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Geometría Diferencial

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

1.- a) Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto P de una circunferencia que rueda, sin deslizar, a lo largo de una recta. Si P está inicialmente en el origen O(0,0) y a es el radio de la circunferencia, hallar unas ecuaciones paramétricas de la cicloide. b) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la hélice circular suponiendo que el giro es de radio a y la traslación tiene longitud b por unidad de tiempo.

2.- a) Demostrar que todos los puntos de la hélice circular son puntos regulares.

b) Hallar los puntos singulares de la astroide )[0,2

0z

)(ens ay

)(cos ax

)(r 3

3

.

3.- Calcular la longitud de arco de hélice circular correspondiente a un paso.

4.- Dada la curva

1,1

2z

3

1y

3

1x

)(r2

3

2

3

, se pide:

a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) ¿Es una parametrización natural?

c) Hallar el triedro de Frenet en el punto

0,3

1,

3

1P0

d) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto 0P .

e) Hallar el centro y el radio de curvatura en 0P .

f) Hallar la ecuación del plano normal a la curva en 0P .

5.- Dada la curva

z

)cos( )(ensy

)cos( )(ensx

)(r R, se pide:

a) Escribir las ecuaciones de su parametrización natural. b) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(1,-1,0). c) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. d) Justificar si se trata de una curva plana o alabeada. e) Hallar la ecuación de la recta tangente en P.

6.- Dada la curva de ecuación 2 2r( ) cos ,sen ,sen cos [0, )

. Se pide:

a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(0,1,0).



c) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. d) Hallar el centro y el radio de curvatura de la curva en P. e) Hallar la ecuación del plano osculador en P. f) Hallar unas ecuaciones implícitas de la curva.

7.- El lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva c, cuya curvatura no sea nula en ninguno de sus puntos, se llama “evoluta” de c. Hallar la evoluta de la espiral logarítmica:

sen ey

cos ex

y demostrar que la evoluta calculada es una nueva espiral logarítmica.

8.- Dada la curva

z

sen y

cos x

)(r , R , se pide:

a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto ,0,P0

d) Calcular la curvatura en 0P .

e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva?

9.- Sea r r

la curva de ecuación:

x

y sh 2

z ch 2

,

a) Estudiar si es el parámetro arco. b) ¿Tiene r algún punto singular? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,0,1). d) Hallar el plano osculador y el plano normal en P.

10.-Dada la curva

cos

( ) 1 2sen

z cos

x

r y

, R , se pide:

a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(-1,1,-1) d) Calcular la curvatura en P. e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva?



11.- Dada la curva

senz

y

cosx

)(r 2 . Se pide:

a) ¿Tiene algún punto singular? b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar la curvatura en el punto 0,,1P 2

0 .

d) ¿En qué punto de la curva la torsión es nula? e) Hallar el triedro de Frenet en el punto 0,0,1P1 .

12.- Dada la curva

2

cos

2

)(

z

y

senx

r . Se pide:

a) Analizar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,1,0) d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura y el centro de curvatura en dicho

punto P.

13.- a) Hallar la curvatura y la torsión del arco de curva:

sz

seny

x

cos 5

3

s 1

s cos 5

4

, referido al parámetro arco.

b) Demostrar que el arco de curva anterior está contenido en una circunferencia, es decir, que el centro y el radio de curvatura son los mismos para todos los puntos del arco.

14.- Se considera la hélice de ecuación

t4z

t sen 3y

t cos 3 x

. Se pide:

a) Ecuación de la recta tangente 0t y de la normal principal 0n a la hélice en el

punto 2 ,3 ,0P0 .

b) Demostrar que el ángulo que forma la recta tangente tr a la hélice, en un punto

genérico P de la misma, con el plano xy es constante independientemente de P. c) Demostrar que la normal principal nr en un punto genérico P de la curva, corta

al eje OZ.

15.- Dada la curva r 2cos , 1 2sen ,

, R . Se pide:



a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización

natural de la curva c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(2,1,0). d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura, el centro de curvatura y la

torsión en P. e) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en P. f) Hallar la ecuación del plano osculador a la curva en P g) ¿Se trata de una curva plana o alabeada? Si es plana, hallar la ecuación del

plano que la contiene.

16.- Se considera la curva:

tz

2

t seny

tcosx

tr , se pide:

a. Analizar si tiene algún punto singular. b. ¿Es t el parámetro arco? c. Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1, 0, 0). d. Hallar el plano osculador en P. e. Hallar la curvatura, el radio y el centro de curvatura y la torsión en P. f. La curva ¿es plana o alabeada?

17.- De las curvas siguientes justifica, mediante los cálculos adecuados, cuál tiene como parámetro el parámetro arco, cuál admite un cambio de parámetro admisible para proporcionar unas ecuaciones respecto del parámetro arco y cuál no verifica ni lo uno ni lo otro.

) 3 s n( ), 3 cos( ), 3a r e

) 3 s n , 3 cos , 32 2 2

b r e

2 33 1) , 1,

4 4c r

) cos ,s n , s n cosd r e e

4 3) s n , 1-cos , s n

5 5e r e e

) 3 s n , 3 cos , 3f r e

18.- Dada la curva cos(2 ), 1 2 (2 ), r sen

, R . Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes).



d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P.

19.-Dada la curva 2cos 1, 2 1, r sen

, R . Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,0) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P.

20.- Dada la curva 21,sen ,cosr

, 0,2 , se pide:

a) Estudiar la existencia de puntos singulares. b) Hallar la longitud del arco de curva para 0,2 .

21.- Dada la curva 21 ,2 3 ,r

, R . Se pide:

a) Estudiar si es el parámetro arco. Razonar si es factible obtener una parametrización natural de la curva.

b) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,-1,1) usando las fórmulas adecuadas. c) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Se puede deducir si se trata de una curva

alabeada? d) Hallar unas ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P. e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P.

22.- Dada la curva 1, 2cos , 4 2r sen

, R . Se pide

a) Hallar una parametrización natural r s

de dicha curva.

b) Hallar unas ecuaciones intrínsecas naturales de r s

.

23.- Calcular unas ecuaciones paramétricas naturales ( ) ( ), ( ), ( )r s x s y s z s

de la clotoide

RL=9. Tomar como condiciones iniciales, el triángulo de Frenet en el origen

(0) 0; (0) , (0) , (0) .O r T i N j B k

24.- Dada la curva , cos 3, 2r sen

. Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular.



b) ¿Es λ el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P (0, 2, 2 ), utilizando las fórmulas para el parámetro arco. d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P.



1.- a) Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto P de una circunferencia que rueda, sin deslizar, a lo largo de una recta. Si P está inicialmente en el origen O(0,0) y a es el radio de la circunferencia, hallar unas ecuaciones paramétricas de la cicloide. b) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la hélice circular suponiendo que el giro es de radio a y la traslación tiene longitud b por unidad de tiempo. Solución:

a) Considerando que el eje OX es la recta, que la circunferencia situada en el plano XY tenga de radio “a” y que inicialmente M esté en el origen de coordenadas, al girar la circunferencia un ángulo “t” , el punto M se encuentra en la situación de la figura:

x = OS = OP – SP = arc (PM) – SP = a t – MN = a t – a sen t = a (t – sen t) y = SM = PC – NC = a – a cos t = a (1 – cos t) z = 0

Luego, unas ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

0 t z

t)cos-(1 a ty

sen t)-(t a tx

b) La hélice circular es la trayectoria seguida por un punto M que se mueve por el cilindro 222 ayx , de modo que su proyección sobre el eje OZ se desplace por este eje con velocidad constante “b” y su proyección sobre el plano XY gire uniformemente por la circunferencia. Sea M’ = M proyXY . Las coordenadas x, y de M’ son las mismas que las de M, y, como M’ pertenece a la circunferencia de centro O(0, 0) y radio “a”, se verifica:

sen t a ty

tcos a tx

Por otra parte, aplicando la fórmula “espacio = velocidad x tiempo”, se tiene que:

z = tbM proyOZ

Luego, unas ecuaciones paramétricas de la hélice circular son:

tb t z

sen t a ty

tcos a tx

, siendo “a” y “b”

constantes y Rt .



2.- a) Demostrar que todos los puntos de la hélice circular son puntos regulares.

b) Hallar los puntos singulares de la astroide )[0,2

0z

)(ens ay

)(cos ax

)(r 3

3

.

Solución:

a)

b t z'

tcos a t y'

sen t a- t x'

)t('r

tb t z

sen t a ty

tcos a tx

)t(r cuyas tres coordenadas no se anulan

simultáneamente para ningún valor de t.

b)

0z'

)(cos )(ens a3'y

)(ens )(cos a3'x

)('r)[0,2

0z

)(ens ay

)(cos ax

)(r 2

2

3

3

0)(cos ó 0)(ens0)(cos )(ens

0)(ens )(cos0)('r

2

2

. Diferentes casos:

1) 0)(cosy 0)(ens , imposible.

2) 0

sen( ) 0

1

2

P a,0,0

P a,0,0

3) 2cos( ) 03

2

3

4

P 0,a,0

P 0, a,0



3.- Calcular la longitud de arco de hélice circular correspondiente a un paso. Solución:

2 22 2 2 2 2 2 2 2

[0,2 ] 0 0L x' t y' t z' t dt a sen t a cos t b dt

2 2 2

0a b dt

2 22 a b



4.- Dada la curva

1,1

2z

3

1y

3

1x

)(r2

3

2

3

, se pide:

a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) ¿Es una parametrización natural?

c) Hallar el triedro de Frenet en el punto

0,3

1,

3

1P0

d) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto 0P .

e) Hallar el centro y el radio de curvatura en 0P .

f) Hallar la ecuación del plano normal a la curva en 0P .

Solución: a) ¿Sus puntos son regulares?

3 3

2 21 1 1 1 1r( ) , , r '( ) , , (0,0,0)

3 3 2 22 2

Luego, todos los puntos son regulares. b) ¿Es una parametrización natural?

1 1 1r '( ) , , 1

2 2 2

Se trata, por tanto, de una parametrización natural.

c) Triedro de Frenet en el punto 0

1 1P , ,0

3 3

: 0P , T 0 , N 0 ,B 0 .

Vector tangente T 0 :

1 0 1 0 1 1 1 1T 0 : r '(0) , , , , .

2 2 2 22 2

Vector normal r '' (0)

N(0)

r '' (0)

1 1 1 1 1 1 1r '( ) , , r ''( ) , ,0 r ''(0) , ,0

2 2 4 42 4 1 4 1



1 1, ,0

r '' (0) 2 24 4N(0) , ,02 21 1

, ,0r '' (0)4 4

Vector binormal B 0 :

i j k

1 1 1 1 1 1B(0) T(0) N(0) , ,

2 2 2 22 2

2 20

2 2

0

1 1 1 1 1 2 2 1 1 1P , T 0 , N 0 ,B 0 , ,0 , , , , , ,0 , , , .

3 3 2 2 2 2 2 22 2

d) Curvatura y torsión en P. Curvatura 0k =

)0(''r :

1 1k(0) r ''(0) , ,0

4 4

2

4

Torsión 20k

)0( '''r ,)0( ''r ,)0( 'r

0

3 3

1 1 1 1r '''( ) , ,0 r ''(0) , ,0

8 88 1 8 1

1 1 1

2 2 21 1 2

r ' (0), r '' (0), r ''' (0) 04 4 321 1

08 8

2 2

2r ' (0), r '' (0), r ''' (0)320

k 0 24

2

4



e) Centro C y radio de curvatura en P:

1 1 4

k(0) 2 / 4 2 2 2

Centro de curvatura en P:

1 1 2 2C P N(0) , ,0 2 2 , ,0

3 3 2 2

1 1, ,0

7 7

f) Plano normal a la curva en P:

1 1 1 1 1x y z 0

2 3 2 3 2

x - y + √2·z = 0



5.- Dada la curva

z

)cos( )(ensy

)cos( )(ensx

)(r R , se pide:

a) Escribir las ecuaciones de su parametrización natural. b) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,-1,0). c) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. d) Justificar si se trata de una curva plana o alabeada. e) Hallar la ecuación de la recta tangente en P. Solución:

a)

z

)cos( )(ensy

)cos( )(ensx

)(r R, no es una parametrización natural de la curva

pues el vector derivada no es unitario en todos sus puntos. En efecto:

2

2 2

x cos( ) sen( )

r '( ) y cos( ) sen( ) r '( ) cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) 1 3 r '( ) 3

z 1

Por tanto, no es el parámetro arco.

3

s 3d 3d )('rd )('r)('rs

0

0

0

Sustituyendo en función del arco, se obtiene una parametrización natural de la curva:

s sx sen cos

3 3

s sr(s) y sen cos , s R

3 3

sz

3

b) Triedro de Frenet en el punto

1

0 0 0 0 0P r(0) sen cos ,sen cos , 1, 1,0 .

3 3 3 3 3

:

1P , T 0 , N 0 ,B 0 .

Vector tangente: T(s) r ' (s)

1 s 1 s 1 s 1 s 1r '(s) cos sen , cos + sen ,

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1r '(0) , ,

3 3 3



Vector normal: r '' (s)

N(s)

r '' (s)

1 s 1 s 1 s 1 sr ''(s) sen cos , sen + cos ,0

3 3 3 33 3 3 3

1 1 1 1 2r ''(0) , ,0 r ''(0) , ,0

3 3 3 3 3

1 1, ,0

r '' (s) 1 13 3N(s) , ,0

2 2 2r '' (s)

3

Vector binormal B 0 :

i j k

1 1 1 1 1 2B(0) T(0) N(0) , ,

3 3 3 6 6 61 1

02 2

1P , T 0 , N 0 ,B 0

1 1 1 1 1 1 1 21, 1,0 , , , , , ,0 , , ,

3 3 3 2 2 6 6 6

d) Curvatura 0k =

)0(''r = 2

3

Torsión en P, 20k

)0( '''r ,)0( ''r ,)0( 'r

0

:

1 s 1 s 1 s 1 sr '''(s) cos sen , cos sen ,0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1r ''(0) , ,0

3 3 3 3



1 1 1

3 3 31 1 2

r ' (0), r '' (0), r ''' (0) 03 3 271 1

03 3 3 3

2 2

2r ' (0), r '' (0), r ''' (0)270

k 0 23

1

3

d) Es una curva alabeada por no ser la torsión nula en todos sus puntos. e) Recta tangente en P: Pasa por P y es paralela al vector tangente en P

1x 1 t

31

y 1 t3

1x 0 t

3

Más simplificada: x = 1 + μ, y = -1 + μ, z = μ



6.- Dada la curva de ecuación ),0[ cossen,sen,cos)(r 22

. Se pide: a) Estudiar si para el intervalo de definición sus puntos son regulares. b) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(0,1,0). c) Calcular la curvatura y la torsión de dicha curva en el punto P. d) Hallar el centro y el radio de curvatura de la curva en P. e) Hallar la ecuación del plano osculador en P. f) Hallar unas ecuaciones implícitas de la curva. Solución:

a) ¿Puntos regulares?

2 2 2 2r( ) cos ,sen ,sen cos r '( ) 2cos sen ,2sen cos ,cos sen

2 2r '( ) 4cos sen 1 0

Luego, todos los puntos son regulares y el parámetro no es el arco, pues el módulo del vector derivada no es 1 para todo valor de λ.

b) Triedro de Frenet en P(0,1,0): P, T 0 , N 0 ,B 0 .

2 2r( ) cos ,sen ,sen cos (0,1,0)2

Sólo sirve: [0, )

2

Vector tangente en P: r ' ( )

T( )

r ' ( )

t( / 2) r '( / 2) 0,0, 1

Que es unitario y, por tanto, ya es el vector tangente en P.

Vector binormal: r ' ( ) r '' ( )

B( )

r ' ( ) r '' ( )

2 2r ''( ) 2 4cos ,4cos 2, 4cos sen r ''( / 2) 2, 2,0

i j k

r '( / 2) r ''( / 2) 0 0 1 2, 2,0 r '( / 2) r ''( / 2) 2 2.

2 2 0

2, 2,0r ' ( ) r '' ( ) 2 2B( ) , ,0

2 22 2r ' ( ) r '' ( )

Vector normal: N( ) B( ) T( )



i j k

2 2 2 2N( / 2) B( / 2) T( / 2) 0 , ,0 .

2 2 2 20 0 1

2 2 2 20,1,0 , 0,0, 1 , , ,0 , , ,0

2 2 2 2

c) Curvatura en P,

3 3

r ' r '' 2 2 2, 2,0

k2 (0,0, 1)

r ' 2

2·√2

Torsión en P, 2

r ' , r '' , r ''' 2 2 2

2

r ' r '' 2 2

:

2r '''( ) 8cos sen , 8cos sen ,4 8cos r '''( / 2) 0,0, 4

0 0 1

r ' , r '' , r ''' 2 2 0 02 2 2

0 0 4

Luego, la torsión en P vale 0. d) Centro C y radio de curvatura en P:

1 1

k( / 2) 2 2

2

4 es el radio de curvatura.


1 2 2C P N( / 2) 0,1,0 , ,0

2 22 2

1 3, ,0

4 4

es el centro de

curvatura en P.

e) Plano osculador en P: Pasa por P y es perpendicular al vector

2b .

2 2x 0 y 1 0 z 0 0

2 2 x y 1

f) Unas ecuaciones implícitas de la curva son: {x + y = 1, 2z = x·y}



7.- El lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva c, cuya curvatura no sea nula en ninguno de sus puntos, se llama “evoluta” de c. Hallar la evoluta de la espiral logarítmica:

sen ey

cos ex

y demostrar que la evoluta calculada es una nueva espiral logarítmica. Solución:

Centro de curvatura: 1

C r( ) N( ) N( )k( )

. ¿Es λ el parámetro arco?

r( ) e cos , e sen ,0 r '( ) e cos sen , e sen cos ,0 r '( ) 2e .

Luego, λ no es el parámetro arco. Cálculo de la curvatura k(λ): 3

r ' ( ) r '' ( )

k

r ' ( )

r ''( ) 2e sen , e cos ,0 .

2

i j k

r ' ( ) r '' ( ) e cos sen e sen cos 0 0,0, 2e

2e sen e cos 0

2

3 3

r ' ( ) r '' ( )2e

k2er ' ( )

2 1 1e R

2 k 2e

2

Cálculo del vector tangente:

e cos sen e sen cosr ' ( ) cos sen sen cosT( ) , ,0 , ,0

2e 2e 2 2r ' ( )

Cálculo del vector binormal:

2

2

r ' ( ) r '' ( ) 2eB( ) 0,0, (0,0,1)

2er ' ( ) r '' ( )

Cálculo del vector normal:

i j ksen cos cos sen

N( ) B( ) T( ) 0 0 1 , ,02 2

cos sen sen cos0

2 2



Cálculo del centro de curvatura C(λ):

1 sen cos cos senC P N( ) e cos ,e sen ,0 , ,0

2 2 2e

2

= e sen ,e cos ,0

que es una nueva espiral logarítmica pues puede escribirse en la forma:

2e e cos ,e sen ,0

para μ = π/2 +λ.



(2 puntos)

8.- Dada la curva

z

sen y

cos x

)(r , R , se pide:

a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto ,0,P0

d) Calcular la curvatura en 0P .

e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva? Solución: a) Curva y derivadas en :

r( ) cos , sen , r( ) cos , sen , ,0,

r '( ) cos sen , cos sen ,1 r '( ) 1, ,1

r ''( ) cos 2sen , 2cos sen , 0 r ''( ) , 2,0

r '''( ) sen 3cos , cos 3sen ,0 r '''( ) 3, ,0

Puntos singulares no tiene b)

2r '( ) cos sen , cos sen ,1 2 0

λ no es el parámetro arco pues: 2 2 1 para cualquier valor de λ.

Relación entre el arco s y λ: 2

0s 2d

c) Triedro de Frenet en el punto ,0,P0 correspondiente a : Lo constituyen el propio

punto y los vectores tangente, normal y binormal en dicho punto.

Vector tangente:

2 2 2 2

1, ,1r ' ( ) 1 1T( ) , ,

2 2 2 2r ' ( )

Vector binormal:

2

4 2 4 2 4 2

1, ,1 , 2,0r ' ( ) r '' ( ) 2 2B( ) , ,

1, ,1 , 2,0 5 8 5 8 5 8r ' ( ) r '' ( )

Vector normal:



2

4 2 4 2 4 2

2 2 2

2 2

2 4 2 2 4 2 2 4 2

i j k

2 2N( ) B( ) T( )

5 8 5 8 5 81 1

2 2 2

3 4, ,

2 5 8 2 5 8 2 5 8

d) Curvatura en el punto ,0,P0 :

3 3

r ' r '' 1, ,1 , 2,0k

1, ,1r '

4 2

32

5 8

2

e) La torsión en el punto ,0,P0 es no nula, por tanto, la curva no es plana; en efecto:

2

2 4 2 4 2

1 1

2 0r ' , r '' , r '''

3 0 60

5 8 5 8r ' r ''



9.- Sea r r

la curva de ecuación:

x

y sh 2

z ch 2

a) Estudiar si es el parámetro arco. b) ¿Tiene r algún punto singular? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,0,1). d) Hallar el plano osculador y el plano normal en P. Solución: a) ¿Es λ el parámetro arco?

2 8 4r , sh 2 , ch 2 r ' 1, 2ch 2 , 2sh 2 r ' e 2e e 2 1.

Luego, λ no es el arco . b) ¿Hay algún punto singular?

2 8 4r ' e 2e e 2 0

Luego, no hay puntos singulares .

c) Triedro de Frenet (parámetro cualquiera) r( ), T( ), N( ),B( )

El punto P se obtiene para λ = 0. En efecto:

r , sh 2 , ch 2 0,0,1 0

Vector tangente:

2 8 4

1,2ch 2 ,2sh 2 1,2,0r ' ( ) 1 2T( ) T(0) , ,0

5 5 5e 2e e 2r ' ( )

Vector binormal: r ' ( ) r '' ( )

B( )

r ' ( ) r '' ( )

r '' 0, 4sh 2 , 4ch 2 r '' 0 0,0, 4

i j k

2 5 5r ' (0) r '' (0) 1 2 0 8, 4,0 r ' (0) r '' (0) 4 5 b (0) , ,0

5 50 0 4

Vector normal: N( ) B( ) T( )



i j k

2 5 5N(0) B(0) T(0) 0 0,0,1

5 51 2

05 5

1 2 2 5 50,0,1 , ,0 , 0,0,1 , , ,0

5 55 5

d) Plano osculador: Es el plano que pasa por P y es perpendicular al vector binormal en P.

2 5 5x 0 y 1 0 z 1 0

5 5 2·x - y = 0

Plano normal: pasa por P y es perpendicular al vector tangente en P.

1 2x 0 y 1 0 z 1 0

5 5 x + 2·y = 0



10.-Dada la curva

cos

( ) 1 2sen

z cos

x

r y

, R , se pide:

a) Estudiar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frénet en el punto P(-1,1,-1) d) Calcular la curvatura en P. e) ¿Existe algún plano que contenga a la curva? Solución: a) Puntos singulares

r( ) cos ,1 2sen ,cos r '( ) -sen , 2 cos , s en r '( ) 2

No tiene puntos singulares pues su vector derivada es no nulo en todos los puntos del intervalo. b) λ no es el parámetro arco pues la longitud (módulo) del vector derivada no es 1 en el intervalo. c) El origen en la referencia que denominamos triedro de Frenet en P(-1,1,-1) es el propio punto P. Como λ no es el parámetro arco hemos de usar las fórmulas al respecto para calcular los vectores del triedro.

Triedro de Frenet (parámetro cualquiera) r( ), T( ), N( ),B( )

Previamente hallamos el valor de λ para el cual se obtiene P

r( ) cos ,1 2sen ,cos 1,1, 1

Como λ ha de ser positivo la solución válida es λ = π Cálculo del vector tangente

-sen , 2 cos , s enr ' ( )T( ) 0,1,0

2r ' ( )

Cálculo del vector binormal

r ' ( ) r '' ( )B( )

r ' ( ) r '' ( )

r ''( ) cos , 2sen , cos r ''( ) cos , 2sen , cos 1,0,1



i j k

2 2r ' ( ) r '' ( ) 0 2 0 2,0, 2 r ' ( ) r '' ( ) 2 b ( ) ,0,

2 21 0 1

Cálculo del vector normal

i j k

2 2 2 2N( ) B( ) T( ) 0 ,0,

2 2 2 20 1 0

2 2 2 21,1, 1 0,1,0 , ,0, , ,0,

2 2 2 2

d) Cálculo de la curvatura en P

3 3

r ' r '' 0, 2,0 1,0,1k

0, 2,0r '

2

2

e) Para que la curva sea plana (es decir, para que exista un plano que la contenga), hay que estudiar si la torsión es cero en TODOS los puntos del intervalo. La fórmula para obtener la torsión es:

2

r ' , r '' , r '''

r ' r ''

El numerador de esta expresión es:

sen 2 cos sen

r ' , r '' , r ''' cos 2sen cos 0

sen 2cos sen

Luego efectivamente se trata de una curva plana pues su torsión es 0 en TODOS los puntos de la curva.



11.- Dada la curva

senz

y

cosx

)(r 2 . Se pide:

a) ¿Tiene algún punto singular? b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar la curvatura en el punto 0,,1P 2

0 .

d) ¿En qué punto de la curva la torsión es nula? e) Hallar el triedro de Frenet en el punto 0,0,1P1 .

Solución: a) ¿Tiene algún punto singular?

2r( ) cos , , sen r '( ) s en , 2 , cos 0,0,0 0

puesto que cosλ y senλ no se anulan simultáneamente. Luego, la curva no tiene puntos singulares.

b) ¿Es λ el parámetro arco? En general es:

2r '( ) s en , 2 , cos 4 1 1

luego, λ no es el arco.

c) Hallar la curvatura en el punto 0,,1P 20

2 2r( ) cos , , sen 1, ,0

Tomamos λ = π. Aplicando la fórmula para el cálculo de la curvatura para un parámetro cualquiera:

3 32

r ' ( ) r '' ( )0, 2 ,1 1, 2,0

k1 4r ' ( )

3

32

5 4

1 4

d) 2

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( )

0 r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( ) 0

r ' ( ) r '' ( )

002

cos0sen

sen2cos

cos2sen

)( '''r ,)( ''r ,)( 'r 0,0,1P1

e) Triedro de Frenet en el punto 0,0,1P1 : 1P , T 0 , N 0 , B 0 .



Aplicando las fórmulas para calcular los vectores tangente, normal y binormal para un parámetro cualquiera, en 0 , se obtiene:

Vector tangente:

sen0, 2 0, cos0r ' (0)T(0)

sen0, 2 0, cos0r ' (0)

(0,0, 1) ,

Vector binormal: r ' (0) r '' (0)

B(0)

r ' (0) r '' (0)

r ''( ) cos , 2, sen r ''(0) cos0, 2, sen0 1, 2,0

i j k

2 5 5r ' (0) r '' (0) 0 0 1 2, 1,0 r ' (0) r '' (0) 5 B (0) , ,0

5 51 2 0

Vector normal:

i j k

2 5 5 5 2 5N(0) B(0) T(0) 0 , ,0

5 5 5 50 0 1

5 2 5 2 5 51,0,0 0,0, 1 , , ,0 , , ,0

5 5 5 5



12.- Dada la curva

2

cos

2

)(

z

y

senx

r . Se pide:

a) Analizar si tiene puntos singulares. b) ¿Es el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,1,0) d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura y el centro de curvatura en dicho punto P. Solución:

a) No tiene puntos singulares pues el vector derivada primera:

0,0,02,sen,2

cos2

1)('r

al no anularse simultáneamente las tres

coordenadas para el mismo valor de .

b) no es el parámetro arco pues 1)('r

, ya que depende de .

c) Triedro de Frenet en el punto P(0,1,0): P, T P , N P , B P .

P(0,1,0) = 0,cos,2

sen 2

Aplicando las fórmulas para calcular los vectores tangente, normal y binormal para un parámetro cualquiera, en 0 , se obtiene:

Vector tangente:

1,0,0

r ' (0) 2T(0) 1,0,0

1,0,0r ' (0)

2

,

Vector binormal: r ' (0) r '' (0)

B(0)

r ' (0) r '' (0)

1r ''( ) sen , cos ,2 r ''(0) 0, 1,2

4 2

i j k

2 5 5r ' (0) r '' (0) 1 0 0 0, 2, 1 r ' (0) r '' (0) 5 B (0) 0, ,

5 50 1 2



Vector normal:

i j k

2 5 5 5 2 5N(0) B(0) T(0) 0 0, ,

5 5 5 51 0 0

2 5 5 5 2 50,1,0 1,0,0 , 0, , , 0, ,

5 5 5 5

d) Aplicando la fórmula de la curvatura para un parámetro cualquiera, se obtiene la

curvatura en P:

e)

3 3 3 3

1 1 5r '(0) r ''(0) ,0,0 0, 1,2 0, 1,2 2 2k 0 4 5

1 11,0,0r '(0)

2 22

y el radio de curvatura en P: 1 1

k 4 5


1 5 2 5C r(0) N(0) 0,1,0 0, ,

5 54 5

19 10, ,

20 10



13.- a) Hallar la curvatura y la torsión del arco de curva:

sz

seny

x

cos 5

3

s 1

s cos 5

4

, referido al parámetro arco.

b) Demostrar que el arco de curva anterior está contenido en una circunferencia, es decir, que el centro y el radio de curvatura son los mismos para todos los puntos del arco. Solución:

a) Curvatura y torsión del arco de curva:

scos 5

3z

s sen1y

s cos 5

4 x

sr

s sen 5

3 s, cos- s, sen

5

4)s('r ,

s osc 5

3 s, sen s, osc

5

4)s(''r

sk = 1ssen25

9ssenscos

25

16s osc

5

3 s, sen s, osc

5

4)s(''r 222

Luego, la curvatura es la misma en todos los puntos de la curva y vale 1.

sen s 5

3- s, osc s,en s

5

4)s('''r

0

sk

)s( '''r ,)s( ''r ,)s( 'r

s2

Por tanto, la torsión es nula en todos los puntos. Se trata pues de una curva plana. b) Es un arco de circunferencia, en efecto:

Por ser k(s) = 1, el radio de curvatura vale 1

1k(s)

en todos los puntos.

El vector normal en cada punto es:

4 3 cos s, sen s, cos s

r ''(s) 4 35 5N(s) cos s, sen s, cos s

1 5 5r ''(s)

Y, por último, el centro de curvatura es:

C(s) r(s) N(s) 0, 1, 0

también común a todos los puntos de la curva, que está contenida, en consecuencia, en una circunferencia de centro el punto C (0, 1, 0) y radio = 1.



14.- Se considera la hélice de ecuación

t4z

t sen 3y

t cos 3 x

. Se pide:

a) Ecuación de la recta tangente 0t y de la normal principal 0n a la hélice en el punto

2 ,3 ,0P0 .

b) Demostrar que el ángulo que forma la recta tangente tr a la hélice, en un punto genérico

P de la misma, con el plano xy es constante independientemente de P. c) Demostrar que la normal principal nr en un punto genérico P de la curva, corta al eje OZ. Solución:

a) r(t) 3 cos t,3 sen t, 4t 0, 3, 2 t .2

La recta tangente en cada punto es paralela al vector:

r '(t) -3sen t,3cos t, 4 r ' -3sen ,3cos ,4 3,0,42 2 2

La recta tangente 0t tiene, pues, de ecuación:

42z

3y

3x

.

Es fácil comprobar que t no es el parámetro arco, pues el vector derivada primera no es unitario en todos los puntos de la curva. Por ello, el vector normal es paralelo al vector:

r '(t) r ''(t) r '(t)

(ya que dicho vector normal es B t T t

).

r ''(t) 3 cos t, 3 sen t,0 r '' 3 cos , 3 sen ,0 0, 3,02 2 2

r ' r '' r ' 3,0, 4 0, 3,0 3,0,4 (12,0,9) 3,0,4 0, 75,02 2 2

que, a su vez, es paralelo al vector (0, 1, 0).

La normal principal 0n tiene, pues, de ecuación:

2z

3y

0x

.

b) El ángulo α entre el vector tangente en un punto P genérico de la curva y el vector (0, 0,

1), perpendicular al plano xy, es:

-3s en t,3cos t, 4 0,0,1 4 4

cos arccos5 5-3s en t,3cos t, 4

que es constante independientemente del valor de t para cada punto. c) La recta normal principal en cada punto P pasa por dicho punto y es paralela al vector

normal, es decir, es paralela al vector r '(t) r ''(t) r '(t).

:

-3s en t,3cos t, 4 -3 cos t, 3 sen t, 0 -3s en t,3cos t, 4 -75cos t, 75sent,0



Que, a su vez, es paralelo al vector: cos t, sen t,0

La recta normal en un punto genérico r(t)

tiene, por tanto, de ecuación:

x(t) 3 cos t cos t

y(t) 3 sen t sent

z(t) 4t

Corte con el eje OZ:

x(t) 3 cos t cos t 0

y(t) 3 sen t sent 0 3

z(t) 4t

Sustituyendo λ por -3 en la ecuación de la recta queda:

x(t) 3 cos t 3cos t

y(t) 3 sen t 3sent P 0,0,4t

z(t) 4t

que es el punto de corte de la normal principal con el eje OZ. Otro método para demostrarlo es comprobar que el vector director del eje OZ, el vector director de la recta normal y un vector que una un punto de cada recta (por ejemplo, el origen

y r(t)

) son coplanarios:

0 0 1

cos t sent 0 0

3cos t 0 3sent 0 4t 0

O más simple todavía: Como el vector director de la recta normal es (cos(t), sin(t), 0), tiene nula la coordenada z, eso significa que forma un ángulo constante con el plano xy, como queríamos demostrar.



15.- Dada la curva r 2cos , 1 2sen ,

, R . Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(2,1,0). d) Hallar la curvatura, el radio de curvatura, el centro de curvatura y la torsión en P. e) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en P. f) Hallar la ecuación del plano osculador a la curva en P. g) ¿Se trata de una curva plana o alabeada? Si es plana, hallar la ecuación del plano que la contiene. Solución: a)

r 2cos , 1 2sen , r ' 2s en , 2cos ,1 r ' 5.

Todos los puntos son regulares, pues r '

no es cero para ningún valor de λ.

b)

λ no es el arco, pues r ' .

no es 1 para todo λ.

0

s s 5s r ' d 5

55

Una parametrización natural de la curva es:

s 5 s 5 s 5r s 2cos , 1 2sen ,

5 5 5

c)

Triedro de Frenet en el punto P(2,1,0): P, T P , N P , B P .

s 5 s 5 s 5r s 2cos , 1 2sen , 2,1,0 s 0

5 5 5


5 s 5 5 s 5 5 5 5r ' s 2 s en , 2 cos , r ' 0 0, 2 ,

5 5 5 5 5 5 5


N(s)

r '' (s)

r '' 02 s 5 2 s 5 2r '' s cos , - s en , 0 r '' 0 , 0, 0 ( 1,0,0)

5 5 5 5 5 r '' 0

Vector binormal: 2 5 5 5 2 5B(0) T(0) N(0) 0, , 1,0,0 0, - ,

5 5 5 5

Luego, el triedro de Frenet en P es:



2 5 5 5 2 52,1,0 0, , , 1,0,0 , 0, ,

5 5 5 5

d) Curvatura en P respecto al arco: 2k 0 r '' (0) , 0, 0

5

2

5

Radio de curvatura en P: 1 1 5

k(0) 2 / 5 2


5C r(0) N(0) 2,1,0 1,0,0

2

1

,1,02

Torsión en P: respecto al arco: 2sk

)s('''r,)s(''r,)s('r

)s(n)s('bs

2 5 s 5 2 5 s 5 2 5r ''' s s en , cos , 0 r ''' 0 0, , 0

25 5 25 5 25

2 5 50

5 52 4

r ' (0), r '' (0), r ''' (0) 0 05 125

2 50 0

25

2

4r ' (0), r '' (0), r ''' (0)125s

4k s25

1

5

e) Recta tangente en P: x 2

y 1 2

z 0

donde se ha tomado un vector director perpendicular al vector tangente en P. f) Plano osculador a la curva en P:

2x 2

5y 1 2 y 2z 1 0

z 0

pues pasa por P y es paralelo a los vectores tangente y normal. g) Se trata de una curva alabeada pues la torsión no es nula en todos sus puntos, al no serlo en P.



16.- Se considera la curva:

tz

2

t seny

tcosx

tr , se pide:

a) Analizar si tiene algún punto singular.

b) ¿Es t el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1, 0, 0). d) Hallar el plano osculador en P. e) Hallar la curvatura, el radio y el centro de curvatura y la torsión en P. f) La curva ¿es plana o alabeada? Solución:

a) Puntos singulares:

t 1 tr t cos t,sen , t r ' t sent, cos ,1

2 2 2

Al ser la tercera coordenada igual a 1, no es nunca nulo. No hay, por tanto, puntos singulares. b) ¿Es t el arco?

2r ' t cos t 8sent 9 1.

4

Luego, t no es el arco.

c) Triedro de Frenet en el punto P(1,0,0): P, T P , N P ,B P

tr t cos t,sen , t (1,0,0) t 0.

2

Vector tangente:

10, ,1

r ' (0) 5 2 52T(0) 0, ,

5 510, ,1r ' (0)

2

Vector binormal:

r '(0) r ''(0)B(0)

r '(0) r ''(0)

1 tr '' t cos t, sen ,0 r '' 0 1,0,0

4 2

10, ,1 ( 1,0,0)

r '(0) r ''(0) 2 5 52B(0) 0, ,

5 510, ,1 ( 1,0,0)r '(0) r ''(0)

2

Vector normal:

2 5 5 5 2 5N(0) B(0) T(0) 0, , 0, , 1,0,0

5 5 5 5




5 2 5 2 5 51,0,0 0, , , 1,0,0 , 0, ,

5 5 5 5

d) Plano osculador en P:

2 5 50 x 1 y 0 z 0 0

5 5 z - 2·y = 0

e) Curvatura en P respecto al arco:

3 3 3 3

1 1 5r '(0) r ''(0) 0, ,1 ( 1,0,0) 0, ,12 2 2k 0

1 5 50, ,1r '(0)2 2 2

4

5

Radio de curvatura en P: 1 1 5

k(0) 4 / 5 4


5C r(0) N(0) 1,0,0 1,0,0

4

1

,0,04

Torsión en P respecto al arco: 2

r ' (0), r '' (0), r ''' (0)

0 B(0) N(0)k 0

1 t 1r ''' t s ent, cos ,0 r ''' 0 0, ,0

8 2 8

10 1

21

r ' (0), r '' (0), r ''' (0) 1 0 08

10 0

8

2 2

1r ' (0), r '' (0), r ''' (0)80

k 0 52

1

10

f) La curva es alabeada pues la torsión no es nula en todos los puntos.



17.- De las curvas siguientes justifica, mediante los cálculos adecuados, cuál tiene como parámetro el parámetro arco, cuál admite un cambio de parámetro admisible para proporcionar unas ecuaciones respecto del parámetro arco y cuál no verifica ni lo uno ni lo otro.

) 3 s n( ), 3 cos( ), 3 .a r e

) 3 s n , 3 cos , 3 .2 2 2

b r e

2 33 1) , 1, .

4 4c r

) cos ,s n , s n cos .d r e e

4 3) s n , 1-cos , s n .

5 5e r e e

) 3 s n , 3 cos , 3 .f r e

Solución:

a)

3 s n( ), 3 cos( ), 3 ' cos( ), s ( ), 1 ' 2.r e r en r

El parámetro λ no es el arco

0 0 0

ss r '( ) r '( ) d r '( ) d 2 d 2

2

Este cambio de parámetro es admisible porque la derivada de λ es 1/√2, en consecuencia, proporciona unas ecuaciones paramétricas naturales de la curva b)

1 1 13 s n , 3 cos , 3 ' cos , s ,

2 2 2 2 2 2 2 2

' 1

r e r en

r

λ es el parámetro arco, por lo que las ecuaciones dadas son las ecuaciones paramétricas naturales de la curva c)

2 3 2 4 23 1 3 3 1, 1, ' , 1, ' 9 36 16.

4 4 2 4 4r r r

4 2

0 0 0

1s r '( ) r '( ) d r '( ) d 9 36 16 d

4

No tiene primitiva, luego no existe un cambio de parámetro admisible, luego no podemos obtener unas ecuaciones paramétricas para la curva dada.



d)

2 2

2 2

cos ,s n , s n cos ' s , cos , cos s n

' 2 1 2 cos

r e e r en e

r sen

2 2

0 0 0s r '( ) r '( ) d r '( ) d 2 1 2sen cos d

λ no es el parámetro arco y no se puede calcular una expresión de λ en función de s para obtener unas ecuaciones paramétricas naturales de la curva. e)

4 3 4 3s n , 1-cos , s n ' cos , sen , cos ' 1.

5 5 5 5r e e r r

λ es el parámetro arco, luego las ecuaciones dadas es una parametrización natural de la curva. f)

3 s n , 3 cos , 3 ' cos ,s ,1 ' 2.r e r en r

0 0 0

ss r '( ) r '( ) d r '( ) d 2 d 2

2

λ no es el parámetro arco pero la expresión anterior es un cambio de parámetro admisible (s'=√2≠0) que permite obtener una parametrización natural.



18.- Dada la curva cos(2 ), 1 2 (2 ), r sen

, R . Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de

la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,) (se recomienda hacerlo con las

ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva

alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P.

Solución:

a) cos(2 ), 1 2 (2 ), ' 2s (2 ), 4cos(2 ), 1 (0,0,0) 0r sen r en

Para cualquier valor de λ, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula.

b) 2' 5 12cos 2 .r

λ no es el parámetro arco pues la longitud del vector tangente no es la unidad para cualquier λ

2

0 0' 5 12cos 2 .r d d

No tiene primitiva, luego no existe un cambio de parámetro admisible, luego no podemos obtener unas ecuaciones paramétricas para la curva dada.

c) Triedro de Frenet en el punto P(1,1, ): P, T P , N P ,B P .

cos(2 ), 1 2 (2 ), 1,1, .r sen

Vector tangente: 0, 4,1r ' ( ) 4 17 17

T( ) 0, ,17 170, 4,1

r ' ( )

Vector binormal:

r '( ) r ''( )B( )

r '( ) r ''( )

'' 4 cos(2 ), 8 (2 ), 0 '' 4, 0, 0 .r sen r

0, 4,1 4,0,0r '( ) r ''( ) 17 4 17

B( ) 0, ,17 170, 4,1 4,0,0

r '( ) r ''( )

Vector normal:

17 4 17 4 17 17N( ) B( ) T( ) 0, , 0, , 1,0,0

17 17 17 17


4 17 17 17 4 171,1, 0, , , 1,0,0 , 0, ,

17 17 17 17



d)

Curvatura en P respecto al arco: 3 3

r '( ) r ''( )0, 4,1 4,0,0

k0, 4,1

r '( )

4

17

Torsión en P: respecto al arco: 2

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( )

r '( ) r ''( )

''' 8s (2 ), 16 cos(2 ), 0 ''' 0, 16, 0r en r

0 4 1

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( ) 4 0 0 64

0 8 0

2 2

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( )64

4 17r '( ) r ''( )

4

17

Se trata de una curva alabeada pues τ≠0 e) Radio de curvatura en P:

1 1 17

k( ) 4 /17 4


17C r( ) N( ) 1,1, 1,0,0

4

13

,1,4

El radio de curvatura es =1/4/17) = 17/4 El círculo osculador es el circulo intersección de la esfera de centro y radio los de curvatura con el plano osculador

2 2

2 213 17x y 1 z

4 4

17 4 17 130, , x , y 1, z 0

17 17 4

f) El plano osculador es que hemos calculado en el apartado anterior y la recta tangente pasa por el punto y su dirección es la del vector tangente

x 1

y 1 4t

z t



19.-Dada la curva 2cos 1, 2 1, r sen

, R . Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva. c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(1,1,0) (se recomienda hacerlo con las ecuaciones del enunciado usando las fórmulas correspondientes). d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada? e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P. f) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P. Solución:

a) 2cos 1, 2 1, ' 2 , 2cos , 1 (0,0,0) 0r sen r sen

Para cualquier valor de λ, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula.

b) ' 5r

0 0 0

s s 5s r '( ) r '( ) d r '( ) d 5 d 5

55

λ no es el parámetro arco pero la expresión anterior indica que existe un cambio de parámetro admisible (λ'=√5/5≠0) que permite obtener la parametrización natural siguiente:

5 5 52cos 1, 2 1,

5 5 5

s s sr s sen

c) Obtención Triedro de Frenet con las fórmulas para un parámetro cualquiera.

r( ), T( ), N( ),B( )

Hallamos, en primer lugar el valor de λ que proporciona el punto (1,1,0)

2cos 1, 2 1, (1,1,0) 0.r sen

Vector tangente: 0,2,1r ' (0) 2 5 5

T(0) 0, ,5 50,2,1

r ' (0)

Vector binormal:

r '( ) r ''( )B( )

r '( ) r ''( )

'' 2cos , 2 , 0 '' 0 2,0,0r sen r

0,2,1 ( 2,0,0)r '(0) r ''(0) 5 2 5

B(0) 0, ,5 50,2,1 ( 2,0,0)

r '(0) r ''(0)



Vector normal:

5 2 5 2 5 5N(0) B(0) T(0) 0, , 0, , 1,0,0

5 5 5 5


2 5 5 5 2 51,1,0 0, , , 1,0,0 , 0, , ,

5 5 5 5

d) Cálculo de la curvatura

Curvatura en P respecto al arco: 3 3

r '(0) r ''(0)0,2,1 2,0,0

k 00,2,1

r '(0)

2

5

Torsión en P: respecto al arco: 2

r ' (0), r '' (0), r ''' (0)

0

r '(0) r ''(0)

''' 2s , 2cos , 0 ''' 0 0, 2, 0r en r

0 2 1

r ' (0), r '' (0), r ''' (0) 2 0 0 4

0 2 0

2 2

r ' (0), r '' (0), r ''' (0)4

02 5r '(0) r ''(0)

1

5

Es una curva alabeada porque la torsión no es nula (en al menos un punto) e) El radio de curvatura es =1/(2/5)= 5/2 y el centro es Centro de curvatura en P:

5C r(0) N(0) 1,1,0 1,0,0

2

3

,1,02

El círculo osculador es el circulo intersección de la esfera de centro y radio los de curvatura con el plano osculador

2 2

2 23 5x y 1 z 0

2 2

2 5 5 30, , x , y 1, z 0 0

5 5 2

f) La recta normal pasa por el punto y su dirección es la del vector normal y el plano normal pasa por el punto y su vector característico es el vector tangente

x 1 t

y 1

z 0

2 5 50, , x 1, y 1, z 0 0

5 5

2y z 2



20.- Dada la curva 21,sen ,cosr

, 0,2 , se pide:

a) Estudiar la existencia de puntos singulares.

b) Hallar la longitud del arco de curva para 0,2 .

Solución

a) Estudiamos los valores de para los que ' 0.r

' 0, 2sen cos , s 0,0,0 0; .r en

en [0,2π) solo hay 2 puntos singulares

0 1,0,1r

y 1,0, 1r

b) 2 2 2 2 2[0,2 ] 0 0 0' 0,2sen cos , s 1 4coss r d en d sen d

2 5 ln 5 2 5.91577143 u



21.- Dada la curva 21 ,2 3 ,r

, R . Se pide:

a) Estudiar si es el parámetro arco. Razonar si es factible obtener una parametrización natural de la curva. b) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,-1,1) usando las fórmulas adecuadas. c) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Se puede deducir si se trata de una curva alabeada? d) Hallar unas ecuaciones de la recta tangente y del plano osculador de la curva en P. e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P.

Solución

a) es el parámetro arco si se verifica que ' 1, .r R

2 21 ,2 3 , 1, 3,2 10 4 .' 'r r r

no es el parámetro arco Por otro lado,

0 0

22

0

22

5s r '( ) r '( ) d r '( ) d d ln

5 2 2 5 210

24

4 5

2

luego no es posible despejar en función de s, por lo tanto, no es factible obtener una parametrización natural de la curva. b) Obtenemos el valor de que proporciona P(0,-1,1)

21 ,2 3 , 0, 1,1 1.r

, luego el triedro de Frenet en P es el sistema de

referencia ortonormal , 1 , 1 , 1 .P T N B

Vector tangente:

1, 3,2r '(1) 14 3 14 14T(1) , ,

14 14 71, 3,2r '(1)

Vector binormal: r '(1) r ''(1)

B(1)

r '(1) r ''(1)

0,0,2 0,0,' '' 2'r r

1, 3, 2 (0,0, 2)r '(1) r ''(1) 3 10 10B(1) , ,0

10 101, 3, 2 (0,0, 2)r '(1) r ''(1)

Vector normal:

3 10 10 14 3 14 14 35 3 35 35N(1) B(1) T(1) , ,0 , , , ,

10 10 14 14 7 35 35 7




14 3 14 14 35 3 35 35 3 10 100, 1,1 , , , , , , , ,0

14 14 7 35 35 7 10 10

c) Curvatura en P

3 3 3 3

r ' (1) r '' (1) 1, 3, 2 (0,0, 2) 6, 2,0 40k(1)

141, 3, 2 1, 3, 2r ' (1)

5

343

Utilizando la fórmula cuando el parámetro es el arco, la torsión en P es:

2

r ' (1), r '' (1), r ''' (1)

1

r '(1) r ''(1)

'' '''0,0,2 0,0,0r r

independientemente del valor de .

Por lo tanto, la torsión es nula en TODOS los puntos de la curva, no solo en P. Luego efectivamente se trata de una curva plana.

d) Recta tangente en P es la que pasa por P y su dirección es la del vector tangente 1T

. La

dirección del vector tangente es la de ' 1r

x 0 t

y 1 3t

z 1 2t

Plano osculador es el plano perpendicular a 1B

por P, y 3,1,0 es un vector paralelo

a 1B

, luego 0, 1, 1 3,1,0 0x y z 3 1 0x y es su ecuación.

e) El radio de curvatura es 1 1

5343

k

343

5

El centro de curvatura es:

343 35 3 35 35C r(1) N(1) 0, 1,1 , ,

5 35 35 7

7 16, ,8

5 5

El círculo osculador es la intersección de la esfera de centro C y radio con el plano

osculador 2 2

27 16 3438

5 5 5

3 1 0

x y z

x y



22.- Dada la curva 1, 2 cos , 4 2r sen

, R . Se pide:

a) Hallar una parametrización natural r s

de dicha curva.

b) Hallar unas ecuaciones intrínsecas naturales de r s

.

Solución a) Hallamos la longitud del arco s para un intervalo [0,]

1, 2cos , 4 2 ' 1, 2s , 2 ' 5.r sen r en cos r

0 0 0

s s 5s r '( ) r '( ) d r '( ) d d 5

55

5

Es decir, existe un cambio de parámetro admisible 5

05

d

ds

y una parametrización

natural de la curva dada es:

5 5 51, 2cos , 4 2

5 5 5

s s sr s sen

b) A partir de la parametrización natural obtenemos las expresiones de la curvatura y la torsión

para un s cualquiera, para ello calculamos las derivadas de primer, segundo y tercer orden:

5 2 5 5 2 5 5' , sen , cos

5 5 5 5 5r s s s

2 5 2 5'' 0, cos , sin

5 5 5 5r s s s

2 5 5 2 5 5''' 0, sin , cos

25 5 25 5r s s s

, luego:

2 '' ''r s r s 4

25,

2

' '' '''r s r s r s

1

5



23.- Calcular unas ecuaciones paramétricas naturales ( ) ( ), ( ), ( )r s x s y s z s

de la

clotoide RL=9. Tomar como condiciones iniciales, el triángulo de Frenet en el origen

(0) 0; (0) , (0) , (0)O r T i N j B k

Solución

La clotoide de ecuación RL=9 1

9s

, 09

s , son sus ecuaciones intrínsecas.

Aplicando los resultados obtenidos en teoría, unas ecuaciones paramétricas son:

0

0

cos

sen

0

s

s

x ds

y ds

z

, siendo 0

sds , luego

2

0 9 18

s s sds y

2

0

2

0

cos18

sen18

0

s

s

sx ds

sy ds

z

Como estas integrales (de Fresnel) no tienen primitiva se aproximan mediante polinomios de Maclaurin

2 12 8 4

0 0cos , ,0,15 1

18 24488801280 2519424 648

s ss s s sx TAYLOR s ds ds

13 9 5

s s ss

318354416640 22674816 3240

2 14 10 6 2

0 0s , ,0,15

18 3085588961280 226748160 34992 18

s ss s s s sy TAYLOR en s ds ds

15 11 7 3

54

s s s s

46283834419200 2494229760 244944

z=0



24.- Dada la curva , cos 3, 2r sen

. Se pide:

a) Estudiar si tiene algún punto singular. b) ¿Es λ el parámetro arco? En caso negativo hallar una parametrización natural de la curva.

c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P (0, 2, 2 ), utilizando las fórmulas para el

parámetro arco.

d) Hallar la curvatura y la torsión en P. ¿Puedes deducir si se trata de una curva alabeada?

e) Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y el círculo osculador en P.

f) Hallar las ecuaciones de la recta normal y del plano normal de la curva en P.

Solución:

a) , cos 3, 2 ' cos , -s , 0,0,0 0.r sen r en

Para cualquier valor de λ, los puntos obtenidos son regulares por ser la 3ª coordenada no nula. b)

5r

0 0 0

s s 5s r '( ) r '( ) d r '( ) d d 5

55

5

λ no es el parámetro arco pero la expresión anterior indica que existe un cambio de parámetro admisible (λ'=√5/5≠0) que permite obtener la parametrización natural siguiente:

5 5 5, cos 3, 2

5 5 5

s s sr s sen

c) Triedro de Frenet en el punto P (0, 2, 2 ) r(s), T(s), N(s),B(s)

5 5 5, cos 3, 2 0,2,2 5.

5 5 5

s s sr s sen s

Luego, 5 .P r


5 5 5 5 2 5 5 2 5' cos , sen , ' ,0,

5 5 5 5 5 5 55

s sr s r




N(s)

r '' (s)

1 5 1 5 1'' s , cos , 0 '' 0, ,0

5 5 55

5 5

s sr s en r

10, ,0

r '' ( ) 5N( ) 0,1,0

10, ,0r '' 5 ( )

55

5

Vector binormal: 5 2 5 2 5 5B(s) T(s) N(s) ,0, 0,1,0 ,0,

5 5 5 5

El triedro de Frenet buscado es:

5 2 5 2 5 50,2,2 ,0, , 0,1,0 , ,0,

5 5 5 5

d) Curvatura en P:

51

'' 0, ,05

k r

1

5

Torsión en P: 2

r ' ( ), r '5 5' ( ), r ''' ( )

r

5

5

''( )5

5 5 5 5 5''' cos , s , 0 ''' , 0,0

25 5 25 25

5 5

s sr s en r

5 2 50

5 51 2

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( ) 0 05 125

50 0

25

5 5 5

2 2

5 5 2r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( )125

10, ,0r ''(

5

5

5 ) 5

2

5



Luego, se trata de una curva alabeada pues al menos existe un punto, P, en el que la torsión es distinta de cero. e) Radio de curvatura:

1 115

k 5

Centro de curvatura:

C r( ) N5 5( ) 0,2,2 5 0,1,0

0,7, 2

Círculo osculador: Es la intersección de la esfera de centro en el centro de curvatura y radio el radio de curvatura con el plano osculador Plano osculador: pasa por P y es perpendicular al vector binormal en P

2 2 20 7 2 25

2 5 5,0, 0, 7, 2 0 2 2 0

5 5

x y z

x y z x z

f) Recta normal: pasa por P y tiene la dirección del vector normal en P x 0

y 2 t

z 2

El plano normal pasa por el punto P y su vector característico es el vector tangente:

5 2 5,0, 0, 2, 2 0

5 5

x y z x 2z 4 0

Cicloide

Es el lugar descrito por un punto fijo P de una circunferencia que rueda sin deslizarse por una recta fija.

En coordenadas cartesianas, las ecuaciones

paramétricas son: x r ( t - sent)

y r ( 1 - cos t)

Problema propuesto por Johan BERNOULLI (1696)

� Entre todas las curvas que unen dos puntos del plano la curva de descenso más rápido (braquistócrona) es la cicloide. Un ejemplo de arco de cicloide son las pistas de salto de esquí.

� Es tautocrona: si invertimos una cicloide y dejamos caer rodando dos canicas a diferente altura (sin rozamiento), las dos llegarán al punto más bajo al mismo tiempo.

� Es isócrona: el período de un péndulo no varía cuando este oscila entre dos cicloides, siendo la trayectoria otra cicloide.

Rotación o giro

Las transformaciones ortogonales directas de un espacio vectorial V2 son rotaciones o giros

vectoriales de V2 y su matriz asociada es

cossen

sencos

La ecuación de la rotación G (A, ) del espacio euclídeo E2, de centro A=a

b

y ángulo

, es: x '

y '

a

b

+

cos sen

sen cos

x a

y b

.•

Rotación vectorial de V3, es toda transformación ortogonal f de V3, cuyo subespacio F de vectores invariantes sea una recta (dim F= 1). A la recta vectorial F se le denomina eje de la rotación y, el ángulo de la rotación y su matriz asociada será

cossen0

sencos0

001o una semejante a ella.

La ecuación de la rotación G(e,α), considerando la referencia R= 1 2 3O;u , u , u

,

ortonormal, tal que 1u

sea paralelo al eje e y A=

a

b

c

es un punto cualquiera del eje, es:

x '

y '

z '

a

b

c

1 0 0

0 cos sen

0 sen cos

x a

y b

z c

.

Traslación

T es la traslación de vector u AA '

. Se designa T u

En el plano:

La ecuación de la traslación T u , de vector

mu

n

es:

x ' m x

y ' n y

En el espacio:

La ecuación de la traslación T u , de vector

m

u n

p

, respecto de cualquier referencia R, es:

x ' m x

y ' n y

z ' p z

.

Puntos singulares

Un punto singular de una curva plana F(t) (x(t), y(t))

es aquel en el cual

0)t(F , es decir: x '(t)=y'(t) 0 . Cualquier punto singular es pues un punto crítico. El recíproco no es cierto. Un punto regular es cualquier punto no sea singular.

Astroide o hipocicloide de cuatro cúspides Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a/4 cuando rueda interiormente sin resbalar sobre una circunferencia cuyo radio es a.

La ecuación implícita, en coordenadas cartesianas, es:3

3

x a cos t, a 0

y a sen t

En explícitas: x2/3

+y2/3

= a2/3

Longitud de un arco de curva

Sea y=f(x) una función continua en a, b y con derivada continua en (a,b).

La longitud de la curva y=f(x) entre x=a y x=b, es : b 2

aL 1 y' dx .

Si la curva viene dada en paramétricasx x(t)

y y(t)

,

1

0

t 2 2

tL x' (t) y' (t)dt

Si la curva viene dada en coordenadas polares r f( ) , entonces:

2

1

2 2L r r ' d

Para una curva en el espacio definida por r(t) x(t), y(t), z(t)

, la longitud de una

arco de curva es: 1

0

t 2 2 2

ts x' (t) y' (t) z' (t) dt

U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 168

Triedro de Frenet

Las tres semirrectas que arrancan de un punto P de la curva y tienen las direcciones de los

vectores tangente, normal y binormal forman el triedro de Fernet:

r( s ), T( s ),N( s ),B( s )

(parámetro arco)

r( ), T( ),N( ),B( )

(parámetro cualquiera)

Vector tangente:

T( s ) r ' ( s )

r ' ( )T( )

r ' ( )

Vector normal:

r'' ( s )N( s )

r'' ( s )

N( ) B( ) T( )

Vector binormal:

B( s ) T( s ) N( s )

r' ( ) r'' ( )B( )

r' ( ) r'' ( )

Torsión de una curva

Para una curva r r(t)

la torsión es igual a:

2

r ' (t) r '' (t) r ''' (t)(t)

r ' (t) r '' (t)

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco,

2

r ' (s) r '' (s) r ''' (s)(s)

r '' (s)

Para una curva plana la torsión es nula.

Curvatura de una curva

Para una curva r r(t)

la curvatura es igual a:

3

r ' (t) r '' (t)k(t)

r ' (t)

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la curvatura es igual

a: k(s) r ''(s)

El recíproco de la curvatura 1

k es el radio de curvatura

Centro de curvatura

En un entorno del punto P de una curva consideramos un círculo cuyo radio es el de

curvatura y el centro de dicho círculo es: 2

r ''(s)C P n r(s)

r ''(s)

Curva alabeada Una curva es alabeada si su torsión es distinta de cero.

Curva plana

Una curva es plana si todos sus puntos pertenecen a un plano. Si consideramos el plano z=0 entonces su ecuación es F(x,y)=0. Se verifica que la torsión es nula.

Vector tangente

Sea C una curva en el espacio definida por la función r r( t )

, el vector tangente en un

punto P de la curva es:

dr

T r 'dt

Es siempre unitario

Vector normal


y considerando la

longitud de arco s, el vector normal en un punto P de la curva es:

2

2

dT( s ) d r( s )T '

ds ds

El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva.

Así, 1 dT( s )

Nk ds

, siendo k la curvatura de C en el punto dado.


rk

se llama radio de curvatura.

Vector binormal


, el vector binormal en

un punto P de la curva es:

B T N

Es el producto del vector tangente a la curva en P, dr( s )

Tds

y el vector normal a la

curva en P, 1 dT( s )

Nk ds

considerando la longitud de arco s

Se cumple que B'( s ) ( s ) N( s )

siendo la torsión.

Plano osculador a una curva Si r r(t)

es la ecuación de una curva, el plano osculador a la curva en el punto P

correspondiente al valor del parámetro t es paralelo a los vectores r '(t)

y r ''(t)

. Contiene a su vector tangente y a su vector normal.

Plano tangente a una superficie en un punto Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie S definida en un subconjunto DR2 y

P0(x0,y0)D. Designamos por z0=f(x0,y0) y por P0 (x0,y0,z0) el punto correspondiente en la superficie S.

Cuando exista, el plano tangente a la superficie S en el punto P0, (xo,yo,zo) es:

00000 yyPy

fxxP

x

fzz

O bien,

0XF0zzz

Fyy

y

Fxx

x

F000

00PPP

PP000

Evoluta

Lugar de los centros de curvatura de una curva plana dada. Se obtiene como envolvente de la familia de normales a la curva.

Plano tangente a una superficie en un punto Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie S definida en un subconjunto DR2 y

P0(x0,y0)D. Designamos por z0=f(x0,y0) y por P0 (x0,y0,z0) el punto correspondiente en la superficie S.

Cuando exista, el plano tangente a la superficie S en el punto P0, (xo,yo,zo) es:

00000 yyPy

fxxP

x

fzz

O bien,

0XF0zzz

Fyy

y

Fxx

x

F000

00PPP

PP000

Círculo osculador Es el círculo intersección de la esfera de centro el centro de curvatura y radio el radio de curvatura con el plano osculador


Clotoide La clotoide o espiral de Cornu o espiral de Euler o espiral de Fresnel Es una curva plana en forma de espiral doble, con simetría central cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida:

2s a

es el radio de la curvatura;

s longitud de la curva o distancia recorrida

a parámetro de la clotoide

Ecuaciones paramétricas de la espiral de Cornu

x'(t)2+y'(t)2=sen2(t2)+cos2(t2)=1 que nos lleva a unas primitivas desconocidas:

Integrales de Fresnel 2t

20

2t

20

sx(t) cos ds

2a

sy(t) s en ds

2a

"Cloto era una de las tres Parcas que hilan el destino de los hombres"


Ecuaciones intrínsecas de una curva

Se denominan ecuaciones intrínsecas o naturales de una curva a la

curvatura y torsión expresadas en función del parámetro arco, es decir:

(s)

(s)

(Si el parámetro no es el arco, no son las ecuaciones intrínsecas)


Parámetro arco

Una curva r r(t) x(t), y(t),z(t)

en el espacio admite una parametrización

natural cuando al cambiar de parámetro la longitud de la curva no varía:

r r(t(s)) x(t(s)), y(t(s)),z(t(s))

donde s recibe el nombre de parámetro arco. Una curva referida al parámetro arco, s, verifica, para todo valor del parámetro,

que d r(s)

r '(s) 1ds


Radio de curvatura

Es el inverso de la curvartura: 1 1

k(s) r ''(s)


Vector normal Sea C una curva en el espacio definida por la función

r r( t ) y considerando la

longitud de arco s, el vector normal en un punto P de la curva es: 2

2

dT( s ) d r( s )T '( s )

ds ds

El vector unitario N( s ) en la dirección de la normal se llama normal principal a la

curva.

Así, 1

dT( s )N( s )

k ds

, siendo k la curvatura de C en el punto dado.


k se llama radio de curvatura.

geometría diferencial -...

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