Técnicas de conteo: Producto, suma y

diagrama de árbol

IIIº Medio 2015

Pensemos…

• Si tengo 2 pantalones (negro y blanco) y 2 poleras (roja y naranja), ¿Cuántas tenidas diferentes puedo hacer?

Y…

• Si ahora tengo 3 pantalones (negro, blanco y azul) y las mismas 2 poleras. ¿Cuántas tenidas puedo hacer ahora?

Que pasa…• Si tuviera 2 pantalones negros iguales,

uno blanco y uno azul y una polera roja y 2 naranjas iguales. ¿Cuántas tenidas diferentes puedo hacer?

Objetivo

• Resolver problemas de cálculo de probabilidades mediante suma y producto de probabilidades y/o diagramas de árbol

Diagramas de árbol

• Realicemos un diagrama de árbol para las tres situaciones anteriores

Negro Blanco

Roja Naranja Roja Naranja

2.

Negro Blanco Azul

Roja Naranja

Roja Naranja

Roja Naranja

• 3.

Producto de probabilidades

• Si A y B son sucesos independientes, es decir, si la ocurrencia de uno no incide ni varía la ocurrencia del otro, entonces, la probabilidad de que ambos ocurran corresponde al producto de las probabilidades de ambos sucesos.

P(A ∩ B) = P(A) ● P(B)

Ejemplo

• Si lanzo un dado y una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de que me salga 6 y cara?

Los sucesos son independientes, porque lo que salga en el dado no influye en lo que salga en la moneda:

P(6 y cara) = P(6) ● P(cara)

Ejemplo• En una bolsa hay 7 fichas negras y 5 blancas. Si

se extraen dos fichas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad que salgan 2 fichas negras?

En este caso los eventos no son independientes, pues al ser sin reposición lo que salga primero influye en la probabilidad de la segunda

ficha.

P(2 fichas negras) ≠

• En este caso

P(2 negras)= P(Negra la 1ª) ● P(Negra la 2ª)

Suma de probabilidades

• Eventos mutuamente excluyentes:

Son aquellos donde la ocurrencia de ambos es incompatible, por lo que no tienen elementos en común. (Intersección vacía)

P(A U B) = P(A) + P(B)• Eventos no mutuamente excluyentes:

Son aquellos donde la intersección no

es vacía.

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Ejemplo

1. De una baraja española (40) se extrae un carta, ¿cuál es la probabilidad de que sea una figura o un 3?

A: Extraer una figura B: Extraer un 3

P(A) = 12/40 = 3/10 P(B) = 4/40 = 1/10

Son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo2. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de

que sus caras sumen un número par o un número mayor que nueve?

A: Número par B: Número mayor que nueve

P(A) = 18/36 = ½ P(B) = 6/36 = 1/6

No son mutuamente excluyentes,

entonces buscamos P(A∩B)= 4/36 =1/9

P(A U B)

Unamos con el diagrama de árbol• Se lanza una moneda y un dado

¿Cuál es la probabilidad de que salga cara y par?

P((c,2); (c,4); (c,6))

1

2

3 4

5

6

Cara Sello

1

2

3 4

5

6

12

12

16161616

16

16

16161616

16

16

Ejercicios

1. En el caso del ejemplo anterior, calcula la probabilidad de:

a) Salga sello y un número menor que 5

b) Salga cara o sello y un número mayor que 1

c) Salga cara y un número que no

sea primo.

Respuestas:

Ejercicios2. Se tiene 4 tarjetas numeradas del 1 al 4 y se

extraen sin reposición, calcula la probabilidad de que:

a) Que en ninguna de las extracciones coincida el orden de la extracción con el número de la tarjeta

b) El orden y el número coincidan en una cartac) El orden y el número coincidan para 3 cartasRespuestas:

Ejercicios

3. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas

a) ¿Cuál es la probabilidad que se obtenga un as o una carta roja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una figura o un nº menor que 4?

Respuesta: