contraste de hipÓtesis y... · 2020-05-23 · carmen cortés parejo tema 5: contraste de...

Carmen Cortés Parejo

Tema 5: Contraste de hipótesis

CONTRASTE DE HIPÓTESIS:

Procedimiento mediante el cual se decide si es razonable o no aceptar como válida una hipótesis formulada acerca de un

parámetro de la población.

En los contrastes intervienen simultáneamente dos hipótesis:

𝐻0: hipótesis nula

𝐻𝑎: hipótesis alternativa

- Entre 𝐻0 y 𝐻𝑎 se ha de cubrir todo el universo de casos posibles para el parámetro.

- 𝐻0 y 𝐻𝑎 plantean dos supuestos para el parámetro que son complementarios.

- De las dos proposiciones, asignaremos a 𝐻0 la que contiene a la igualdad.

𝐸𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑖𝑟𝑟𝑜𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑎ñ𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙 4%

QUEREMOS CONTRASTAR:

≡ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑖𝑟𝑟𝑜𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝐸𝑠𝑝𝑎ñ𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 0,04


𝑃 > 0,04

HIPÓTESIS COMPLEMENTARIA:

𝑃 ≤ 0,04

𝐻0: 𝑃 ≤ 0,04

𝐻𝑎: 𝑃 > 0,04CONTRASTE:




Procedimiento mediante el cual se decide si es razonable o no aceptar como válida una hipótesis formulada acerca de un

parámetro de la población.

En los contrastes intervienen simultáneamente dos hipótesis:

𝐻0: hipótesis nula

𝐻𝑎: hipótesis alternativa

- Entre 𝐻0 y 𝐻𝑎 se ha de cubrir todo el universo de casos posibles para el parámetro.

- 𝐻0 y 𝐻𝑎 plantean dos supuestos para el parámetro que son complementarios.

- De las dos proposiciones, asignaremos a 𝐻0 la que contiene a la igualdad.

𝐿𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠



𝜇 = 15


𝜇 ≠ 15

𝐻0: 𝜇 = 15

𝐻𝑎: 𝜇 ≠ 15CONTRASTE:



- 𝐻0 se considera cierta por defecto salvo que haya fuertes evidencias de lo contrario.

- Si el contraste de hipótesis nos lleva a rechazar 𝐻0, eso implicará automáticamente que se acepta 𝐻𝑎 como cierta.

TIPOS DE ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER EN UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Y EL CONTRASTENOS LLEVA A

Mantener 𝐻𝑜 como cierta

Rechazar 𝐻𝑜

𝐻𝑜 es REALMENTE

Cierta

Falsa

Mantener 𝐻𝑜 como ciertaY EL CONTRASTE

NOS LLEVA ARechazar 𝐻𝑜

ERRORTIPO I

ERRORTIPO II

TIPOS DE CONTRASTE:

Unilateral o de una cola:

𝐻𝑎 de tipo > ó <

Bilateral o de dos colas:

𝐻𝑎 de tipo ≠



Error de Tipo I: el que se comete rechazando 𝐻0 siendo cierta.

Nivel de significación 𝜶: probabilidad de cometer un error de Tipo I

Utilizaremos un estadístico de contraste 𝑇 evaluado en una muestra para decidir si se rechaza o no 𝐻0.

Región crítica 𝑹𝑪: conjunto de valores del estadístico de contraste que nos llevan a rechazar 𝐻0.

Si 𝐻0 es cierta: 𝛼 = 𝑃 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐼 = 𝑃 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0 = 𝑃(𝑇 ∈ 𝑅𝐶)

Bilateral o de dos colas:

𝐻𝑎 de tipo ≠

Contraste Unilateral o de una cola:

𝐻𝑎 de tipo < ó >

𝛼 ∈ 0.01, 0.05,… → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑎 0

𝛼 = 1 − 𝑝, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 ≡ 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎




1.) Enunciar la pareja de hipótesis 𝐻0 y 𝐻𝑎 y fijar un nivel de significación 𝛼.

2.) Determinar el estadístico de contraste 𝑇 a utilizar (depende del parámetro a estimar) y evaluarlo en una muestra:

𝑡0 = 𝑇(𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎)

3.) Hallar la región crítica 𝑅𝐶 (imponiendo 𝑃 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 = 𝛼)

4.) - Si 𝑡0 ∈ 𝑅𝐶 ⟹ 𝑅𝐸𝐶𝐻𝐴𝑍𝐴𝑀𝑂𝑆 𝐻0 ⟹ 𝐴𝐶𝐸𝑃𝑇𝐴𝑀𝑂𝑆 𝐻𝑎

- Si 𝑡0 ∉ 𝑅𝐶 ⟹ 𝑆𝐸𝐺𝑈𝐼𝑀𝑂𝑆 𝑀𝐴𝑁𝑇𝐸𝑁𝐼𝐸𝑁𝐷𝑂 𝐻0 𝐶𝑂𝑀𝑂 𝐶𝐼𝐸𝑅𝑇𝐴



El tiempo de espera de los clientes de un banco se distribuye normalmente con media 𝜇 = 12 minutos y desviación típica

𝜎 = 3 minutos. Se establece un nuevo procedimiento para disminuir este tiempo de espera y con el fin de contrastarlo se

toma una muestra aleatoria de 36 clientes y se observa que han esperado una media de 11 minutos.

a.) Determinar la probabilidad de que tal media de tiempo de espera o una menor se diera bajo el sistema antiguo en una

muestra del mismo tamaño.

b.) Establecer las hipótesis para contrastar el nuevo sistema.

a.) 𝑋 ≡ 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 (𝑠. 𝑎. )~𝑁(12,3)

Dada una variable 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎) , lavariable que toma como valores lasmedias de las muestras de tamaño 𝑛 es

ത𝑋~𝑁 𝜇,𝜎

𝑛.

ത𝑋 ≡ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 36 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠. 𝑎. ~𝑁 12,3

36= 𝑁(12,0.5)

𝑃( ത𝑋 ≤ 11) = 𝑃 𝑍 ≤11 − 12

0,5= 𝑃 𝑍 ≤ −2 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 2 = 1 − 0.9772 = 0.0228

Es muy improbable que en el s.i. se diera una muestra de 36 personas con un tiempo de espera de a lo sumo 11 minutos. Eso nos hace pensar que el nuevo sistema (s.n.) es mejor.



El tiempo de espera de los clientes de un banco se distribuye normalmente con media 𝜇 = 12 minutos y desviación típica

𝜎 = 3 minutos. Se establece un nuevo procedimiento para disminuir este tiempo de espera y con el fin de contrastarlo se

toma una muestra aleatoria de 36 clientes y se observa que han esperado una media de 11 minutos.

a.) Determinar la probabilidad de que tal media de tiempo de espera o una menor se diera bajo el sistema antiguo en una

muestra del mismo tamaño.

b.) Establecer las hipótesis para contrastar el nuevo sistema.

b.) Y ≡ 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 (𝑠. 𝑛. )~𝑁(𝜇1, 3)

Los resultados del apartado anterior nos hacen pensar que la media del sistema nuevo ha mejorado con respecto a la del sistema antiguo, es decir parece que 𝜇1 < 12.


𝜇1 < 12


𝜇1 ≥ 12

𝐻0: 𝜇1 ≥ 12

𝐻𝑎: 𝜇1 < 12CONTRASTE:

¡ATENCIÓN! Comparamos con el valor del parámetro poblacional (𝟏𝟐), no con el valor en la muestra (𝟏𝟏).

Salvo que nos digan locontrario, suponemosque se conserva 𝜎.



1.- CONTRASTE PARA 𝝁 CON 𝝈 CONOCIDA

Parámetro a contrastar

Estadístico:se sustituye en ത𝑋 el valorde la media muestral ҧ𝑥, en𝜇 el valor del contraste 𝜇0y en 𝑛 el tamaño muestral.

Tipo de hipótesis alternativa

Región crítica (depende de 𝑯𝒂)

La igualdad en 𝐻0representa que es lahipótesis que incluyela igualdad.



2.- CONTRASTE PARA 𝝁 CON 𝝈 DESCONOCIDA

Estadístico:se sustituye en ത𝑋 el valor dela media muestral ҧ𝑥, en 𝜇 elvalor del contraste 𝜇0 , en𝑆 el valor de la desviacióntípica muestral 𝑠 y en 𝑛 eltamaño muestral.






3.- CONTRASTE PARA 𝝈𝟐

Estadístico:se sustituye en 𝑆2 el valor dela varianza muestral 𝑠2, en 𝜎2

el valor del contraste 𝜎02 y en

𝑛 el tamaño muestral.




Para realizar un contraste para la desviación típica 𝝈, se resuelve entérminos de 𝜎2 (elevando convenientemente las hipótesis al cuadrado)y se traducen para 𝜎 las conclusiones obtenidas para 𝜎2.



4.- CONTRASTE PARA 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 CON 𝝈𝟏 Y 𝝈𝟐 CONOCIDAS

Estadístico:Para 𝒊 = 𝟏, 𝟐:Se sustituye en ത𝑋𝑖 el valor de

la media muestral ҧ𝑥𝑖 , en 𝜎𝑖2 la

varianza poblacional y en 𝑛𝑖 eltamaño muestral.𝜇1 − 𝜇2 se sustituye por cero,que es el valor que secontrasta.

Tipo de hipótesis alternativaRegión crítica (depende de 𝑯𝒂)




5.- CONTRASTE PARA 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 CON 𝝈𝟏 Y 𝝈𝟐 DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Estadístico:Para 𝒊 = 𝟏, 𝟐:Se sustituye en ത𝑋𝑖 el valor de

la media muestral ҧ𝑥𝑖 , en 𝑠𝑖2 la

varianza muestral y en 𝑛𝑖 eltamaño muestral.𝜇1 − 𝜇2 se sustituye por cero,que es el valor que secontrasta.






6.- CONTRASTE PARA LA A PROPORCIÓN 𝑷 DE UNA CARACTERÍSTICA EN UNA POBLACIÓN

Estadístico:se sustituye en 𝑃0 el valor dela proporción en la muestra𝑝0, en 𝑝 el valor del contrasteƸ𝑝 y en 𝑛 el tamaño muestral.




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