contraste de hipótesis -...

Contraste de Hipótesis

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

1

CONTRASTE DE HIPÓTESIS

1. Introducción

2. Contraste de una hipótesis estadística

3. Test unilateral y bilateral

4. Test relacionados con una sola media (varianza conocida)

5. Relación con la estimación del intervalo de confianza

6. Test sobre una sola media (varianza desconocida)

7. Test sobre dos medias

7.1. Varianzas conocidas

7.2. Varianzas desconocidas

8. Pruebas relacionadas con varianzas

8.1. Una muestra

8.2. Dos muestras

9. Pruebas sobre proporciones

10. Test de Bondad de ajuste

Aplicaciones:

Prueba de Homogeneidad

Test de independencia



2

CONTRASTE DE HIPOTESIS

1. INTRODUCCIÓN

No siempre los problemas a los que se enfrenta el científico o el ingeniero, se refieren

sólo a la estimación de un parámetro de la población, sino por el contrario, la formulación de

un procedimiento de decisión basado en datos, que puede producir una conclusión acerca de

algún sistema científico. Se postula o conjetura algo acerca de un sistema. La conjetura se

puede exponer como una hipótesis estadística. Los procedimientos que conducen a la

aceptación o rechazo de hipótesis estadísticas, comprenden un área muy importante de la

inferencia estadística.

Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de una o más

poblaciones. Es importante remarcar que las hipótesis son proposiciones sobre la población en

estudio, nunca sobre la muestra.

Contrastar una hipótesis estadísticamente es tomar una decisión sobre si cierta

propiedad de una población es compatible con lo observado en una muestra de dicha

población.

La técnica del contraste de hipótesis constituye una parte de la Inferencia Estadística

que consiste en utilizar la información muestral para examinar la validez de afirmaciones

realizadas sobre una característica poblacional.

Nunca se sabe con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis estadística, a

no ser que se examine la población entera. Como esto no es práctico, se elige una muestra

aleatoria de la población que se estudia, y se utilizan los datos que contiene dicha muestra

para proporcionar evidencias que confirmen o no la hipótesis.

La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hipótesis planteada, lleva al

rechazo de la misma; mientras que la evidencia que apoya a la hipótesis, conduce a su

aceptación.



3

Desde luego el diseño de un procedimiento de decisión, debe llevarse a cabo con la

idea de probabilidad de una conclusión equivocada. Es decir, la aceptación de una

hipótesis implica tan sólo que los datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente

para rechazarla. El rechazo de la hipótesis implica que la evidencia de la muestra la refuta.

Existen dos tipos de contrastes:

• Contrastes paramétricos si la hipótesis concierne a parámetros poblacionales tales

como la media o la varianza.

• Contrastes no paramétricos son los que afectan a cualidades de la distribución, tales

como la bondad del ajuste, homogeneidad de poblaciones, independencia.

2. CONTRASTE DE UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

La estructura de la prueba de hipótesis (test de hipótesis) se formulará utilizando el

término hipótesis nula.

Llamamos hipótesis nula, H0 , a la hipótesis que vamos a contrastar; H0 representa la

hipótesis que mantendremos mientras los datos no nos indiquen su falsedad.

El rechazo de Ho da como resultado la aceptación de una hipótesis alternativa, que se

representa por H1.

Llamamos hipótesis alternativa, H1, a la hipótesis que se aceptará si H0 se rechaza.

Una hipótesis nula referente a un parámetro de la población, siempre será establecida

en forma tal que especifique un valor exacto del parámetro; la hipótesis alternativa admite la

posibilidad de varios valores.

Las fases en un contraste de hipótesis son:

1) Definir la hipótesis a contrastar que llamaremos H0 en consecuencia H1.



4

2) Definir una medida de discrepancia D que mida la diferencia entre los valores observados y

los esperados (de acuerdo con H0 ) estableciendo su distribución.

3) Tomar una muestra y calcular D.

4) Concluir con una decisión: si la discrepancia D es muy grande, rechazaremos H0 ; en caso

contrario, aceptamos H0 .

Por tanto para realizar un contraste necesitamos una medida de discrepancia, y una ley

para juzgar cuando las discrepancias son demasiado grandes.

Al probar cualquier hipótesis estadística, se presentan cuatro posibles situaciones que

determinan si la decisión es correcta o equivocada:

La hipótesis nula, es verdadera o falsa y se acepta o se rechaza. No se comete error

alguno si es verdadera y se acepta, o si es falsa y se rechaza. Sin embargo, se cometerá error si

es verdadera y se rechaza o si es falsa y se acepta.

Decimos que se comete un error de tipo I cuando H0 es verdadera pero se rechaza, se

comete un error de tipo II cuando H0 es falsa pero se acepta.

Para definir qué valores de las discrepancias son grandes fijamos un valor α que

denominaremos nivel de significación. El valor α es la probabilidad de cometer un error de

tipo I, y determina un valor dc de forma que: P ( )D dc> = α

0 0P(error tipo I)=P(rechazar H / H es cierta)α =

DECISIÓN

Se Acepta Se Rechaza

REALIDAD 0H Es Verdadera Decisión correcta Error de tipo I

0H Es Falsa Error de tipo II Decisión correcta



5

La probabilidad de cometer error tipo II, representado por β , es imposible calcularla a

no ser que tenga una hipótesis alternativa específica:

0 0P(error tipo II)=P(aceptar H / H es falsa)β =

Al conjunto de reglas que lleva a aceptar o no una cierta hipótesis, es lo que se llama

"un test o contraste de hipótesis".

La potencia del contraste es la probabilidad de rechazar H0 , dada una alternativa

específica verdadera:

0 01 Potencia=P(rechazar H / H es falsa)−β =

Un test muy potente es altamente capaz de detectar la falsedad de los datos.

Uno poco potente no detecta la falsedad de los datos.

En general, a todo número que, obtenido a partir de las observaciones de una muestra,

sirve para decidirse por H0 o 1H , se llama estadístico de contraste.

Pero para realizar un test de hipótesis, el investigador no sólo debe fijar H0 y 1H , y el

estadístico de contraste, sino que también habrá de decidir de antemano el valor del error α

que está dispuesto a aceptar.

La figura siguiente muestra gráficamente este método. Si la discrepancia observada D

cae dentro de la región de rechazo (probabilidad de rechazar y ser verdadera), rechazamos la

hipótesis H0, en caso contrario la aceptaremos.



6

Definimos la región de rechazo o región crítica por D dc> es el conjunto de valores

del estadístico de contraste que

lleva a la decisión de rechazar la

hipótesis nula H0 y la región de

aceptación de H0 será D dc≤

Consideraciones acerca de

α.

1) Aceptar o rechazar la hipótesis

H0 puede depender del valor α,

siendo posible rechazar H0 con α

= 0.05 y aceptar H0 con α = 0.04

2) Dar sólo el resultado del test no indica el grado de discrepancia. Se acostumbra a utilizar

niveles de significación del 0.05 ó 0.01.

Si, por ejemplo, se elige un nivel de significación del 0.05 entonces hay

aproximadamente 5 ocasiones de cada 100 en que se rechazaría la hipótesis cuando debe ser

aceptada.

El nivel de significación (α) se fija a priori independientemente del estadístico.

Un procedimiento para resolver estas consideraciones es utilizar el nivel crítico p de

un test, en vez del nivel de significación (α).

Se define el nivel crítico o p valor como el mínimo nivel de significación para el que,

con los datos de una muestra concreta, se tendría que rechazar H0 .

np P(D D )= ≥ .

Es decir, la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada

en la muestra. De esta forma, el valor de p no se fija a priori, sino que se determina en función

de la muestra.

Aceptación > Rechazodc

<

α



7

Como se evidencia en la figura siguiente, cuanto menor sea el valor crítico, menor es

la probabilidad de existir discrepancia como la observada, y menor es la certidumbre de H0.

Esto es; cuanto más cercano a cero sea su valor con mayor confianza se rechazará H0. Puesto

que, np P(D D )= ≥ y Dn un valor fijo, si p es grande ⇒ Dn es un valor pequeño, por tanto,

para un valor fijo de α < p será Dn < dc y aceptamos la hipótesis H0,

En general, cuanto más próximo a 1 sea p con mayor evidencia se habrá de aceptar

H0 .

A título orientativo,

Si p>0.05 no existe suficiente evidencia para rechazar H0.

Si 0.01<p<0.05 existe incertidumbre entre rechazar o no rechazar H0.

Si p<0.01 en general deberá ser rechazada la hipótesis H0,

Si se ha fijado de antemano un nivel de significación α, se acepta H0, si p>α, y se

rechaza H0 si p< α

El conjunto de valores posibles del estadístico de contraste, se divide en dos partes.

Una de ella conduce a concluir H0, y se llama región de aceptación; y la otra, lleva a

concluir H1, y se llama región de rechazo o región crítica (RC).

Al error de la primera RC que rechaza H0, se le llama nivel crítico ó nivel mínimo de

significación.



8

Los valores fuera de la región de rechazo son los valores de la región de aceptación

R(H0). Estas regiones de aceptación coinciden con los intervalos de confianza para los

parámetros sobre los que se plantea el contraste con los niveles de confianza de 1-α

complemento de los de significación α.

3. TEST UNILATERAL Y BILATERAL

Un test de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es unilateral, tal como:

Ho :θ = θo

H1:θ > θo ó bien 0 0

1 0

H :H :

θ = θ

θ < θ recibe el nombre de test de una cola, ya que la región crítica

cae en la cola derecha de la distribución del estadístico de prueba, o en la cola izquierda,

respectivamente.

Un test de cualquier hipótesis estadística donde la alternativa es bilateral, tal como: Ho :θ = θo

H1:θ ≠ θo recibe el nombre de test de dos colas, ya que la región crítica se divide en dos

partes, generalmente con igual probabilidad en cada cola de la distribución del estadístico de

prueba.

Para probar hipótesis en las cuales el estadístico de prueba es discreto, puede

escogerse la región crítica arbitrariamente y luego determinar su tamaño. Si α es demasiado

grande, puede reducirse haciendo un ajuste en el valor crítico.

Un valor p es el nivel más bajo (de significación) en el cuál el valor observado del

estadístico de prueba es significativo.

Los procedimientos para el test de hipótesis, pueden resumirse, supuesto que la

hipótesis es Ho :θ = θo :

1. Establecer la hipótesis nula Ho de que θ = θo .

2. Seleccionar una hipótesis alternativa apropiada H1 de una de las alternativas θ < θo ,

θ > θo ó θ ≠ θo .

3. Elegir un nivel de significación α y el tamaño de la muestra n.



9

4. Seleccionar el estadístico de prueba apropiado, y establecer la región crítica (si la

decisión se va a basar en un valor p, no es necesario establecer la región crítica).

5. Calcular el valor del estadístico de prueba con los datos muestrales.

6. Decidir: rechazar Ho si el estadístico de prueba tiene un valor en la región crítica (o

si el valor calculado de p es menor o igual que el nivel de significación deseado α );

de otra forma, no rechazar Ho .

4. TEST RELACIONADOS CON UNA SOLA MEDIA (VARIANZA

CONOCIDA):

Presentamos los test de hipótesis acerca de una sola media de población. Se deben, en

primer lugar, describir las suposiciones sobre las cuales se basa el experimento. El modelo

para la situación fundamental se centra alrededor de un experimento X1, X2,.. ., Xn que

representa una muestra aleatoria de una distribución con media µ y varianza σ 2 .

Caso bilateral

Considérese primero la hipótesis: Ho :µ = µo

H1:µ ≠ µo

El estadístico de prueba apropiado deberá basarse en la variable aleatoria X . Ya

sabemos, según el Teorema Central del Límite, que, al margen de la distribución de X, la

variable aleatoria tiene una distribución aproximadamente Normal con media µ y

desviación típica σn

.

Conviene normalizar la variable aleatoria : (0,1)/−

= ≡XX Z N

nµ

σ.

Puede, entonces, determinarse una región crítica con base en el promedio muestral

calculado, .

( )1 1 1 12 2 2 21

/− − − −

−− < < = − < < = −

XP z Z z P z znα α α αµ α

σ puede utilizarse para escribir una

región crítica apropiada.

X

X



10

Formalmente, la región crítica se crea a partir de α , la probabilidad de error tipo I.

Contraste bilateral (2 colas) 0 0

1 0

::

=≠

HH

µ µµ µ

Hasta este momento, habrá una región crítica de dos colas para la prueba.

El valor crítico 1 / 2z −α corresponde al percentil 1 / 2−α en la distribución N(0,1), es decir,

1 / 2P(Z z ) 1 / 2−α≤ = −α .

Se necesita una señal de evidencia de dos colas para respaldar H1. Así, dado un valor

calculado , la prueba formal implica rechazar H0 si el estadístico de prueba calculado:

0

/−

=Xz

nµ

σ cae dentro de la región crítica

1 2−< −z z α ó

1 2−<z zα . En cuyo caso

1 2−<z zα

Si 1 12 2− −− < <z z zα α no se rechaza Ho .

El rechazo de implica la aceptación de la hipótesis alternativa µ ≠ µo .

Con esta definición de la región crítica, existirá la probabilidad α de rechazar Ho (al

caer en la región crítica) cuando, en realidad µ = µo .

O bien, calculando el p-valor=2P(Z>|z|) y comparándolo con α:

p>α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto µ = µo

p<α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto µ ≠ µo

X

Ho



11

Caso unilateral

Las pruebas de hipótesis unilaterales acerca de la media, comprenden el mismo estadístico

que el descrito para el caso bilateral. Aquí la región crítica es de una sola cola de la

distribución normal.

Contraste unilateral (cola de la izquierda) 0 0

1 0

::

≥<

HH

µ µµ µ

El valor crítico 1z −α− corresponde al percentil α en la distribución N(0,1), es decir,

1P(Z z )−α≤ − = α , o bien 1P(Z z ) 1−α≤ = −α

Para H1:µ < µo , la región crítica está dada por 1z z −α< − , o bien, p-valor= P(Z z)< .

Contraste unilateral (cola de la derecha)

0 0

1 0

::

<≥

HH

µ µµ µ

El valor crítico 1z −α corresponde al percentil 1−α en la distribución N(0,1), es decir,

1P(Z z ) 1−α≤ = −α

Para H1:µ > µo , el rechazo (región crítica) resulta cuando 1z z−α < , o bien, p-valor=.



12

1 Ejemplo:

Se supone que un topógrafo realiza como mínimo 42 mediciones diarias. Ante la duda

se hace una comprobación observando las mediciones durante 10 días seleccionados al azar,

observándose una media de 40. Suponiendo normalidad con varianza 16 en la distribución de

las mediciones diarias con un nivel de significación de 0,05 la suposición inicial. Realizar el

contraste para la media.

Solución:

Estamos ante un caso de contraste unilateral para la media de una población normal con

varianza conocida.

0 0

1 0

H : 42H : 42

µ = ≤ µ

µ = > µ

Sabemos que: (0,1)/−

= ≡XZ N

nµ

σ

El valor del estadístico z bajo la hipótesis nula es:

0 40 42 = -1.581138830/ 4 / 10− −

= =Xz

nµ

σ

Para α=0,05 en la N(0,1) tenemos que:

( ) ( )1 0,95 0,950,05 1,64−< − = ⇔ < − = ⇒ − = −P Z z P Z z zα α

Como el valor de nuestro estadístico z bajo la hipótesis nula cae dentro de la región de

aceptación (-1,64<-1,58), se ACEPTA que el topógrafo realiza como mínimo 42 mediciones

diarias.

O bien, calculamos el p-valor=P(Z<z)=P(Z<-1,581)=0,05693902 > α



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WOLFRAMALPHA: z-test for population mean

5. RELACIÓN CON LA ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA:

El procedimiento de test de hipótesis a la inferencia estadística, está muy relacionado

con la estimación del intervalo de confianza. Para el caso de una sola media poblacional µ ,

conociendo σ 2 , la estructura de ambas pruebas de hipótesis y la estimación del intervalo de

confianza, se basan en la variable aleatoria:

Z =X − µσ n

Resulta, entonces, que la prueba de Ho : µ = µo en contraposición con H1:µ ≠ µo , en

un nivel de significación α , es equivalente a calcular un intervalo de confianza del 1 − α( )%

de µ y rechazar H0 si µo no está dentro del intervalo de confianza. Si está dentro del

intervalo, no se rechaza la hipótesis.

La equivalencia es muy intuitiva: recordar que con un valor observado X , aceptar H0

con un nivel de significación α , implica que:

01 /2 1 /2 1 /2 0 1 /2/− − − −

−− < < ⇔ − < < +

Xz z X z X zn n nα α α αµ σ σµ

σ

Los intervalos de confianza tienen la ventaja frente a los contrastes de hipótesis de que

siempre nos dan una idea de la zona en la que se va a encontrar el verdadero valor del

parámetro poblacional, mientras que en el caso de los test, cuando se rechaza una hipótesis

nula, no se conoce el valor del parámetro en cuestión. Todo lo que se sabe es que es más

verosímil que el valor del parámetro sea mayor o menor que un valor concreto.

6. TEST SOBRE UNA SOLA MEDIA (VARIANZA DESCONOCIDA):

La aplicación de la t de Student tanto en intervalos de confianza como en test de

hipótesis, se desarrolla bajo las siguientes suposiciones: las v.a. X1,.. ., Xn representan una

µo

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z-test+for+population+mean



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muestra aleatoria de una distribución con µ y σ2 desconocidos. Entonces la variable

aleatoria /−X

S nµ tiene una distribución t de Student con n-1 grados de libertad.

La estructura de la prueba es idéntica que para el caso de σ conocida, con la salvedad

de que el valor de en el estadístico de prueba se reemplaza por la estimación calculada S, y

la distribución normal se reemplaza por una distribución t.

Caso bilateral

Es decir, para la hipótesis bilateral: Ho :µ = µo

H1:µ ≠ µo el rechazo de Ho , con un nivel de

significación α , resulta cuando un estadístico t calculado: 0

/−

=XtS n

µ excede a ,n 11 2t α −−

o es

menor que ,n 11 2t α −−

− .


1 0

::

=≠

HH

µ µµ µ

El valor crítico 1 / 2t −α corresponde al percentil 1 / 2−α en la distribución tn-1, es decir,

n-1 1 / 2P(t t ) 1 / 2−α≤ = −α .

O bien, calculando el p-valor=2P(tn-1>|t|) y comparándolo con α:

p>α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto µ = µo

p<α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto µ ≠ µo

Se conserva la equivalencia de la prueba t de Student de bilateral para una sola media,

y el cálculo de un intervalo de confianza para µ , reemplazando σ por S.

σ



15

Caso unilateral


1 0

::

≥

<

HH

µ µµ µ

El valor crítico 1t −α− corresponde al percentil α en la distribución tn-1, es decir,

n-1 1P(t t )−α≤ − = α , o bien n-1 1P(t t ) 1−α≤ = −α

Para H1:µ < µo , la región crítica está dada por 1 ,n 1t t −α −< − o bien, p-valor=P(tn-1<t)


0 0

1 0

::

≤>

HH

µ µµ µ

El valor crítico 1t −α corresponde al percentil 1−α en la distribución tn-1, es decir,

n 1 1P(t t ) 1− −α≤ = −α

Para H1:µ > µo , el rechazo resulta cuando 1 ,n 1t t −α −> o bien, p-valor=P(tn-1>t)

Para muestras pequeñas (n<30), con regularidad, es difícil detectar las desviaciones de

una distribución normal.



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2 Ejemplo:

Se hace un envío de latas de conserva, de las que se afirma que el peso medio es de 1000 g.

Examinada una muestra de 5 latas, se han obtenido los siguientes datos: media 998 g y

varianza muestral 19,6. ¿Puede mantenerse la hipótesis de que µ=1000, con un nivel de

significación α=0,05? Obtener un intervalo de confianza al 95% para la media.

Solución:

Contrastamos la hipótesis 0

1

H : 1000H : 1000

µ =µ ≠

Datos: 2n 5;X 998 ; S 19,6; 1 0.95= = = −α =

t= 0X 998 1000 =1,009511502S / n 19,6 / 5−µ −

=

Buscaremos un valor 1 /2t −α tal que ( )1 /2 n 1 1 /2P t t t 1−α − −α− < < = −α , siendo n-1 los

grados de confianza.

DERIVE:

#1: NSOLVE(STUDENT(t, 4) = 0.975, t) #2: t = 2.776445150 EXCEL: =INV.T(0,975;4) 2,77645086, o bien, =INV.T.2C(0,05;4)

Puesto que t = 1,0095<2,7764, podemos ACEPTAR que la media es 1000 g.

WOLFRAMALPHA: t-interval xbar=998, s=4.43, n=5

Tenemos una muestra pequeña (n=5) de varianza desconocida:

1 /2,n 1 1 /2,n 1S SI X t ,X tn nα −α − −α −

= − +

Datos: 20,975;4n 5;X 998 ; S 19,6; 1 0.95; t 2,776= = = −α = =

( )0.054.43 4.43I 998 2.776 ,998 2.776 992.48,1003.51

5 5α= ⇒ = − + =

Obviamente se cumple que la media ( )1000 992.48,1003.51µ = ∈

http://www.wolframalpha.com/input/?i=t-interval+xbar%3D998%2C+s%3D4.43%2C+n%3D5

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Test_media.wmv



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7. TEST SOBRE DOS MEDIAS

7.1. Varianzas conocidas

Los test referidos a dos medias representan un conjunto de herramientas analíticas

muy importantes para científicos e ingenieros.

Dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2, respectivamente, se

obtienen de dos poblaciones con medias y varianzas respectivas 1, 2µ µ y 1 22 2,σ σ . Se sabe que

la v.a. ( )1 2 1 2

2 21 2

1 2

X XZ

n n

− − µ −µ=

σ σ+

tiene una distribución N(0,1).

Si podemos considerar que σ1 = σ2 = σ (homocedasticidad), el estadístico anterior

se reduce a: ( )1 2 1 2

1 2

X XZ

1 1n n

− − µ −µ=

σ +.

Estos dos estadísticos sirven como base para el desarrollo de los procedimientos de

prueba sobre dos medias.

La hipótesis nula sobre dos medias puede escribirse:

0 1 2 0H : dµ −µ =

La alternativa puede ser unilateral o bilateral. De nuevo, la distribución utilizada es la

distribución del estadístico de prueba H0. Se calculan los valores 1X y 2X , para 1σ y 2σ , el

estadístico de prueba es:

1 2 02 21 2

1 2

X X dz

n n

− −=

σ σ+

con una región crítica de dos colas en el caso de una alternativa de dos lados. Es decir, el

rechazo de H0 en favor de 1 1 2 0H : dµ −µ ≠ si 1 2−

<z zα o 1 2−

< −z z α . Las regiones críticas de

una cola se utilizan en el caso de las alternativas unilaterales.



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3 Ejemplo 90 teodolitos son llevados a reparar a dos talleres distintos. 50 de ellos al taller A

donde los repararon en un tiempo medio de 150 días con una desviación típica de 30 días. Los

40 restantes al taller B, siendo reparados en un tiempo medio de 160 días con una desviación

típica de 25 días. Suponiendo que las varianzas son conocidas, ¿se puede considerar que el

taller A es más adecuado que el B para conseguir una reparación más rápida?

Solución:

Queremos comparar las medias de dos poblaciones normales de varianzas conocidas.

0 A B

1 A B

H :H :

µ ≤ µ

µ > µ, luego 0 A B

1 A B

H : 0H : 0

µ −µ ≤µ −µ >

El estadístico de prueba es: A B

2 2A B

A B

X X z

n n

−=

σ σ+

sustituyendo los valores 2 2

150 160 1.7230 2550 40

−= −

+

.

Estableciendo la hipótesis de la distribución normal.

Calculamos el p-valor = P(Z > -1,72)

DERIVE: #1: 1-NORMAL(-1.72) #2: 0.9572837792 EXCEL: =1-DISTR.NORM.ESTAND(-1,72) 0,95728378

WOLFRAMALPHA: Probability -1.72<x normal distribution, mean=0, sd=1 0,957284

Se ACEPTA la hipótesis nula para cualquier valor de α <0,95728378 7.2. Varianzas desconocidas Lo más frecuente es que se desconozcan las varianzas.

Si el científico está dispuesto a asumir que ambas distribuciones son normales, y que

σ1 = σ2 = σ , puede utilizarse la prueba t combinada (prueba t de dos muestras). El estadístico

de prueba es:

1 2 0

p1 2

X X dt1 1Sn n

− −=

+ , siendo

2 22 1 1 2 2p

1 2

S (n 1) S (n 1)Sn 1 n 1− + −

=− + −

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Probability+-1.72%3CX+normal+distribution+mean%3D0%2C+sd%3D1



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Se utiliza la distribución t - Student con n1+n2-2 grados de libertad y la hipótesis

bilateral no se rechaza cuando:

1 2 1 21 ,n n 2 1 ,n n 22 2t t tα α− + − − + −

− < <

Las alternativas unilaterales sugieren regiones críticas unilaterales.

4 Ejemplo:

Se utilizan dos teodolitos para hacer ciertas determinaciones, pretendiendo averiguar si

la media de los errores cometidos con uno y otro es idéntica para un nivel de significación del

5%. Se hacen 20 determinaciones con el teodolito A y se obtiene una media de 0,4 errores y

una desviación típica de 0,2 y otras 20 determinaciones con el B obteniendo una media de 0,5

y una desviación de 0,3. Suponemos que las variables error son normales y con la misma

varianza. Comparar los dos teodolitos.

Solución:

Queremos comparar las medias de dos poblaciones normales de varianzas desconocidas pero

iguales y muestras pequeñas.

0 A B

1 A B

H :H :

µ = µµ ≠ µ

, luego 0 A B

1 A B

H : 0H : 0

µ −µ =µ −µ ≠


A B

x xt

1 1Sn n

−=

+ siendo

2 2 2 22 A A B B

A B

(n 1)S (n 1)S 19 0.2 19 0.3S 0.065(n 1) (n 1) 19 19− + − ⋅ + ⋅

= = =− + − +

con lo cual

A B

A B

x x 0.4 0.5t 1.24

1 1 1 1S 0.065n n 20 20

− −= = =

+ +

Calculando el p-valor=2P(tn-1>|1.24|)=0.2226 > α. Se ACEPTA la hipótesis nula.

WOLFRAMALPHA: 2Probability X>1.24, tudentTdistribution degrees of freedom 38

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2+Probability+1.24%3CX%2C+StudentTdistribution+degrees+of+freedom+38

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Test_2medias.wmv



20

Si por el contrario se supone que los dos conjuntos de datos proceden de distribuciones con

varianzas desiguales. Se conoce con el nombre de Prueba t heterocedasticidad. Es el test de

Welch.

( ) ( )

22 21 2

1 22 22 2

1 1 2 2

1 2

s sn n

g.l.s / n s / nn 1 n 1

+

=

+− −

Puesto que el resultado del cálculo normalmente no es un entero, el valor de los grados de

libertad se redondea al entero más próximo para obtener un valor crítico de la distribución t.

8.2. PRUEBAS RELACIONADAS CON VARIANZAS

PUEBA PARA UNA MUESTRA

Sea X1, X2,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución Normal con media µ desconocida

y varianza σ2 desconocida.

Contemplamos primero el problema de probar la hipótesis nula Ho de que la varianza

poblacional σ 2 es igual a un valor especificado σo2 .

2 20 0=H :σ σ

Ahora, se nos plantean tres posibles hipótesis alternativas: 2 2

1 0<H :σ σ ; 2 21 0≠H :σ σ ; 2 2

1 0>H :σ σ

El estadístico apropiado sobre el que se basa la decisión es el estadístico chi-cuadrado

utilizado para determinar un intervalo de confianza para σ 2 . Por tanto, si suponemos que la

distribución de la población que está siendo muestreada es normal, el valor chi-cuadrado para

probar σ 2 = σo2 está dado por:

2 22n 12 2

0

(n 1)S (n 1)S−

− −≡ χ ⇒ = χ

σ σ

donde n es el tamaño de la muestra, S2 es la varianza muestral y σo2 es el valor de σ 2 dado

por la hipótesis nula. Si Ho es verdadera, χ es un valor de la distribución chi-cuadrado con n

-1 grados de libertad.



21

Caso bilateral

De aquí que, para una prueba de dos colas con un nivel de significación α , la región crítica es

/ 20 < < αχ χ y 1 /2−> αχ χ . [ ( )/ 2 1 / 2. . 0, ) ,−= ∪ +∞R C α αχ χ

El valor crítico /2αχ corresponde al percentil / 2α en la distribución 2n 1−χ , es decir,

2n 1 /2P( ) / 2− αχ < χ = α .

El valor crítico 1 /2−αχ corresponde al percentil 1 / 2−α en la distribución 2n 1−χ , es decir,

2n 1 1 /2P( ) 1 / 2− −αχ < χ = −α .


1 0

::

=≠

HH

σ σσ σ

O bien, calculando el p-valor = ( ) ( )( )2 2n 1 n 12 mín P ,P− −χ < χ χ > χ y comparándolo con α:

p > α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto σ 2 = σo2 .

p < α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto σ 2 ≠ σo2 .



22

Caso unilateral


1 0

::

≥

<

HH

σ σσ σ

Para la alternativa unilateral σ 2 < σo2 , la región crítica es < αχ χ . [. . 0, )=R C αχ

El valor crítico αχ corresponde al percentil α en la distribución 2n 1−χ , es decir,

2n 1P( )− αχ < χ = α .

O bien, calculando el p-valor = ( )2n 1P −χ < χ y comparándolo con α:

p > α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto 0≥σ σ .

p < α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto 0<σ σ .


0 0

1 0

::

≤>

HH

σ σσ σ

Para la alternativa unilateral 2 20>σ σ , la región crítica es 1−> αχ χ . ( )1. . ,−= +∞R C αχ

El valor crítico 1−αχ corresponde al percentil 1−α en la distribución 2n 1−χ , es decir,

2n 1 1P( ) 1− −αχ < χ = −α .



23

O bien, calculando el p-valor = ( )2n 1P −χ > χ y comparándolo con α:

p > α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto 0≤σ σ .

p < α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto 0>σ σ .

Para probar una hipótesis acerca de una varianza poblacional, se procede siguiendo

los mismos 6 pasos básicos indicados antes.

5 Ejemplo:

Se desea contrastar si puede suponerse razonablemente que en un nuevo proceso de

fabricación de filamentos la varianza del grosor es de 4 milímetros. Para ello se toma una

muestra de 28 filamentos que arroja una varianza muestral de 2 milímetro. Suponiendo la

variable normal, contrastar la hipótesis en los grosores de los filamentos a un nivel de

significación de 0,05.

Solución:

Se trata de realizar un contraste bilateral para la varianza poblacional con media desconocida

suponiendo normalidad. 2 2

0 02 2

1 0

H : 4H : 4

σ = σ =

σ ≠ σ =

Sabemos que: 2

2n 12

(n 1)S−

−≡ χ

σ

En nuestro caso 2

20

(n 1)S 27 2 13,54

− ⋅χ = = =

σ

Por otro lado, los valores críticos para α=0,05 y n=28

0.025,27,n 12α

−χ = χ

0.975,271 ,n 1

2α

− −χ = χ



24

Para α = 0,05 227 0.025,27 0.025,27P( ) 0.025 14,57⇒ χ ≤ χ = ⇒ χ =

Para α = 0,05 227 0.975,27 0.975,27P( ) 0.975 43,19⇒ χ ≤ χ = ⇒ χ =

siendo 13,5 menor que 14,57 RECHAZAMOS la hipótesis nula de que la varianza del grosor

de los filamentos es 4 milímetros.

EXCEL: = INV.CHICUAD(0,025;27) 14,75; INV.CHICUAD (0,975;27) 43,19

O bien, calculando el p-valor = ( ) ( )( )2 2n 1 n 12 mín P 13.5 ,P 13.5 0.02865− −χ < χ > = < α

WOLFRAMALPHA: 2Probability X<13.5, Chi Square Distribution degrees of freedom 27

Al rechazar la hipótesis nula, aceptamos la hipótesis alternativa de que la varianza no es

4; pero podemos plantearnos si es menor que 4 o mayor que 4.

Solución:

Ahora se trata de realizar un contraste unilateral para la varianza poblacional con media

desconocida suponiendo normalidad. 2 2

0 02 2

1 0

H : 4H : 4

σ < σ =

σ ≥ σ =

Sabemos que: 2

2n 12

(n 1)S−

−≡ χ ⇒

σ

2

20

(n 1)S 27 2 13,54

− ⋅= =

σ

El valor crítico para α = 0,05 y n=28

1 ,n 1 0.95,27−α −χ = χ

Para α = 0,05 227 0.95 0.95P( ) 0.95 40.11⇒ χ ≤ χ = ⇒ χ =

EXCEL: = INV.CHICUAD(0,95;27) 40,11

WOLFRAMALPHA: Chi Square Distribution degrees of freedom 27

PERCENTIL 0.95 40.1133

siendo 13,5 menor que 40,11 ACEPTAMOS la hipótesis nula de que la varianza del grosor

de los filamentos es menor de 4 milímetros.

O bien, calculando el p-valor = ( )2n 1P 13.5 0.98567−χ > = > α

WOLFRAMALPHA: 2Probability X<13.5, Chi Square Distribution degrees of freedom 27

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2Probability+X%3C13.5%2C+Chi+Square+Distribution+degrees+of+freedom+27

chi squared distribution degrees of freedom 27

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Probability+x%3E13.5,+Chi+Squared+Distribution+degrees+of+freedom+27



25

HOMOCEDASTICIDAD

PUEBA PARA DOS MUESTRAS (Comparación de poblaciones)

Considérese ahora el problema de probar la igualdad de varianzas σ12 y σ2

2 , de dos

poblaciones. Esto es, debe probarse la hipótesis nula Ho de que σ12 = σ2

2 en contraposición a

una de las alternativas usuales σ12 < σ2

2 , σ12 > σ2

2 ó σ12 ≠ σ2

2 .

Para muestras aleatorias independientes de tamaños respectivos n1 y n2 , de las dos

poblaciones, el valor f para probar σ12 = σ2

2 es la razón f =s1

2

s22 donde s1

2 y s22 son las

varianzas calculadas a partir de las dos muestras. Si las dos poblaciones tienen distribuciones

aproximadamente normales, y la hipótesis nula es verdadera, de acuerdo en resultados

obtenidos, la relación f es un valor de la distribución F de Snedecor con n1-1 y n2-1 grados de

libertad. Por tanto, las regiones críticas, con nivel de significación α correspondientes a las

alternativas unilaterales σ12 < σ2

2 y σ12 > σ2

2 son respectivamente, 1 2,n 1,n 1f Fα − −< y

1 21 ,n 1,n 1f F −α − −> .

Para la alternativa bilateral σ12 ≠ σ2

2 , la región crítica es 1 2,n 1,n 1

2

f Fα− −

< y

1 21 ,n 1,n 12

f F α− − −

> .

6 Ejemplo:

Se pretende comparar dos métodos de eliminación de observaciones. Se seleccionan

una muestra de 50 series con observaciones aberrantes y a 25 de ellas se le aplica el método A

y a las otras 25 el B. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Método A : A Ax 4,3; S 1,4= =

Método B : B Bx 3,6; S 1,1= =

Suponiendo la variable normal, contrastar la hipótesis de igualdad de medias a un nivel de

significación α =0,05.

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Test_varianza.wmv



26

Solución:

Debemos en primer lugar contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas 2 2

0 A B2 2

1 A B

H :H :

σ = σ

σ ≠ σ

A B A B

2A2 ,n 1,n 1 1 ,n 1,n 1B 2 2

S F ,FS α α

− − − − −

∈

( ) ( )2 2A

0.975,24,24 0.025,24,242 2B

S 1.4 1.62 F ,F 0.44,2.27S 1.1

= = ∈ =

DERIVE: #1: NSOLVE(F_DISTRIBUTION(x, 24, 24) = 0.975, x, 0, 1) #2: x = 0.4405911279 #3: NSOLVE(F_DISTRIBUTION(x, 24, 24) = 0.025, x, 0, 5) #4: x = 2.269129557 EXCEL: =INV.F(0,975;24;24) 0,44066972; =INV.F(0,025;24;24) 2,26927455

0,44 < 1,62 < 2,27 y por tanto aceptamos la hipótesis de varianzas iguales.

Contrastamos ahora la igualdad de medias de dos poblaciones normales de varianzas

desconocidas pero iguales y muestras pequeñas.

0 A B

1 A B

H :H :

µ = µµ ≠ µ


A B

,n n 22

A B

X Xt

1 1Sn n

α+ −

−=

+ siendo

2 2 2 22 A A B B

A B

(n 1)S (n 1)S 24 1.4 24 1.1S 1.585(n 1) (n 1) 24 24− + − ⋅ + ⋅

= = =− + − +

con lo cual

A B

A B

X X 4.3 3.6 1.9661 1 1 1S 1.585

n n 25 25

− −= =

+ + y para α = 0,05, t0.975,48=2

DERIVE: #1: NSOLVE(STUDENT(x, 48) = 0.975, x, Real) #2: x = 2.010634765 EXCEL: =INV.T.2C(0,05;48) 2,01063472

Como 1.93 < 2 admitimos la hipótesis de igualdad de medias.

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Test_2_varianzas.wmv



27

9. PRUEBAS SOBRE PROPORCIONES

PUEBA PARA UNA MUESTRA

De una población con una proporción p de elementos con una característica (éxito) extraemos

una muestra X1, X2,…,Xn en cuyo caso se trata de una distribución B(n,p) y tiende a una

distribución Normal.

La proporción muestral es 1

1∧

=

= ≡∑n

kk

p Xn

(1 ), −

p pN pn

Se considerar probar que la proporción de éxitos en un experimento binomial es igual a un

valor específico.

Contemplamos primero el problema de probar la hipótesis nula Ho de que la proporción de

éxitos p0 es igual al parámetro de la distribución binomial.

0 0H : p p=

Ahora, se nos plantean tres posibles hipótesis alternativas:

1 0H : p p< ; 1 0H : p p≠ ; 1 0H : p p>

El valor ∧

n p es el número de éxitos en una muestra de tamaño n. Los valores de la distribución

binomial X que están lejos de la media, npo, conducirá al rechazo de la hipótesis nula.

Caso bilateral


1 0

::

=≠

H p pH p p

Calculando el p-valor = 2 mín P X p ,P X p∧ ∧ < >

y comparándolo con α:

p-valor > α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto 0=p p .

p-valor < α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto 0≠p p .



28

Caso unilateral


1 0

::

≥

<H p pH p p

Calculando el p-valor = P X p∧ <


p-valor > α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto 0≥p p .

p-valor < α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto 0<p p .


0 0

1 0

::

<

≥

H p pH p p

Calculando el p-valor = P X p∧ >


p > α se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto 0<p p .

p < α se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto 0≥p p .

7 Ejemplo:

Un fabricante afirma que solamente el 4% de sus artículos son defectuosos. Se analizan 350 artículos y se encuentran 7 defectuosos. Solución:

Planteamos el contrastar

0

1

: 0,04: 0,04

≤

>

H pH p

p-valor = 7 0.9715417229

350

∧ > = > ≈ P X p P X , Se acepta H0

siendo (1 ) 0.04(1 0.04), 0.04,350

− −≡ =

p pX N p Nn

PUEBA PARA DOS MUESTRAS

Deseamos probar que dos proporciones son iguales para ello obtenemos dos muestras X1, X2,…,Xn e Y1, Y2,…,Ym de dos poblaciones B(n,px) y B(m,py). Considerando que n>30 y m>30 Se define el estadístico diferencia de proporciones muestrales



29

1 1

1 1∧ ∧

= =

− = − ≡∑ ∑n m

x y k kk k

p p X Yn m

(1 )(1 ), −−

− +

y yx xx y

p pp pN p pn m

Para probar una hipótesis acerca de la diferencia de proporciones, se procede siguiendo los

mismos pasos básicos indicados antes.

8 Ejemplo:

Realizar un contraste sobre la influencia del nivel de estudios de los padres en el hijo mayor con 123 padres universitarios y 52 con estudios primarios, resultando que el hijo mayor había realizado estudios universitarios en 78 y 36 familias respectivamente. ¿Se puede admitir que la proporción de universitarios es igual? Solución:

Planteamos el contrastar

0 1 2 1 2

1 1 2 1 2

: 0: 0

= ⇔ − =

≠ ⇔ − ≠

H p p p pH p p p p

Como la muestra es suficientemente grande la diferencia de proporciones se puede considerar Normal

1 2

∧ ∧

− ≡p p 1 1 2 21 2

(1 ) (1 ), − −

− +

p p p pN p pn m

p1 y p2 son las proporciones de las poblaciones, que desconocemos, pero para el cálculo de la desviación típica las podemos aproximar por las proporciones muestrales. Pero la hipótesis nula estable la igualdad de las proporciones poblacionales, por tanto, se debe calcular un valor

común. El valor adecuado es la proporción combinada: 1 2∧ +=

+np mpp

n m

1 2

∧ ∧

− ≡p p 1 21 1, 1

∧ ∧ − − + N p p p p

n m

Tenemos que

1 278 36 78 36123; 52; 0.69; 0.63; 0.6514285714

123 52 123 52

∧ += = = = = = = =

+n m p p p

con

1 21 1 1 1, 1 0.69 0.63, 0.6514285714(1 0.6514285714)

123 52

∧ ∧ ≡ − − + = − − + X N p p p p N

n m

( )0.06,0.07882139035≡X N p-valor = 2 ( ) ( )0 2 0.2232644235 0.4465< ≈ ≈P X , Se acepta H0. No hay evidencias para rechazar que la proporción de universitarios es igual.



30

10. TEST DE BONDAD DE AJUSTE.

Hasta ahora, hemos estudiado aspectos o planteamientos, de un problema que, de

forma general, trata de tomar decisiones sobre alguna característica de la población, a partir

del estudio de una muestra de dicha población.

El problema que vamos a tratar es el de la conformidad de una distribución

experimental y una distribución teórica; esto es, sustituir la distribución experimental

(distribución de la muestra de la población), el histograma, o la distribución de frecuencias,

por una distribución teórica conocida.

Se trata ahora de ajustar una distribución experimental a una distribución teórica; es

decir, ver si de los resultados obtenidos en una muestra de una población, podemos suponer

que la población sigue una determinada distribución.

Según sea el histograma o la tabla de frecuencias de la muestra, hacemos una

hipótesis sobre la distribución de la población, que estudiaremos en un test de ajuste que

mide la bondad de ajuste.

Sea n el tamaño de la muestra y agrupamos en k clases, y sea ni la frecuencia absoluta

observada de la clase i. A partir de la muestra estimamos los parámetros de la población

teórica, y una vez obtenidos éstos, calculamos la probabilidad pi que le corresponde a cada

intervalo i. Las correspondientes frecuencias absolutas teóricas (esperadas) serán npi.

Sean:

n = tamaño de la muestra

k = número de clases

ni = frecuencia absoluta de la clase i

pi = probabilidad de cada clase según la distribución teórica

npi = frecuencia absoluta de cada clase según la distribución teórica

h = número de parámetros estimados a partir de la muestra

λ = número de grados de libertad



31

Las frecuencias observadas en la distribución de una muestra, se emplean para poner a

prueba, la hipótesis de que la población de la cual se ha obtenido la muestra, no difiere en

distribución, de la de alguna distribución conocida.

Si la hipótesis fuese cierta, las discrepancias entre las frecuencias absolutas

observadas ni y las frecuencias absolutas esperadas npi, no deben ser grandes.

Supuesta conocida la distribución de Y. La hipótesis H0 tiene la forma: la población X

de la cual se obtuvo la muestra tiene la misma distribución que la población Y, formulamos la

hipótesis alternativa H1 las poblaciones X e Y no tienen la misma distribución.

Una medida de las discrepancias en este sentido, fue estudiada por Pearson

construyendo el siguiente estadístico: ∑=

−=

k

1i i

2ii

np)npn(D , y demostró que, para

21hki D 5pn y 30n −−χ≈⇒≥≥ , esto es, la variable D sigue una distribución ji-cuadrado con

λ = k - h - 1 grados de libertad.

Para aplicar correctamente el test, las frecuencias teóricas de las diferentes clases

deben ser mayor o igual que cinco, por lo que en caso de que no lleguen, se agrupan

previamente.

La prueba de bondad (o chi-cuadrado) es una herramienta muy importante, debido

sobre todo a que muchos procedimientos estadísticos en la práctica dependen, en un sentido

teórico, de la suposición de que los datos recogidos surgen de un tipo de distribución

específica. La suposición de normalidad se hace con bastante frecuencia.

Fijado un nivel de significación α, buscamos un valor α−χ1 tal que

( ) α−=χ≤χ α−λ 1P 12



32

Si α−χ< 1D aceptamos la hipótesis H0 de conformidad con el ajuste, siendo las

diferencias ii npn − debidas al azar.

Si α−χ≥ 1D rechazamos la hipótesis H0 , las diferencias ii npn − son significativas y

por tanto, las distribuciones son distintas.

En el caso de no fijar un valor concreto del valor de α, buscaremos el p-valor 2p P( D)λ= χ ≥

Se define como el mínimo nivel de significación para el que, con los datos de una muestra

concreta, se tendría que rechazar H0

D p⇒ > α

En general, cuanto más próximo a 1 sea p con mayor evidencia se habrá de aceptar H0 .

A título orientativo,

Si p>0.05 no existe suficiente evidencia para rechazar H0.

Si 0.01<p<0.05 existe incertidumbre entre rechazar o no rechazar H0.

Si p<0.01 en general deberá ser rechazada la hipótesis H0,



33

Si se ha fijado de antemano un nivel de significación α, se acepta H0, si p>α, y se

rechaza H0 si p< α

Observaciones acerca de D.

1º El valor D es más grande a medida que la distribución experimental se separa más de la

teórica.

2º El número de intervalos se pueden fijar libremente siempre y cuando se verifique 5npi ≥ .

3º En general, D crece si crece el nº de intervalos, aunque la distribución teórica se ajuste

bien. Puede darse el caso de rechazar H0 para un nº de intervalos k, y aceptar para un nº

menor de k intervalos.

9 Ejemplo:

De un experimento se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias:

x < 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 > 9

in 0 5 19 91 202 217 95 16 5 0

Ajustar a una distribución normal con un nivel de significación del 0.05.

Solución:

0 2 4 6 8 10

0

40

80

120

160

200

240

n

Histograma de frecuencias

ei i− −1 e xi ni n xi i n xi i2

< 1 0

1 - 2 1.5 5 7.5 11.25

2 - 3 2.5 19 47.5 118.75

3 - 4 3.5 91 318.5 1114.75

4 - 5 4.5 202 909.0 4090.50

5 - 6 5.5 217 1193.5 6564.25

6 - 7 6.5 95 617.5 4013.75

7 - 8 7.5 16 120.0 900.00

8 - 9 8.5 5 42.5 361.25

> 9 0

∑ 650 3256.0 17174.5



34

Utilizando las fórmulas, ya conocidas:

X = ≅3256650

5 σ2217174 5

6503256650

133= −

=. . σ = 1153.

S = =650649

1154σ . ; resulta una distribución estimada: N( , . )5 1 154

e ei i− −1

ni

p F(e F(ei i i= − −) ))1

inp ( )2

i i

i

n npnp−

< 3 24 0.0415386 27.00 0.333333

3 - 4 91 0.193093-0.0415386=0.1515544 98.51 0.572531

4 - 5 202 0.5-0.1515544=0.306907 199.49 0.031581

5 - 6 217 0.806907-0.5=0.306907 199.50 1.535087

6 - 7 95 0.958461-0.806907=0.151554 98.50 0.124365

> 7 21 1-0.958461=0.041539 27.00 1.333333

sumatorio 650 1 650.00 D=3.930230

Quedan 6 intervalos y hemos calculado 2 parámetros (media y varianza) luego

λ = k - h - 1 = 6 – 2 – 1= 3 grados de libertad.

Para α = 0,05 23 0.95 0.95P( ) 0.95 7.8147⇒ χ ≤ χ = ⇒ χ = siendo D = 3.9 menor que 95.0χ

aceptamos la hipótesis de ser el ajuste bueno.

EXCEL: = INV.CHICUAD.CD(0,05;3) 7,8147

O bien, utilizando el p-valor:

EXCEL: = DISTR.CHI(3.9,3) 0.2691 > 0,05 = α

WOLFRAMALPHA: Probability 3.9<X, Chi Square Distribution degrees of freedom 3

0.26912275

10 Ejemplo:

Se puede admitir la distribución normal de valores angulares en una triangulación de primer

orden de un país en la que se ha tomado una muestra de tamaño 100 y se han obtenido los

siguientes resultados:

x < 40 40-50 50-60 60-70 >70

in 16 22 20 19 23

Solución:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Probability+3.93%3CX%2C+Chi+Square+Distribution+degrees+of+freedom+3



35

Medida in ix iinx

2i i(x x) n−

pi npi

( )i

2ii

npnpn −

30-40 16 35 560 7123,36 0,126135851 12,61 0,9091631 40-50 22 45 990 2710,62 0,206094543 20,61 0,09382186 50-60 20 55 1100 24,2 0,277003816 27,7 2,14061588 60-70 19 65 1235 1504,99 0,229289852 22,93 0,67324935 70-80 23 75 1725 8215,83 0,161475938 16,15 2,9078927

100 5610 19579 1 100 6,72474289 Tenemos que calcular la media y la desviación típica de la distribución Normal. Para

ello consideramos la muestra obtenida:

nnx

x ii∑= =56,1; ( )2

i ix x nS 14,0629896

n 1

−= =

−∑

Consideramos la población con distribución N (56.1, 14,0629896).

La prueba de la bondad de ajuste de Pearson se basa en la distribución Chi- cuadrado con k-h-1 grados de libertad, en nuestro caso k=5 (nº de intervalos), h=2 (nº de parámetros) y como:

D= ( )i

2ii

npnpn − =6,72474289 y 2

5 2 1P( 6,72474289) 0,034652984− −χ > =

Utilizando el p-valor:

DERIVE: 1 - CHI_SQUARE( 6,72474289 ,2)≈ 0.03465298378> 0,05 = α

EXCEL: = DISTR.CHI( 6,72474289 ;2) 0,03465298> 0,05 = α WOLFRAMALPHA: Probability 6,72474289 <X, Chi Square Distribution degrees of

freedom 2 0.34653

SE RECHAZA EL AJUSTE por ser inferior al 5%. Probemos ahora con otra distribución:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Probability+6.72474289%3CX,+Chi+Square+Distribution+degrees+of+freedom+2



36

Según la ley de la distribución uniforme, la probabilidad teórica de cada clase es igual a la

unidad dividida por el número de clase: 1/5=0,2

x < 40 40-50 50-60 60-70 >70

in 16 22 20 19 23

pi 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

npi 20 20 20 20 20

( )2i i

i

n npnp−

( )216 2020− ( )222 20

20−

( )220 2020− ( )219 20

20−

( )223 2020−

2ki i

i 1 i

(n np )D 1,5np=

−= =∑


DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(1.5,4)= 0.8266414672> 0,05 = α

EXCEL: = DISTR.CHI(1,5;4) 0,826641> 0,05 = α

WOLFRAMALPHA: Probability 1.5<X, Chi Square Distribution degrees of freedom 4

0.826641

Aceptamos la hipótesis de ser el ajuste bueno. La diferencia entre la distribución empírica y

la ley de la distribución uniforme no es significativa.

Aplicaciones de la Prueba chi-cuadrado: Test de independencia

Se trata de contrastar si dos variables CUALITATIVAS son independientes (es decir, si existe relación entre ellas), o no.

H0: X e Y son independientes

H1: X e Y no son independientes

Supongamos que de una población se han observado dos características X e Y, obteniéndose una muestra bidimensional (x

1,y

1), (x

2,y

2),…, (x

n,y

n). Se desea contrastar si X e

Y son independientes o no.

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Bondad_del_ajuste.wmv




37

Para ello, se divide el conjunto de los posibles valores de X en r clases disjuntas, A1, A2,…, Ar y los de Y en k clases disjuntas, B1, B2 ,…, Bk, obteniendo k r clases con frecuencia n

ij, dando

lugar a una tabla de doble entrada (tabla de contingencia):

Muestra A1 A2 ……. Ar Total

B1 n11 n12 … n1r n1.

B2 n21 n22 … n2r n2.

… … … … … …

Bk nk1

nk2

…

nkr

nk.

Total n.1 n.2 ….

n.r n

Buscamos las frecuencias esperadas de cada casilla (eij):

( ) ( ) ( ) . j i.ij j i j i

n np P A B P A P Bn n

= ∩ = ⋅ = ⋅

Sobre una muestra de tamaño n, será: . j i. . ji.ij ij

n n nne np nn n n

⋅= = ⋅ =

Al Igual que para el test de Bondad el estadístico de contraste

( )2

r kij ij

j 1 i 1 ij

O eD

e= =

−=∑∑

En nuestro caso:

2i. . j

ijr k

i. . jj 1 i 1

n nn

nD n n

n= =

−

=∑∑ con (k-1)(r-1) grados de libertad

11 Ejemplo:

Hemos preguntado a un grupo de 100 hombres y 100 mujeres si fumaban o no. ¿Existen diferencias significativas entre ambos sexos?

Hombres Mujeres TOTAL:

Fuma 25 35 60

No fuma 75 65 140

TOTAL: 100 100 200



38

Solución:

¿Qué debería salir, si fueran independientes?

Hombres Mujeres TOTAL:

Fuma 25 (30) 35(30) 60

No fuma 75(70) 65(70) 140

TOTAL: 100 100 200

Ho: X e Y son independientes

H1: X e Y no son independientes

Comparamos frecuencias observadas (Oi) y esperadas (e

i)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 225 30 35 30 75 70 65 70

D 2,3830 30 70 70− − − −

= + + + =

La idea es RECHAZAR la hipótesis, si los valores observados difieren demasiado de los esperados. Para ello, utilizamos la prueba de la chi-cuadrado con n=1 grado de libertad. El número de grados de libertad es igual al número de frecuencias de casillas que se pueden rellenar libremente conocidos los totales. En general, será el número de columnas menos 1 por el número de filas menos 1: (c-1)(f-1).


EXCEL: = DISTR.CHI(2,38;1) 0,1228975

WOLFRAMALPHA: Probability 2.38<X , Chi Square Distribution degrees of freedom 1

0.1228975482

Aceptamos la hipótesis de independencia para cualquier valor de α inferior al p-valor.

( )2r k

ij ij

j 1 i 1 ij

O eD

e= =

−=∑∑

2n 1p valor P( 2.38) 0,12289758=− = χ ≥ =




39

Aplicaciones de la Prueba Chi-cuadrado: Prueba de Homogeneidad Consiste en comprobar si varias muestras de un carácter cualitativo proceden de la misma población o que las distribuciones de la variable observada es la misma en todas las poblaciones

H0: m poblaciones homogéneas H1: al menos una población es heterogénea

Supongamos que se dispone de m muestras aleatorias simples de otras tantas poblaciones cuyos tamaños son, respectivamente, n

1, n

2,…, n

m. Se desea contrastar si los datos (todos

juntos) provienen de la misma población o, por el contrario, se trata de poblaciones heterogéneas con diferentes distribuciones. Para ello, se divide el conjunto de los posibles valores de A en r clases disjuntas y n

ij,

representa el número de observaciones de la muestra i que pertenece a la clase Aj según

vemos en una tabla de doble entrada (tabla de contingencia):

Muestra A1 A2 ……. Ar Total

1 n11 n12 … n1r n1

2 n21 n22 … n2r n2

… … … … … …

m nm1

nm2

…

nmr

nm

Total n.1 n.2 ….

n.r n

La hipótesis de que las m poblaciones son homogéneas, se traduce en que cada conjunto Aj debe tener una probabilidad teórica pj, desconocida, pero que no varía de la población i a la población i’

. jij i j i

ne n p n

n= = ⋅

Al Igual que para el test de Bondad el estadístico de contraste

( )2r m

ij ij

j 1 i 1 ij

O eD

e= =

−=∑∑



40

En nuestro caso:

2i . j

ijr m

i . jj 1 i 1

n nn

nD n n

n= =

−

=∑∑ con (m-1)(r-1) grados de libertad

12 Ejemplo:

Queremos saber si las cuatro muestras obtenidas proceden de la misma población con probabilidad del 95%. Es decir, si la proporción de aprobados y suspensos es homogénea.

A B C D

Aprobados 56 60 62 59

No aprobados 44 40 38 41

Solución: H

o: p = p11 = p12 = p13 = p14

H1: pij distinto de p para algún grupo

Se calculan las frecuencias esperadas

.1i1 i 1 i

n 237e n p n 100 59,25 5n 400

= = ⋅ = ⋅ = ≥

Que coinciden para los cuatro grupos por ser el mismo tamaño muestral ni = 100

.2i2 i 2 i

n 163e n p n 100 40,75 5n 400

= = ⋅ = ⋅ = ≥

Calculamos el valor del estadístico

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2i . j

2 2 2ijr m

i . jj 1 i 1

2 2 2 2 2

n nn

56 59,25 60 59,25 62 59,25nD n n 59,25 59,25 59,25

n59 59,25 44 40,75 40 40,75 38 40,75 41 40,75

59,25 40,75 40,75 40,75 40,750,7765784

= =

− − − − = = + + +

− − − − −+ + + + + =

=

∑∑

Ajustamos a una distribución de Pearson con 3 grados de libertad



41

En general, será el número de columnas menos 1 por el número de filas menos 1: (c-1)(f-1).

( )2n 3p valor P 0,7765784 0,85506=− = χ ≥ =


DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(0.7765784,3)= 0.8550605738 EXCEL: = DISTR.CHI(0.7765784;3) 0,8555061 WOLFRAMALPHA:

Probability 0.7765784<X, Chi Square Distribution degrees of freedom 3 0.8550605738

Por ser próximo a 1 ACEPTAMOS la hipótesis y las muestras proceden de la misma población.


http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Apli_bondad.wmv

contraste de hipótesis -...

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