ejercicios prueba de hipótesis estadística
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FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES Y ADMINISTRTIVAS
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
ASIGNATURA :
ESTADISTICA APLICADA
TEMA :
EJERCICIOS PRUEBA DE HIPÓTESIS
DOCENTE :
WALTER VARELA ROJAS
INTEGRANTES :
ARDILES ALEGRE MARK.
ATANACIO GIRALDO, SANDY.
CHAVEZ CAMPOBLANCO BETTY.
COLONIA CARRIÓN MIRTHA
CORDOVA FERNANDEZ VLADIMIR.
JAMANCA GIRALDO LICY
PACPAC TARAZONA DENNY
HUARAZ FEBRERO DE 2015
EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS
(NÚMEROS PARES)
2. La oficina de investigación de mercados S.A., basa sus tarifas en la hipótesis
de que las preguntas de una encuesta telefónica se pueden contestar en un
tiempo medio de 15 minutos o menos. Si es necesario un mayor tiempo de
encuesta, se aplica una tarifa adicional. Suponga que en una muestra de 35
conferencias se obtiene una media de 17 minutos y una desviación estándar
de 4 minutos. ¿Se justifica a tarifa adicional?
a) Formule las hipótesis nula y alternativa para esta aplicación
b) Calcule el valor del estadístico de prueba
c) ¿Cuál es el valor de P? d) Con α = 0.01, ¿cuál es su conclusión?
Resolución
DATOS: 𝑢0 = 15 𝑛 = 35 𝑥̅ = 17 𝑠 = 4
a) Formulación de las hipótesis nula y alternativa
Hipótesis: H0: µ≤𝑢0 y H1: µ > 𝑢0 H0: µ≤15 y H1: µ > 15
Es una prueba de cola superior o a la derecha
b) Valor estadístico de la prueba
c) Valor P
𝑃 = 1 − (𝑍 ≤ 𝑍𝑘) = 1 − (𝑍 ≤ 2.96) = 1 − 0.9985 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓
d) Contrastación de hipótesis y conclusión
𝑍0 = 𝑍1−∝ = 𝑍1−0.01 = 𝑍0.99 = 2.326
Región de aceptación (R.A.): 𝑍𝑘 ≤ 𝑍1−∝se acepta H0
Región de rechazo (R.R.): 𝑍𝑘 > 𝑍1−∝se rechaza H0
∴ 𝑅. 𝐴. 𝑍𝑘 ≤ 2.326 𝑦 𝑅. 𝑅. 𝑍𝑘 > 2.326
𝑍𝑘 ∈ 𝑅. 𝑅. → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜
Se justifica a tarifa adicional ya que la media poblacional es superior a 15
minutos.
4. Un dispensador de gaseosas está diseñado para descargar 7 onzas. Si se
selecciona una muestra de 16 vasos para medir su llenado, observando que el
promedio es de 5.8 con uns desviación de 1.6 onzas ¿se puede concluir que la
máquina no funciona correctamente?
2 . 3 2 6 0
0 . 9 9
Resolución
Utilizamos distribución t-student porque número de datos de la muestra es
menor a 30.
DATOS: 𝑢0 = 7 𝒏 = 𝟏𝟔 𝑥̅ = 5.8 𝑠 = 1.6
Emplearemos una significancia del 5% ya que es el más empleado
Hipótesis: H0: µ=7 y H1: µ < 7
𝑡0 = 𝑡1−∝,−1 = 𝑡0.95,15 = 1.75
Región de aceptación (R.A.): 𝑡𝑘 ≥ −𝑡1−∝,−1se acepta H0
Región de rechazo (R.R.): 𝑡𝑘 < −𝑡1−∝,−1 se rechaza H0
- 1 . 7 5 3
0 . 9 5
0
Si se puede concluir que la maquina no funciona correctamente ya que
descarga menor cantidad de onzas.
6. Una distribuidora de gas ofrece a sus clientes el servicio de un máximo de espera
de 48 horas. Se toma una muestra de seis hogares que hicieron pedidos y se
encontró lo siguiente: 24, 20, 60, 72, 40, 30, ¿se puede creer lo ofrecido
por la distribuidora?
Resolución
Utilizamos distribución t-student porque número de datos de la muestra es
menor a 30.
DATOS: 𝑢0 = 48 𝒏 = 𝟔 𝑥̅ = 41 𝑠 = 20.85
Emplearemos una significancia del 5% ya que es el más empleado
Hipótesis: H0: µ=7 y H1: µ ≠ 7
𝑡0 = 𝑡1−∝/2,−1 = 𝑡0.975,5 = 2.57
Región de aceptación (R.A.): −𝑡1−∝/2,−1 ≤ 𝑡𝑘 ≤ 𝑡1−∝/2,𝑛−1se acepta H0
Región de rechazo (R.R.): 𝑡𝑘 < −𝑡1−∝/2,−1 𝑜 𝑡𝑘 > 𝑡1−∝/2,𝑛−1se rechaza H0
∴ 𝑅. 𝐴. − 2.57 ≤ 𝑡𝑘 ≤ 2.57 𝑦 𝑅. 𝑅. 𝑡𝑘 < −2.57 𝑡𝑘 > 2.57
𝑡𝑘 ∈ 𝑅. 𝐴. → 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜
Significa que si se puede creer en lo ofrecido por la distribuidora
8. Se sabe que las ventas diarias de la compañía P&C tienen distribución normal
con media $2277 y desviación estándar de $300. El gerente de ventas de la
compañía cree que la media de las ventas ha bajado a $1800. Diseñe una
prueba para estas hipótesis considerando la del gerente como una alternativa
de manera que haya una probabilidad igual a 0.004 de cometer error tipo I y
una probabilidad de error tipo II igual a 0.017. ilustre con una gráfica.
- 2 . 5 7
0 . 9 5 0 0
2 . 5 7 0
Resolución
DATOS: 0 = 2277 𝜎 = 300 𝜇1 = 1800 ∝= 0.004 𝛽 = 0.017
Hipótesis: H0: µ=2277 y H1: µ 1800
Hallamos el número de datos
Hallamos el valor critico K en la variable 𝑥̅ de la prueba unilateral cola a la izquierda
de 𝐻0 contra 𝐻1
Regla de decisión: Si 𝑥̅ es el valor de media de la muestra n=9 casos, se
rechazará H0 si 𝑥̅ < 2012 .en caso contrario se aceptará H0
10. Los siguientes datos representan las ventas (en euros) a lo largo de 10 días en
una ferretería:
452, 510, 285, 417, 424, 417, 335, 406, 405, 400
Sabiendo que las ventas se distribuyen normalmente. Contrastar la hipótesis a
un nivel de significancia del 5% de que la media de las ventas es 405 euros.
Resolución
Utilizamos distribución t-student porque número de datos de la muestra es
menor a 30 y se desconoce la desviación estándar poblacional.
DATOS: 𝑥̅ = 405.1 𝑛 = 10 𝑠 = 60.74 µ = 405
Emplearemos una significancia del 5% ya que es el más empleado
Hipótesis: H0: µ=405 y H1: µ ≠ 405
𝑡0 = 𝑡1−∝/2,−1 = 𝑡0.975,9 = 2.306
(R.R.): 𝑡𝑘 < −𝑡1−∝/2,−1 𝑜 𝑡𝑘 > 𝑡1−∝/2,𝑛−1se rechaza H0
∴ 𝑅. 𝐴. − 2.306 ≤ 𝑡𝑘 ≤ 2.306 𝑦 𝑅. 𝑅. 𝑡𝑘 < −2.306 𝑡𝑘 > 2.306
𝑡𝑘 ∈ 𝑅. 𝐴. → 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜
Significa que la media poblacional de las ventas es 405
12. Para una operación de compraventa de un supermercado se tiene, entre
otras, la siguiente información: los vendedores afirman que la “caja” media por
cliente es de 800 soles por operación, con distribución normal. La empresa
(R.A.): − 𝑡 1 − ∝ / 2 , 𝑛 − 1 ≤ 𝑡 𝑘 ≤ 𝑡 1 − ∝ / 2 , 𝑛 − 1 se acepta H 0
- 2 . 5 7
0 . 9 5 0 0
2 . 5 7 0
compradora efectuó un muestreo de tamaño 36 que dio un gasto medio de
820 soles y una desviación estándar de 50 soles. Se pide:
a) Para un nivel de significación del 5%, indica si el muestreo es
representativo en un ensayo bilateral de la población que indican los
vendedores.
b) En el supuesto de que los 800 soles sea el valor máximo de gasto
medio de los clientes, comprueba la validez de la muestra en ensayo
unilateral con el mismo nivel.
Resolución
a) Prueba bilateral
DATOS: µ = 800 n = 36 𝑥̅ = 820 𝑠 = 50 𝛼 = 0.05
Hipótesis: H0: µ=800 y H1: µ ≠ 800
𝑡0 = 𝑍1−∝/2 = 𝑡0.975 = 1.96
Z - 1 . 9 6
0 . 9 5 0 0
1 . 9 6 0
Región de aceptación (R.A.): −𝑧1−∝/2 ≤ 𝑧𝑘 ≤ 𝑧1−∝/2se acepta H0
Región de rechazo (R.R.): 𝑍𝑘 < −𝑍1−∝/2 𝑜 𝑍𝑘 > 𝑍1−∝/2se rechaza H0
𝑡𝑘 ∈ 𝑅. 𝑅. → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜
El muestreo no es representativo ya que no se tiene la misma media en la muestra
y la población.
b) Prueba unilateral
DATOS: µ = 800 n = 36 𝑥̅ = 820 𝑠 = 50 𝛼 = 0.05
Hipótesis: 𝐻0: µ ≤ 800 y 𝐻1: µ > 800
𝑍0 = 𝑍1−∝ = 𝑍1−0.05 = 𝑍0.95 = 1.645
Región de aceptación (R. A.): 𝑍𝑘 ≤ 𝑍1−∝ se acepta H0
Región de rechazo (R .R.): 𝑍𝑘 > 𝑍1−∝ se rechaza H0 ∴ 𝑅.
𝐴. 𝑍𝑘 ≤ 1.645 𝑦 𝑅. 𝑅. 𝑍𝑘 > 1.645
1 . 6 4 5
0 . 9 5
0
𝑍𝑘 ∈ 𝑅. 𝑅. → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜
La muestra no es válido ya que no hay constancia entre la media poblacional
y la media muestral.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
(NÚMEROS PARES)
1. Una agencia de empleos afirma que el 80% de todas las solicitudes hechas por mujeres con
hijos prefieren trabajos a tiempo parcial. En una muestra aleatoria de 200 solicitantes
mujeres con niños, se encontró que 110 prefirieron trabajos a tiempo parcial. Pruebe la
hipótesis de la agencia con un nivel de significancia de 5%.
SOLUCIÓN:
1) Formulación de la hipótesis estadística:
HO= 0.80
𝐻𝑖 ≠ 0.80
2) Nivel de significancia: ∞ = 𝟎. 𝟎𝟓
3) Estadística de prueba:
𝑍 =𝑃−𝑃𝑜
√𝑃𝑜−𝑄𝑜
𝑛
n (0, 1)
4) Establecimiento de los criterios de decisión:
R. A. : −1.96 ≤ Z ≤ 1.96 , se acepta Ho.
R. R. : Z < −1.96 o Z > 1.96 , se rechaza Ho.
5) Realización de cálculos:
X: número de mujeres con hijos en la muestra que prefirieron tener un trabajo a tiempo
parcial = 110.
n: número de mujeres con hijos encuestadas = 200.
Dónde:
𝑝 =𝑥
𝑛
𝑝 = 110
200= 0.55
Además:
P0= 0.80 q0= 0.20
𝑍𝑘 =𝑝 − 𝑃𝑜
√𝑃𝑜 × 𝑄𝑜𝑛
=0.55 − 0.80
√0.80 × 0.20200
= −8.84
6) Decisión:
Z0 = -8.84 E R.R, por lo que se rechaza H0. No es compatible la afirmación con
el resultado de la muestra obtenido. El porcentaje de las mujeres con hijos que
prefieren trabajos a tiempo parcial es diferente al 80%.
X-1,960
0,025
1,960
0,025
0
0,95
2. El registrador de cierta universidad ha dicho que esta dispuesto a permitir una sección del
curso ESTAD 121 una vez a la semana si más del 65% de los estudiantes matriculados en el
curso expresan que prefieren el curso una vez a la semana, en vez de dos veces a la semana.
En una muestra aleatoria de 40 estudiantes, 26 indicaron su preferencia de una vez a la
semana. Usando un nivel de significancia de 0.01, debe el registrador autorizar el
ofrecimiento del curso ESTAD 121 una vez a la semana?
1. Formulación de hipótesis estadística:
H0 : ≥ 0.65
H1 : < 0.65
2. Nivel de significación: 𝛂 = 0.01
3. Estadística de prueba:
𝑍 =p − Po
√𝑃𝑜(𝑄𝑜)𝑛
𝑛(0,1)
4. Establecimientos de los criterios de decisión:
5. Realización de cálculos:
R.A.: ZK ≥- 2.326, se acepta H0.
R.A.: ZK < -2.326, se rechaza H0.
X-2,326
0,01
0
0,99
x = Número de estudiantes de la muestra que indicaron su preferencia por el curso
de una vez a la semana = 26.
n = Número de estudiantes de la muestra que hay en cartera = 40
Donde:
𝑝 =x
n
𝑝 =26
40
Además:
P0 = 0.65 Q0 = 0.35
𝑍k =p − Po
√𝑃𝑜(𝑄𝑜)𝑛
𝑍k =0.65 − 0.65
√0.65 (0.35)40
= 𝟎
∴ Zk = se acepta.
Interpretación: El registrador del curso debe aceptar el curso una vez a la
semana.
6. El profesor de la clase de español sostiene que más de un 80% de los alumnos de sexto año
evalúa positivamente la metodología sugerida por el para la enseñanza del español. Para
validar dicha afirmación, un supervisor le pregunta a una muestra de 140 alumnos que son
educados con esa metodología, encontrando que 110 de ellos evalúa positivamente la
metodología. Realizar un contraste, decidiendo con un = 5%.
SOLUCION:
𝑝𝑜=0.80 𝑄 = 0.20
𝑥̅ = 110 𝑛 = 140 ∝= 0.05
a) 𝐻𝑂: 𝑃 ≥ 80
𝐻𝑜 : 𝑃 < 80
𝑅. 𝐴: 𝑍𝐾 > −1.645, 𝑆𝐸 𝐴𝐶𝐸𝑃𝑇𝐴 𝐻𝑜
𝑅. 𝑅: 𝑍𝑘 < −1.645, 𝑆𝐸 𝑅𝐸𝐶𝐻𝐴𝑍𝐴 𝐻1
CALCULOS:
𝑍𝐾 =𝑃 − 𝑃𝑜𝑃𝑜 × 𝑅𝑜
𝑛
= 0.78 − 0.80
√0.80 × 0.20140
= 𝑍𝑘 = −0.30
𝑍𝑘 = −0.30 < −1.645, 𝐸𝑁𝑇𝑂𝑁𝐶𝐸𝑆 𝑆𝐸 𝐴𝐶𝐸𝑃𝑇𝐴 𝐻𝑜
INTERPRETACION:
El profesor su metodología si esta evaluada positivamente.
X-1,645
0,05
0
0,95
8. Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes
de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan
que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar
durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de
2 visitas por semana. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. (Prueba
t)
1) Ho : µ ≥ 40
Hi : µ < 40
2) α = 0.01
3) n = 8
x = 42
s = 2
-2.998
R.R-----------RA------------
S tn = 42 − 40 = 2.83
2
√8
X-2,998 0
0,01
0,99
4) tk =2.83 >-2.9979, se acepta Ho
5) El número de visitantes supera el promedio de 40 visitantes.
11- Una institución educativa selecciona rutinariamente varios estudiantes de los turnos
matutino y vespertino para medir el aprovechamiento escolar. Es último estudio, los 12
alumnos del turno matutino tuvieron un desempeño promedio de 84 puntos, con una
desviación estándar de 4 puntos en tanto, los 9 alumnos del turno vespertino presentaron
un promedio de 82 puntos con una desviación estándar de 6 puntos. A un nivel de
significancia del 2% ¿Se deberá concluir que los alumnos del turno matutino tienen un
promedio de 2 puntos por encima de los alumnos del turno vespertino?
12. El Ayuntamiento de una ciudad afirma que el 65% de los accidentes juveniles de los fines
de semana son debidos al alcohol. Un investigador decide contrastar dicha hipótesis al nivel
de significación 1%, para lo cual toma una muestra formada por 35 accidentes y observa que
24 de ellos han sido debido al alcohol.
¿Qué podemos decir sobre la afirmación del Ayuntamiento?
1) Formulación de la hipótesis estadística:
HO: p =0.65
𝐻𝑖:≠ 0.65
2) Nivel de significancia: ∞ = 𝟎. 𝟎𝟏
3) Estadística de prueba:
𝑍 =𝑃−𝑃𝑜
√𝑃𝑜−𝑄𝑜
𝑛
n (0, 1)
4) Establecimiento de los criterios de decisión:
R. A. : −2.576 ≤ Z ≤ 2.576 , se acepta Ho.
R. R. : Z < −2.576 o Z > 2.576 , se rechaza Ho.
5) Realización de cálculos:
X: número de mujeres con hijos en la muestra que prefirieron tener un trabajo a tiempo
parcial = 110.
n: número de mujeres con hijos encuestadas = 200.
Dónde:
𝑝 =𝑥
𝑛
𝑝 = 24
35= 0.69
Además:
P0= 0.65 q0= 0.35
𝑍𝑘 =𝑝 − 𝑃𝑜
√𝑃𝑜 × 𝑄𝑜𝑛
=0.69 − 0.65
√0.65 × 0.3535
= 0.50
6) Decisión:
Z0 = 0.50 ∈ 𝑅. 𝐴 , por lo que se acepta H0. Podemos afirmar que los accidentes
en el ayuntamiento son debido al alcohol con un nivel de significación del 1%.
X-2,576
0,005
2,576
0,005
0
0,99