UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA

CURSO : MECNICA DE SLIDOS II

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAO PISFIL

Semana N 03: PROBLEMAS RESUELTOS DE CARGA AXIAL

PROBLEMA N 1

El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, teniendo cada una un

dimetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el cople B, determine el

desplazamiento del cople B y del extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestra

en la figura. Desprecie el tamao de las conexiones en B y C, y suponga que son rgidas.

GPaEGPaE Alac 70,200

Resolucin

Para determinar el desplazamiento del cople B y del extremo A, primero hallo las fuerzas axiales

internas en las barras de acero y aluminio, para ello aplicamos el mtodo de secciones y la primera

ecuacin de equilibrio ( 0F ). Como resultado de ello obtenemos:

)(12 TRACCINkNPCB : Fuerza axial interna en la barra de acero CB

)(18 TRACCINkNPBA : Fuerza axial interna en la barra de aluminio BA

Clculo de B (desplazamiento del cople B)

El cople B experimenta una sola deformacin porque al analizar la barra de acero CB, desde el

extremo C hasta el cople B, hay una sola fuerza axial interna de traccin (CBP ). Adems, el punto

C de la barra de acero CB permanece fijo, porque en este punto se halla un apoyo tipo pasador que

est fijo a una pared,.

Cuando la carga y el rea son constantes, el desplazamiento del cople B (B ) viene dado por la

siguiente ecuacin.

acCB

CBCB

BEA

LP

)/10200()12)(4/(

)103)(1012(292

33

mNmm

mmkNB

mmB 59,1

Clculo de A (desplazamiento del punto A)

El punto A experimenta dos deformaciones porque al analizar el conjunto, desde el extremo C

hasta el extremo A, actan dos fuerzas axiales diferentes ( CBP de +12 kN y BAP de +18 kN).

Cuando hay varias fuerzas axiales diferentes, para hallar el desplazamiento de un punto, respecto

a un punto fijo, aplico el Principio de Superposicin. Es decir:

EA

LP

AlBA

BABA

acCB

CBCB

AEA

LP

EA

LP

Reemplazando datos, tenemos:

)/1070()012,0)(4/(

)2)(1018(

)/10200()012,0)(4/(

)3)(1012(392

3

292

3

mNm

mN

mNm

mNA

mmmmmmA 14,655,459,1

Nota.- Tambin se cumple que: BACBA //

3 m 2 m

A B C

PROBLEMA N 2

La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, est sometida a las

cargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo

D y el esfuerzo normal en cada seccin. En la figura se muestran el rea de la seccin transversal

y el mdulo de elasticidad para cada seccin. Desprecie el tamao de los collarines en B y en C.

Adems, determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta.

Aluminio Cobre Acero

23 lg/1010 pubfkEAl 23 lg/1018 pubfkECu

23 lg/1029 pubfkEac

2lg09,0 puAAB 2lg12,0 puABC

2lg06,0 puACD

Resolucin

Aplicando el mtodo de secciones y la primera condicin de equilibrio ( 0F ), obtenemos:

)(2 TRACCINbfkPAB : Fuerza axial interna en la seccin de aluminio AB

)(5 COMPESINbfkPBC : Fuerza axial interna en la seccin de cobre BC

)(5,1 COMPESINbfkPCD : Fuerza axial interna en la seccin de acero CD

Clculo de DA / (desplazamiento del punto A, respecto al punto D)

En este caso aplico el Principio de Superposicin. Por lo tanto, se cumple que:

EA

LPDA /

Luego:

acCD

CDCD

CuBC

BCBC

AlAB

ABAC

DAEA

LP

EA

LP

EA

LP

/

Reemplazando datos, tenemos:

)lg/1029)(lg06,0(

lg)16)(5,1(

)lg/1018)(lg12,0(

)lg12,0)(5(

)lg/1010)(lg09,0(

lg)18)(2(232232

2

232/ pubfkpu

pubfk

pubfkpu

pubfk

pubfkpu

pubfkDA

mmpupupupuDA 0398,0lg00157,0lg)014,0(lg)028,0(lg04,0/

Nota.- El signo negativo para el desplazamiento del punto A, respecto al punto D, significa que la

flecha compuesta experiment una CONTRACCIN.

Clculo de (esfuerzo normal) en cada seccin

Sabemos: A

P

En la barra AB: 2lg09,0

2

pu

bfkAB

)(

lg22,22

2TRACCIN

pu

bfkAB

En la barra BC: 2lg12,0

5

pu

bfkBC

)(

lg67,41

2COMPRESIN

pu

bfkBC

C A B

16 pulg 18 pulg

D

12 pulg

En la barra CD: 2lg06,0

5,1

pu

bfkCD

)(

lg25

2COMPRESIN

pu

bfkCD

Clculo de CB / (desplazamiento del punto B, respecto al punto C)

CuBC

BCBC

CBEA

LP

/

)lg/1018)(lg12,0(

lg)12)(5(232/ pubfkpu

pubfkCB

lg028,0/ puCB

PROBLEMA N 3

La armadura est hecha de tres barras de acero A-36, cada una con rea transversal de 400 mm2. Determine el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando P = 8 kN.

Resolucin

Segn tablas: GPaE AACERO 20036

Adems, como se trata de una armadura, hay que analizar primero toda la armadura y hallar las fuerzas de reaccin en los apoyos. A continuacin se analiza el nodo C y se calcula la fuerza en los elementos AC y BC. Anlisis de toda la armadura Sobre toda la armadura actan las cargas de 5 kN y P = 8 kN, adems de las fuerzas de reaccin en el apoyo tipo pasador y en el apoyo tipo rodamiento, como se muestra en el DCL siguiente.

0,6 m 0,8 m

0,8 m

A

B

C

P

5 kN

Por segunda condicin de equilibrio:

+

0,6 m 0,8 m

0,8 m

A

B

C

P

5 kN

Anlisis del nodo C

Clculo de C (desplazamiento horizontal del rodillo en C)

36

AACEROAC

ACCA

CEA

LP

)/10200)(400(

)4,1)(5725,5(292 mNmm

mkNC

mmC 0975.0

Nota.- El signo positivo para el desplazamiento del punto C, significa que el elemento AC

experiment un ALARGAMIENTO, por lo tanto el rodillo en C se desplaz hacia la derecha.

PROBLEMA N 4

El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rgida AC. El rea de la seccin transversal

de cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F, determine

el desplazamiento vertical del punto F. GPaETi 350 .

Resolucin

Primero analizo la barra rgida AC (hago su DCL y aplico las ecuaciones de equilibrio) y hallo las

fuerzas axiales en las tres barras de titanio. A continuacin se calculan las deformaciones de los

puntos A, C y E, para finalmente calcular el desplazamiento vertical del punto F.

Por primera condicin de equilibrio:

C

2 m

0,5 m

1,5 m

A E

D B

2 m

0,75 m

C

P = 20 kN

ABA = 60 mm2

ADC = 45 mm2

AEF =75 mm2

Por segunda condicin de equilibrio:

P = 20 kN

A C E

0,5 m 0,75 m

F

Clculo de deformaciones A y C

TiAB

ABAB

AEA

LF

)/10350)(1060(

)2)(1012(2926

3

mNm

mNA

mmA 14,1

TiCD

CDCD

CEA

LF

)/10350)(1045(

)2)(108(2926

3

mNm

mNC

mmC 016,1

Anlisis de deformaciones

Como el desplazamiento del punto A es mayor que el del punto C ( CA ), la barra rgida AC se desva y adopta la posicin final AC, tal como se indica en la figura siguiente.

Clculo de F (desplazamiento vertical del punto F)

El punto F experimenta dos desplazamientos, uno debido a la fuerza axial EFF y la otra debido

al desplazamiento del punto E. Es decir:

EFFADEBIDOEF . . . (1)

Donde: mmmmmmyCE 091,1075,0016,1

mmmNm

mmN

EA

LF

TiEF

EFEFFADEBIDO EF

1429,1)/10350)(1075(

)1500)(1020(2926

3

Reemplazando en la ecuacin (1), tenemos:

mmmmmmF 2339,21429,1091,1 PROBLEMA N 5

La barra rgida est soportada por la barra CB conectada sta en sus extremos por pasadores; la

barra CB tiene un rea transversal de 14 mm2 y est hecha de aluminio 6061 T6. Determine la

deflexin vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida.

A E C

A E

C

0,5 m 0,75 m

0,5 m 0,75 m

2 m 2 m

1,5 m

C

A B

D

Resolucin

La carga distribuida que acta sobre la barra rgida ABD origina un desplazamiento vertical de los

puntos D y B (el punto A no se desplaza porque est fijo al apoyo rgido tipo pasador). Para calcular

estos desplazamientos primero realizo un anlisis de fuerzas sobre la barra rgida ABD.

Anlisis de la barra rgida ABD

Sobre esta barra actan la fuerza resultante de la carga distribuida, la fuerza ejercida por el elemento

BC y la fuerza de reaccin en el apoyo tipo pasador (esta se descompone en dos componentes),

tal como se muestra en el DCL siguiente.

Por segunda condicin de equilibrio: 0TOTALESAM

0)2(1200)2(87,36 mNmSenFBC )(2000 TRACCINNFBC

Por primera condicin de equilibrio: 0F 0;1600 YX AA RNR

Clculo de BC (deformacin de la barra BC)

La barra BC experimenta un ALARGAMIENTO porque la fuerza que acta sobre ella es una fuerza

de traccin. Para hallar este alargamiento utilizamos la ecuacin siguiente:

AlBC

BCBCBC

EA

LF

)/109,68)(1014(

)5,2)(2000(2926 mNm

mNBC

mmBC 183,5

* Esta deformacin (alargamiento) producida en la barra BC nos permite hallar la longitud final de

esta barra. Se cumple que:

BCBCBCF LL )(0)( mL BCF 505183,2)(

Anlisis de deformaciones producidas

Debido a la carga distribuida, el extremo D de la barra rgida ABD desciende hasta el punto D,

formndose la figura siguiente:

Aplicando la ley de cosenos en el tringulo CAB, hallamos la medida del ngulo . Es decir:

)90cos()2)(5,1(2)2()5,1()505183,2( 222 mmmmm rad004323,02477,0

2 m 2 m

36,87

A D

B

1,5 m

2 m

2 m

A B D

B

D

C

Clculo de D (deflexin vertical de la barra ABD en D) La deflexin vertical de la barra ABD en D es aproximadamente igual al desplazamiento lineal del punto D (longitud de arco recorrido por el punto D). Es decir:

ABDD L mmD 2839,17

PROBLEMA N 6

La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Est suspendida del techo y soporta una carga P

en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extremo debido a esta carga es

)/( 12 rrEPL . Desprecie el peso del material. El mdulo de elasticidad es E.

Resolucin

La carga P que acta en el extremo inferior de la barra en forma de tronco cnico origina una fuerza

axial interna de TRACCIN. Esta fuerza de TRACCIN produce ALARGAMIENTO de la barra, por

lo tanto el extremo inferior de esta barra se desplaza verticalmente hacia abajo.

Para calcular el desplazamiento del extremo inferior de la barra, primero hallo la fuerza axial interna

aplicando el mtodo de secciones. A continuacin hallo el rea de la seccin transversal donde se

hizo el corte imaginario y finalmente calculo el desplazamiento solicitado.

Clculo de la fuerza axial interna que acta en la barra en forma de tronco cnico

P

L

P

F = Fuerza axial interna

Por primera condicin de

equilibrio:

n n

Aplicando el mtodo de

secciones, trazamos la

seccin n-n que corta

transversalmente a la barra

en forma de cono, y

analizamos la parte inferior

de dicha barra

Al observar la barra en forma de tronco cnico, se obtienen las figuras siguientes:

Por semejanza de tringulos, tenemos:

L

x

rr

rr x

12

1)( 1

12)(

)(r

L

xrrr x

Luego, el rea de la seccin transversal ser:

2

)()( xx rA

2

112

)(

)(

r

L

xrrA x

Clculo de (desplazamiento del extremo inferior del tronco cnico)

Se cumple que: L

x

x

EA

dxF

0 )(

)( , donde: F(x) es la fuerza axial interna, igual a P, y es constante

Reemplazando el rea A(x) y evaluando la integral, obtenemos:

21 rrE

LP

PROBLEMA N 7

L

L

La columna de acero A-36 est embebida en

concreto de alta resistencia como se muestra en la

figura. Si se aplica una carga axial de 60 klbf a la

columna, determine el rea requerida de acero, de

manera que la fuerza sea compartida igualmente

entre el acero y el concreto. Cunto se acorta la

columna? La columna tiene una altura original de

8 pies.

60 klbf

16 pulg

9 pulg

8 pies