problemas seleccionados de dinÁmica / trabajo y … · esta fuerza actúa sobre un cuerpo de 2 kg...
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PROBLEMAS SELECCIONADOS DE DINÁMICA / TRABAJO Y ENERGÍA
Antonio J. Barbero / Alfonso Calera Belmonte / Mariano Hernández PucheDepartamento de Física Aplicada UCLMEscuela Técnica Superior de Agrónomos
Campus de Albacete
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PROBLEMA 1
Un automovilista descuidado deja su vehículo aparcado en lo alto de una pendiente del 7% al final de la cual hay un rellano seguido de una cuesta arriba del 4% (véase esquema). Si el coeficiente de rozamiento efectivo una vez que el coche empieza a rodar cuesta abajo es 0.05, calcular qué distancia d recorrerá sobre la pendiente del 4%.
7% 4%
d
10 m 10 m
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PROBLEMA 2
Sobre una plataforma inclinada que puede girar en torno a un eje vertical (véase figura) hay un pequeño dado situado a 20 cm del eje. Si la plataforma gira a 30 rpm y su ángulo es 5º, determinar el coeficiente de rozamiento estático mínimo para que el dado no resbale.
5º
30 rpm 20 cm
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PROBLEMA 3
Una fuerza variable viene dada por la expresión
( )221
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tF
+= (F en newton, t en segundos)
Esta fuerza actúa sobre un cuerpo de 2 kg inicialmente en reposo a partir de t = 0.Calcular:
a) El impulso mecánico comunicado por la fuerza al cabo de 3 s.b) Velocidad adquirida en dicho instante.c) Aceleración del cuerpo en ese instante.
d) Velocidad máxima que puede adquirir el cuerpo.
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PROBLEMA 4
Demostrar que cuando un cuerpo atado a una cuerda se mueve en una órbita circular situada en un plano vertical, la diferencia entre las tensiones de la cuerda en las posiciones extremas inferior y superior es igual a seis veces el peso del cuerpo.
mgTT AB 6=−
TB
TA
A
B
Rm
Punto A: La fuerza centrípeta FCA es la suma de la tensión de la cuerda y del peso (ambos de igual sentido)
Punto B: La fuerza centrípeta FCB es la diferencia entre la tensión de la cuerda y del peso (sentidos opuestos)
Bmg
vB
TB
A
TA
mgFCA
vA
FCB
mgTF ACA +=Rvm A
2=
mgTF BCB −=Rvm B
2=
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PROBLEMA 4 (Cont.)
mgTF ACA +=Rvm A
2=
mgTF BCB −=Rvm B
2=
Relación entre las velocidades en los puntos A y B
Energías: referencia de energías potenciales en B
CBCAPA EEE =+ A
B
m2R
Rmg 2⋅ 2
21
Amv+gRvv AB 422 +=
( )22)( ABAB vvRmmgTmgT −=+−−
2
21
Bmv=
gRRmmgTT AB 42 ⋅=−− mgTT AB 6=−
Pregunta. ¿Puede hacerse girar en un plano vertical un objeto de masa 0.5 kg sujetándolo con una cuerda que soporta una tensión máxima de 2.5 kp?
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PROBLEMA 5
El perfil de una montaña rusa corresponde al esquema que se presenta en la figura, donde la vagoneta debe remontar un rizo circular de radio R, y termina su viaje deteniéndose a la derecha del punto F. Para que la atracción sea segura se estima que la velocidad que debe llevar la vagoneta en el punto más alto es el doble de la velocidad mínima necesaria para remontar el rizo. Se pide:
Velocidad mínima inicial que debería llevar la vagoneta para superar el rizo.Velocidad mínima inicial, vB, que debe llevar la vagoneta para cumplir la condición de seguridad especificada.
Reacción normal de los raíles en el punto C
Velocidad de llegada al punto F (despréciese el rozamiento)
R
R/4F
vB
C
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PROBLEMA 5 (Cont.)
R
R/4F
vB
C
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PROBLEMA 5 (Cont.)
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PROBLEMA 6
La lenteja de un péndulo se cuelga de un hilo inextensible que es capaz de soportar una tensión máxima igual a 1.23 veces el peso de la misma. Si se separa la lenteja de la vertical un ángulo inicial de 60º y a continuación se suelta dejándola oscilar libremente, ¿completará una oscilación completa o llegará a partirse el hiloantes de conseguirlo?¿Existe algún valor del ángulo inicial que permita que se verifiquen oscilaciones completas de este sistema?(Considérese la lenteja como una masa puntual).
60º
Resolvamos el problema general para un ángulo inicial θ0. Debe comprobarse si la tensión a la que está sometido el hilo excede a la tensión máxima posible para algún valor del ángulo de separación con la vertical a medida que transcurre la oscilación.
θ0L
)cos1( θ−L
θ
mg mg senθ
TFc
)cos1( 0θ−L
mg cosθ
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PROBLEMA 6 (Cont.)
θ0
θ
L
)cos1( θ−L
mgmg cosθ mg senθ
TFc
)cos1( 0θ−L
θcos2
mgTLvmFc −==
)cos1()cos1(21
02 θθ −−−= mgLmgLmv
)cos(cos 0
2θθ −= g
Lv )coscos2( 0θθ −= mgT
Tomando el origen de energía potencial en el punto más bajo de la oscilación, la velocidad de la lenteja del péndulo como función del ángulo se obtiene mediante el siguiente balance de energía mecánica:
El hilo se romperá si se cumple que mgT 23.1= 23.1coscos2 0 =− θθ
865.02
5.023.1=
+=
2cos23.1cos 0θθ +
= Se rompe cuando θ = 30º
Si la amplitud es θ0 = 60º ...
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PROBLEMA 6 (Cont.)
θ0
θ
L
mgmg cosθ mg senθ
TFc Tm
El valor máximo de la tensión del hilo corresponde a un ángulo θ = 0 y su valor es
)cos2( 0θ−= mgTm
Por lo tanto, la máxima amplitud posible de una oscilación completa tiene que cumplir la condición
23.1cos2 0 <− θmgTm 23.1< )coscos2( 0θθ −= mgT
77.0cos 0 >θ77.0cos 0 −<− θ A medida que el ánguloθse reduce desde su valor
inicial θ 0 aumenta la tensión T
º6.390 <θ
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PROBLEMA 7
Una pequeña bolita de diámetro 2r situada inicialmente en reposo en el polo de una cúpula semiesférica cuyo radio es R (R = 100r) empieza a rodar sobre la superficie de la misma. Se pide:
Determinar la velocidad del centro de masas de la bolita desde que empieza a rodar hasta que pierde contacto con la cúpula, determinando el ángulo θs, medido con respecto a la vertical, para el que se produce dicha pérdida de contacto.
a)
Representar gráficamente el cuadrado de la velocidad del centro de masas de la bolita en unidades gR.
b)
Determinar la velocidad angular de la bolita en el momento en que pierde contacto con la superficie semiesférica. ¿Cuántas vueltas da la bolita hasta ese momento?
c)
2r
R
O
θs
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PROBLEMA 7 (Cont.)
En un instante cualquiera
2r
R
O
θ
mg senθ
mg cosθ
θ
mg
)cos1( θ−RFc
A medida que rueda, la energía potencial de la bolita se va convirtiendo en energía cinética de traslación y energía cinética de rotación
222
52
21
21
+=
rvmrmv 2
107 mv=22
21
21)cos1( ωθ ImvmgR +=−
Relación entre la velocidad del centro de la bolita y el ángulo descrito sobre la superficie
)cos1(7
102 θ−= gRv
¿Qué fuerza obliga a la bolita a seguir una trayectoria curva?
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PROBLEMA 7 (Cont.)
Fc
R
O
θ
mg cosθ
θ
mg
mg senθ
N
La diferencia entre ambas es la fuerza centrípeta
NmgFc −= θcos
A la componente radial del peso...... hay que restarle la reacción normal Nsobre la bolita
El momento en que la bolita se separa de la superficie esférica es aquel en que el valor de N se reduce a cero. Denotaremos por s a las magnitudes en ese momento
Fcs
2r
R
O
θs
mg cosθs
mg senθs
mg
)cos1( sR θ−
θs ss mg
Rvm θcos
2= ss gRv θcos2 =
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PROBLEMA 7 (Cont.)
Combinando este resultado con el balance de energía:
)cos1(7
10cos ss θθ −= º54=sθ
1710cos =sθ
)cos1(7
102ss gRv θ−=ss gRv θcos2 =
( ) gRgRrs 1710
17101
7102 =
−=ωSustituyendo para la velocidad angular:
rRgR
rs 40.217101
==ω rad/s24=sωPara R = 100 r
La longitud L del arco de circunferencia de la cúpula recorrida por la bolita es
La longitud l de la circunferencia completa de la bolita es rl 2π=RL sθ= R
18054π
=
Por tanto el número de vueltas será (rueda sin deslizar)
18054
21 R
rlLn π
π== vueltas15
18010054
21
==r
rπ
π
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PROBLEMA 7 (Cont.)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0v2/gR
Grados
Representación gráfica (apartado b)
v2 en función del ángulo θ(unidades gR)
Componente radial del peso (unidades mg)
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PROBLEMA 8
La figura muestra dos pistas sin rozamiento en las que hay dos deformaciones de perfil semicircular, una de ellas un promontorio y la otra un badén. Ambas pistas tienen igual longitud.En la cabecera de cada pista hay una bolita; cada una de ellas comienza a moverse en el mismo instante y con la misma velocidad.
a) Cuál de ellas llegará antes al final de la pista, suponiendo que ambas lleguen?
b) La velocidad inicial de ambas bolitas es 2 m/s.La velocidad de la bolita B cuando está en el fondo del badén es 3 m/s. ¿Qué velocidad tendrá la bolita A cuando llegue a la parte más elevada del promontorio que hay en su pista, si es que llega?
A
B
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