Conteo y Técnicas de Combinatoria

Electivo “Probabilidades y Estadística”

Rodrigo González Palma

1.- Permutaciones:

Representa la cantidad de ordenamientos linealesque se pueden realizar con “n” elementos. Elorden en que se sitúan sí importa. Se utilizantodos los elementos. Se pueden estudiar trescasos:

1 a) Permutaciones sin repetición:

Todos los elementos son distintos o se pueden distinguir perfectamente uno de otro. Si son “n” elementos, el número de maneras de ordenarlos es:

Pn = n!

1 b) Permutaciones con repetición:

Hay elementos que se repiten o que no se pueden distinguir uno de otro. Si son “n” elementos, con “a” elementos de un tipo o iguales entre sí; “b” de otro tipo; “c” de otro, etc, entonces el número de maneras de ordenarlos es:

c!... ! b ! a

! nP c,...b,a,

n

1 c) Permutaciones circulares:

Los “n” elementos se ordenan de manera cíclica; no existe un inicio ni un fin. La cantidad de maneras de ordenarlos es:

PCn = (n – 1)!

1 c) Permutaciones circulares:

Si de los “n” elementos, existen “m” que deben permanecer juntos, entonces la cantidad de maneras de ordenarlos es:

PCn,m = (n – m)!∙m!

2) Variación o Arreglo

Representan la cantidad de maneras de ordenarlinealmente a un subconjunto de “k” elementos del total“n” (n > k) , de manera que sí importa el orden en que sesitúan [el trío (a, b, c) es distinto al trío (b, c, a)]. NO seconsideran todos los elementos. Se pueden considerar doscasos:

Variación sin repetición

! k)(n

! nVn

k

Variación con repetición

kVR nnk

3) Combinación:

Corresponde a la cantidad de maneras en las que se puedenordenar “k” elementos elegidos del total “n” (n > k). Noimporta el orden en que se sitúan [(a, b, c) = (b, c, a)]. No seutilizan todos los elementos. Se considera los casos:

Combinación sin repetición

k

nCn

k

Combinación con repetición

k

1knCRn

k

Ejemplos:

1.- En un curso de 30 alumnos, un profesor elige 5 de ellos para interrogarlos. ¿Cuántos posibles grupos distintos se pueden formar?

Ejemplos:

2.- En un curso de 30 alumnos, se debe elegir directivade curso. Los cargos a llenar son Presidente,Vicepresidente, Secretario, Tesorero y Delegado.¿Cuántas directivas distintas se podrían formar?

Ejemplos:

3.- En una heladería se dispone de 5 sabores distintosde helado. Cada cliente puede elegir dos sabores(iguales o distintos) en su helado. ¿De cuántas manerasdistintas se podrían seleccionar esos sabores?