PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS

Una hipótesis es un enunciado acerca del valor de un parámetro (media, proporción, etc.).

Prueba de Hipótesis es un procedimiento basado en evidencia muestral (estadístico) y en la teoría de probabilidad (distribución muestral del estadístico) para determinar si una hipótesis es razonable y no debe rechazarse, o si es irrazonable y debe ser rechazada.

La hipótesis de que el parámetro de la población es igual a un valor determinado se conoce como hipótesis nula. Una hipótesis nula es siempre una de status quo o de no diferencia. Se simboliza con el símbolo

Siempre que se especifica una hipótesis nula, también se debe especificar una hipótesis alternativa, o una que debe ser verdadera si se encuentra que la hipótesis nula es falsa. La hipótesis alternativa se simboliza . La hipótesis alternativa representa la conclusión a la que se llegaría si hubiera suficiente evidencia de la información de la muestra para decidir que es improbable que la hipótesis nula sea verdadera, y por tanto rechazarla. Es siempre opuesta a la Hipótesis Nula.

En toda prueba de hipótesis se presentan 3 casos de zonas críticas o llamadas también zonas de rechazo de la hipótesis nula, estos casos son los siguientes:

1) Prueba Bilaterial o a dos colas:

2) Prueba Unilateral con cola hacia la derecha:

3) Prueba Unilateral con cola hacia la izquierda:

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS DE UNA MUESTRA

Si se conoce la desviación estándar de la población

𝒁 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂=𝒙−𝝁𝝈√𝒏

Si se conoce la desviación estándar de la muestra

𝒕𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂=𝒙−𝝁𝑺√𝒏

𝒏𝑵

∙100%>5 %

𝒁 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂=𝒙−𝝁

𝝈√𝒏

∙√ 𝑵−𝒏𝑵− 1

𝒕𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂=𝒙−𝝁

𝑺√𝒏

∙√ 𝑵−𝒏𝑵−1

Se utiliza una prueba de una muestra para probar una afirmación con respecto a una media de una población única.

𝐸𝑆=𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡 á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎=𝜎√𝑛

ES representa el error debido a la estimación de la media poblacional a partir de las medias muestrales, es decir, es la desviación estándar de todas las posibles muestras escogidas de esa población

TAREA:1) La duración media de una muestra de 200 tubos fluorescentes producidos por una compañía resulta ser de 1620 horas. Se sabe que la desviación típica de la población es de 100 horas. Comprobar la hipótesis contra la hipótesis alternativa horas con un nivel de significación de 0,05

Decisión: Dado que se rechaza la

2) La duración media de lámparas producidas por una compañía han sido en el pasado de 1120 horas. Una muestra de 8 lámparas de la producción actual dio una duración media de 1070 horas con una desviación típica de 125 horas. Comprobar la hipótesis horas contra la hipótesis alternativa horas mediante un

Decisión: Dado que se Acepta la

PRUEBA MEDIAS DE DOS MUESTRAS

Las pruebas de dos muestras se utilizan para decidir si las medias de dos poblaciones son iguales. Se requieren dos muestras independientes, una de cada una de las dos poblaciones

La hipótesis nula puede establecer que las dos poblaciones tienen medias iguales:

: 1 = 2

Las alternativas pueden ser alguna de las siguientes:

:1 ≠ 2 : 1 > 2 : 1 < 2

Cuando se conocen las desviaciones estándar de la población y , el valor estadístico de prueba es el siguiente:

Cuando no se conocen las desviaciones estándar de la población, y n1 + n2 es menor a 30, el valor estadístico de

prueba es como el que se presenta a continuación.

Cuando los tamaños de las dos muestras no son iguales, y su suma es menor de 30, la fórmula para el valor estadístico de prueba se convierte en:

El valor de t cuando es verdadera, tiene una distribución t con grados de libertad, sí se puede suponer que ambas poblaciones son aproximadamente normales.

TAREA:

1) La media de las calificaciones de dos muestras de 15 estudiantes de primer semestre en la asignatura de Estadística de la universidad UTN resulta ser de 7 y 8,5. Se sabe que la desviación típica de las calificaciones en esta

asignatura fue en el pasado de 1,5. Comprobar la hipótesis 1 = 2 contra la hipótesis alternativa 1 < 2 con un nivel

de significación de 0,025.

Decisión: Se rechaza H0, ya que

El análisis de varianza es una técnica que se puede utilizar para decidir si las medias de dos o más poblaciones son iguales. La prueba se basa en una muestra única, obtenida a partir de cada población. El análisis de varianza puede servir para determinar si las diferencias entre las medias muestrales revelan las verdaderas diferencias entre los valores medios de cada una de las poblaciones, o si las diferencias entre los valores medios de la muestra son más indicativas de una variabilidad de muestreo.

ANÁLISIS DE VARIANZA

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎=𝒔2=∑ (𝒙 𝒊−𝒙 )2

𝒏−1

ESTIMACIÓN INTERNA DE VARIANZA (WITHIN ESTÍMATE)

𝒔𝒘2 =

𝒔12+𝒔2

2+𝒔32+.. ………. 𝒔𝒌

2

𝒌

ESTIMACIÓN INTERMEDIANTE DE VARIANZA (BETWEEN ESTÍMATE)

𝒔𝒙2 =𝒏𝒔𝒙

2

Donde

2) La duración media de dos muestras de 10 y 14 pantalones producidos por dos empresas resulta ser de 5,4 años y 5 años, con una desviación típica de 1,1 años y 1,2 años, respectivamente. Comprobar la hipótesis 1 = 2 contra la hipótesis alternativa 1 ≠ 2 con un nivel de significación de 0,05

Se aprueba H0, ya que tprueba=0,83 se encuentra dentro del intervalo de aceptación ttabla=±2,0739

TAREA:Dado la siguiente tabla con datos acerca de los pesos en kg por 1,7 m de estatura

 Observación

Muestra1 2 3 4

1 70 74 68 75

2 75 77 70 70

3 74 70 65 73

4 72 80 60 72

5 68 72 72 71

6 59 76 73 72Realizar una estimación interna de varianza

Calcular la estimación intermediante de varianza