guía de matemáticas ii -...

U. D. Matemáticas ETSITGC

MATEMÁTICAS II

Guía del Alumno

Curso 2010 / 2011 2º Cuatrimestre

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

E.T.S.I. TOPOGRAFÍA, GEODESIA Y CARTOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN Uno de los proyectos más importantes de la Unión Europea (UE) es la creación del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES).

La UE se ha planteado lograr unos objetivos comunes en la Educación Superior (incluso con otros países que no formen parte de la Unión):

Adopción de un sistema comparable de Titulaciones. Sistemas de enseñanzas basados en dos ciclos. Sistema común de créditos europeos (ECTS) Cooperación europea para asegurar un buen nivel de calidad en

las metodologías de enseñanza-aprendizaje comparables. Promoción de una necesaria dimensión europea en la

Educación Superior. Promoción de la movilidad de estudiantes, profesores y PAS de

Educación Superior

Se proponen una serie de cambios que pongan el énfasis en el trabajo del alumno y le preparen para hacer frente a los retos y necesidades que presenta la sociedad actual:

Disponer de una enorme cantidad de información: “sociedad del conocimiento” y tener la capacidad de utilizarla adecuadamente.

Procesos formativos que se prolongan a lo largo de toda la vida.

“Aprendizaje autónomo del alumno” que haga posible una continua actualización de sus saberes (competencias).

En consecuencia, han de implantarse:

Nuevos recursos docentes. Nuevos sistemas de evaluación. Nuevas formas de planificar: LAS GUÍAS DIDÁCTICAS.

La Guía para MATEMÁTICAS II que presentamos forma parte de los Proyectos de Innovación Educativa, en relación con el EEES, que la UPM ha subvencionado a la U.D. de Matemáticas de nuestra Escuela.

Su objetivo es que cada uno de los alumnos que curséis esta asignatura dispongáis de una completa información sobre ella y que os sirva de ayuda en la planificación de vuestro estudio.

U. D. Matemáticas ETSITGC I1I

ÍNDICE

DATOS BÁSICOS ................................................................................... 2 PROFESORADO ...................................................................................... 3 DATOS GENERALES DE MATEMÁTICAS II ..................................... 5 OBJETIVOS GENERALES DE MATEMÁTICAS II ............................. 9 PROGRAMA: CONTENIDOS .............................................................. 10 PROGRAMA: PRÁCTICAS .................................................................. 13 LÍNEAS METODOLÓGICAS ............................................................... 19 OTRAS ACTIVIDADES FORMATIVAS ............................................. 24 CRÉDITOS ECTS .................................................................................. 24 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................... 26 EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA ............................................... 30 DERECHOS Y DEBERES DEL ALUMNO .......................................... 31 LA FUNCIÓN TUTORIAL .................................................................... 33 CALENDARIO ESCOLAR ................................................................. ..35 NOTAS ................................................................................................. ..36

Guía de Matemáticas II

I2I U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

DATOS BÁSICOS

Universidad Politécnica de Madrid (UPM).

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Topográfica, Geodesia y Cartografía (ETSITGC).

Titulación: INGENIERO TÉCNICO EN TOPOGRAFÍA (1er Ciclo).

Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía.

Asignatura: MATEMÁTICAS II.

Área de Conocimiento: Matemática Aplicada.

Plan de Estudios: 1992.

Tipo de asignatura: TRONCAL.

Temporalidad: ANUAL.

Curso 2º

Código: 201.

Número de créditos europeos (ECTS): 6.

Grupos: 2, uno en horario de mañana y otro en horario de tarde.

Lugar de impartición:

Aula 114 grupo A y aula -111 grupo B,

Lengua vehicular: Español.

Datos básicos/ Profesorado


Horarios:

Segundo cuatrimestre

PROFESORADO

Los profesores que imparten Matemáticas II son:

D. Manuel Barrero Ripoll MB TEU Despacho 315

Dª Mª Luisa Casado Fuente LC TEU Despacho 044

Dª Ángeles Castejón Solanas AC TEU Despacho 043

D. Luis Sebastián Lorente LS TEU Despacho 306

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

A

12:30 - 13:30 A13:30 - 14:30 A

15:30 -16:30 16:30 – 17:30

B17:30 – 18:30 B

B



Los días y el horario de atención a los alumnos son:


Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

9:30 - 10:30 10:30 -11:30 LC MB MB LS LC 11:30 12:30 LC MB LS MB LC

12:30 – 13:30 MB LS MB LC 13:30 – 14:30 AC AC AC

LS LS LC LS AC AC

El lugar habitual de atención al alumno es el despacho del profesor y en horario de tutoría o mediante teléfono de contacto y correo electrónico:

Manuel Barrero 91 336 79 19 [email protected] Mª Luisa Casado 91 336 64 38 [email protected] Ángeles Castejón 91 336 79 20 [email protected] Luis Sebastián 91 336 79 25 [email protected]

15:30 -16:3016:30 – 17:3017:30 – 18:3018:30 – 20

19:30 – 21

Datos Generales de Matemáticas II


DATOS GENERALES DE MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II es una asignatura troncal de segundo curso de la titulación de Ingeniero Topógrafo adscrita al Departamento de Ingeniería Topográfica y Cartografía.

Aunque es anual está dividida en dos partes claramente diferenciadas: Estadística y Cálculo II que se imparten respectivamente en los 2 cuatrimestres lectivos.

En el ámbito educativo, se puede definir competencia como el conjunto dinámico de conocimientos, destrezas, habilidades y actitudes que, cuando se aplica, permiten hacer frente a situaciones cambiante en contextos múltiples

Competencias generales de Matemáticas II son:

1. Utilizar correctamente las técnicas generales de análisis estadístico de una y varias variables en la resolución de problemas, tanto de forma individual como en equipo.

2. Enunciar el planteamiento de problemas reales en términos estadísticos y organizar el material de estudio para la resolución de los mismos.

3. Utilizar diversas técnicas estadísticas para la resolución de problemas con ayuda de software estadístico.

4. Interpretar correctamente una información estadística y elaborar informes estadísticos, a partir de los datos obtenidos en la resolución de problemas, tanto individualmente como en equipo.

5. Representar, con gráficas adecuadas, los resultados estadísticos.

6. Representar y describir las cónicas en coordenadas polares.

7. Utilizar correctamente software matemático para diseñar y obtener la solución de ejercicios de aplicación a casos reales, de los diferentes temas de funciones reales de varias variables reales.

8. Organizar de forma adecuada el material de estudio al objeto de utilizar con rigor, en la resolución de ejercicios y problemas, las



técnicas de continuidad, diferenciabilidad y optimización de funciones reales de varias variables reales.

9. Distinguir los elementos fundamentales del estudio de curvas en geometría diferencial y aplicar correctamente el software matemático para la resolución de ejercicios.

10. Confeccionar resúmenes como base teórica para fundamentar trabajos individuales y en equipo que apliquen diversas técnicas de los temas de Cálculo.

11. Llegar a acuerdos con sus compañeros con objeto de planificar, elaborar y exponer oralmente, ayudados de una presentación tipo PowerPoint, de forma ordenada, clara y rigurosa un trabajo cooperativo que aplique a un problema relacionado con la Titulación de Ingeniero Topógrafo ciertos contenidos o técnicas del programa de la asignatura.

En el siguiente cuadro se observan algunas relaciones entre las competencias de Matemáticas II y otras asignaturas obligatorias de segundo y tercer curso de la titulación:



Competencias específicas de Matemáticas II son:

1. Definir y utilizar adecuadamente los parámetros estadísticos que describen una muestra.

2. Construir gráficos descriptores de las propiedades de una muestra.

3. Utilizar correctamente las técnicas de correlación y regresión para la determinación de las ecuaciones de regresión, previo estudio de la correlación entre las variables que intervienen.

4. Identificar las propiedades de una función de distribución empírica para ajustar una distribución teórica adecuada

5. Enunciar y aplicar con rigor las propiedades de los estimadores puntuales y por intervalos.

6. Definir y calcular con rigor los parámetros y ecuaciones de los distintos tipos de cónicas, en coordenadas polares respecto de distintos sistemas de referencia.

7. Diseñar, utilizando software matemático, distintos procedimientos de cálculo aproximado de integrales y comparar los resultados obtenidos mediante la acotación del error.

8. Describir y utilizar con rigor las técnicas de construcción de aproximaciones lineales de funciones reales de varias variables reales por el método de los mínimos cuadrados.

9. Describir procedimientos de resolución que apliquen con rigor las técnicas de optimización a casos reales.

10. Utilizar correctamente software matemático para identificar y resolver los distintos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.

11. Identificar y calcular los elementos identificativos de una curva mediante la aplicación rigurosa de las técnicas de geometría diferencial

12. Redactar con claridad, justificar y ordenar los pasos sucesivos que se han dado para obtener la solución de cada ejercicio o problema planteado en las distintas pruebas y trabajos del curso.



13. Expresar con precisión, en las tutorías, las dudas sobre un objetivo de conocimiento del que se tiene problemas de aprendizaje.

14. Llegar a acuerdos para trabajar de forma cooperativa con sus compañeros en la preparación de las pruebas de evaluación continuada.

Descriptores. Palabras clave.

Estadística Descriptiva, Regresión, Correlación, Variables Aleatorias, Distribuciones Estadísticas, Inferencia Estadística, Cónicas en Polares, Integración aproximada, Funciones de varias variables, Diferenciabilidad, Optimización, Ecuaciones Diferenciales, Curvas, Geometría Diferencial.

Prerrequisitos

a) Utilizar con soltura el programa DERIVE de cálculo simbólico.

b) Utilizar y aplicar correctamente las herramientas del Cálculo Diferencial e Integral de las funciones reales de una variable real.

Sugerencias y recomendaciones.

Sugerimos para su seguimiento la asistencia regular a clase y un estudio semanal de entre 3 y 6 horas (incluyendo en este tiempo la realización de los trabajos).

Dado que el tipo de evaluación es continua se recomienda utilizar con regularidad las consultas en tutorías presenciales o virtuales.



OBJETIVOS GENERALES DE MATEMÁTICAS II La finalidad de esta asignatura es proporcionarte los conocimientos, destrezas, habilidades y actitudes para poder modelizar y resolver matemáticamente situaciones propias de esta ingeniería, así como dotarte de una base de conocimientos matemáticos que te permita adquirir futuros conocimientos científicos.

MATEMÁTICAS II tiene como objetivos cognitivos generales que cada alumno:

a) Distinga, formule y especifique los conceptos y técnicas relativos a la Estadística Descriptiva.

b) Tenga capacidad para sintetizar y analizar descriptivamente un conjunto de datos de una o varias variables estadísticas.

c) Esté capacitado para aplicar los conceptos relativos a las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad más usuales en el análisis de situaciones reales.

d) Establezca identificaciones entre situaciones reales y distribuciones de probabilidad conocidas.

e) Esté capacitado para construir estimadores puntuales y por intervalos.

f) Distinga, defina y especifique los conceptos básicos relativos a las funciones reales de varias variables reales.

g) Justifique la aplicación de aquellas propiedades o técnicas precisas para la resolución de problemas de diferenciabilidad u optimización planteados en situaciones análogas a las reales.

h) Clasifique los distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y especifique y aplique correctamente las técnicas apropiadas de resolución.

i) Distinga y formule con claridad los conceptos y técnicas básicas en el análisis de curvas en el espacio con las técnicas de Geometría Diferencial.



PROGRAMA: CONTENIDOS

Breve descripción

De manera ordenada, se proponen, para el primer cuatrimestre, los conocimientos correspondientes a Estadística Descriptiva y Estadística Matemática.

El segundo cuatrimestre se inicia con el estudio de Cónicas en coordenadas polares e Integración aproximada que completan los contenidos de Matemáticas I referidos a estos temas. A continuación se trabajan los conceptos y resultados fundamentales del Cálculo Infinitesimal en varias variables que proporcionan métodos para la investigación cuantitativa de distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Seguidamente se estudian las ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden por la importancia de sus aplicaciones en muchos problemas de Física e Ingeniería en general. Por último se aborda una introducción a la Geometría Diferencial con el estudio de la teoría general de curvas tan utilizada en Geodesia geométrica y Cartografía. Bloques temáticos o unidades didácticas. Los temas que constituyen el programa de Matemáticas II se agrupan en 7 bloques o unidades didácticas:

TEMAS 1 y 23 y 456 y 7 8, 9 y 101112

IV. CÓNICAS E INTEGRACIÓN APROXIMADAV. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESVI. ECUACIONES DIFERENCIALESVII. GEOMETRÍA DIFERENCIAL

BLOQUESI. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAII. ESTADÍSTICA MATEMÁTICAIII.INFERENCIA ESTADÍSTICA

Programa: Contenidos


Programa. Lecciones Os presentamos los temas de la asignatura con los epígrafes más relevantes de cada uno.

1. Estadística Descriptiva Unidimensional Población y muestra. Variable estadística. Frecuencias. Representaciones gráficas de una distribución de frecuencias. Medidas de centralización, de dispersión y de forma.

2. Estadística Descriptiva Bidimensional Observaciones y muestras bidimensionales. Distribuciones marginales. Momentos. Dependencia estadística. Regresión. Ajuste de una recta de regresión por mínimos cuadrados. Correlación entre dos variables. Coeficiente de correlación lineal.

3. Probabilidad. Variables Aleatorias Espacio muestral. Sucesos. Definición axiomática de probabilidad. Probabilidad condicionada. Variable aleatoria. Función de distribución. Propiedades. Función de densidad. Caracterización de una distribución. Esperanza matemática. Propiedades. Momentos: Momentos respecto al origen. Momentos respecto a la media.

4. Algunos Modelos de Distribución Distribución binomial. Distribución de Poisson. Distribución uniforme o rectangular. Distribución normal. Adición de distribuciones normales. Teorema central del límite. Distribuciones derivadas de la normal: Distribución 2 de Pearson. Distribución t de Student. Distribución F de Snedecor.

5. Inferencia Estadística y Estimación Teoría de Muestras e Inferencia. Población y muestra. Métodos de muestreo. Distribuciones asociadas al proceso de muestreo. Estimación. Propiedades. Obtención de estimadores. Método de los momentos. Método de máxima verosimilitud. Método de los mínimos cuadrados. Estimación por intervalo. Contraste de hipótesis. Bondad de ajuste (test de la 2).

6. Cónicas en polares Ecuación de una cónica en coordenadas polares. Transformación de la ecuación polar de una cónica a cartesianas y viceversa. Elementos característicos de una cónica en polares.



7. Cálculo aproximado de integrales definidas Planteamiento del problema. Método de los trapecios. Fórmula de Simpson. Expresión de la acotación del error en cada método.

8. Introducción al Cálculo Diferencial en varias variables El espacio euclídeo Rn: propiedades topológicas. Funciones reales de n variables reales. Dominio, recorrido, gráfica y curvas de nivel. Concepto de límite. Límites por caminos. Criterio de la mayorante. Álgebra de límites. Funciones continuas. Propiedades y teoremas sobre funciones continuas.

9. Diferencial de una función real de varias variables reales Derivadas parciales, derivabilidad y continuidad, derivada direccional, derivadas parciales sucesivas y teorema de Schwartz. Plano tangente. Diferencial y propiedades. Condiciones de diferenciabilidad. Diferencial de una función compuesta. Reglas de la cadena. Cambio de variable. Derivación de funciones implícitas.

10. Análisis de la variación de una función de varias variables Fórmula de Taylor. Extremos relativos: definiciones y condiciones para su existencia. Fórmula de Taylor. Máximos y mínimos condicionados. Método de los multiplicadores de Lagrange. Extremos absolutos. Método de los mínimos cuadrados.

11. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Definiciones. Métodos elementales de integración: variables separadas y separables, ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas, ecuación lineal, ecuación de Bernouilli y ecuación de Ricatti. Ecuaciones diferenciales exactas y su integración. Factores integrantes.

12. Geometría diferencial de las curvas Concepto de curva. Expresiones analíticas. Puntos regulares y singulares. Cambio de parámetro. Longitud de un arco de curva. Parámetro arco. Sistema de referencia móvil o triedro de Frenet. Fórmulas de Frenet. Expresiones de la curvatura. Expresiones de la torsión. Ecuaciones intrínsecas de una curva. Evolventes y evolutas.

Programa: Contenidos


Aproximación a una distribución temporal: calendario, número de horas.

Primer cuatrimestre Temas Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero

1 5 h 2 6 h 3 3 h 4 3 h 5 7 h

En total son 24 horas teórico – prácticas en aula y laboratorio

Segundo cuatrimestre Temas Junio

6 y 7 3 h

8 y 9 10 11 2 h

12 6h

6 h 3h

Abril MayoFebrero Marzo FEBRERO

En total son 20 horas teórico – prácticas en aula y laboratorio



PROGRAMA: PRÁCTICAS Breve descripción

En el segundo cuatrimestre, correspondiente a Cálculo, las prácticas se desarrollan tanto en el aula como en el Laboratorio de Informática. El programa de prácticas, coordinado con el de contenidos, establece realizar

Una hoja de ejercicios, a resolver con el profesor en el aula y en el Laboratorio, con ayuda de los programas de Matemáticas. Esta hoja incluye ejercicios propuestos para que el alumno los resuelva individualmente o en equipo fuera del aula.

En algunos temas hay prácticas específicas a realizar utilizando DERIVE.

Un trabajo cooperativo, a realizar entre tres alumnos fuera del aula. Su entrega se puntuará a cuenta de la evaluación continua.

Programa de prácticas

Os presentamos la relación y los objetivos más destacados de las prácticas, organizadas de acuerdo a los contenidos de los temas. En todas ellas se utilizan las capacidades gráficas y de cálculo de DERIVE o EXCEL para profundizar en los conceptos y destrezas.

2º Cuatrimestre

Temas 6 (Cónicas en coordenadas polares)

Hoja de ejercicios. Con estos ejercicios se adquiere destreza en: El cálculo de los elementos de las cónicas en coordenadas

polares. La aplicación del proceso de conversión de coordenadas

polares a cartesianas y viceversa. Aplicar procedimientos de cálculo en ejercicios de aplicación

a la física o astronomía que sirven para relacionar el tema con otros contenidos de la titulación.

Se utiliza DERIVE para visualizar las gráficas de las cónicas y sus elementos característicos (focos, directrices, asíntotas,…).

Tema 7 (Integración aproximada)

Programa: Prácticas


Hoja de ejercicios y 1ª prueba en clase. Esta hoja se realiza casi por completo con DERIVE en el aula de Informática. Con ella se pretende que se adquiera competencia y destreza en: El cálculo, aplicando los métodos de aproximación

estudiados, de las integrales propuestas. Describir el procedimiento de resolución que consta del

planteamiento de la integral a aproximar y su cálculo. Son ejercicios cuyo enunciado está referido en su mayor parte a problemas de origen geométrico (cálculo de longitudes, áreas, etc.) o topográfico. Los alumnos realizan un ejercicio individual en el aula al finalizar el tema, puntuable para la evaluación continua (temas 6 y 7 conjuntamente).

Tema 8 (Introducción al Cálculo Diferencial en varias variables)

Hoja de ejercicios. Se pretende que mediante estos ejercicios: El alumno se familiarice con las gráficas de las funciones

reales de dos variables reales (dominio, imagen, acotación, curvas de nivel).

Adquiera soltura en el uso de las funciones que brinda DERIVE para el estudio de este tipo de superficies.

Distinga las diferentes situaciones que pueden presentarse al estudiar el límite de una función en un punto (condiciones necesarias y suficientes para su existencia).

Adquiera destreza en el estudio de la continuidad de una función.

Una práctica específica en DERIVE en la que para un conjunto de funciones bien escogidas se pide para cada una de ellas: recorrido, curvas de nivel con su representación gráfica. en el origen, límites reiterados, límites radiales, paso a

polares y aplicación del criterio de la mayorante, continuidad, existencia de límite.



Tema 9 (Diferencial de una función real de varias variables reales)

Hoja de ejercicios y 2ª prueba en clase. Se plantean al alumno diversas funciones para que adquiera destreza en: El estudio de la relación entre continuidad, existencia de

derivadas parciales y direccionales, diferenciabilidad y construcción del plano tangente.

El cálculo del gradiente de una función y las trayectorias de máximo crecimiento o decrecimiento y, en general, trayectorias en una dirección cualquiera.

La aplicación de la regla de la cadena y la derivación de la función implícita a la resolución de ejercicios donde se requiere un cambio de variables o donde la función no venga dada explícitamente.

Todo lo cual fundamentalmente a través de problemas de aplicación (propagación del calor, temperatura en una placa, superficies topográficas, etc.). Se dispone también en este tema de una práctica específica para DERIVE en la que sistemáticamente, para un conjunto representativo de funciones, se pide para cada una de ellas y en ciertos puntos y direcciones: Gradiente, diferencial, plano tangente, recta normal y

derivada direccional. Los alumnos realizan un ejercicio individual en el aula al finalizar el tema puntuable para la evaluación continua (temas 8 y 9 conjuntamente).

Tema 10 (Análisis de la variación de una función de varias variables)

Hoja de ejercicios y 3ª prueba en clase. Se plantean una serie de ejercicios de contenido geométrico, físico, etc., con los que se pretende que se adquiera destreza en: Maximizar o minimizar una función sometida o no a ciertas

restricciones. El cálculo de extremos relativos y absolutos. La resolución, como caso particular, de algún ejercicio con la

técnica de mínimos cuadrados para completar, desde otro punto de vista, el conocimiento que de la misma tienen nuestros alumnos.

El uso de DERIVE permite resolver con facilidad los sistemas de ecuaciones, en general no lineales, que surgen en la resolución de estos problemas de optimización.

Programa: Prácticas


Los alumnos realizan un ejercicio individual en el aula al finalizar el tema puntuable para la evaluación continua.

Tema 11 (Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden)

Con las funciones propias de DERIVE, se pretende adquirir destreza en: La resolución de los distintos tipos de ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer orden especificados en el programa.

El planteamiento de la ecuación diferencial a estudiar a partir del establecimiento de un problema geométrico o físico.

El manejo y transformación adecuada de la ecuación antes de aplicar las funciones de DERIVE.

Los alumnos realizan un trabajo cooperativo fuera del aula puntuable para la evaluación continua.

Tema 12 (Geometría diferencial de las curvas)

Hoja de ejercicios y 4ª prueba en clase. Se pretende que mediante estos ejercicios se adquiera destreza en: La deducción de la ecuación de una curva basándose en su

descripción geométrica. La realización, a partir de ella, de un estudio de los puntos

regulares y singulares. El análisis de la parametrización de la curva: es una

parametrización natural o no. En ambas situaciones, el cálculo del triedro de Frenet y sus

elementos (planos normal, osculador y rectificante, rectas tangente, normal y binormal).

El cálculo de la curvatura y la torsión de la curva, centro y radio de curvatura, etc.

El estudio de las evolutas y evolventes de algunas curvas. En todos los casos, se aprovechan las capacidades gráficas y ciertas funciones específicas de DERIVE para una mejor visualización y comprensión de los conceptos y técnicas involucrados en el tema.



Aproximación a una distribución temporal: calendario, número de horas.

Las horas de prácticas, tanto en aula como en laboratorio se intercalan con las de teoría para hacerla más fácilmente comprensible.

Primer cuatrimestre

Temas Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero

1 4 h 2 6 h 3 3 h 4 3 h 5 5 h

En total son 21 horas prácticas en laboratorio.


Temas Junio

6 y 7 5 h

8 y 91011 3 h

12 3h

9 h5 h

Abril MayoFebrero MarzoFEBRERO

En total son 25 horas prácticas en laboratorio.

Líneas metodológicas


LÍNEAS METODOLÓGICAS

Los programas formativos que se pretenden promover en el ámbito educativo que denominamos E.E.E.S. han de centrar la planificación metodológica en la adquisición de competencias.

En este sentido, la elección de las líneas metodológicas para MATEMÁTICAS II: modalidades de docencia, métodos de enseñanza y estrategias de evaluación, se ha efectuado en función de lo que se espera que aprenda el estudiante, es decir, en función de las competencias que se espera que el alumno adquiera y favoreciendo un contexto que estimule el trabajo continuado por su parte.

Se han tenido en cuenta las siguientes recomendaciones1:

Planificar la metodología del proceso de enseñanza-aprendizaje en torno a las competencias establecidas.

Organizar la actividad docente con modalidades diversas más allá de la simple dicotomía teoría-práctica.

Elección de los métodos de enseñanza con el objetivo prioritario de fomentar el trabajo del alumno.

Desarrollar un sistema de evaluación coherente con la adquisición de competencias y el trabajo continuado del alumno.

1 De Miguel, Mario. “Modalidades de enseñanza basadas en el desarrollo de competencias

COMPETENCIAS

MÉTODOSMODALIDADES

SISTEMAS DE EVALUACIÓN



Objetivos de aprendizaje

El primer paso fue formular los objetivos de aprendizaje: competencias generales y específicas (páginas 5-8) y objetivos de conocimiento (página 9). A partir de ellos se establecieron los contenidos de las lecciones y su programación temporal (páginas 10-13) así como los contenidos de las prácticas y su programación temporal (páginas 14-20).

Modalidades organizativas de las tareas de enseñanza

Con este nombre nos referimos a “las distintas maneras de organizar y llevar a cabo los procesos de enseñanza-aprendizaje”. Una vez definidos los objetivos de aprendizaje, y para lograrlos, se eligieron las siguientes modalidades:

Clases teóricas: el profesor se dirige al alumnado para explicar los contenidos teóricos de la asignatura o ciertos procedimientos generales de resolución de problemas.

Clases teórico-prácticas: el profesor muestra a los alumnos ciertos conocimientos teóricos o procedimientos de resolución de ejercicios que se van a aplicar en la misma clase. Esta modalidad mixta está reemplazando a la anterior.

Clases prácticas: el profesor muestra a los estudiantes cómo deben actuar en el aula o laboratorio para resolver los ejercicios y problemas propuestos.

Trabajo en grupo: su objetivo es hacer que los estudiantes aprendan entre ellos, bien mediante la realización de trabajos concretos, bien resolviendo problemas.

Trabajo autónomo: para desarrollar la capacidad de autoaprendizaje del estudiante (se estimula mediante la realización de trabajos individuales).

Tutorías: atención personalizada a los estudiantes. A los alumnos se les citará para tutorías con una periodicidad determinada para un seguimiento eficaz de las diversas pruebas de la evaluación continua. Otro aspecto tutorizable en su formación es el estilo de aprendizaje de cada uno de ellos. En este proyecto de nuevo se les pasará a los alumnos el cuestionario CHEAE de estilos de aprendizaje. La información correspondiente a este apartado está desarrollada en la página 35.



Métodos de enseñanza

Es la “forma de proceder que tienen los profesores para desarrollar su actividad docente”. Es decir, para las modalidades docentes elegidas los profesores utilizarán los siguientes métodos:

Método expositivo (conocido también como lección magistral): su finalidad es transmitir conocimientos de forma coherente y razonada y activar procesos cognitivos en el estudiante. En el caso particular de las matemáticas también se busca estimular el desarrollo lógico-formal del pensamiento y la capacidad de abstracción de cada alumno.

Resolución de ejercicios y problemas: para ejercitar, ensayar y poner en práctica los conocimientos previos.

Aprendizaje basado en problemas: su finalidad es desarrollar aprendizajes activos mediante la resolución de problemas (de carácter más práctico y más complicados en cuanto que afectan varios temas o materias).

Aprendizaje cooperativo: para desarrollar aprendizajes activos y significativos de forma cooperativa (actuando en equipo).

Sistema de evaluación

Es una opinión compartida de forma general que, desde la perspectiva del alumno, los exámenes constituyen un elemento fundamental para orientar su trabajo y su aprendizaje y sin embargo, desde la perspectiva de muchos profesores, la evaluación es el elemento último en la planificación de su labor.

El hecho de centrar el aprendizaje (adquisición de competencias) en el trabajo del alumno supone pasar a un primer plano el sistema de evaluación. Se convierte en fundamental que cada uno de nuestros alumnos conozca tema a tema cómo va desarrollándose su proceso de aprendizaje, sus fortalezas y debilidades.

El sistema de evaluación seleccionado es un sistema de evaluación continua y formativa en cuyo diseño se ha tenido en cuenta que:

Es una asignatura de segundo curso, por lo que tienen conocimientos de asignaturas específicas de la Titulación con las que pueden relacionar y aplicar conocimientos matemáticos.

Después de haber cursado Matemáticas I, su formación matemática es suficientemente sólida para la búsqueda y ampliación de información científica de forma personal o cooperativamente.



La madurez “mental” de los alumnos les permite autoevaluarse.

Los criterios de evaluación de las distintas pruebas y trabajos están intrínsecamente relacionados con las modalidades y métodos docentes utilizados.

Cada prueba o trabajo se diseña para que el alumno aprenda realizándola, convirtiéndose de esa forma en un escalón más del proceso enseñanza-aprendizaje.

El diseño de la evaluación, la cual se describe en la página 30, contempla los siguientes procedimientos y técnicas evaluadoras

Pruebas objetivas (test, emparejamientos, etc) Pruebas de respuesta corta. Pruebas de respuesta larga, de desarrollo. Trabajos y proyectos Sistemas de autoevaluación Técnicas de observación (registros, listas de control).

Medios y material a disposición del profesorado

Pizarra: medio tradicional por excelencia que permite al profesor ejemplificar, de manera lógica y ordenada, un desarrollo largo ya sea teórico o de aplicación.

Proyector conectado al ordenador: permite disponer de contenidos de diversos temas de forma de forma inmediata, aplicaciones prácticas en vivo, desarrollo directo de programas y presentación de simulaciones, animaciones, etc.

AulaWeb, como fuente abierta de aprendizaje virtual, permite al profesor poner a disposición de los estudiantes los diferentes recursos de la asignatura tales como documentos teóricos o prácticos, exámenes con soluciones, soluciones de las preguntas tipos test, evaluaciones, etc.

Página web de la asignatura (vinculada a la de la UD, centro, UPM), con la misma documentación disponible en Aulaweb, al objeto de tener dos canales de acceso según dificultades

Sala de audiovisuales.

Libros de texto y apuntes.

Correo electrónico.



Medios a disposición de los alumnos

Libros de texto, apuntes, manuales: a través del Servicio de publicaciones, UD y Biblioteca.

Apuntes de clase: el alumno recoge la información que transmite el profesor. Sigue siendo un medio útil de aprendizaje para el alumno.

Laboratorios de Informática, con horario de libre acceso fuera de las clases presenciales

AulaWeb, como fuente abierta de aprendizaje virtual, permite al alumno disponer de los diferentes recursos de la asignatura tales como documentos teóricos o prácticos, exámenes con soluciones, soluciones de las preguntas tipos test, evaluaciones, etc.

Página web de la asignatura (vinculada a la de la UD, centro, UPM), con la misma documentación disponible en Aulaweb, al objeto de tener dos canales de acceso según dificultades

Correo electrónico.

Lugares de estudio: una magnífica Biblioteca de Campus, Laboratorios y diversas aulas que se habilitan al efecto.



OTRAS ACTIVIDADES FORMATIVAS Conferencias y Seminarios.

Para completar el trabajo cooperativo, o ampliar un tema, el profesor puede sugerir la asistencia a ciertas conferencias o seminario. Un resumen y una exposición posterior del mismo por parte del alumno se valorará como trabajo.

CRÉDITOS ECTS

En las programaciones de las asignaturas de los planes de estudio integrados en el EEES se usa como medida el sistema de créditos europeos (ECTS) cuya filosofía se caracteriza por integrar en los créditos asignados a cada clase teórico-práctica:

las horas de clase presencial.

las horas que se precisen para su estudio

las horas de preparación y realización de exámenes

las horas de realización de trabajos.

Es decir, un crédito europeo comprende el número de horas que se prevé que necesita un alumno medio para alcanzar los objetivos formativos de dichas materias.

http://aulaweb.topografia.upm.es

http://www.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/segundo/

Otras actividades formativas/ Créditos ECTS


El Real Decreto que regula el sistema de créditos ECTS (Decreto 1125/2003) establece que:

UN CRÉDITO ECTS = 30 horas de trabajo del alumno

UN CURSO ACADÉMICO = 40 semanas (docencia y evaluación)

TRABAJO SEMANAL DEL ALUMNO = 45 horas

CURSO ACADÉMICO = 1500 – 1800 horas

40 semanas x 45 horas = 1500 – 1800 horas

CURSO ACADÉMICO = 60 créditos

1 PRESENCIAL DE TEORÍA = 2 horas de estudio personal

1 PRESENCIAL DE PRÁCTICAS = 0,5 – 1,5 horas de trabajo

HORAS NO PRESENCIALES = Estudio de teoría, trabajos individuales, trabajos en equipo, informes de prácticas, consultas tutoriales, visitas, seminarios, preparación de exámenes, evaluación etc.

Para la asignatura de MATEMÁTICAS II se ha estimado que un alumno medio necesita aproximadamente unas 180 horas de dedicación (clases, estudio y trabajos) que suponen unos 6 créditos europeos:

Horas de clases teórico-prácticas, laboratorios, etc: 90 h.

Tiempo de estudio personal de teoría y /o problemas: 32 h.

Tiempo para la realización de trabajos individuales: 12 h.

Tiempo para la realización de trabajos cooperativos: 10 h.

Tiempo para la consulta tutorial: 6 h.

Evaluación: Tiempo de preparación de exámenes: 20 h.

Evaluación: Tiempo de realización de exámenes: 10h.



BIBLIOGRAFÍA

Estadística (temas 1 al 5)

Bibliografía básica

[1] Unidad Docente de Matemáticas. Estadística. E.U. de Topografía, U.P.M., (1997)

[2] Tomeo Perucha V., Uña Juárez I. Lecciones de estadística descriptiva. Editorial Thomson, (2003).

[3] Uña Juarez I., Tomeo Perucha V., San Martín Moreno J. Lecciones de Cálculo de Probabilidades, (2003).

Bibliografía complementaria.

[4] Canavos CG. Probabilidad y estadística. Ediciones Díaz de Santos, (1995).

[5] William Mendenhall. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Prentice-Hall, (1997).

[6] Quesada V., García A. Lecciones de cálculo de probabilidades. Editorial Díaz de Santos, (1998).

[7] Quesada V., Isidoro A., López L. A. Curso de ejercicios de estadística. Editorial Alambra Universidad, (2002).

Cónicas en polares (tema 6)


[8] Salas, S. L. y Hille, E. Calculus. Tomo 1. Reverté, (1994).

[9] Thomas, G. y Finney, R. Cálculo con geometría analítica. Volumen 1. Addison Wesley Iberoamericana, (1987).


[10] Simmons, G.F. Cálculo con geometría analítica. Mc Graw Hill., (2002)


http://www.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/segundo/


Bibliografía


Integración aproximada (tema 7)


[11] Salas, S. L. y Hille, E. Calculus Tomo 1. Reverté, (1994).

[12] Thomas, G. y Finney, R. Cálculo con geometría analítica. Volumen 1. Addison Wesley Iberoamericana, (1987).


[13] Burgos, J. Cálculo Infinitesimal de una variable MacGrawHill, (2004).

[14] García Castro, F. y Gutiérrez Gómez, A. Cálculo Infinitesimal I, vol 2. Pirámide (1980).

[15] Larson, Hostetler y Edwards, Cálculo I. Pirámide. (2002).

[16] Burgos, J. Cálculo integral (una y varias variables): 70 problemas útiles. García-Maroto Editores. (2007)

Cálculo en varias variables (temas 8 al 10)


[17] Larson, Hostetler y Edwards, Cálculo II. Pirámide. (2003).

[18] Salas, S. L. y Hille, E. Calculus. Tomo 1. Reverté. (1994)

[19] García, A. y otros. Cálculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables. CLAGSA, (2002).


[20] Burgos, J. Cálculo Infinitesimal de varias variables. MacGrawHill (2000)

[21] Burgos, J. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería (Álgebra y Cálculo). Definiciones, teoremas y resultados. 276 Ejercicios y Cuestiones teórico prácticas. García-Maroto Editores. (2008)

[22] Burgos, J. Cálculo infinitesimal. 202 problemas útiles. García-Maroto Editores. (2007)



[23] Burgos, J. Funciones de varias variables: límites, continuidad y derivadas. 40 problemas útiles. García-Maroto Editores. (2007)

[24] Burgos, J. Análisis Matemático II (varias variables): 90 problemas útiles. García-Maroto Editores. (2007)

[25] Fernández, C. Cálculo diferencial de varias variables. Thomson, (2002)

[26] García Castro, F. y Gutiérrez Gómez, A.Cálculo Infinitesimal II, vol 1 y 2. Pirámide, (1992).

[27] Pérez, C. y Paulogorrán, C. Matemática práctica con Derive para Windows. Ra-ma,(1997).

[28] Soler Dorda, M. Cálculo diferencial e integral. Una y varias variables. Síntesis, (1997).

[29] Soler Dorda, M. Ejercicios de cálculo diferencial e integral, Síntesis. (2000).

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (tema 11)


[30] Ayres, F. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill, (2001).

[31] García Castro, F. y Gutiérrez Gómez, A.Cálculo Infinitesimal II, vol 2. Pirámide, (1992)


[32] Pérez, C. y Paulogorrán, C. Matemática práctica con Derive para Windows. Ra-ma,(1997)

Geometría diferencial (tema 12)


[33] López de la Rica, A. y de la Villa Cuenca, A. Geometría Diferencial. CLAGSA, (1997)

[34] De Burgos Román, J. Curvas y superficies. Definiciones, teoremas y resultados. García-Maroto Editores. (2008)

Bibliografía



[35] Pogorelov, A. V. Geometría diferencial. Mir, (1984)

Libros electrónicos de libre difusión y direcciones de Internet útiles.

(1) Ministerio de Educación y Ciencia. Proyecto Descartes. http://descartes.cnice.mec.es/

(2) Ríus, F. y Barón F. Universidad de Málaga. Bioestadística, métodos y aplicaciones. http://www.bioestadistica.uma.es/libro/



EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA Exigencia de asistencia a clases y a prácticas

La asistencia a clase no tiene carácter obligatorio pero se valorará positivamente la asistencia regular y la realización de los ejercicios prácticos propuestos.

Evaluación continua

Para los alumnos que opten por este sistema. La evaluación es como sigue:

Segundo cuatrimestre: i) Cuatro pruebas teórico-prácticas individuales a realizar en clase:

2 + 3,5 + 2 +1.5 = 9 puntos = 90% del total. ii) Un trabajo cooperativo del tema de Ecuaciones Diferenciales

(grupos de 3 alumnos): 1 puntos = 10% del total.

iii) La participación activa y alguna práctica en clase servirá para redondear la nota, si ésta se halla próxima al aprobado.

La nota final será la suma de las obtenidas en los apartados anteriores. Los alumnos que no se acojan a la evaluación continua serán evaluados mediante un examen teórico-práctico según las normas aprobadas en Consejo de Departamento.

Evaluación final

Todos los alumnos, se hayan acogido o no a la evaluación continua, tienen derecho en junio a un examen final que se divide en dos partes: una por cada cuatrimestre.

La nota final será la nota media de las parciales correspondientes a cada cuatrimestre.

Aquellos alumnos que hayan aprobado algún cuatrimestre por curso se examinarán solo del que hayan suspendido.

La nota de los parciales aprobados se conservará hasta el examen de septiembre.

http://descartes.cnice.mec.es

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/

Evaluación de la asignatura


Criterios de calificación

En las pruebas y en los trabajos se valorará positivamente: El procedimiento de resolución de los ejercicios con preferencia

al resultado final. La presentación ordenada y estructurada. Las soluciones y presentaciones originales. Las síntesis y conclusiones en los trabajos. La claridad de exposición y la composición en las

presentaciones orales y con PowerPoint.

Calendario de evaluación

Las fechas de exámenes las establece la Jefatura de estudios y para este curso son:

1er Parcial 11 de febrero 16h

2º Parcial 16 de junio 9h

Final de junio 30 de junio 9h



DERECHOS Y DEBERES DEL ALUMNO Los Estatutos de la UPM recogen, en sus artículos 123 y 124, la relación derechos y deberes de los alumnos de esta Universidad y fueron aprobados por el Claustro de la UPM en octubre de 2003. Puedes leerlos en http://www.da.upm.es/normativa_UPM.htm

Te citamos a continuación los que están más relacionados con las actividades de aprendizaje de Matemáticas II:

Derechos

El artículo 123 recoge, entre otros derechos, los siguientes:

a) Recibir una enseñanza de calidad mediante la utilización racional de los recursos humanos y materiales de la UPM.

c) Ser valorado objetivamente en el control de su rendimiento académico y de forma que pueda acogerse a los mecanismos de recurso establecidos en los Estatutos.

g) Disponer de un sistema de tutela que facilite el aprendizaje y la elección del currículo.

h) Disponer de facilidades e instalaciones para el normal desarrollo de actividades académicas, culturales y, en general, todas las que vayan dirigidas a completar su formación.

l) Utilizar las instalaciones y servicios universitarios según las normas que los regulen y disfrutar de las prestaciones sociales que ofrezca la U.P.M.

Deberes

El artículo 123 recoge, entre otros derechos, los siguientes:

a) Seguir con responsabilidad y aprovechamiento el proceso de formación, adquisición de conocimientos y aprendizaje correspondiente a su condición de universitario.

b) Realizar las actividades de estudio e investigación que se deriven de la programación de las enseñanzas y de los planes de estudio seguidos.

d) Respetar las instalaciones y servicios que la UPM pone a su disposición.

f) Contribuir responsablemente a la evaluación y mejora de la calidad de la enseñanza.

Calendario


LA FUNCIÓN TUTORIAL

La tutoría puede entenderse como una “modalidad organizativa docente en la que se establece una relación personalizada de ayuda entre el profesor y uno o varios estudiantes” (de Miguel 2005).

El artículo 123 g) de los derechos de los estudiantes también establece el deber de cada profesor universitario de dedicar cierto número de horas semanales a la función tutorial. En el caso de un profesor con dedicación exclusiva se fija un horario semanal de 6 horas de tutorías que estará permanentemente expuesto a la puerta de su despacho para conocimiento de los alumnos.

La tutoría es una ayuda y soporte a la docencia ordinaria de la clase pero el potencial de la tutoría es mucho mayor y los profesores de la UD de Matemáticas así lo entendemos. En este sentido contemplamos, dentro de su diseño, ciertas labores de orientación relativas tanto al perfil de aprendizaje y académico de cada alumno, así como su combinación con otras modalidades docentes: trabajo individual, cooperativo.

Asimismo apoyamos, a través del grupo de innovación INNGEO, al que todos pertenecemos, la creación de un Plan de Acción Tutorial para la Titulación.

En las tutorías ofrecemos a cada alumno (o grupo de alumnos) una atención personalizada en el proceso de enseñanza de la asignatura. La labor tutorial permite, a cada profesor tutor:

Conocer mejor al alumno y poder ayudarle a una adecuada adaptación al grupo.

Asesorarle en métodos de estudio adecuados a la asignatura y a su forma de aprender. Cada alumno podrá conocer su perfil de aprendizaje a través del cuestionario CHEAE que los alumnos asistentes a clase cumplimentarán. Los resultados serán comunicados individualmente.

Valorar su rendimiento, hacer propuestas para mejorarlo así como para estimular y motivar su aprendizaje.

Asesorar a los grupos de trabajo para el trabajo en equipo.

Recoger opiniones, sugerencias e iniciativas que mejoren los métodos docentes de la asignatura.



Cada alumno puede asistir a tutorías con cualquier profesor de la asignatura, según su disponibilidad, se corresponda, o no, con el que imparte docencia en su grupo. De esta manera, se ofrece al alumno de cualquiera de los grupos un horario de atención más amplio, tanto por la mañana como por la tarde.

Esto es posible debido a que el diseño desarrollado de la función tutorial de la asignatura, está realizado en combinación y de forma coordinada con la planificación global de la asignatura y es el mismo para los diferentes grupos, en particular en lo que se refiere a los contenidos y a la pauta temporal de cada uno de los temas de la asignatura.

El profesor tutor puede asimismo llamar a algún alumno o grupo de alumnos a consulta tutorial para comentar o asesorar sobre algún aspecto concreto de su proceso de aprendizaje o metodología de trabajo.

Animamos, a cada uno de vosotros, a aprovechar este servicio que os brindamos como apoyo a vuestro aprendizaje, desde la primera dificultad que os surja.

http://www.da.upm.es/normativa_UPM.htm

Calendario Escolar curso 2010/2011de las siguientes titulaciones:

.Ingeniero Técnico en Topografía (2º y 3er. curso)

. Ingeniero en Geodesia y Cartografía (2º curso)

Calendario Escolar

Exámenes No Lectivo Vacaciones Festivos Prácticas campo 3º

curso 2009/2010

Práct. De

Proyectos

Topográficos en

Ing. Civil

Curso 2010/2011

Práct. De

Proyectos

Topográficos del

19 al 30

sept./2011

Curso 2010 / 2011

Septiembre 2010

L M M J V S D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30

Octubre 2010

L M M J V S D

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

Noviembre 2010

L M M J V S D

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

Diciembre 2010

L M M J V S D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

Enero 2011

L M M J V S D

1 1 2

3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

31

Febrero 2011

L M M J V S D

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28

Marzo 2011

L M M J V S D

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31

Abril 2011

L M M J V S D

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

Mayo 2011

L M M J V S D

1

2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29

30 31

Junio 2011

L M M J V S D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30

Julio 2011

L M M J V S D

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

Agosto 2011

L M M J V S D

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31

Septiembre 2011

L M M J V S D

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

Primer día lectivo del curso: 27 – Septiembre – 2010 ------ Último día lectivo del curso: 3 de Junio de 2011

COMIENZO DE CURSO: 27/SEPTIEMBRE/2010

ÚLTIMO DÍA LECTIVO: 3/JUNIO/2011

FECHAS DE PRÁCTICAS:

Del 27 de septiembre/2010 al 8 de octubre/2010 Prácticas de campo de 3º Curso - 2010

Del 23 al 25 de Marzo/2011 (ambos inclusive) Prácticas de Proyectos Topográficos en

Ingeniería Civil (2010/11)

Del 19 al 30 de Septiembre de 2011 Prácticas de Proyectos Topográficos

DÍAS NO LECTIVOS:

11 de octubre de 2010

8 de noviembre de 2010

7 de diciembre de 2010

DIAS FESTIVOS:

12 de octubre de 2010 – Fiesta Nacional de España, Nuestra Señora del Pilar

1 de noviembre de 2010 – Fiesta de todos los Santos

9 de noviembre de 2010 – Nuestra Señora de la Almudena

6 de diciembre de 2010 – Día de la Constitución Española

8 de diciembre de 2010 – La Inmaculada Concepción

25 de diciembre de 2010 – Natividad del Señor

1 enero de 2011 – Año Nuevo

6 de enero de 2011 - Epifanía del Señor

28 enero de 2011 - Santo Tomás de Aquino

21 y 22 de abril de 2011 (jueves y viernes Santo)

26 de abril de 2011 (Festividad San Isidoro de Sevilla)

1 de mayo de 2011 – Día del Trabajo

2 de mayo de 2011 – Fiesta de la Comunidad de Madrid

15 de mayo de 2011 – San Isidro Labrador

23 de junio de 2011 – Corpus Christi

25 de julio de 2011 – Santiago Apóstol

15 de agosto de 2011 – La Asunción de Nuestra Señora

EXÁMENES:

Del 9 al 22 de Diciembre de 2010

Del 10 al 20 de Enero de 2011

Del 1 al 14 de febrero de 2011

Del 6 de Junio al 6 de Julio de 2011

Del 1 al 21 de Septiembre de 2011

VACACIONES:

Del 23 de diciembre de 2010 al 7 de enero de 2011. – Vacaciones de Navidad

Del 18 al 25 de abril de 2011. – Vacaciones de Semana Santa

Del 7 de julio al 31 de agosto de 2011. – Vacaciones de Verano.

Notas


NOTAS ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Elabora: Manuel Barrero, Mª Luisa Casado, Ángeles Castejón, Luis Sebastián.

Edita e Imprime Imprenta de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

Diseño, Maquetación y Tablas

Mª Ángeles Castejón Solanas, Esther González y Laura Llorente.

Imagen de portada Imagen UPM.

Año de Edición febrero de 2011

guía de matemáticas ii -...

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