Pintura y Matemáticas

Retratos de matemáticos

Muchos de los grandes matemáticos de la Historia han sido personas importantes en la sociedad, que hanmerecido la atención de artistas o simplemente retratistas de la época. En cualquier caso, aquí tenemos unamuestra de algunos retratos. Pulsa sobre ellos para conocer algo más de su vida y observar más de cerca suretrato.

Euclides Luca Pacioli Leonardo

Descartes Newton Pascal

Fermat Euler Gauss

Escher

Mauritis Cornelius Escher nació en Leeuwarden, Holanda, en el año1898, siendo el hijo más joven de un ingeniero hidráulico. Su profesorF.W. van der Haagen le enseñó la técnica de los grabados en linóleo yfue una gran influencia para el joven Escher. No fue precisamente unestudiante brillante, y sólo llegó a destacar en las clases de dibujo. Bajo

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presión paterna empieza los estudios de arquitectura en la Escuela deArquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, estudios que abandonópoco después para pasar a ser discípulo de un profesor de artes gráficas.Durante el año 1924 se trasladó a Roma donde permaneció hasta 1934.Más tarde viajará por Suiza y Bélgica hasta que en el año 1941 se instalódefinitivamente en Baarn, Holanda, donde moriría en el año 1972.

Hasta 1951 vivió básicamente dependiendo económicamente de suspadres. A partir de entonces fue cuando comenzó a vender sus grabadosy obtener un buen dinero por ellos. Esto le permitió vivir sus últimosaños con una economía personal excelente, haciendo copias de suslitografías y grabados por encargo.

A menudo me encuentro más cerca de los matemáticos que de mis colegas los artistas. Todos mistrabajos son juegos. Juegos serios. Estas palabras de Escher definen muy bien su obra y sus inquietudes.Las Matemáticas son para él no sólo un recurso técnico, sino también una fuente de inspiración. Susgrabados y litografías, además de provocar una sensación visual, atacan directamente al cerebro,provocando mentalmente al espectador y haciéndolo pensar. Muchas de sus obras parecen estar concebidaspor una mente que procesa números y algoritmos. Hace un uso imaginativo de sus conocimientos degeometría para diseñar unos frisos y mosaicos imposibles. En todas sus obras subyace la sensación de quelo que no es posible en la realidad, sí es posible en el plano mental, y, en su caso, el pictórico. Es eso lo quehace de Escher un pintor de la abstracción pura, un inventor de situaciones, un teórico de la expresiónplástica. En definitiva, un matemático de la pintura.

También son especialmente sugerentes los títulos que daba algunas de sus obras. Para esta galería vamos aacceder a ellas por el nombre. Pincha sobre cada título para abrir el cuadro en una ventana aparte. Unconsejo: dedícale al menos 30 segundos a cada uno de ellos para observarlos detenidamente y fíjate en losdetalles.

BalcónCascada

Cielo e infiernoCinta de Moebius

Día y nocheEspejo mágicoGota de rocíoLazo de uniónOtro mundoRelatividad

ReptilesSerpientes

Subiendo y bajando

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Matemáticas en pintura

Aquí tienes una pequeña muestra de cuadros estrechamente relacionados con las Matemáticas. Si pinchassobre ellos podrás ampliarlos y observar los elementos que los relacionan. Adelante pues.

LA ÚLTIMA CENA, de Leonardo da Vinci (1497)

Esta obra de Leonardo da Vinci está considerado como una de sus obras maestras. El uso de la perspectiva es muy originalpara su tiempo, además de ser la primera vez que se representa a los apóstoles en grupos de tres. Pulsa sobre él para ver

los detalles de la perspectiva.

ALEGORÍA DE LA GEOMETRÍA, de Laurent de la Hire (1649)

En este cuadro se representa a la geometría como una elegante dama clásica, sosteniendo en sus manos un papel condibujos geométricos. Uno de los dibujos se puede apreciar claramente como una demostración. ¿Sabes cuál es?

ÚLTIMA CENA, de Salvador Dalí (1955)

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Es una curiosa representación de la última cena, ya que el conjunto está enmarcado dentro de una figura geométrica.¿Sabes cuál es?

CISNES QUE REFLEJAN ELEFANTES, de Salvador Dalí (1937)

Aquí tenemos un curioso cuadro que nos muestra de forma alucinante una transformación geométrica. ¿Sabes cuál?

DIOS MIDE EL MUNDO CON UN COMPÁS, Ilustración de una Bible moraliseé (1250)

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En esta ilustración de una Biblia del siglo XIII vemos a Dios actuando como un geómetra, midiendo el mundo con uncompás.

EJERCICIO COMPLICADO, de Belski (1514)

El problema de Matemáticas que se plantea en la pizarra trae de cabeza a los alumnos.Ni más ni menos que

TRÁNSITO ESPIRAL, de Remedios Varo (1962)

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Ejemplo de obra moderna donde interviene una figura bien conocida por los matemáticos: la espiral.

CUADRO HOLANDÉS II, de Zóbel (1969)

Otra obra moderna que no necesita muchas explicaciones para identificar la figura predominante.

CORPUS HYPERCUBICUM, de Salvador Dalí (1954)

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Aquí Dalí vuelve a asombrarnos con su visión de la Geometría representando un hipercubo, un cubo en un espacio decuatro dimensiones.

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Perspectiva

La perspectiva es una herramienta que utilizamos para resolver un problema pictórico: si nuestros ojoscaptan las cosas en tres dimensiones, ¿cómo hacemos para plasmar esa información en tan sólo dosdimensiones?

A lo largo de la historia de la Pintura se han usado recursos variados. En un principio, cuando se pintabaalgo lo que interesaba era el primer plano. Así el fondo de los cuadros quedaba difuso o lleno de coloresdorados u otros que ayudaran a fijar la vista en lo que realmente interesaba.

El artista del Renacimiento cambia el enfoque: la descripción del mundo real se convierte en el objetivo dela pintura, por lo que tienen que plasmar la realidad lo más fielmente posible. El primero en intentar buscaruna solución matemática es Leone Batista Alberti (1404-1472) que en 1435 en su libro Della pittura(impreso en 1511, cuarenta años después de la muerte de Alberti) intenta dar unas reglas para conseguirque lo pintado se asemeje a lo que realmente vemos, ayudado de la óptica. Su principio básico puedeexplicarse así: Supongamos que entre la escena y el ojo interponemos una pantalla de vidrio en posiciónvertical. Se llaman líneas de fuga las que van desde el ojo hasta cada punto de la escena. Donde estas líneasatraviesan la pantalla de vidrio (la imagen plana), imaginaba puntos que determinan lo que denomina unasección. Ésta crea la misma impresión sobre el ojo que la escena misma, porque de la sección provienen lasmismas líneas de luz que de la escena original. En consecuencia, el problema de pintar en forma realista esel de obtener una sección verdadera sobre la pantalla de vidrio (en la práctica sobre el lienzo). Como elpintor no mira a través del lienzo, para determinar la sección debe disponer de reglas basadas en teoremasmatemáticos que establezcan la forma de dibujarla. También para ello artistas de la época idearondiferentes artilugios que captaran la sección adecuada, como nos muestran los siguientes grabados.

Fueron Leonardo, y posteriormente el pintor alemán Alberto Durero, los que llevaron aún más allá lamatematización de la perspectiva. Sin embargo, quien dio la idea fundamental fue Desargues, matemáticofrancés, que impuso un novedoso punto de vista: dos rectas paralelas, aunque realmente no se cortan, en elinfinito sí lo hacen, creando así un punto del infinito donde se cortarían todas las rectas paralelas. Es lo quepasa cuando observamos un cuadro en perspectiva, todas las líneas apuntan a un punto, el del infinito. Estaidea fue mal admitida por los matemáticos del siglo XVII: ¿cómo se iban a cortar dos paralelas? Sinembargo en el siglo XIX se retomó y nació una nueva geometría: la geometría proyectiva, con tantasaplicaciones como la geometría clásica.

Otro recurso extraordinario es el de la perspectiva anamórfica. Consiste en pintar una figura que vistadesde una determinada posición represente algo, mientras que de cualquier otra posición no nos reflejanada. El ejemplo más clásico es el de Hans Holbein el joven en su cuadro Los embajadores, en el que alos pies de ambas figuras humanas aparece una mancha clara que, vista desde el lado adecuado con lainclinación precisa, representa una calavera.

Como ejemplo curioso de anamorfismo podemos ver las pinturas en la calle del artista inglés Julian Beever.

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Este pintor realiza, aparte de muchas otras cosas, dibujos en el pavimento con tiza. Fíjate cómo una mismaobra puede verse de forma diferente según la observes de un lado u otro (y es la misma, de verdad).

Proporciones

Según el historiador griego Herodoto, los egipcios fueron los creadores de laGeometría. En el arte egipcio ya podemos apreciar diferentes recursosgeométricos para mantener las proporciones de las figuras y plasmar larealidad lo más ordenadamente posible. El método para realizar los dibujos sebasaba en la ejecución de líneas guía o cuadrículas, representando la figurahumana, según su regla de proporción, en la cual ésta ocupaba dieciochocuadrículas si estaba de pie, y catorce si estaba sentada, sin contar la peluca oadornos de la cabeza. Durante la dinastía saíta, la proporción cambió,ocupando la figura humana veinticuatro cuadrículas y un cuarto. Usando estacuadrícula se trasladaban los bocetos creados en tablillas como la del margen alas paredes donde se quería pintar.

Más adelante, los griegos descubrieron en numerosas formas matemáticas una proporción mágica basadaen el número de oro, que llamaron divina, y que fue muy usada en arquitectura y escultura. Por desgraciano quedan prácticamente vestigios de la pintura griega, lo que no nos permite averiguar si también aparecíaen su pintura.

Pero los artistas del Renacimiento recuperaron el número de oro en sus composiciones, y crearon obrascomo estas:

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Las dos primeras obras, de Leonardo da Vinci, utilizan rectángulos mágicos para encuadrar los principaleselementos del cuadro. En la tercera, de rafael de Sanzio, el conjunto está encerrado en un triángulomágico, también construido a partir del número de oro. Puedes pulsar sobre ellas para comprobarlo.

Más adelante han sido muchos los que han usado diferentes figuras y proporciones en sus cuadros: Durero,Seurat, Mondrian,y, por supuesto, Dalí. Su obra Leda atómica es un ejemplo de utilización del númeroáureo. Al lado está el boceto de la obra realizado por el mismo. Como ves, no es fruto de la casualidad elque aparezcan esas proporciones.

Mandalas

Los mandalas son unos diagramas o representaciones simbólicas que proceden de las religiones budista ehinduista, aunque se pueden encontrar mandalas en prácticamente todas las culturas. Su nombre parece que

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proviene del sánscrito, y significa círculo.

El arte budista, en concreto el tibetano, utiliza el mandalacomo representación del universo. Es un dibujo formadopor una serie de figuras y formas geométricas encerradasgeneralmente en círculos concéntricos, que representan lascaracterísticas más sobresalientes del cosmos. Los mandalastibetanos suelen estar hechos de arenas de distintos coloresque se disponen en el suelo formando los dibujos. Siimportante es la elaboración del mandala, no lo es menos sudestrucción o disolución. Según la filosofía budista elmundo es efímero, nada dura para siempre, es necesariodejar fluir lo que nos rodea. Por lo tanto, y para sercoherentes con este pensamiento, destruyen su obradespués de que su construcción y posterior contemplaciónles haya servido como método de meditación.

Aparte de los mandalas de arena, existen también mandalasorientales impresos, algunos muy antiguos, querepresentan diversas escenas de la religión y visiones deluniverso.

Matemáticamente, la característica común a todos ellos esla simetría, normalmente enmarcada en el círculo, que es la figura más armoniosa y perfectageométricamente hablando. Existen estudios sobre cómo el cerebro humano tiende a elegir figuras ysituaciones simétricas entre otro tipo de representaciones. Por tanto, estos dos elementos matemáticos, elcírculo y la simetría, estarían encaminados a buscar la serenidad y la paz espiritual, a través de confortarnuestro cerebro.

Aparte de la religión, la elaboración de mandalas se ha manifestado como un recurso sicológico para relajarla mente y el espíritu. El primero que los estudió en este sentido fue Carl Gustav Jung, padre de lasicología analítica y colega y colaborador en un principio de Freud. Hoy en día, el colorear mandalas es unatécnica de relajación adoptada por bastantes personas, aunque quizá matemáticamente sea más interesanteel proceso de la construcción que el del coloreado.

Aquí tienes ejemplos de algunos mandalas (pulsa sobre ellos para ampliarlos en una ventana aparte).

Vamos a estudiar un poco algunos mandalas. Pulsando sobre ellos se abrirán en otra ventana a mayortamaño. Luego puedes imprimirlos y, si te apetece, colorearlos. Después intenta responder a las siguientespreguntas.

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¿Cuántos ejes de simetría presentan cada mandala?¿Cuál es el mínimo ángulo de giro que deja la figura invariante en cada caso?¿Cuál es el orden de giro de cada uno? (nº de giros distintos que se pueden dar manteniéndoloinvariante)¿Qué figuras geométricas predominantes observas en cada uno de los mandalas?¿Cuántos círculos aparecen en el primer mandala?

Para saber las soluciones pulsa aquí

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Pintura fractal

Los fractales son unos objetos matemáticos muy curiosos queaparecen en los sitios más insospechados. Su descubrimiento esbastante reciente, ya que el término fue propuesto por BenoitMandelbrot, el padre de la geometría fractal, en 1975. Son unosobjetos semigeométricos que se construyen aplicando unalgoritmo, que es un método matemático consistente en repetirsucesivas veces una serie de operaciones hasta llegar al resultadodeseado. De esta forma se crea un objeto que va "fracturándose"en otros que tienen la misma estructura, y que si se detallanvuelven a aparecer con estructuras similares. En la naturalezaaparecen con mucha frecuencia, como puedes observar en lafigura del margen (una especie de brécoli llamada romanescu).

Lo mejor es verlo con un ejemplo: el copo de nieve. Este es uno de los primeros objetos fractales que sedefinieron. Su creador fue Niels Helge von Koch en 1904, por lo que se conoce como curva deKoch. Para construirlo partimos de un segmento de longitud L (vamos a suponer que es L=1 m). Lodividimos en tres partes, cada una de ellas de 33'3 cm, y sobre la parte central dibujamos un triánguloequilátero, de lado, claro está, 33'3 cm. Tenemos así una línea que ahora mide 1'33 m.

Lo interesante es que si volvemos a repetir el proceso, sobre cada uno de los segmentos que tenemos(construyendo triángulos en el centro), se obtiene una figura que encierra un área limitada, que tienesiempre el mismo principio y fin, pero cuya longitud va aumentando indefinidamente. Además es fácil verque en el límite, sobre ningún punto de la curva se podrá dibujar una tangente (todos serán puntosangulosos).

Estas propiedades sorprendieron mucho a los matemáticos de la época, así como el darse cuenta de queaunque parecía algo muy raro, este tipo de fenómenos se repetía con frecuencia en la naturaleza: nubes,costas, un copo de nieve, hojas...

El hecho es que, partiendo de figuras geométricas y aplicándoles una determinada función, se puedeobtener una imagen elaborada que resulta curiosa. Si cambiamos la figura original y el tipo detransformación, el resultado puede cambiar notablemente. Si además incorporamos color en nuestrosdiseños, estamos preparados para crear auténticas obras de arte como las que verás al final de la página.

Antes otro ejemplo: la curva de Dragón. No necesita ningún tipo de explicaciones, basta que observes lafigura y cambies el número de iteraciones y el color.

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Al igual que se aplican algoritmos para crear la figura, también se suelen utilizar reglas matemáticas paraasignar los colores. Como habrás podido observar, las figuras resultantes son más sorprendentes cuantasmás veces se aplique el algoritmo. Esto hace que para crear resultados brillantes sea imprescindible usar unordenador que genere rápidamente gran cantidad de pasos.

Con un ordenador, algún programa de fractales y un poco de paciencia se pueden generar fractales comolos siguientes (pincha sobre las imágenes para abrirlas en una ventana aparte):

Existen hoy en día verdaderos artistas dedicados a la creación de arte fractal. Si quieres ver algunas de susobras, puedes pulsar aquí (la página está en inglés, pero merece la pena).