contraste de hipótesis: ¿qué es una hipótesis estadística?

Contraste de hipótesis:¿Qué es una hipótesis estadística?

• Es una conjetura o creencia acerca de una o varias poblaciones. Normalmente en referencia a sus parámetros:– Media.– Varianza.– Proporción.

• Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis. Después se utilizan los datos de las muestras para obtener evidencias que confirmen o no la hipótesis propuesta.

Hipótesis científica: Escuchar la música de Mozart tiene un efecto sobre el CI diferente al de la música de El Fari.

Experimento: De la población española seleccionamos 20 niños al azar en dos grupos de 10. Un grupo escuchará Mozart antes de hacer el test de CI. El otro escuchará a El Fari. Después de realizar los test, se calculan las medias y cuasivarianzas en cada uno de los dos grupos.

Veamos un ejemplo:

El efecto "Mozart vs. El Fari“:

Se sospecha que los individuos rinden más en un test de inteligencia tras escuchar música de Mozart que cuando han escuchado música de El Fari.

Supongamos que la media del grupo de Mozartfue 110 (y cuasivarianza = 100) mientras que la media del grupo de El Fari fue de 102 (y cuasivarianza = 64).

Entonces: ¿Podemos decir que hay diferencias entre ambos grupos (a nivel poblacional)?

Para tomar tal decisión necesitaremos plantearDOS hipótesis estadísticas

Hipótesis estadísticas:

-Hipótesis nula. Es la que proporciona la solución más sencilla. En nuestro ejemplo sería que la media poblacional de ambos grupos es la misma. (Es decir, que no hay un efecto de la música sobre el CI.)

H0: 1 = 2

-Hipótesis alternativa. Es la hipótesis complementaria (y más compleja). En nuestro caso sería que la media poblacional de ambos grupos es diferente. (Es decir, que hay un efecto de la música sobre el CI.)

H1: 1 ≠ 2¿Cómo decidimos

entre ambas hipótesis?Veamos otros ejemplos.

Otro ejemplo:

Sometamos a la reina de Inglaterra al siguiente experimento: Se le presentan 8 tazas de té con leche, idénticas en su aspecto. En 4 de ellas la leche se añadió a la taza con anterioridad al té. Y en las 4 restantes se añadió la leche después.

La reina las prueba y dictamina acertadamente las tazas en las que se sirvió primero la leche.

¿Chiripa?

¿Cuántas posibilidades había?

Combinaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4. Un total de 70 posibilidades. Si supusiéramos que respondió al azar, su probabilidad de acertar hubiera sido de 1/70. Parece razonable concluir que no acertó por suerte.

¿Cuáles son aquí las hipótesis estadísticas?

-Hipótesis nula: La reina acertó por chiripa.

H0: p = 1/70

-Hipótesis alternativa: La reina tiene un paladar sobrenatural.

H1: p ≠ 1/70

Parece razonable en este caso rechazar la hipótesis nula.

¿Por qué nos parece razonable rechazar? Hemos supuesto que la reina juzgaba al azar (hipótesis nula). Por tanto hemos supuesto una distribución de probabilidad (para la hipótesis nula): cualquier combinación de las cuatro tazas tenía la misma probabilidad de ser elegida, p = 1/70 (una distribución uniforme).

Con esa distribución la reina tenía 69/70 de probabilidad de no acertar. Y sin embargo la reina acertó…

Otro ejemplo: Sospechamos que un dado está cargado en el 1. Es decir que la probabilidad P(1) de sacar un 1 en una tirada es mayor que 1/6. Las hipótesis estadísticas son:

HHoo:: P(1) = 1/6 y P(1) = 1/6 y HH11:: P(1) > 1/6P(1) > 1/6

Realizamos el siguiente experimento:

Se lanza 120 veces el dado y observamos que el número X de veces que sale un 1 es 25. X es una variable aleatoria. Si fuera cierto que P(1) = 1/6, es decir que el dado no está cargado al 1, ¿cuál sería la distribución de la variable aleatoria X?

Sería una binomial: X ~ B(120, 1/6)

kk ppk

kXP

120)1(

120)(

120120)1(

120)(

kj

jj ppj

kXP

Si X = 25, asumiendo la hipótesis nula (es decir la distribución binomial anterior con p = 1/6) esperaríamos que:

09,0)25X(P ¿Dirías que está cargado?

Si el suceso “obtener una proporción de 1 igual a 25/120” ocurrío cuando tenía una pequeña probabilidad de ocurrir si el dado no está cargado (una probabilidad de 0,09), es que el dado probablemente está cargado a favor del 1.

Si decidimos que el dado está cargado, lo hacemos con un riesgo calculado: tenemos una probabilidad del 9% de equivocarnos. Obviamente, si no queremos tomar un riesgo tan alto, tendremos que abstenernos de declarar que el dado está cargado a favor del 1.

Pero si nos abstenemos de declarar que el dado está cargado a favor del 1, será ¿con que riesgo?

120

25

120

3

2

3

1120)25(

j

jj

jXP

Dependerá con que probabilidad de estar cargado comparemos. Si el dado estuviera cargado al 1 con probabilidad p(1) = 1/3, el error sería:

0018,0)25X(P Si el dado estuviera cargado al 1 con probabilidad p(1) = 1/4, el error sería:

120

25

120

4

3

4

1120)25(

j

jj

jXP

017,0)25X(P

120

25

120

5

4

5

1120)25(

j

jj

jXP 64,0)25X(P

Si el dado estuviera cargado al 1 con probabilidad p(1) = 1/5, el error sería:

0 1/6 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Probabilidad en H1

Rie

sgo

de

equi

voca

rse

Otro ejemplo más (lo tenéis en detalle en el libro de Marta y Jose):

Pasados 2 años cierta vacuna solo es eficaz en un 25% de los casos.Se experimenta con una nueva vacuna que tal vez prolongue la eficacia.Se inyecta a 20 sujetos experimentales.Si más de 8 sujetos superan el periodo de dos años sin contraer el virus, la nueva vacuna se considera mejor que la anterior.El número 8 es un tanto arbitrario, pero parece razonable teniendo en cuenta que esperaríamos 5 casos para la vacuna anterior.

¿Quién es H0?

• Hipótesis nula: ambas vacunas son iguales.• Hipótesis alternativa: la nueva vacuna es mejor.

Con la vacuna antigua cada paciente tiene una probabilidad p = 0.25 de no contraer la enfermedad pasados 2 años. H0: p = 0.25 y H1: p > 1/4

¿Podemos rechazar la hipótesis nula: que las dos vacunas son igualmente eficaces?El estadístico de prueba es X = # de individuos de la prueba que reciben protección contra el virus más allá de dos años. X = B(20, p).

Dividiremos los posibles valores de X (de 0 a 20) en dos grupos:

(1) Menores o iguales a 8 (Región de aceptación).(2) Mayores a 8 (Región crítica o de rechazo).

8 es el valor crítico en este caso.

Si x es el número de pacientes experimentales que no se han infectado después de 2 años, entonces:

Si x > 8 rechazamos H0 a favor de la hipótesis alternativa H1. Si x ≤ 8, se acepta H0.

El procedimiento descrito nos puede conducir a las siguientes conclusiones erróneas:

(1) La nueva vacuna realmente no es mejor que la antigua (hemos rechazado la hipótesis nula y cometido un error de tipo I ).

(2) Concluimos que la nueva vacuna no es mejor que la anterior, cuando realmente sí lo es (hemos aceptado la hipótesis nula y cometido un error de tipo II ).

La probabilidad de cometer un error de tipo I se llama nivel de significación o tamaño de la región crítica y se representa por .

En nuestro ejemplo:

Se dice que la hipótesis nula, p = 0.25, se está probando con un nivel de significación de = 0.0409. Nivel de significación bastante pequeño, por tanto poco probable que hayamos cometido un error de tipo I.

20

9

20

00

0409.04

3

4

120)4/1|8(

)ciertaesH|HRechazar()Itipodeerror(

x

xx

xpXP

PP

La probabilidad de cometer un error de tipo II se representa por . Sólo podemos calcularla si tenemos una hipótesis alternativa “concreta”. (Recuerda el caso del dado trucado). Por ejemplo en nuestro caso podíamos haber tomado como hipótesis alternativa: p = 0.5.

En nuestro ejemplo:

2517.04

3

4

120)2/1|8(

)falsaesH|HAceptar()IItipodeerror(

8

0

20

00

x

xx

xpXP

PP

Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito

• H0: Hipótesis nula– Es inocente

• H1: Hipótesis alternativa– Es culpable

Los datos pueden refutarla.

La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario.

Rechazarla por error tiene graves consecuencias.

Riesgos al tomar decisiones

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior.

Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados

Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal

• H0: Hipótesis nula– (Ej.1) Es inocente– (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene

efecto– (Ej.3) No hay nada que destacar

• H1: Hipótesis alternativa– (Ej.1) Es culpable– (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil– (Ej. 3) Hay una situación anormal

Riesgos al contrastar hipótesis

No especulativa

Especulativa

Tipos de error al tomar una decisión

Realidad

Inocente Culpable

Veredicto

Inocente OK Error

Menos grave

Culpable Error

Muy grave

OK

Tipos de error al contrastar hipótesis

Realidad

H0 cierta H0 falsa

No rechazo H0 CorrectoEl tratamiento no tiene efecto y así se decide.

Error de tipo IIEl tratamiento si tiene efecto pero no lo percibimos.

Probabilidad β

Rechazo H0

Acepto H1

Error de tipo IEl tratamiento no tiene efecto pero se decide que sí.

Probabilidad α

CorrectoEl tratamiento tiene efecto y el experimento lo confirma.

Para cualquier tipo de test hay 3 resultados posibles:(1) - Se toma una decisión correcta, es decir se rechaza una hipótesis falsa o no se rechaza una hipótesis verdadera.(2) - Se rechaza una hipótesis verdadera.(3) - No se rechaza una hipótesis falsa.

El error de rechazar H0 cuando es verdadera se denomina ERROR DE TIPO I.

El error de no rechazar H0 cuando es falsa se denomina ERROR DE TIPO II.Asociados a cada uno de estos errores hay una probabilidad que indicamos como y .Idealmente deseamos mantener ambas probabilidades lo mas bajas posibles.

No se puede tener todo

• Para un tamaño muestral fijo, no se pueden reducir a la vez ambos tipos de error.

• Para reducir , hay que aumentar el tamaño muestral.

Contraste de hipótesis:Los tres pasos básicos para contrastar una hipótesis serán:

1- Formular dos hipótesis H0 y H1.

2- Derivar un estadístico de contraste a partir de la muestra de observaciones e identificar su distribución muestral bajo la hipótesis nula.

3- Derivar una regla de decisión y elegir una de las dos hipótesis en base a la evidencia de una muestra. Una regla de decisión que selecciona una de las dos sentencias siguientes: “rechace H0” o “no rechace H0”.

El primer paso consiste en formular la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1 o HA).

Por ejemplo:

a) H0) = 0 vs. H1) = 1

b) H0) = 0 vs. H1) 0

c) H0) 0 vs. H1) > 0

d) H0) 0 vs. H1) < 0

Recordemos el ejemplo del “Efecto Mozart vs. El Fari”.

-Hipótesis nula.

No hay un efecto de la música sobre el CI.

H0: 1 = 2

-Hipótesis alternativa.

Hay un efecto de la música sobre el CI.

H1: 1 ≠ 2

Para el ejemplo de Mozart calcularemos el estadístico de contraste a partir de los datos de la muestras (las medias, cuasivarianzas y tamaños muestrales). Supongamos que el valor del estadístico de contraste es 3,90.

1) Si se cumplen una serie de supuestos estadísticos (que la distribución poblacional es normal o la muestra n > 30, por ejemplo)

2) y asumimos que la hipótesis nula es cierta:

entonces, conoceremos cuál es la distribución muestral del estadístico de contraste. En el caso de Mozart, el estadístico de contraste Femp seguirá una distribución F de Fisher: F1,18 (con 1 grado de libertad en el numerador y 18 grados de libertad en el denominador).

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL F1,18

V1

30000

20000

10000

0

Desv. típ. = 1.72

Media = 1.1

N = 50000.00

Distribución muestral con 50.000 réplicas del experimento. Asumiendo que la H0 es cierta.

El rango de valores del estadístico T para los cuales el procedimiento del test recomienda rechazar H0 se denomina “región crítica” y el rango donde se recomienda no rechazar H0 se denomina “región de aceptación”, como comentamos. En la gráfica de la distribución

del estadístico tendremos

V1

30000

20000

10000

0

Desv. típ. = 1.72

Media = 1.1

N = 50000.00

Para decidir si el valor es "razonable" dentro de tal distribución muestral (que es la de H0), se elige un valor crítico (Fteórica) que deje a su izquierda el 95% de los datos (es la región de aceptación de la H0) y a su derecha el 5% de los datos (es la región de rechazo de H0).

Si vamos a las tablas de F (percentil 95), vemos que el valor crítico es de 4.414. Por tanto, si nuestra Femp es menor que 4.41 mantenemos la H0, y si nuestra Femp es mayor que 4.41 rechazamos la H0.

Región crítica o de rechazo de H0

Región de

aceptación de H0

Fijaros que si la hipótesis nula es cierta, la rechazaremos en un promedio de 5 de cada 100 experimentos.

Es la llamada probabilidad de error tipo I: la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo ésta verdadera.

La decisión en nuestro caso:

Como la F empírica (3.9) no ha superado el valor crítico (4.41), mantenemos la hipótesis nula. Por tanto concluimos que el CI de los individuos no difiere cuando oímos la música de Mozart respecto a la música de El Fari, F(1,18) = 3.9, p > 0.05.

El valor de significación "p"

Además del valor del estadístico de contraste Femp = 3,9. Disponemos también del valor de probabilidad p, que representa, asumiendo que H0 sea cierta, la probabilidad de obtener una Femp tan extrema o más que la que hemos obtenido. En nuestro ejemplo, p fue 0,064.

0.064

3.9

Fijaros que si el nivel de significación p es menor de 0'05 implica que hemos superado el valor crítico. Por tanto si p es menor que 0'05, entonces rechazamos la hipótesis nula.

De la misma manera, si p es mayor de 0'05 ello implica que no hemos superado el valor crítico, en tal caso, aceptamos la hipótesis nula.

0.064

3.9 4.41

0.05

REGION DE RECHAZO H0

REGIÓN

MANTENIMIENTO H0

Valor críticoFemp

En el ejemplo de comparación de medias de dos grupos, hemos efectuado una prueba F. Sin embargo, podríamos haber efectuado una prueba t de Student. Las conclusiones serían las mismas:

1) El valor de la t empírica sería la raíz cuadrada de la F empírica.

2) El valor de probabilidad p sería el mismo en ambos casos.

Por tanto, cuando comparamos las medias de dos grupos, ambas pruebas son posibles y dan esencialmente el mismo resultado. No obstante, la mayoría de autores prefieren indicar la t de Student cuando hay dos grupos.

La prueba F sirve para -conjuntamente- medias de 2, 3, 4 grupos, etc; la prueba t sólo sirve para comparar 2 medias de 2 grupos.

Región crítica y nivel de significaciónRegión crítica• Valores ‘improbables’ si...• Es conocida antes de realizar el

experimento: resultados experimentales que refutarían H0

Nivel de significación: • Número pequeño: 1% , 5%• Fijado de antemano por el

investigador• Es la probabilidad de rechazar H0

cuando es cierta

No rechazo H0

Reg. Crit.Reg. Crit.

=5%

= 40

Contrastes: unilateral y bilateralLa posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H1: < 40 H1: > 40

H1: 40

Valor-p

43X

No se rechazaH0: = 40.

Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra.

P

Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0. Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra “más extraña” que la obtenida.p es conocido después de realizar el experimento aleatorioEl contraste es no significativo cuando p >

50X

Se rechaza H0: = 40

Se acepta H1: > 40

Valor-p

P

50X

Se rechaza H0: = 40

Se acepta H1: > 40

El contraste es estadísticamente significativo cuando

p < Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori.

Valor-p

Resumen: , p y criterio de rechazo

• Sobre

– Es número pequeño, preelegido al diseñar el experimento.

– Conocido sabemos todo sobre la región crítica.

• Sobre p

– Es conocido tras realizar el experimento.

– Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento.

• Sobre el criterio de rechazo– Contraste significativo = p < .

Potencia de un contraste

La potencia de un contraste es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando ésta sea falsa. Es por tanto 1 - . Se suele considerar OK una potencia de al menos 0'80 (es decir, asumiendo 100 experimentos en que hay un efecto real, lo detectaríamos -en promedio- 80 veces.)

La potencia de una prueba AUMENTA cuando aumentamos el tamaño muestral.

La potencia de una prueba AUMENTA cuando el tamaño del efecto aumenta.

La potencia de una prueba DISMINUYE cuando reducimos la probabilidad de error de tipo I (). Es decir, si 0'01 en lugar de 0'05, los valores críticos son algo más extremos y necesitaremos un valor del estadístico de contraste mayor para rechazar la hipótesis nula.

Contrastes para la media de una población

(Población normal o n> 30 y conocida) Hipótesis bilateral

Ho: = H1:

Estadístico

n

xzc

- z/2 + z/2

1 -

1/

2/0

2/ zn

xzP

Si la media muestral está fuera de este intervalo rechazamos H0 y aceptamos en caso contrario.

n

xNP

0)1,0(pValor

2/02/0 , zn

zn

Región de aceptación.

• Hipótesis:

• Distribución de la estadística de prueba: se sabe que tiene distribución normal con media = 0 y varianza = 1.

• Regla de decisión: Ho se rechaza si zcalc cae en la zona de rechazo, utilizando = 0.05 (error de tipo I) que está dividida en dos partes iguales (/2 = 0.025).

• Valor crítico de la estadística de prueba: Se busca en la tabla z, y nos preguntamos que valor de z tiene una probabilidad igual a 0.025 y es valor es 1.96.

03μ:Hy 30μ:H ao

Ejemplo:

• Cálculo del estadístico de prueba:

• Decisión estadística: Se puede rechazar Ho porque -2.12 está en la región de rechazo con un nivel de significación de = 0.05.

• Conclusión: Se concluye que no igual a 30. • Valor de p: Busco en la tabla que valor de

probabilidad tiene -2.12 y da 0.017 y en ejemplo debemos sumar dos veces por las dos colas y se dice que la hipótesis se rechaza con un valor de p igual a 0.0340.

12.24142.1

3

10/20

3027

z


(Población normal o n> 30 y conocida) Hipótesis unilateral por la izquierda.

Ho: = H1: <

Estadístico

n

xzc

- z

1 -

1/

0 zn

xP


n

xNP

0)1,0(pValor

,0 zn


• Datos y suposiciones las mismas anteriores.• Hipótesis:

• Cálculo del estadístico de prueba:

• Regla de decisión: Si el zcalc cae en la zona de rechazo se rechaza Ho. Como es una prueba de una cola o unilateral se busca en la tabla que valor de z tiene una probabilidad de 0.05 y es -1.645.

• Decisión estadística y Conclusión: Como -2.12 es menor que -1.645 se rechaza Ho y se concluye que la media de la población es menor de 30 años.

03μ:Hy 30μ:H ao

12.210/20

3027

/0

n

xz


(Población normal y DESCONOCIDA) Hipótesis bilateral

Ho: = H1:

Estadístico

1

nc tns

xt

1/

2/0

2/ tns

xtP


ns

xtP n

01pValor

2/02/0 , zn

sz

n

s


• Hipótesis:

• Estadística de prueba: dado que se desconoce la varianza de la población se utiliza s2.

• Distribución de la estadística de prueba: distribuye t de Student con n-1 grados de libertad.

• Regla de decisión: A un nivel de significancia de =0.05, si el valor de tcalc es mayor que tcrítico (2.1604) entonces se rechaza H0.

• Cálculo de la estadística de prueba:

• Decisión estadística: -1.58 cae en la zona de no rechazo por lo tanto no se rechaza H0.

35μ:Hy 35μ:H ao

58.114/64.10

355.30

t

Mirar en los apuntes también:

Comparación de medias

Pruebas sobre proporciones

Pruebas sobre varianzas

contraste de hipótesis: ¿qué es una hipótesis estadística?

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