prueba estadÍstica de hipÓtesis

PRUEBA ESTADÍSTICA DE HIPÓTESIS

Rodrigo PIMIENTA LASTRA*

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se pretende destacar el concepto de hipótesis esta-dística, así como plantear e identificar tanto la hipótesis de investigacióno alternativa como la hipótesis nula. Además, se exponen los tipos de

errores que se pueden cometer al tomar una decisión en favor de una de las doshipótesis mencionadas. Para llegar a esto, el trabajo se inicia tratando de resaltarla importancia que tienen en la investigación las pruebas estadísticas de hipóte-sis, cuáles son sus características esenciales y el concepto general de ellas.

HIPÓTESIS E INVESTIGACIÓN

El método científico es una forma especial sistematizada de todo pensamientoe investigación reflexiva. Es en este marco en el que se mueve el investigadoren su trabajo cotidiano, al intentar estudiar un fenómeno observable. En esteproceso el estudioso de las ciencias aplicadas generalmente encuentra grancantidad de obstáculos para poder comprender y explicar el comportamiento dealgún fenómeno que le inquieta, él siente curiosidad y busca los motivos delporqué algo es lo que es. Su primer paso y el más importante en un esquemacomo éste, es tener una idea clara del problema para expresarlo en forma razo-nablemente comprensible a través de algún tipo de relación.

El científico observa y recapacita sobre el problema en estudio, lo enfrentacon las teorías conocidas así como su propia experiencia, en busca de algunaposible solución; trata de determinar cuáles son sus características relevantes,para poder formular alguna hipótesis de investigación y establecer las técnicasque utilizará para comprobarla.

En este sentido se puede establecer que uno de los objetivos fundamentalesde toda investigación científica es la comprobación de hipótesis. La esencia de

* Profesor Investigador de la UAM - Xochimilco.

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una prueba de hipótesis es probar si alguna relación expresada entre variablesexiste; éstas son las sospechas que el investigador supone por anticipado delproblema en estudio, para dar a los hechos la oportunidad de demostrar o negaralgo. Toda observación, toda prueba, toda experimentación es para un propósi-to general, someter las dudas del investigador expresadas a través de relacionesentre variables,'a pruebas empíricas.

CONCEPTO DE HIPÓTESIS

Una hipótesis es una expresión a manera de conjetura, es decir, una proposi-ción tentativa en modo afirmativo acerca de la relación general o específicaentre dos o más variables. En la formulación de cualquier hipótesis es conve-niente observar los dos criterios siguientes: deben expresar relaciones entrevariables; y además, ser inferencias que permitan probar las relaciones estable-cidas. Esto indica que toda expresión hipotética estará integrada por dos o másvariables mensurables y tener una forma explícita del tipo de relación que sesupone existe entre éstas.

Ejemplo:

Un mayor gasto en publicidad provoca un incremento en los votos obtenidospor un partido político.

En este caso, del planteamiento del problema, se desprende de manera direc-ta que hay dos variables: gasto en publicidad y votos obtenidos. Ambas puedenser cuantificadas y por lo tanto es posible hacer inferencias estadísticas quepermitan probar la relación mencionada.

IMPORTANCIA DE LA HIPÓTESIS

Dentro de la investigación científica existen muchas razones para considerar alas hipótesis como un instrumento indispensable, entre algunas de las que sepueden mencionar están las siguientes:

a) Son las herramientas de trabajo de la teoría, esto es, de las teorías se pue-den deducir hipótesis.

b) Estas se pueden demostrarse, es decir, se puede establecer que son pro-bablemente ciertas o probablemente falsas.

c) Son un instrumento poderoso para el progreso del conocimiento, porqueayudan a confirmar o negar una teoría en forma independiente de laopinión del investigador.

En algunas ocasiones una hipótesis dada puede ser demasiado amplia paraser probada. Si es una buena hipótesis podrá demostrarse a través de otras

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deducidas de ella. Las hipótesis no se prueban directamente, sino a través delas inferencias inducidas de ellas.

Finalmente debe enfatizarse que los resultados de toda investigación debenaplicarse al problema en particular, a las hipótesis y finalmente a la teoría.

PASOS PREVIOS A LA PRUEBA DE HIPÓTESIS

Para poder efectuar una prueba de hipótesis el científico debe desarrollar unconjunto previo de actividades, entre las que se encuentra el postular los mode-los y supuestos teóricos, con el fin de identificar las variables que lo llevarán averificar estadísticamente sus hipótesis de investigación; recolectar, organizary resumir la información de las variables mencionadas con el fin de poderestablecer la estimación de los parámetros poblacionales necesarios.

a) Postular modelos. El establecimiento de modelos es la parte en la que seproponen las distribuciones y las ecuaciones de tipo estadístico que rela-cionan a las variables que intervienen en la evaluación de los supuestosteóricos; entre los más conocidos se pueden mencionar el binomial, elnormal, el de regresión, etc.

b) Recolectar información. La recolección de información se puede realizara través de algún método de muestreo o el diseño de algún experimento,con el fin de cuantificar las variables estudiadas, si aún no se dispone delos datos necesarios en las fuentes de información acreditadas existentes.

c) Registro presentación de datos. El registro y la presentación de los datosse hace mediante tablas y gráficas.

d) Resumen de datos. El resumen de la información se lleva a cabo a travésde indicadores que caracterizan el comportamiento general de las varia-bles estudiadas, como por ejemplo: las medidas de tendencia central, dis-persión, asimetría, etc.

e) Estimación y predicción. En la parte de estimación y predicción seobtienen los estadísticos de los parámetros de los modelos propuestos,con el de determinar las tendencias generales del fenómeno en estudio.

f) Pruebas de hipótesis. En esta parte se verifica si los supuestos teóricossobre el fenómeno estudiado (parámetros del modelo) contrastan con lasobservaciones (modelo estimado), a través de ciertos procedimientosestadísticos aceptados.

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

En el capítulo anterior se trató de introducir el concepto y la importancia quelas pruebas de hipótesis tienen en el proceso de investigación, así como lospasos previos a la realización de una prueba. A continuación se va a desarrollar


lo que es una prueba estadística de hipótesis, se identifica tanto a la hipótesisnula como a la hipótesis alterna y se establecen los tipos de error en los que sepuede incurrir al tomar una decisión. Para terminar, se mencionan lose diferentestipos de hipótesis que se pueden presentar en el análisis estadístico cotidiano.

HIPÓTESIS NULA E HIPÓTESIS ALTERNA

El objetivo de una prueba estadística de hipótesis es determinar si un supuestosobre alguna o algunas características de la población, está ampliamenterespaldado por la información obtenida a través de datos muestrales. Sugeridopor los propósitos de la investigación, el supuesto sobre la población involucrauna afirmación sobre el valor de algún parámetro, por lo tanto una hipótesisestadística se puede definir de la manera siguiente:

Una hipótesis estadística, denotada Ha, es un enunciado sobre la pobla-ción. Su posibilidad de ser evaluada es con base en la información obteni-da de una muestra aleatoria de la población.

Ejemplo:

La experiencia ha demostrado que el porcentaje de alumnos aprobados usan-do un cierto método de enseñanza es del 75%. Se anticipa que si se usa unnuevo método de enseñanza, el porcentaje de aprobados será mayor que cuan-do se usa el método tradicional.

En este caso la Hipótesis Ha sería:Existe evidencia sustancial de que el nuevo método de enseñanza es mejorque el método tradicional.

Una hipótesis complementaria o la contrapartida de ésta, denotada H0, sería:No existe evidencia sustancial de que el nuevo método de enseñanza seamejor que el método tradicional.

Como se observa la segunda hipótesis es la negación de la primera. A estaúltima se le denomina hipótesis nula y a la otra hipótesis de investigación oalternativa. A la hipótesis nula se le llama así, porque es la que invalida la afir-mación establecida, se formula con la intención expresa de ser rechazada. Lahipótesis de investigación es una aseveración de tipo operacional que planteael experimentador; esta afirmación se hace sobre la población coro el fin detomar una decisión, usando para ello la información proveniente de algunamuestra.


PRUEBA ESTADÍSTICA DE HIPÓTESIS

En el apartado anterior se establecieron los conceptos de hipótesis nula e hipó-tesis alterna. A la hipótesis alterna se le caracterizó como la afirmación hechasobre la población, tal afirmación puede tener dos resultados posibles y com-plementarios al probar su validez, estos son:

La hipótesis Ha es cierta.La hipótesis Ha es falsa.

Usando información muestral se debe tomar una decisión sobre el curso deacción a seguir, es decir, seleccionar una de las inferencias establecidas. Si lahipótesis es falsa, entonces se debe rechazar y concluir:

La hipótesis H. no está ampliamente respaldada por los datos de la muestra.

Al proceso en el cual se selecciona una de estas dos acciones se le llamaprueba estadística de hipótesis.

Continuando con el ejemplo; si se supone que el nuevo método se enseñan-za se aplicó en 25 estudiantes y que hubo un número X de aprobados. Lahipótesis Ha que se puede plantear es:

Ha: Existe evidencia sustancial que el nuevo método de enseñanza mejora almétodo tradicional.

La hipótesis complementaria H. es:H0: No existe evidencia sustancial de que el nuevo método de enseñanzamejora al método tradicional.

Al probar la validez de las hipótesis los resultados posibles son:

a) la hipótesis Ha es verdadera, es decir, existe evidencia sustancial de queel nuevo método de enseñanza mejora al método tradicional.

b) La hipótesis Ha es falsa, es decir, no existe evidencia sustancial de que elnuevo método de enseñanza mejora al método tradicional.

En el ejemplo las alternativas de decisión son dos: la primera es rechazar laHipótesis Ha, si es falsa, y concluir:

Los datos del experimento muestran evidencia sustancial de que el nuevométodo de enseñanza no mejora al método tradicional.

En el segundo caso, si la hipótesis Ha es verdadera no se rechaza y se col.-cluye.

Los datos del experimento muestran evidencia sustancial de que el nuevométodo de enseñanza mejora al método tradicional.


Para saber si la afirmación es correcta estadísticamente, el nueva método deenseñanza deberá ser aplicado a un gran número de estudiantes para poderdeterminar si el porcentaje de aprobados, denótese p, es sustancialmente mayorque cuando se usa el método tradicional, sin embargo, nótese que en el experi-mento la información se limita al resultado obtenido en tan sólo 25 estudiantes.

Suponiendo que los 25 estudiantes en el experimento pueden considerarsecomo observaciones independientes de la población, se puede ver que el mode-lo de probabilidad para X tiene una distribución binomial con n==25 y p unparámetro desconocido. Simbólicamente las hipótesis del problema, planteadasoriginalmente, se representan por:

Ho: p:5 0.75 (El nuevo método de enseñanza no es mejor que elmétodo tradicional).

vs.Ha: p > 0.75 (El nuevo método de enseñanza mejora sustancial-

mente al método tradicional).

La naturaleza del parámetro citado está incorporada en el parámetro p, elcual representa el porcentaje de éxitos con el nuevo método.

Para considerar a un enunciado como válido se deben acumular suficientesevidencias que lo apoyen. Por lo tanto el investigador deberá tornarlo comofalso, a menos que lo contrario sea ampliamente respaldado por los datos. Enotras palabras, la hipótesis nula deberá ser vista como cierta y sólo rechazarsecuando los datos muestren ampliamente lo contrario.

A continuación se dan otros ejemplos de pruebas de hipótesis:

a) En un juicio:

Ha: Culpable de un crimen.vs.H0: No es culpable del crimen.

b) En decisiones para el mercado:

Ha: El nuevo producto es mejor que un producto estándar.vs.H0: El nuevo producto no es mejor que el estándar.

c) En pruebas de medicamentos:

HO: El nuevo medicamento no mejora sustancialmente al rnedicamen-to estándar.

vs.Ha: El nuevo medicamento mejora sustancialmente al medicamento

estándar.

PRUEBA ESTADÍSTICA DE HIPÓTESIS si

Al probar un nuevo método, un nuevo medicamento, una nueva técnica, etc;se ven involucrados ciertos riesgos o gastos que pueden ser serios o conside-rables si se comete algún error al tomar una decisión. Sólo se usará el nuevométodo, el nuevo medicamento, la nueva técnica, etc; si son ampliamenterespaldados por los datos, es decir, si es claro que mejoran al que se ha venidoutilizando, ya que esto no implica nuevas dudas o inversiones adicionales.

ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II

En una prueba de hipótesis la toma de decisiones se haya sujeta a los datosrecolectados a través de un experimento o de una muestra aleatoria, por lo quees posible cometer dos tipos de errores que pueden llevar a una pérdida sustan-cialmente diferente, estos errores son:

• Error tipo 1: Rechazar una hipótesis verdadera.• El error tipo II: No rechazar una hipótesis falsa.

Esquemáticamente este tipo de errores se puede representar de la manerasiguiente:

Cuadro 1Reglas de decisión de una hipótesis estadística

Decisión Situación real de HoCierta Falsa

Rechazar HoError de tipo I a

No rechazar Ho Error de tipo II

El tamaño de estos dos tipos de error se define como la probabilidad de quecada uno de ellos ocurra; al término a (alfa) se le llama nivel de significanciade la prueba, generalmente se le asignan los valores 0.10, 0.05 ó 0.01 y sedetermina al inicio de la investigación; a R (beta) se le denomina potencia dela prueba. Nótese que debido a la relación existente entre las hipótesis, los dostipos de error se hayan relacionados, al controlar el tipo 1 automáticamente secontrola el otro, para un tamaño de muestra dado.

En la práctica se busca trabajar con errores pequeños del tipo 1, es decir, sepuede tomar como el error más serio rechazar Ho cuando es verdadera, que norechazarla cuando es falsa. En el peor de los casos se queda uno con H0, porquecomo ya se mencionó no incluirá nuevos riesgos o cambio alguno. Esto últimodebe tomarse con ciertas reservas dependiendo del problema en particular quese esté trabajando.


REGLA DE DECISIÓN

La regla de decisión en una prueba de hipótesis estadística, se basa en la com-paración del valor a previamente establecido y un valor determinado con baseen los datos del experimento, denotado á (alfa gorro). Si á es menor a que serechaza Ho y se acepta Ha, es decir se acepta la aseveración operacional de lahipótesis de investigación, gráficamente se tiene:

Gráfica 1

Ho Ha

a.

Región de aceptación de Ho Región crítica de rechazo de H. (Ha)

Si a > tx entonces se rechaza H.Si a < óc entonces no se rechaza H.

A esta regla se le llama prueba de la hipótesis nula, tx se le denomina elestadístico de prueba. La prueba de la hipótesis nula es un curso de acción queespecifica el conjunto de valores de una variable aleatoria X, para las cuales Hopuede ser rechazada.

El valor que se utiliza para determinar el curso de la acción, se llama estadís-tico de prueba y al conjunto de valores para los que Ho es rechazado se llamaregión de rechazo de la prueba. Una prueba queda completamente especifica-da por un estadístico de prueba y la región de rechazo.

Continuando con el problema que se ha venido trabajando, las hipótesis nulay alternativa planteadas anteriormente son:

Ho: p < 0.75vs

Ha: p > 0.75


Antes de realizar el experimento los valores que puede tomar la variablealeatoria X son: 1, 2, 25. Cada uno de estos valores tienen las mismas posibi-lidades de ocurrir, tanto bajo la hipótesis H. como bajo la hipótesis Ha, peroninguno aisladamente puede probar que una de las dos hipótesis es cierta.Intuitivamente, se sospecha qué valores grandes de X indican que H,, puede serfalsa, y H. verdadera; en forma similar valores pequeños de X sugieren que H.es verdadera y Ha es falsa.

Suponga que al aplicarse el nuevo método de enseñanza aprobaron 18 estu-diantes, bajo el supuesto de que la variable aleatoria X se distribuye como unabinomial con parámetro p=1/2, es decir, B(25,1/2); se puede determinar laregión crítica o de rechazo de la prueba para un a determinado.

Tomando en este ejemplo un = 0.05, se tiene:

a =P (Rechazar Ho dado que H. es verdadera),

Como X se distribuye B(25,1/2 ) y la forma de esta distribución es:

f(x)= [n] pX (1 _p)fl_X

x= 0,1,2,...n

Se tiene que la probabilidad de cometer el error tipo 1, está dada para valoresde x=18,19,..., 25; por lo tanto:

á=P(x _181 p= Y2)

- 25 5á = Y -2X(112)8(112)25

-x

x=18

ói = 0.007

De lo anterior se puede concluir:

Como á = 0.007 es menor que a = 0.05 se rechaza H0, es decir, a un nivelde significancia del 5% se puede concluir que los datos del experimento hanmostrado que el nuevo método de enseñanza es mejor que el anterior.


Abusando del lenguaje gráfico, en la forma de la distribución, con el objetode ser más claros, la prueba presentaría la siguiente forma:

Ha

1 a-0.95

Gráfica 1

Ho

cc =0.007

Región de aceptación de H.

Esquemáticamente, la representación sería:

Región de rechazo de Ha

DecisiónSituación real de Ho

Cierta p:5 0.75 Falsa p > 0.75

Rechazar Ho Error de tipo 1 ^e = 0.007 3

No rechazar Ho 3 Error de tipo II

Podría todavía cuantificarse la magnitud del error tipo II, pero en este casono se hará, ya que no es el objetivo de este escrito tocar estos puntos.

DIFERENTES TIPOS DE HIPÓTESIS

a- 0.05

Hasta el momento se ha planteado un solo tipo de prueba estadística, esto es,en un sentido; en la práctica se pueden presentar diferentes tipos de prueba,aquí sólo se mencionarán tres que se consideran las más usuales.


Sea 6 un parámetro poblacional y Q, un valor que se obtiene en un experi-mento, el cual se comparará con el parámetro de la población a través de unahipótesis. Las diferentes formas que puede presentar una prueba estadística dehipótesis, son las siguientes:

En símbolos

H.,

H02 G > Go

vs

Ha2:G <Go

Gráficamente

Gráfica 3Hd,

Región de aceptación de Ho1

Haz

Región crítica de rechazo de H,,

Gráfica 4

Región de aceptación de H02

H02

Región crítica de rechazo de Ho2


Gráfica 5

Región de rechazo de H0,

Ha3 H,3

a 12 1 I a l2

Región de aceptación

de Ho3

Ha3

Región de rechazo de Ho3

Las reglas de decisión en los dos primeros casos son iguales a la. planteadaanteriormente, en el tercer caso puede ser igual o plantearse en los términossiguientes:

Si a/2 > á/2 entonces se rechaza H03.


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