prueba de hipÓtesis -2013

7/30/2019 PRUEBA DE HIPTESIS -2013

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U.D. de Estadstica Prueba de Hiptesis

___________________________________________________________________________________________Julio de 2013 Dra. Oly de Higueros

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Documento elaborado por:FACULTAD DE CIENCIAS MDICAS Licda. Thelma de Monterroso yU.D: ESTADSTICA Dra. Olivia Ordez de HiguerosPRIMER AO FASE I

INFERENCIA ESTADSTICA

INTRODUCCIN: La estadstica es una herramienta muy til para el mdico. Tanto la estadsticadescriptiva como la estadstica inferencial son tcnicas que el mdico puede utilizar en beneficioprofesional.

La estadstica descriptivapermite organizar y resumir un conjunto de datos, sean estos provenientes deuna muestra o de una poblacin, para poder exponer y/o definir las caractersticas encontradas en elgrupo estudiado.

La estadstica inferencial es la que permite llegar a conclusiones sobre una poblacin, a travs delestudio de una parte (muestra aleatoria) de dicha poblacin. Esta rea de la estadstica desempea unpapel muy importante en los procesos de toma de decisiones, precisamente porque se desea tomarlassobre la poblacin, a travs del estudio de una muestra representativa.

La estadstica inferencial abarca dos campos: la estimacin y la prueba de hiptesis. El presentedocumento contiene lo referente a prueba de hiptesis.

El propsito de las pruebas de hiptesis es ayudar al mdico, investigador o administrador a tomar unadecisin en tormo a una poblacin, al examinar una muestra de ella. En general las hiptesis serefieren a los parmetros de las poblaciones para las cuales se hace la proposicin.

PRUEBA DE HIPTESIS

Definicin: hiptesis es una suposicin, conjetura, posibilidad, presuncin, supuesto, sospecha oproposicin que se hace acerca de una o ms poblaciones.

Hay dos tipos de hiptesis, las de investigacin y las hiptesis estadsticas. Las primeras son lassuposiciones que motivan la investigacin, son las que en algunas ocasiones se comprueban a travsde las hiptesis estadsticas. Las hiptesis estadsticas son dos: la Hiptesis nula y la hiptesis alterna.La hiptesis alterna generalmente coincide con la hiptesis de investigacin, la hiptesis nula es la quese pone a prueba y la que se opone a la hiptesis de investigacin o alterna.

Lo que el investigador desea demostrar es la hiptesis alternativa y no la nula por varias razones. Unarazn es que parte de una premisa contraria a lo que deseamos demostrar, y luego encontrar evidenciaconcreta que conduzca a rechazarla, es un argumento ms contundente que presumir que, lo que sequiere demostrar es cierto, para luego encontrar evidencia que apoya el reclamo. En este ltimo casose puede reclamar que se observ esos resultados sencillamente porque de acuerdo con la premisa

(hiptesis), se esperaba que as fuera. Otra razn es que se puede controlar matemticamente laprobabilidad de cometer algunos tipos de error. Lgicamente hablando, el observar un resultadoacorde con la hiptesis nula no demuestra que es cierta, solo es evidencia a favor de que es cierta.

Una persona coment que es muy difcil demostrar la hiptesis nula de que una persona es inocente dealgn delito. Puede hacerse demostrando que no estaba presente durante ese periodo, en la escena delcrimen o demostrando que otra persona es verdaderamente culpable. Sin embargo, en la mayora delos casos eso es imposible de hacer. En estos, la evidencia que se presente a favor de la inocencia, talcomo que la persona nunca haba cometido un crimen, que es pacfica, que va a la iglesia y muchasotras no demuestran la hiptesis nula de que la persona es inocente de lo que se le acusa. Esta es unade las razones por las cuales a las personas no se les requiere demostrar su inocencia, y se parte de la


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premisa de que lo es. Es el fiscal quien tiene la obligacin de demostrar la hiptesis alternativa de quela persona es culpable mas all de duda razonable.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIN ():

Para realizar una prueba de hiptesis es recomendable seguir un procedimiento ordenado.Algunos autores proponen una serie de pasos que oscila entre 3 a 9. Para fines de nuestra U.D. deEstadstica, se proponen 6 pasos, los que se presentan a continuacin.

Paso 1. Datos:Es importante conocer la naturaleza de los datos; si la variable de estudio es cuantitativa o

numrica, significa que la informacin con que se cuenta son mediciones, por lo tanto se podr trabajarcon promedios. Si la variable es cualitativa o categrica, se estudia entonces alguna caracterstica deinters, por lo que se trabajar entonces con proporciones o porcentajes.

En conclusin, dependiendo de la naturaleza de los datos que se tengan, se determinar la prueba autilizar.

EJEMPLO No.1:En una investigacin se tiene inters en el promedio deasistencia diaria, a la consulta externa de un hospitalNacional. Se tom una n = 36.

Puede observarse que la variable de interspara el ejemplo No. 1 es cuantitativa onumrica, pues se tiene inters en la Media

Aritmtica.

Paso 2. Planteamiento de las Hiptesis:(hiptesis estadsticas)Se plantean dos hiptesis estadsticas:

La hiptesis nula, es la que se pone a prueba y se simboliza por Ho; algunos autores la hannombrado como hiptesis de no diferencia, por lo que se plantea como una igualdad. Lahiptesis nula se plantea con el propsito de ser rechazada.

La hiptesis alternativa o alterna, se simboliza porHA, es el complemento de la hiptesis nula,por lo que se plantea en contradiccin con lo expresado en la hiptesis nula.

Existen tres formas para plantear las hiptesis. Utilizando el enunciado del EJEMPLO No.1, elparmetro a investigar es el promedio de asistencia por da, a la consulta externa de un HospitalNacional.

CASO No. 1 CASO No. 2 CASO No.3

Se desea saber si en la consultaexterna del Hospital Nacional seatiende un promedio diferentede 500 pacientes al da?

Las hiptesis se plantean as:Ho : = 500

HA : 500

Se desea saber si en la consultaexterna del Hospital Nacional, seatiende un promedio inferior a 500pacientes al da?

Las hiptesis se plantean as:Ho : > 500

HA : < 500

Se desea saber si en la consultaexterna del Hospital Nacional, elpromedio de pacientes que seatienden diariamente supera las 500

personas?Las hiptesis se plantean as:

Ho : 500

HA : > 500.

Este planteamiento conducir auna prueba de hiptesis bilateral

Este planteamiento conducir auna prueba de hiptesis. unilateral

Este planteamiento conducir a unaprueba de hiptesis unilateral.

Paso 3. Regla de Decisin:


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Para el planteamiento de la regla de decisin, es necesario ubicar el rea de rechazo o zonacrtica, que corresponde a la, o a las colas que depende de si la prueba es bilateral o unilateral, paraello se utiliza la grfica de la distribucin normal (curva normal) o la distribucin t de Student, segnsea el caso. Recuerde que la decisin de utilizar Z o t depende del tamao de la muestra y de, si secuenta o no con la varianza o desviacin estndar ( 2 o ) de la poblacin.

El rea delimitada por el eje horizontal y la curva de la grfica (ya sea sta la distribucin normal o ladistribucin t de Student), se divide en dos regiones, una es la que constituye la zona crtica o zona derechazoy la otra que constituye la zona de no rechazo.

La regla de decisin indica que se rechace la hiptesis nula, si el valor de la estadstica de prueba, quese calcule con los datos de la muestra, se localiza en la regin de rechazo y que no se rechace lahiptesis nula si el valor de la estadstica de prueba calculado, es ubicado en la regin de no rechazo.Los valores de la estadstica de prueba que forman la regin de rechazo (en el o los extremos), son losque tienen la menor probabilidad de ocurrir, si la hiptesis nula es falsa y los que forman la regin deno rechazo tienen la mayor probabilidad de ocurrir si la hiptesis nula es verdadera.

Cmo se decide sobre: qu valores forman la regin de rechazo y de no rechazo? Esta decisin setoma con base al nivel de significacin deseado, que se designa por A lfa ( ), es por ello que a las

pruebas de hiptesis tambin se les llama pruebas de significacin.

Alfa es la probabilidad de rechazar la hiptesis nula verdadera, por lo que debe trabajarse con valorespequeos, para que la probabilidad de rechazar una hiptesis nula verdadera sea pequea. Por ello losvalores de alfa ms utilizados son: 0.10, 0.05 y 0.01.

Forma de ubicar la regin de rechazo y regin de no rechazo:En primer lugar, debe tenerse en cuenta si la prueba es bilateral o unilateral. La zona de no rechazo yla zona de rechazo se define de acuerdo al smbolo de la hiptesis alterna o alternativa.

Tomando en cuenta la informacin del EJEMPLO No.1, para el Caso No.1, en donde el

planteamiento de la hiptesis alterna es: HA : 500, el signo es de desigualdad (), por lo queconduce a una prueba bilateral (de dos colas o dos extremos), la zona de rechazo se ubicar en lasdos colas y la zona de no rechazo, en el centro.

Para encontrar los valores crticos o valores lmite entre las dos zonas, para ste caso, se hace uso delconocimiento de la distribucin normal estndar, porque el tamao de la muestra en el ejemplo, esgrande (n 30). Tambin es necesario establecer el nivel de significancia o valor de alfa; para elejemplo se utilizar un nivel de significacin del 5%. (alfa es igual a 0.05).

Si el nivel de significancia es del 5% o sea = 0.05, en este caso, como la prueba es bilateral o de doscolas, el nivel de significancia se divide entre 2 (corresponde la mitad a cada cola), para localizar losvalores crticos o valores lmite que delimitan las zonas. Para el ejemplo que se viene tratando

entonces, el valor crtico, ser un valor de Z, ste valor puede localizarse de dos formas, siguiendo elprocedimiento que se describe a continuacin:


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El valor de /2 = 0.025, se busca dentro del cuerpode la tabla (en las reas) para ubicar a que valor de Zcorresponde dicha rea:

Z -0.09 -0.08 -0.07 -0.06...0.00 Z

- -- --

-1.96 .........................

Al valor total del rea bajo curva, se le resta la mitadde alfa as: 1- /2 = 1-0.0250 = 0.9750, sta rea sebusca en el cuerpo de la tabla, para localizar el valorde Z:

Z -0.09 -0.08 -0.07 -0.06...0.00 Z

- -- --

1.96 ...........................

Se encuentra que el valor de Z para un rea de0.0250 es de1.96, que corresponder al valor crticopara la cola izquierda. Por la simetra de ladistribucin normal estndar, corresponder el mismo

valor de Z para la cola derecha, pero con signopositivo.

Se encuentra que el valor de Z para un rea de0.9750 es 1.96, que corresponder al valor crticopara la cola derecha.En estas circunstancias el valor que se encuentra es

el positivo, por lo tanto ser el mismo para la colaizquierda, pero con signo negativo.

En forma grfica se representa as:Regin de no rechazo

/2 = 0.025 /2 = 0.025

0.9500

Z = -1.96 Z = 1.96

Regin de Rechazo Regin de Rechazo

Planteamiento de la regla de decisin:

La regla de decisin dir: se rechaza Ho si Z calculada es < -1.96 > 1.96. Puede plantearse tambinen forma simblica: Se rechaza Ho si (-1.96 > Z > 1.96).

Para el Caso No.2, del EJEMPLO No.1, planteado anteriormente: HA : < 500En este caso el signo indica que es menor, se hace referencia nicamente a un extremo de ladistribucin, por lo tanto la prueba de hiptesis es unilateral, y en este caso unilateral de cola izquierdao simplemente unilateral izquierda. Para ilustrar este ejemplo, se trabajar con un nivel de significanciadel 4.95%.

Como la prueba es de una sola cola, se busca todo el valor de alfa (0.0495) en el cuerpo de la tabla,encontrando que el valor de Z o valor crtico es: 1.65.

0.0250 0.9750


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En forma grfica se representa as:

= 0.04950.9505

Z = -1.65Zona de no Rechazo

Zona de Rechazo

La regla de decisin dir: se rechaza la Ho. si Z calculada es menor o igual que 1.65. Puede plantearsetambin en forma simblica: Se rechaza Ho si ( Z < -1.65).

Para el Caso No.3, del EJEMPLO No.1, planteado anteriormente: HA : > 500En este caso el signo indica que es mayor, por lo tanto es entonces una prueba unilateral de cola

derecha, de extremo derecho o simplemente unilateral derecha.

El procedimiento para encontrar el valor crtico o valor de Z, es el siguiente: trabajando con el mismonivel de significancia anterior (4.95%): A la unidad, que es el rea total bajo la curva, se le resta estevalor total de alfa, obteniendo: 1-0.0495 = 0.9505, este valor, como rea de la curva, se busca en elcuerpo de la tabla para localizar el valor de Z, encontrando que el valor crtico es: 1.65

En forma grfica se representa as:

= 0.0495Zona de no Rechazo Z = 1.65

Zona de Rechazo

La regla de decisin dir: se rechaza la Ho. Si Z calculado es mayor o igual que 1.65. Puede plantearsetambin en forma simblica: Se rechaza Ho si (Z > 1.65).

Error tipo I y tipo II.Error tipo I: es el que se comete cuando se rechaza una hiptesis nula que es verdadera. Este errorest asociado al valor de alfa, por esto se conoce tambin como Error (alfa).

El error tipo II: este error se comete cuando no se rechaza una hiptesis nula falsa, la probabilidadde cometer error tipo II es el valor de Beta, por eso tambin se llama Error tipo o error deaceptacin.

Condicin de la hiptesis

Verdadera FalsaAccinposible

No rechazar Ho Accin Correcta Error Tipo II

Rechazar Ho Error Tipo I Accin Correcta


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En conclusin, siempre que se hace una prueba de hiptesis se corre el riesgo de cometer un error.Sobre el Error tipo I se puede ejercer control, disminuyendo el nivel o valor de alfa; pero sobre el Errorbeta o tipo II, no es posible, aunque se sabe que en la mayora de situaciones, ste ltimo es mayorque alfa.

Paso 4 Clculo del Estadstico de Prueba:Partiendo del EJEMPLO No.1, que se est desarrollando, la suposicin est hecha en

relacin a la media poblacional, se trata entonces de una prueba de hiptesis para la media de unapoblacin. La estadstica de prueba a utilizar es:

Z = x - o/n

t = x - os/n

Z = No. De desviaciones estndar. S = Desviacin estndar de la poblacin o

de la muestra.n = Tamao de la muestra.

x = Media aritmtica de la muestra. = Media hipottica o media supuesta de

la poblacin

Paso 5 Decisin:La decisin se toma luego de comparar el estadstico de prueba calculado con la regla de

decisin. Esta consiste en el rechazo o no rechazo de la hiptesis nula.Se rechaza la hiptesis nula, si el valor del estadstico de prueba se localiza en la zona o regin derechazo y no se rechaza la hiptesis nula si el valor del estadstico de prueba se ubica en la regin deno rechazo.

Paso 6 Conclusin:Si se rechaza Ho. la conclusin estar de acuerdo con lo planteado en la hiptesis

alternativa. Si no se rechaza Ho. se dir que los datos no presentaron evidencia suficiente que lleve al

rechazo de Ho; es posible que se necesite mayor informacin o pudiera ser que en alguno de los casosla Ho. sea verdadera y por ello no se rechace.

NOTA

Para resolver problemas de prueba de hiptesis para medias, debe tomarse en cuenta:

a) Si la muestra es pequea (menor de 30 elementos) y se conoce la desviacin estndar de lapoblacin, se utilizar Z como estadstico de prueba (distribucin normal).

b) Si el tamao de la muestra es de 30 elementos o ms, se conozca o no la desviacin estndarpoblacional, se utilizar Z como estadstico de prueba (distribucin normal). Para estos casos seaplica el teorema del Limite Central.

c) Si el tamao de la muestra es menor de 30 elementos y no se conoce la desviacin estndar dela poblacin, se utilizar t como estadstico de prueba (la distribucin t de Student).Es necesario recordar que la forma de encontrar el valor crtico es diferente a la distribucinnormal; en la distribucin t de Student se necesita de los grados de libertad y, los niveles designificancia solamente pueden ser: o.01, 0.02, 0.05, 0.10 y 0.20.

El caso del inciso a, difcilmente se encontrar en la realidad, porque no es posible tener la desviacinestndar poblacional, ya que precisamente se est haciendo inferencia estadstica sobre los datos de lapoblacin, por lo tanto no se cuenta con dicha informacin.


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PROBLEMA No.1Ejemplo de prueba de hiptesis para la media de una poblacin

Los profesores del curso de Estadstica, que se imparte en el primer ao de la Facultad deCiencias Mdicas, consideran que el rendimiento de sus alumnos no es satisfactorio y que la nota

promedio es menor que la nota mnima para aprobar el curso. Para determinar lo anteriorseleccionaron una muestra aleatoria de 81 estudiantes. La calificacin promedio en la muestra fue de59.2 puntos, con una desviacin estndar de 12 puntos.

Tendrn razn los profesores del curso de Bioestadstica? (se decide trabajar con una confianza del93.70%).

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Datos:

n = 81 estudiantes

x = 59.2 puntosS = 12 puntos = 61 puntos

(punteo de aprobacin)

= 0.063

Hiptesis:

Ho: > 61 puntos

HA: < 61 puntos

Regla de Decisin:

Z = -1.53Zona derechazo

Se rechaza Ho, si Z calculada es menor oigual que1.53

Paso 4 Clculo del Estadstico de Prueba:

Z = x - = 59.2 - 61 = -1.8 = -1.8 = -1.35

S / n 12/ 81 12 /9 1.33333

Paso 5 Decisin:

Como el valor de Z calculado (-1.35) es mayor que1.53, no se rechaza Ho.

Paso 6 Conclusin:Con una confianza del 93.70%, se concluye que es probable que los profesores no tengan

razn. Los datos recabados no ofrecen informacin suficiente para rechazar la Ho, por lo tanto puedeconcluirse que es probable que la nota promedio en el curso de Estadstica no sea menor de 61 puntos.

Valor P de la prueba:El valor pes la probabilidad de hallar valores como el encontrado en la muestra, o ms extremos queste. Se calcula a partir del valor del estadstico de prueba calculado, es decir, que es el rea que selocaliza en los extremos de la distribucin, dependiendo si la prueba elaborada fue unilateral obilateral.

El valor Pes el nivel ms bajo de significancia (valor ) al cual se puede rechazar la hiptesis nula. Esel rea en la cola que est ms all del valor del estadstico en la muestra.

0.9370

= 0.063

Zona de no rechazo


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Z crtico = -1.53 Z calculado = -1.35

p(Z -1.35) = 0.0885

El planteamiento de la regla de decisin puedehacerse tambin en base al valor de p, de lasiguiente manera:

Se rechaza Ho si el valor p es menor o igual que(nivel de significancia).

Para el problema del ejemplo quedara: serechaza Ho, si p 0.85HA : p< 0.85

Se desea saber si la proporcinde nios del municipio deCamotn del departamento deChiquimula es mayor del 0.85

Las hiptesis se plantean as:

Ho : p< 0.85HA : p>0.85

Este planteamiento conducir a unaprueba de hiptesis bilateral

Este planteamiento conducir auna prueba de hiptesis unilateral.

Este planteamiento conducir auna prueba de hiptesisunilateral

PROBLEMA No.2

Ejemplo de prueba de hiptesis para la proporcin de una poblacin

Un estudiante de Ejercicio Profesional Supervisado (EPS), de la Facultad de Ciencias Mdicas,de la Universidad de San Carlos de Guatemala, asignado al Centro de Salud de un municipio delDepartamento de Chiquimula, considera que ms del 65% de los nios en edad preescolar, habitantesde esa localidad no tienen un estado nutricional adecuado.

El estudiante evalu a 360 nios, encontrando que 249 no tienen el estado nutricional adecuado.Con una significancia del 10%, indique si el estudiante est en lo correcto.

0.063


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PROCEDIMIENTO:

Paso 1 Paso 2

Datos:Para determinar la proporcin de nios con la caracterstica deinters, (nios que no tienen estado nutricional adecuado), sedetermina en la forma siguiente:

x = Variable de inters n = Tamao de la muestra

Donde: p= x/n = 249/360 = 0.69166 = 0.69p= Proporcin de la muestra = 0.69po = Proporcin supuesta de la poblacin = 0.65qo = 1- po= 1- 0.65 = 0.35n = Tamao de la muestra = 360

Planteamiento de las hiptesis:

Ho: P< 0.65HA: P> 0.65

Paso 3 Regla de decisin:Zcalc. = 1.59

Zona de no rechazo Z = 1.28Zona de rechazo

Sea = 0.10:Se rechaza la hiptesis nula (Ho) si Z calculada es mayor o igual que 1.28Se rechaza la hiptesis nula (Ho) si p< 0.10

Paso 4 Estadstico de prueba calculado:

Z = ppo = 0.69 - 0.65 = 0.15 = 1.59po*qo (0.65) (0.35) 0.025138496n 360

Paso 5 Decisin:Como Z calculada es mayor que 1.28, se rechaza la hiptesis nula.

Valor p de la Prueba:Es la probabilidad de que Z sea mayor o igual que 1.59.El valor ppara esta prueba es de 0.0559, que es un valor menor al valor de alfa (0.10), razn por lacual la hiptesis nula fue rechazada.


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Paso 6 Conclusin:Con una significancia del 10%, puede concluirse que el estudiante tiene razn. Ms del 65% de losnios en edad preescolar, de dicho municipio del Departamento de Chiquimula, no tienen un estadonutricional adecuado.

IMPORTANTE para el estudiante:Este es un documento elaborado con fines de estudio, presentando lo bsico para comprender eltema, sin embargo no debes olvidar que el tema lo puedes profundizar en tu libro de texto as como enla bibliografa que se te presenta.

BIBLIOGRAFA1. Daniel, Wayne W. Bioestadstica: Mxico; Editorial Linuesa. 1998

2. Levin Rechard I, Rubin David S, ESTADSTICA PARA ADMINISTRADORES, 6ta. Edicin MxicoD.F. Prentice may Hispanoamrica, S.A. 1966

3. Morales Pea, Otto Ren. Material de Apoyo Para el curso Mtodos Cuantitativos I.Departamento de Publicaciones de la Facultad de Ciencias Econmicas. Guatemala, 2001

4. Morales Pea, Otto Ren. Material de Apoyo para el Curso Mtodos Cuantitativos II. 2daEdicin. Guatemala; Inversiones Educativas. 2001

5. Stevenson, William J. Estadstica para Administracin y Economa. Mxico. Harla. 1981

6. Trapp, Robert y Beth Dawson Saunders. Bioestadstica Mdica. Mxico. Manual Moderno.1997

7. Webster, Allen L. Estadstica Aplicada a los Negocios y Economa. 3era. Edicin. Colombia; MCGraw Hill 2001.

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