realizar operaciones con potencias

Nombre: Curso: Fecha:

2

POTENCIA

Un número a, llamado base, elevado a un exponente natural n es igual al resultado de multiplicar a por sí mismo n veces:

a ? a ? a ? a ? a ? … ? a an

n: exponente (indica cuántas veces se multiplica la base).an

a: base

Se lee: «a elevado a n».

n veces

F

F

6 ? 6 ? 6 63 Se lee: «seis elevado a tres».

EJEMPLO

1 Completa.

a) 29 ? 29 ? 29 ? 29 ? 29 «....................................»

b) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 «....................................»

c) 135 «....................................»

d) «siete elevado a cuatro»

e) «nueve elevado a cinco»

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

34 ? 33 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 37

52 ? 54 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 56 Exponente

misma base para poder sumar los exponentes.

32 ? 54 3 ? 3 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 No se puede poner como una sola potencia.

multiplicar potencias de la misma base es:

an ? am an m

2 Realiza las siguientes operaciones.

a) 102 ? 105 d) 32 ? 36 g) 113 ? 113

b) 74 ? 72 7 e) 33 ? 33 ? 35 5 ? 197

c) 113 ? 112 ? 11 ? 35 37 i) 22 ? 25

2REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS

REPASO Y APOYO OBJETIVO 1

208 MATEMÁTICAS 3.° ESO


REPASO Y APOYO

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS2 OBJETIVO 1

DIVISIÓN DE POTENCIAS

an : am an m.

75 : 72 ?

? ? ? ?? ?

77

7 77 7 7 7 7

7 7 7 72

53

EJEMPLO

3 Calcula estas operaciones.

a) ?:5 555

5 56 44

6

b) ? ? ?

? ? ? ? ? ?:3 3

3 3 3 33 3 3 3 3 3 37 4 ? ?

c) 115 3 d) 136 2 e) 73 2

4 Realiza las divisiones.

a) 35 4 c) 46 43 e) 57 52

b) 2 75 d) 127 4 f) 62 5

? ?

33 3 3

33

36

2 5

6

82

?

?

5 55 5

55

52 3

6 3

5

94

?

? ? ??

7 77 7 5

77 5

7 52

2 3 2

3

5 22 2

5 Completa las siguientes operaciones.

a) (25 ? 2 4 3 ? 22) 2

2

b) (115 ? 112 ? 113 4 ? 11)

c) (105 2) ? 105 ?

F

F



REPASO Y APOYO

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS2

POTENCIA DE UNA POTENCIA

(an)p a n ? p

(72)3 (7 ? 7)3 (7 ? 7) ? (7 ? 7) ? (7 ? 7) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 76

(54)2 (5 ? 5 ? 5 ? 5)2 (5 ? 5 ? 5 ? 5) ? (5 ? 5 ? 5 ? 5) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 58

EJEMPLO

6 Completa las siguientes operaciones.

3)4 7 2) 48

3) 315 f) (25)2 2

2) 612 g) (53)4 5

3) 15 h) (102)3 10

an ? am an m

am : an am n

(an)m an?m

multiplicación división potencia de una potencia

(25 ? 24) : (22)3 ?

( )22 2

22

22 3

5 4

6

93

EJEMPLO

7 Realiza las operaciones.

5 2)3 1 23 ( )3

7 3) ? (56 2) ?

3)4 2 ? 10 3)

2)3 ? (45)2

5 2) ? (63)4

f) (72 ? (73)2

OBJETIVO 1



REPASO Y APOYO


POTENCIA DE UNA FRACCIÓN

ba

ban

n

n

? ? ? ?? ? ? ?

? ? ? ?

32

32

32

32

32

32

3 3 3 3 32 2 2 2 2

32

243325

5

5

EJEMPLO

8 Opera.

a) 52 7

d) 73 3

b) 106 3

e) 51 4

c) 34 5

f) 32 6

9 Completa el ejercicio y resuélvelo: 43

432

43 2

43

A B

A: 43 2

B: 43

43

—— —— —— ——

S

F

OBJETIVO 1

211DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO




POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

? ? ? ?

? ?

?:7 7

77

7 7 7 7 77 7 7

7 71

71

73 55

3

22

? ? ?3

31

3 3 3 31

8114

4

aa1n

n

10 Opera con exponentes negativos.

2 ? 3 2 ?51 5 252

2

3 3

2 ? 7 ? 3 ? ??

51

55 52 3

2 3

3 ? 2 4 ? ? ??

( )61

2 31 2 33 3

3 3

3 ? 72 ? 7 4 ? ? 1

3 ? 2 3 ? 8 43 ? ? 8 (2 ? 3 ? ? 23

11 Expresa en forma de potencia de la base indicada en cada caso.

F F

4 2 ? 2

F

F8 2 ? 2 ? 2 23

F

F

2 ? 3

Operación Base Resultado

7 ? 3

4 3 2

3

3 2 2

3 4 7

MATEMÁTICAS 3.° ESO



EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA2

NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

notación científica

102 10 ? 10 100 1 ? 102

? ?,10

101

10 10 101

0 00133 1 ? 10 3

orden de magnitud

Expresa en notación científica el número 3 220 000.6

NOTACIÓN CIENTÍFICA

3 220 000 ? 106

Determina el orden de magnitud del número anterior.

F F

EJEMPLO

1 Realiza las operaciones.

a) 10 3

b) 10 4

c) 105

d) 10 4 1

, ...0 0

e) 10 6

3

2 Escribe en forma decimal estos números expresados en notación científica.

? 10 4 ? 10 000

? 10 2 ?1

3 Escribe, con todas sus cifras, estos números escritos en notación científica.

? 106

? 10 8

? 10 3

? 10 4

? 1012



REPASO Y APOYO

EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA2

4 ¿Cuál de estos números es mayor?

7,1 ? 10 3 4,2 ? 10 2 1,2 ? 10 4

0,0071 0, 0,

El mayor número es:

5 Los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica. Escríbelos de la forma adecuada.

Número Expresión correcta

12,3 ? 1015

0,6 ? 10 9

325 ? 10 3

0,002 ? 10 2

6 012 ? 10 4

1,3 ? 10 3

6 Expresa en notación científica.

a) Mil trescientos cuarenta billones.

b) Doscientas cincuenta milésimas.

c) Treinta y siete.

d) Cuarenta y tres billones.

e) Seiscientos ochenta mil.

f) Tres billonésimas.

7 Indica el orden de magnitud de cada uno de estos números.

a) 1,3 ? 10 3

b) 6 ? 10 4

c) 3,2 ? 107

d) 8 ? 10 5

e) 2,6 ? 10 4

f) 1,9 ? 10 2

F F F

OBJETIVO 2

214 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.


REPASO Y APOYO

REALIZAR SUMAS Y RESTAS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA2

SUMAR Y RESTAR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para sumar (o restar) números en notación científica se reducen al mismo orden de magnitud y, luego, se suman (o restan) los números decimales y se mantiene la misma potencia de 10.

Realiza las siguientes operaciones.

3,5 ? 103 5,2 ? 103 (3,5 5,2) ? 103 8,7 ? 10 3

Si los exponentes de las potencias son iguales, se suman los números decimales y se deja la misma potencia de base 10.

3,5 ? 104 5,2 ? 103 3,5 ? 10 4 0,52 ? 10 4

Si los exponentes de las potencias son diferentes, se reduce al mayor.

(3,5 0,52) ? 104 4,02 ? 104

Luego se suman los números decimales y se deja la misma potencia de base 10.

F

F

F

EJEMPLO

ACTIVIDADES

1 Completa estas sumas y restas.

a) 17 000 3,2 ? 10 3 232 ? 10 2

17 ? 10 3 3,2 ? 10 3 ? 10 3 ( ) ? 103

b) 0,00035 5,7 ? 10 4 7,2 ? 10 3 =

? 10 ? 10 ? 10 ( ) ? 10

Han de tener el mismo exponente.

c) 1,9 ? 105 3,2 ? 107

d) 6 ? 10 4 4,5 ? 10 2

2 Realiza las operaciones en notación científica.

a) 37,3 ? 106 8,4 ? 105 c) 1,15 ? 10 4 3 ? 105

b) 9,32 ? 10 3 5,6 ? 10 2 d) 3,6 ? 1012 2 ? 1012

F FI

OBJETIVO 3

215DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.


REPASO Y APOYO

REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

2

MULTIPLICAR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para multiplicar números en notación científica se multiplican los números decimales y las potencias de 10. Es decir, se obtiene un número cuya parte decimal es igual al producto de los números decimales, y cuya potencia de 10 tiene un exponente que es igual a la suma de los exponentes de cada una de ellas.

1 Completa siguiendo el modelo anterior.

a) 13 500 000 ? (3,5 ? 105) FPasamos a notación científica

(1,35 ? 10 ) ? (3,5 ? 105)

FOperamos

(1,35 ? 3,5) ? 10 ? 105

F

b) (4,5 ? 105) ? 0,032 F (4,5 ? 105) ? (3,2 ? 10 )

F

FPasamos a notación científica

c) 0,00013 ? 0,002 F

F


2 Efectúa en notación científica.

a) (34 ? 10 3) ? (25,2 ? 10 2)

b) (8,06 ? 109) ? (0,65 ? 107)

c) (37,3 ? 10 2) ? (0,01 ? 102)

d) (0,00000009) ? (1,5 ? 10 6)

e) (33,57) ? (4,3 ? 10 4)

f) (3 ? 105) ? (2,5 ? 1011)

3 457 ? (4,3 ? 104) FPasamos a notación científica

(3,457 ? 10 3) ? (4,3 ? 10 4)

FMultiplicamos los números y las potencias de 10

(3,457 ? 4,3) ? 10 3 ? 10 4

FEscribimos el resultado

14,8651 ? 107


1,48651 ? 108

EJEMPLO

OBJETIVO 4



REPASO Y APOYO2 REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

DIVIDIR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para dividir números en notación científica se dividen los números decimales y las potencias de 10. Es decir, el número decimal es igual a la división de los números decimales y la potencia de 10 tiene un exponente que es igual a la resta de los exponentes de cada una de ellas.

14 000 000 : (3,2 ? 1012) FPasamos a notación científica

(1,4 ? 107) : (3,2 ? 1012)

FDividimos las partes enteras o decimales y las potencias de 10

?

??

( , )( , )

,,

3 2 101 4 10

3 21 4

1010

12

7

12

7

FCalculamos el resultado

0,4375 ? 10 5

FPasamos a notación decimal

4,375 ? 10 6

EJEMPLO

3 Completa la siguiente operación.

13 500 000 : (4,3 ? 105) FPasamos a notación científica

(1,35 ? ) : ( )

FPasamos a fracción

?10

?10

F ? 105


4 Realiza las operaciones en notación científica.

a) (0,75 ? 107) : (0,3 ? 10 3)

b) (13 650 000 000) : (6,5 ? 1015)

c) (14 310 ? 10 3) : (5,4 ? 105)

d) (9 ? 106) : (3 ?10 4)

e) (20 100 ? 10 3) : (6,7 ? 105)

f) (6 ? 10 4) : (3 ? 10 2)

g) (15 320) : (20 ? 10 4)

h) (6 ? 10 7) : (1,2 ? 105)

OBJETIVO 4

217DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.


REPASO Y APOYO

RECONOCER DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS REALES Y REALIZAR APROXIMACIONES DE NÚMEROS REALES

2

Los números irracionales son los que no se pueden expresar como una fracción. Su forma decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

El conjunto de los números reales es el conjunto de números formado por los números racionales y los irracionales.

Para truncar un número decimal hasta un cierto orden, hay que eliminar las cifras decimales del número siguientes a la cifra que indica ese orden.

Para redondear hasta un cierto orden hay que truncar el número, y si la cifra siguiente al orden es mayor o igual que 5, se aumenta una unidad la última cifra decimal. Si es menor que 5, se deja como está.

ACTIVIDADES

1 Clasifica los siguientes números en irracionales o racionales.

a) ,3 8 d) p g) 0,010010001…

b) 1,234567891011… e) 72 h ) 3

c) ,9 1036… f) 0,18 i ) 1,313311333111…

2 Trunca y redondea los números de la actividad anterior a las centésimas.

3 Indica si es verdadero o falso.

a) El número p es un número racional cuyo valor es 3,14.

b) El número p es un número irracional que al truncarlo a las décimas es 3,1.

c) Los números periódicos son irracionales pues tiene infinitas cifras decimales.

d) Si truncamos ,0 3 a las décimas, obtenemos el mismo resultado que si lo redondeamos a las décimas.

e) Al redondear el número ,8 159 a las milésimas obtenemos 8,160 y si lo truncamos 8,150

OBJETIVO 5




ENTENDER QUÉ ES UN INTERVALO Y QUÉ TIPOS DE INTERVALO HAY2

Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b.

El intervalo se representa en la recta numérica marcando todo el segmento que hay entre los dos números que son extremos.

a b

Un intervalo puede contener a los dos extremos, a uno o a ninguno.

a, b].

a, b).

a, b).

a, b].

a

a, b]

b

ACTIVIDADES

1 Representa en la recta numérica los intervalos (1, 4) y (2,5; 8) e indica tres números que pertenezcan a cada uno de los intervalos.

2 Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el 0.

3 Escribe intervalos con las siguientes condiciones.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO

realizar operaciones con potencias

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