probabilidades,permutaciones y combinaciones

1

PROBLEMA 1

PROBLEMA 3

PROBLEMA 2

PROBLEMA 4

PROBLEMA 7

PROBLEMA 6PROBLEMA 5

ESTÁNDARES

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PROBLEMA 8

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PERMUTACIONES CIRCULARES

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PERMUTACIONES: ELEMENTOS REPETIDOS

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2


ESTÁNDAR 18

Los estudiantes usan principios

fundamentales de conteo para calcular

permutaciones y combinaciones.


3

Permutaciones

Un arreglo de cosas en un order dado; constituye una permutación. En

una permutación EL ORDEN ES IMPORTANTE.

Los arreglos de n objetos en una línea es una permutación lineal. El

número de permutaciones lineales de n objetos tomados r a la vez es

representado por P(n, r). En tanto que los objetos se distingan

perféctamente; cambiando aún un objeto crea una permutación

distinta. P(n,r) tiene el valor dado por la fórmula:

P(n, r) = n!

(n – r )!nPr =


n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…(2)(1) es el factorial de un número.

6! = 6x5x4x3x2x1 = 720

8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320

El facorial de 0 en uno: 0! = 1


4

Permutaciones vs combinaciones

Tenemos letras a, b, c, y d; y tomamos 3 a la vez. ¿Cuántas permutaciones y

cuántas combinaciones tenemos?

a

b

c

d

c

d

b

d

b

c

b

a

c

d

c

d

a

d

a

c

c

a

b

d

b

d

a

d

a

b

d

a

b

c

b

c

a

c

a

b

Encontremos los distintos grupos de 3 letras:

dcb24cdb18bdc12adc6

dca23cda17bda11adb5

dbc22cbd16bcd10acd4

dba21cba15bca9acb3

dac20cad14bad8abd2

dab19cab13bac7abc1



5




a

b

c

d

c

d

b

d

b

c

b

a

c

d

c

d

a

d

a

c

c

a

b

d

b

d

a

d

a

b

d

a

b

c

b

c

a

c

a

b

Encontremos los distintos grupos de 3 letras:

dcb24cdb18bdc12adc6

dca23cda17bda11adb5

dbc22cbd16bcd10acd4

dba21cba15bca9acb3

dac20cad14bad8abd2

dab19cab13bac7abc1



6




dcb24cdb18bdc12adc6

dca23cda17bda11adb5

dbc22cbd16bcd10acd4

dba21cba15bca9acb3

dac20cad14bad8abd2

dab19cab13bac7abc1

• Tenemos 24 permutaciones distintas donde el orden es importante.

• Cuando el orden no importa; solo tenemos 4 diferentes

combinaciones. Estas estan en los colores: rojo, azul, verde y negro.

• Por ejemplo, las que son rojas tienen las letras a, b, y c ordenadas

en formas distintas; pero siendo las mismas letras y por ello solo son

una combinación.



7




dcb24dca18dba12cba6

dbc23dac17dab11cab5

cdb22cda 16bda10bca4

cbd21cad15bad9bac3

bdc20adc14adb8acb2

bcd19acd13abd7abc1

P(4, 3) = 4!

(4 – 3 )!

Permutaciones:

P(4, 3) = 4x3x2x1

1

P(4, 3) = 24

P(n, r) = n!

(n – r )!

Combinaciones:

C(n, r) = n!

(n – r )!r!

C(4, 3) = 4!

(4 – 3 )!3!

C(4, 3) = 4x3x2x1

1x3x2x1

C(4, 3) = 4

nCrnPr



8

¿De cuántas formas distintas podemos acomodar 4 sólidos geométricos en

una repisa; si los ecogemos de entre 9 sólidos geométricos diferentes?

Este es un evento dependiente y una permutación; porque una vez que

colocamos el primer sólido en la repisa este afecta las opciones de los

demás; y así sucesivamente. El orden es importante.

P(9, 4) = 9!

(9 – 4 )!

P(9, 4) = 9x8x7x6x5x4x3x2x1

5x4x3x2x1

P(9, 4) = 3024

Permutaciones:

P(n, r) = n!

(n – r )!



9

¿De cuantas formas distintas podemos poner 4 sólidos geométricos en una

bolsa; si los escogemos de entre 9 sólidos distintos?

Esta es una combinación, pues la posición de los sólidos geométricos en

la bolsa no es importante. Es dependiente porque el mismo sólido no se

puede escoger repetidamente.

C(9, 4) = 9!

(9 – 4 )!4!

C(9, 4) = 9x8x7x6x5x4x3x2x1

5x4x3x2x1x4x3x2x1

C(9, 4) = 126

Podemos poner 126 diferentes

combinaciones de sólidos en la bolsa.



10

De un grupo de 8 soldados del ejército, y 7 soldados de la guardia

nacional; se formará una unidad de 4 soldados del ejército y 3 de la

guardia. ¿Cuántas unidades distintas pueden formarse?

Esta es una combinación, pues no importa en que orden se escojan.

Es dependiente pues un soldado no se puede seleccionar 2 veces en la

unidad.

Combinaciones:

C(n, r) = n!

(n – r )!r!

C(8, 4) = 8!

(8 – 4 )!4!

C(8, 4) = 8x7x6x5x4x3x2x1

4x3x2x1x4x3x2x1

C(8, 4) = 70

Formas de escoger a los

soldados del ejército:

C(7, 3) = 7!

(7 – 3 )!3!

C(7, 3) = 7x6x5x4x3x2x1

4x3x2x1x3x2x1

C(7, 3) = 35

Formas de escoger a los soldados de

la guardia nacional:

Formas de integrar la unidad:

70x35= 2450



11

Algunas veces tenemos que no todos los objetos se distinguen; este hecho se

debe tomar en cuenta al contar el número de permutaciones. Si x son

indistinguibles, y son también indistinguibles; entonces la cantidad de

permutaciones lineales de n objetos esta dado por la fórmula:

n!

x!y!

¿De cuantas maneras las letras en TELEVISION se pueden arreglar?

objetos distinguibles = T, L, V, S, O, N

objetos indistinguibles = E,E, and I, I

10!

2!2!=

10x9x8x7x6x5x4x3x2x1

2x1x2x1= 907200

Este es un evento dependiente.



12

¿De cuantas formas las letras en PARALLEL se pueden arreglar?

objetos distinguibles = P, R, E

objetos indistinguibles = A, A, y L, L, L

8!

2!3!=

8x7x6x5x4x3x2x1

2x1x3x2x1

= 3360

Este es un evento dependiente.



13

• Si n objetos distinguibles son arreglados en forma circular; esto

constituye una permutación circular. En una permutación circular ahy

solo (n – 1)! permutaciones circulares de n objetos.

• Una permutación circular implica que no hay un punto fijo en el

círculo. Si tenemos dicho punto; entonces la permutación circular es

considerada permutación lineal y tenemos n! permutaciones.

(5 – 1)! = 4!

= 4x3x2x1 = 24

PUNTO FIJO

5! = 5x4x3x2x1 = 120

NOTA: Ambos casos de arriba, implican que no podemos voltear el arreglo.PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved


14

(5 – 1)! = 4!

= 4x3x2x1 = 24

Si podemos voltear el arreglo, entonces; tenemos reflexiones. Cada arreglo

tiene una reflexión; pero es contado como solo una permutación. Por ello

dividimos el número de permutaciones entre 2.

24

2= 12

lín

ea d

e re

flex

ión



15

PUNTO FIJO

5! = 5x4x3x2x1 = 120

Si podemos voltear el arreglo con un punto fijo, entonces; tenemos

reflexiones. Cada arreglo tiene una reflexión; pero es contado como solo una

permutación. Por ello dividimos el número de permutaciones entre 2.

lín

ea d

e re

flex

ión

PUNTO FIJO

120

2= 60

NOTA: Podemos voltear llaveros y brazaletes; ¡pero no podemos voltear

una mesa con gente!PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved


16

Una permutación de objetos arreglados en líne; también se divide

entre dow si se determina que existen reflexiones para el arreglo. Esto

pasa por ejemplo cuando en un cine tenemos gente sentada en una fila

y son vistos desde la izquierda y derecha.

Vistos desde la

derechaVistos desde la

izquierda


6! = 6x5x4x3x2x1 720

720

2= 310


17

¿De cuántas formas 6 miembros de una familia, pueden ser formados

lado a lado en el tramo recto de las gradas de un estadio; si el padre y la

madre tienen que estar sentados junto al pasillo. Con el padre en el

extremo izquierdo?

(1)(1)(4)(3)(2)(1) = 24



18

Escogemos 5 libros de una repisa conteniendo 14 libros. ¿Es

esto una combinación o un permutación? ¿De cuántas formas se

puede hacer?

C(14, 5) = 14!

(14 – 5 )!5!

C(14, 5) = 2002

Es una combinación pues orden no es importante.



19

¿De cuántas formas distintas podemos escoger 7 cartas de un juego

de 52 cartas? ¿Es esto una combinación o una permutación?

Puesto que el orden no es importante es combinación.

C(52, 7) = 52!

(52 – 7 )!7!

C(52, 7) = 133,784,560

¿De cuántas formas distintas se pueden poner en línea, sobre una

mesa, estas cartas¡

Esta es permutación pues el orden es importante.

P(7, 4) = 7!

(7 – 4 )!

P(7, 4) = 840



20

¿Cuántos comités distintos de 5 administradores, 8 maestros, y 4

estudiantes; pueden ser formados de entre 10 administradores, 30

maestros, y 10 estudiantes?

Esta es combinación pues el orden no tiene importancia.

C(10, 5) = 10!

(10 – 5 )!5!

C(10, 5) = 252

Formas de escoger 5 administradores:

C(30, 8) = 30!

(30 – 8 )!8!

C(30, 8) = 5,852,925

Formas de escoger 5 maestros:

C(10, 4) = 10!

(30 – 4 )!4!

C(10, 4) = 210

Formas de escoger 4 estudiantes:

Formas distintas de integrar el comité:

(252)(5,852,925)(210) = 309,736,791,000



probabilidades,permutaciones y combinaciones

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