disyuncin exclusiva es FALSA cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

8.4. Condicional: (): Combina dos proposiciones mediante: si entonces

pqpq

VVV

VFF

FVV

FFV

La condicional es FALSA cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Nota:La proposicin antecedido del si (p) se llama hiptesis, antecedente o parte dada y la proposicin precedida del entonces (q) se llama conclusin, consecuente o parte por demostrar de la implicacin. p es la condicin suficiente para q y q la condicin necesariapara p

8.5. Bicondicional: ()Llamada tambin doble implicacin Es la combinacin de dos proposiciones con: si y slo si

pqpq

VVV

VFF

FVF

FFV

La bicondicional es VERDADERA cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Nota:

Nota:Se llama bicondicional porque el antecedente implica el consecuente (pq) y el consecuente implica el antecedente ( qp ) pq = (p q) ( q p )

8.6. Negacin: (~): El conectivo No, se utiliza para negar una proposicin.p ~ p

V F

F V

La negacin cambia el valor de verdad de la proposicin.

Nota:Cuando en un prrafo se escribe los trminos:

Los indicados trminos niegan toda la proposicin compuesta A. Es decir ~ ( . . . )~a) No es el caso . . .

A

~b) Es falso que . . .

A

A

9. Jerarqua de los operadores lgicos:La jerarqua es: Negacin, conjuncin, disyucin inclusiva, condicional, bicondicional y disyuncin exclusive y son asociados por la izquierda. As en el esquema molecular: A = p q ^ ~r 1. Se niega r es decir: ~r2. Se resuelve la conjuncin: q ^ ~r3. Se resuelve la implicacin: p (q ^ ~r)

10. Esquema Molecular o Frmula Proposicional:Es la combinacin de variables proposicionales, conectivos lgicos y signos de agrupacin.

Nota:Los signos de agrupacin ayudan a determiner el operador principal o conectivo de mayor jerarqua en un esquema molecular.

11. Evaluacin de Esquemas Moleculares por tablas de verdad:Consiste en obtener los valores de verdad del operador principal a partir de las tablas de verdad de las operaciones proposicionales.Ejemplo Evaluar el esquema A = [(p q ) v (~ q ^ r ) ~ p ^ ( r q )

Solucin

Operador principal

p q r [( p q ) v ( ~ q ^ r ) ~ p ^ ( r q )

Columna resultante

12. Tautologa, Contradiccin y Contingencia11.1. Tautologa: Cuando los valores de su operador principal son todos Verdaderos. Ejemplos

5

B = p v ~ p Solucin

p ~ p p v ~ p

VF V

FVV

C = ~ [ ~ p v ( p q ) ] ^ ~pSolucin

p q ~ [ ~ p v (p q) ] ^ ~ p

VVF F V V V F

VFV F F F V F

TautologaFVF V V V V V

FFF V V V V V

11.2. Contradiccin: Cuando el resultado de su operador principal son todos Falsos. Ejemplos:

D = p ^ ~ p.Solucin

p ~ p p ^ ~ p

VF F

FVF

Nota:

C = ~ ( p q ) ( ~ q ~ p)Solucinp q ~ (p q ) (~ q ~ p)

Contradiccin

Si se tiene la proposicin : p: La puerta es verde. La proposicin p ~ p equivale a decir que La puerta es verde y la puerta no es verde. Por lo tanto se est contradiciendo . Cuando ocurre esta situacin, se dice que es una falacia.

11.3. Contingencia: Cuando en su columna resultante tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsa. Ejemplo: E = ( p q ) ^ ~ pSolucinpq( p q ) ^ ~ p

VV VV F

VF FV F

FV VF V

FF VF V

Contingencia

12. Relaciones entre proposiciones:12.1. Equivalencia:Dos esquemas moleculares A y B se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad (misma columna resultante).

Nota:A es equivalente a B (AB) si A B es una tautologa

Sean los esquemas moleculares: A = p q y B = ~ q~ p Construyendo su tabla de verdad

pq( p q) ( ~ q ~ p)

VV VV F V F

VF FV V F F

FV VV F V V

FF VV V V V

Como A B es una tautologa A y B son equivalentes

12.2. Implicacin: El esquema molecular A implica el esquema molecular B si tienen la misma tabla de verdad (misma columna resultante).

Nota:A implica B si A B es una tautologa

Sean los esquemas moleculares A= ~p v q y B= ~ q ~ pConstruyendo su tabla de verdad

pq (~ p v q) (~ q ~ p)

VV F V VV F V F

VF F F FV V F F

FV V V VV F V V

FF V V FV V V V

Como A B es una tautologa, por lo tanto A implica a B.

13.

Ejemplo 2:Verificar que A = p q y B = ~ p q son frmulas equivalentes:

pq( p q) ( ~ p q )

13. 14. 15.

8. CIRCUITOS ELCTRICOS

3.1. Clculo del mcm:

Se factorizan los polinomios. El MCD est formado por los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.Ejemplos:1. Hallar el MCD y el mcm de P y Q si:P = (x - 3) (x + 4)2Q = (x + 4)3 (x + 2)2Como los polinomios estn factorizados, entonces: MCD(P,Q) = (x + 4)2 mcm(P,Q) = (x - 3) (x + 2)2 (x + 4)34. Propiedades:

Si dos o ms Polinomios son primos entre s, entonces: Su MCD es la unidad y Su mcm el producto de ellos.

nicamente para dos polinomios P(x), Q(x) se cumple que:

MCD(P, Q).mcm(P, Q) = P(x).Q(x)

Si P(x) y Q(x) son polinomios no primos entre si, entonces: 1ra posibilidad:P(x) Q(x) = MCD (P, Q) 2da posibilidad:P(x) Q(x) = contiene al mcm(P, Q)

Ejercicios resueltos

1. Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes:P(x) = x3 x2 4x + 4 SolucinFactorizando los polinomios por el mtodo de los divisores binomios

1 11 42 68 40 2 2 18 48 40 1 9 24 20 0 5 5 20 20 1 4 4 0 1 1 4 4 1 1 0 4 1 0 4 0

P(x) = (x 1)(x 2) (x + 2)

Q(x) = (x + 2)3 (x + 5)Luego: El MCD(P, Q) = (x + 2) El mcm(P, Q) = (x 1)(x 2) (x + 2)3 (x + 5)2. Si se sabe que:MCD(P; Q) = (x + 2)(x + 1)mcm(P; Q) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3)Si uno de los polinomios es: (x + 1)(x + 2)(x + 3). Hallar el otro polinomio.Solucin

Aplicando la propiedad: MCD(P; Q) . mcm(P; Q) = P(x) . Q(x)

Por el dato del problema y adecuando la igualdad se tiene:

Reemplazando valores:

Q(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)

3. Hallar si:

P(x) = a1.xn1 ; Q(x) = b1.xn2 ; R(x) = c1.xn3

SolucinMCD(P, Q, R) = xn3Mcm(P, Q, R) = a1.b1.c1.xn1

Reemplazando:

4. Dados los polinomios:

;

es:

Si se sabe que MCD(A, B) =

Hallar: E = m+n

Solucin

Como el MCD divide exactamente a A(x) y B(x) ( es decir, al dividir A(x) y B(x) entre su MCD respectivamente, el residuo de dicha divisin es cero)

Dividiendo por el mtodo de Horner:

Luego: E = m + n E = 2 + 4 E = 6

ECUACIN RACIONAL

1. Definicin:Es aquella ecuacin en donde la incgnita o incgnitas estn en el denominador (o las incgnitas estn elevadas a un exponente entero negativo).

2. Resolucin: Se factorizan los denominadores. Se eliminan los denominadores. Se resuelve la ecuacin resultante. Se eliminan aquellas soluciones que anulen algn denominador de la ecuacin inicial (ya que la divisin entre cero no est definida).

Ejemplos:Resolver las ecuaciones:

a)Solucin Factorizando los denominadores: Hallamos el Eliminamos los denominadores: Resolviendo la ecuacin:

Es la posible solucin Como no anula el denominador

b) Solucin Factorizando los denominadores: Hallamos el Eliminando denominadores: Resolviendo la ecuacin:

1 2 5 6 1 1 1 6 1 1 6 0

Posibles soluciones no es solucin porque anula el denominador

Como y no anulan el denominador

ECUACIN IRRACIONAL

1. Definicin:Es aquella ecuacin que presentan la incgnita o incgnitas como cantidad subradical (o las incgnitas estn elevadas a un exponente fraccionario).

2. Resolucin: Se aisla un radical en uno de los miembros de la ecuacin Se eleva a la potencia adecuada tantas veces como sea necesario hasta eliminar la raz o races. Se resuelve la ecuacin resultante. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuacin inicial.

Ejemplos:Resolver las ecuaciones:

a)Solucin

Elevando al cuadrado ambos miembros:

Eliminando el radical con el cuadrado:

Aislando el radical:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

Eliminando el radical con el cuadrado:

Aislando el radical:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

Eliminando el radical con el cuadrado:

Despejando:

Posible solucin

Al Comprobar se tiene x = 4 es solucin de la ecuacin

C.S. = { 4 }

b) Solucin

Aislando el radical: Elevando al cuadrado ambos miembros: Eliminando el radical con el cuadrado y aplicando el cuadradote un binomio en el segundo miembro:

Comprobando si x=4 es solucin de la ecuacinSustituyendo se tiene:

C.S. = { 4 }

2

1

0

1

1

-2

1

n

-4

-2

1

n-4=0

1

2

0

n = 4

1

2

3

1

2

-2

1

m

-2

-4

-1

m-2=0

2

1

0