8/17/2019 Reales- Axiomas de Cuerpo y Orden

1/4

Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa

Departamento de Matemática

Campus Santiago

Primer Semestre del 2003

Números Reales: Axiomas de Cuerpo y Orden

1. Demuestre que si  a, b ∈ R,  b = 0 y ab  =  b, entonces  a  = 1.

2. Demuestre que si  a ∈ R y a · a =  a, entonces  a  = 1 o  a  = 0.

3. Demuestre que el cero no tiene inverso multiplicativo.

4. Se define 2 = 1 + 1, demuestre que (−1) + (−1) = −2.5. Demuestre que (−a) + (−a) = (−2)a.

6. Demuestre que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

7. Demuestre que (a + b)(a − b) = a2 − b2.

8. Demuestre que (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

9. Demuestre que si  a  + b = 0 y  a−

b = 0, entonces  a  =  b  = 0.

10. Demuestre que (−a)−1 = −(a)−1.

11. Demuestre que (a/b)/c =  a/(bc).

12. Demostrar que si  a  y  b  son números reales positivos, entonces  a

b +

 b

a ≥ 2.

13. Demostrar que si  x  es un número real positivo, entonces  x3 +  1

x3 ≥  x + 1

x.

14. Demuestre que si a, b, c, d son reales positivos, entonces (ab+cd)(ac+bd) ≥ 4abcd.

15. Demuestre que si a, b, c ≥ 0, no todos iguales, entonces

(a + b + c)(bc + ca + ab) ≥ 9abc

16. Sea  a,b > 0 y a + b = 1. Demuestre que  ab ≤ 14

.

8/17/2019 Reales- Axiomas de Cuerpo y Orden

2/4

17. Demuestre que si a  + b + c = 6, entonces  a2 + b2 + c2 ≥ 12.

18. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área cuyo perı́metro es 8.

19. Encuentra el valor que pueden tener dos múltiplos consecutivos de siete, si suproducto debe ser mayor que 294.

20. De todos los triágulos rectángulos de hipotenusa, h, determinar el de área máxima.

21. Sean  x, y > 0. Pruebe que

21

x +

 1

y

≤ √ xy ≤ x + y2

22. Si a1, a2, . . . , an  son reales positivos tal que  a1a2 · · · an = 1. Demuestre que

(1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) ≥ 2n

23. Si a, b, c son reales positivos y distintos entre śı, demuestre que

a + b + c

3   >ab + bc + ca

3

1

2

> (abc)

1

3

24. Si a, b, c  son reales positivos, demostrar

a2 + b2

a + b  +

 b2 + c2

b + c  +

 c2 + a2

c + a  ≥ a + b + c

25. Sean  x, y

 ∈R+, con x b y  m, n ∈R+, demuestre que   b  6.

28. Probar que si  a , b , c > 0 entonces

ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≥ 6abc

8/17/2019 Reales- Axiomas de Cuerpo y Orden

3/4

29. Si a, b ∈R+ entonces  a3b + ab3 ≤ a4 + b4

30. Si a, b, c > 0 probar:

2ab

a + b  +

  2ac

a + c  +

  2bc

b + c ≤ a + b + c

31. Si a, b, c > 0 demuestre que

(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8abc

32. Probar:

∀x ∈R   :   x8

− x5

+ x2

− x + 1 > 033. Probar que si  x ∈ R+ y n < m son naturales. Entonces se cumple:

xm < xn ⇔ x  0 tal que si |x − 4| < δ   entonces2x

2 − 6x + 1

  − 265

 0

4. Si |x − 2| 

8/17/2019 Reales- Axiomas de Cuerpo y Orden

4/4

8.6√ 

x2 − x − 30(4x2 − 12x2 + 9)(x2 − 6x + 13)   7√ 2x + 3