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Resolvamos ecuaciones de segundo gRado y apliquemos técnicas de conteo

ObjetivosdelaUnidad:

Interpretarásyresolverásconseguridad,situacionesproblemáticasescolaresysociales,utilizandoecuacionesdesegundogrado.

Resolverás con seguridad y confianza problemas de conteo,ademáslosqueinvolucrancombinacionesypermutaciones.

MATEMÁTICAUnidad 3

56 matemática - noveno grado

Descripcióndelproyecto

Al final de esta unidad ayudarás a repartir un terreno entre cinco familias que se quedaron sin vivienda por las lluvias; para lo cual utilizarás ecuaciones cuadráticas y técnicas de conteo.

Ecuaciones cuadráticas

Técnicas de conteo

Principio fundamental de conteo o de la multiplicación

Completas

deducción de

clasificación en

resueltas por del tipo

resueltas por

utiliza

paraencontrar

paraencontrar

resueltas por

Incompletas

Formula cuadratica

Factorización

Propiedad de raíces cuadradas

PurasCompletación de cuadrados

Factoreo

Permutaciones Combinaciones

Mixtas

noveno grado - matemática 57

Tercera Unidad

Retomando la situación anterior, puedes plantearla de la siguiente manera:

Sea: x el ancho

Sea: x + 2 el largo.

El área de un rectángulo es igual al producto del largo por el ancho tienes entonces que (A = b × h)A x x x

x x1

2

2

2

( )= +( )= +

Aumentando en 4 metros cada dimensión, tienes:

Nuevo ancho: x + 4 Nuevo largo:x + 2 +4 = x + 6

La nueva área será:A x x x

x x2

2

4 6

10 24

( )= +( ) +( )= + +

Motivación

Lección 1

determinarás con interés los elementos y características que tiene una ecuación de segundo grado.

diferenciarás las ecuaciones completas e incompletas, puras y mixtas a partir del número de sus términos mostrando confianza.

Resolverás ecuaciones cuadráticas incompletas puras y mixtas, trabajando con orden y limpieza.

Indicadores de logro:

El salón de clases de Luisa es rectangular tiene de largo 2 metros más que el ancho si ambas dimensiones se aumentaran en 4 metros, el área aumentará en 144 m2 encuentra las nuevas dimensiones del salón.

ecuaciones cuadRáticas

Resolviendo la ecuación: x x x x2 210 24 2 144+ + − − =

ya que A x A x2 1 144( )− ( )= 10 2 144 24x x− = − 8 120x =

x =1208

x = 15 metros (ancho)

Área inicial: 15 ancho; y 17 largo Largo = x + 2 = 15 + 2 = 17

Entonces: 15(17) = 255 m2

Área final con el aumento: 19 ancho y 21 de largo entonces tienes 19(21) = 399 m2 Comprobación: 399 − 255= 144 m2 A este tipo de función A x x x2

2 10 24( )= + + se le llama función cuadrática o de segundo grado, la cual igualándola a cero, produce una ecuación cuadrática.

UNIDAD 3


En la expresión planteada x x2 10 24 0+ + =

Tienes que: a = 1, b = 10 y c = 24

a = 1 coeficiente de x2

b = 10 coeficiente de x

c = 24 término independiente

Una ecuación cuadrática es completa, si los coeficientes a, b, y c. Son todos diferentes de cero.

Son ecuaciones cuadráticas completas:

a) 2 3 1 02x x+ + =b)10 15 182x x− +

c) − − + =5

12

34

02x x

d) x x2 1

358

+ −

Escribe en tu cuaderno tres ecuaciones cuadráticas completas.

Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma: ax bx c2 0+ + =En donde a, b, c son números reales y a ≠0

Ejemplo 1

Encuentra el valor de a, b y c para las siguientes ecuaciones cuadráticas completas:

a)6 6 1 02x x+ − =

a = 6 b = 1, y c= 1

b) 2 13 15 02x x− + =

a = 2 b = 13 y c= 15

c) x x2 8 5 0− − =

a = 1, b = 8 y c= − 5

d)− + − =10 20 15 02y y

a = −10 b = 20 y c= − 15

Ejemplo 2

Escribe cada ecuación en la forma x2 + bx + c = 0

a) x x x2 5 18 6 6− + = −

Igualas a cero.

x x x2 5 18 6 6 0− + − + =

Sumas términos semejantes.

x x2 11 24 0− + =

b) 3 8 12 152x x x+ = +

Igualas a cero.

3 8 12 15 02x x x+ − − =


3 4 15 02x x− − =

c) 10 2 9 2 52 2y y y− = + −

Igualas a cero.

10 2 9 2 5 02 2y y y− − − + =


y y2 5 4 0+ − =

UNIDAD 3


Ejemplo 3

Escribe cada ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0

a) x x3 1 2+( )= 3 22x x+ = Eliminas paréntesis.

3 2 02x x+ − = Igualas a cero.

b) 16 1z z−( )= z +( )8

16 16 82z z z− = + Distribuyes para eliminar paréntesis.

16 16 8 02z z z− − − = Igualas a cero.

− + − =z z2 8 16 0 Sumas términos semejantes.

z z2 8 16 0− + = Multiplicas por (− 1) ambos lados de la ecuación.

c) 3 1 2 1 3 2 1y y y−( ) +( )= +( )3 1 2 3 1 1 3 2 1y y y y−( )( )+ −( )( )= +( ) Distribuyes el primer paréntesis sobre (2y + 1)

3 2 2 3 1 3 2 1y y y y y( )( )− + − = +( ) Distribuyes.

6 2 3 1 6 32y y y y− + − = + Eliminas paréntesis.

6 2 3 1 6 3 02y y y y− + − − − = Igualas a cero.

6 5 4 02y y− − = Sumas términos semejantes.

1. Para las siguientes ecuaciones cuadráticas, encuentra el valor de a, b y c.

a) − + + =2 3 5 02x x c) y y2 22 3 0− − =π π

b) 03 08 02. .x x− − = d) 12

12

1 02y y+ − =

2. Escribe las siguientes ecuaciones en la forma ax2 + bx + c = 0

a) 18 2 52x x x x+ = − c) x x x x x+( ) −( )+ = +( )1 4 2 2 3

b) y y y9 4 2 5+( )= +( ) d) y y y+( ) +( )= +( )2 2 3 22

Actividad 1

Ecuacionescuadráticasincompletas

Observa la ecuación 2 8 02x − = ¿Es una ecuación cuadrática completa? ¿Qué le hace falta para ser completa? Ahora, observa esta otra ecuación 4 6 02x x+ = , ¿Qué le hace falta para ser completa?

Una ecuación cuadrática incompleta es de la forma ax c2 0+ = , que carece del término en x, o de la forma ax bx2 0+ = que carece del término independiente.

UNIDAD 3


Ecuacióncuadráticaincompletapura

Es de la forma ax c2 0+ = donde los valores de a y de c son distintos de cero

Ejemplo 4

Escribe las ecuaciones cuadráticas en la forma ax c2 0+ = y encuentra el valor de a y c.

a) x 2 20− ; x 2 20 0− = ; a = 1 y c = −20

b) − =−16 482x ; − + =16 48 02x ; a = 16 y c = −48

c) 5 20 3 302 2x x− = + ; 5 20 3 30 02 2x x− − − = ; 2 50 02x − = a = 2 y c = −50

d) 4 80 202y − = ; 4 80 20 02y − − = ; 4 100 02y − = ; a = 4 y c= −100

Ecuacióncuadráticaincompletamixta

Es de la forma ax bx2 0+ = donde los valores de a y de b son distintos de cero.

Ejemplo 5

Escribe cada ecuación en la forma ax bx2 0+ = y encuentra el valor de a y de b.

a) 2 42y y=− 2 4 02y y+ = a = 2, b = 4

b) 5x2 – 4x = 5x – 2x2

5x2 – 4x – 5x + 2x2 = 0 7x2 – 9x = 0 a = 7, b = − 9

c) 10x (2x – 3) = (3x – 8)5x 20x2 – 30x = 15x2 – 40x Eliminas paréntesis 20x2 – 30x − 15x2 + 40x = 0 Igualas a cero 5x2 + 10x = 0 Sumas términos semejantes a = 5, b = 10

d) (x – 3)2 = 5x2 – 2x +9 x2 – 6x +9 = 5x2 – 2x +9 Elevas al cuadrado el binomio. x2 – 6x +9 − 5x2 + 2x – 9 = 0 Igualas a cero. − 4x2 – 4x = 0 Sumas términos semejantes. 4x2 + 4x = 0 Multiplicas por (− 1). a = 4, b = 4

Si no multiplicas por (− 1) puedes concluir que: a = − 4 y b = − 4.

UNIDAD 3


Observa la ecuación x2 = − 9.

¿Tiene raíces la ecuación?

No tiene porque cualquier valor de x elevado al cuadrado (potencia par) es un número no negativo.

Incompletas puras:

Considera la ecuación x2 = 25. x 2 25=

x = 5. Luego x =± 5 ; las raíces son x = 5, x = − 5.

Considera ahora la ecuación 3 12 02x − =

3 2x = 12 x 2 123

4= = Es decir

x 2 4 0− = , x x−( ) +( )=2 2 0

Observa que x = 2 ó x =−2 cumplen la ecuación por lo que son raíces de ellas.

Actividad 2 Determina qué tipo de ecuación cuadrática son las siguientes, y luego, escríbelas igualando a cero.

Haz la actividad en tu cuaderno.

Ecuación Cuadrática completa

Cuadrática incompleta pura

Cuadrática incompleta mixta

4x = x2 x2 – 4x = 05y + 2 = y2

x (x + 8) = 03x2 + 7 = x2 + 131 – 9x2 = x (x + 1)5x2 = 9 – x2

y – y2 = 11y2 + 3y

¿Qué es resolver una ecuación cuadrática?

Es encontrar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. A esos valores se les llama raíces de la ecuación. Así, para x2 = 25, los valores que satisfacen la ecuación son: x = 5 y x = − 5, ya que (5)2 = 25 y (−5)2 = 25. Y para la ecuación (x – 1)2 = 0 ¿Puedes decir que valores de x satisfacen (es raíz) esa ecuación? Muy bien x = 1 satisface ya que (1 – 1)2 = 0; se cumple.

Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.

Observa

Recuerda:

x x2 =

Para x R∈

Puntodeapoyo

x es siempre positivo −3 = 3

UNIDAD 3


Ejemplo 6

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas puras aplicando raíz cuadrada.

a) 2 722x = b) − + =3 5 02x

Solución:

a) 2 722x = ; x 2 722

= ; x 2 36=

x 2 36= Aplicas raíz cuadrada y resuelves x = 6 x = 6 x =−6

b) − + =3 5 02x ; − =−3 52x ; x 2 53

=−−

despejas x 2

x 2 53

= ; x 2 53

= Aplicas raíz cuadrada

x =

=

=

5333

153153

. Aplicas propiedad

Luego x =

− 153

y x =153

Son las raíces de la ecuación.

Puntodeapoyo

Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen la misma solución

En general tienes que: a) Puedes obtener las raíces aplicando la raíz cuadrada para:

x d2 = Ecuación dada.x d2 = Extraes raíz cuadrada.x d= Aplicas propiedad

Luego x d=− ó x d= Siempre que d > 0.

b) Luego obtienes raíces aplicando factorización.

Para x d2 = con d > 0 Igualas a cero.

x d x d−( ) +( )=0 Factorizas diferencia de cuadrados.x d− =0 ó x d+ =0 Propiedad del factor cero. x d= ó x d=− Despejas x .

UNIDAD 3


Incompletas mixtas.

Considera la ecuación 2 02x x− = , la cual es equivalente a x x2 1 0−( )=

¿Puedes encontrar una solución o raíz? ¿Prueba con x = 0 y con x =12

. Habrás comprobado que los valores que probaste son raíces de la ecuación dada. Este tipo de ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la propiedad del factor cero, que dice así:

Actividad 31. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando raíz

cuadrada o factorización.

a) 5 92x = c) 3 182x =

b) 2 32x = d) 7 210 02m − =

2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la propiedad del factor cero.

a) 4 8 02x x+ = c) 17 8 02x x− =

b) 10 50 02y y− = d) 14 3 02y y− =

En esta lección estudiaste la ecuación general de una ecuación cuadrática completa, ax bx c2 0+ + = . Así mismo estudiaste la ecuación general incompleta pura ax c2 0+ =( ) y también la ecuación incompleta mixta:

ax bx2 0+ =( )Resolviste ecuaciones cuadráticas incompletas puras y mixtas utilizando la aplicación de la raíz cuadrada, la factorización y la propiedad del factor cero.Ecuación incompleta Raíces o solución

ax c2 0+ = xca

ó xca

=−

El producto de dos números reales a y b es cero, si y sólo si al menos uno de los factores es cero. En símbolos: a.b = 0 si y sólo si a=0 ó b=0

Ejemplo 7

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas aplicando la propiedad del factor cero.

a) x x2 1 0−( )= de aquí tienes: x = 0 ó 2 1 0x − = aplicas propiedad del factor cero

x = 0 ó 2 1x = , x =12

Despejas “x“

Luego son raíces x = 0 y x =12

b) 15 20 02x x− =

5 3 4 0x x −( )= Obtienes factor común.

5 0x = ó 3 4 0x − = Aplicas propiedad del factor cero

x = 05

; 3 4x = x =43

Despejas x

x = 0Luego x = 0 y x =

43

son las raíces de la ecuación.

Verifica en tu cuaderno que estos valores cumplen la ecuación.

Resumen

UNIDAD 3


Autocomprobación

4 Los valores de “x” que satisfacen la ecuación 3 7 02x x− =

a) 037

y c)073

y

b) 073

y − d)037

y −

2 En las siguientes ecuaciones, ¿cuál es una ecuación cuadrática incompleta pura?a) 18 2 32 2− = −x xb) 2 9 02x x− =c) 2 9 12x x− =d) x x −( )=3 0

1 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas es completa?a) 5 452x =b) 3 2 02x x− =c) x x −( )=7 9d) 16 4 102 2x x= −

¿Cuáles son las raíces para la ecuación 3 212x = ?a) x x= =−7 7yb) x x= =−7 7yc) x =±49d) x x= =−63 63y

La ecuación de segundo grado y su solución tienen origen antiguo. Se conocieron algoritmos

para resolverla en Babilonia y Egipto.

En Babilonia, la tablilla cuneiforme contiene abundante material relativo a la resolución de

ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.

La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático

judeo español Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

TM07P110

Biblioteca de Alejandría

ECUACIONESDESEGUNDOGRADOYSUORIGEN


Motivación

Tercera Unidad

Resolverás con perseverancia problemas utilizando ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y mixtas.

aplicarás correctamente el método completando trinomios para encontrar raíces en ecuaciones cuadráticas.


A María y Juan les regalaron una pequeña porción de tierra para sembrar hortalizas. Les dieron estos datos: es un cuadrado y el valor de su perímetro es igual al valor del área. Las unidades están en metros. Ellos quieren saber las dimensiones del terrenito. ¿Puedes tú ayudarles a encontrar las dimensiones?

métodos de solución de una ecuación cuadRática

Lección 2

Resolverás ecuaciones cuadráticas aplicando el método cuadrado perfecto.

Ahora, encuentra las dimensiones del territorio. Le llamas “x” a un lado del cuadrado, luego, ¿cuál es su perímetro? Muy bien, es 4x ¿cuál es su área? es x2.

Como el valor del perímetro es igual al del área entonces planteas la siguiente ecuación:

x x x x2 24 4 0− − =, Observa que es una ecuación incompleta mixta.x x2 4 0− = La ecuación formada.x x( )− =4 0 Descompones en factores.x ó x= − =0 4 0 Aplicas propiedad del factor cero.x ó x= =0 4 Despejas x.

En este caso x = 0 no es la solución buscada ya que no habría terreno, pero x = 4 es una solución lógica. Así las dimensiones del terreno son de 4 metros por lado.

Métodospararesolverecuacionescuadráticascompletas

Recuerda una ecuación cuadrática completa es de la forma ax bx c2 0+ + =

Método por factorización o descomposición en factores.

Siempre que puedas factorizar, una ecuación de la forma ax bx c2 0+ + = también puedes aplicar la propiedad del factor cero.

UNIDAD 3


Ejemplo 1

Resuelve por factorización la ecuación x x2 2 15+ =

Solución:

x x2 2 15+ = Escribes la ecuación.x x2 2 15 0+ − = Igualas a cero la ecuación.

x x−( ) +( )=3 5 0 Descompones en factores.x ó x− = + =3 0 5 0 Utilizas la propiedad del factor cero.x ó x= =−3 5 Resuelves cada ecuación lineal.

Luego el conjunto solución es −{ }5 3,Comprueba en tu cuaderno, las soluciones, sustituyendo cada valor en la ecuación original.

Ejemplo 2

Encuentra el conjunto solución para la ecuación y y y2 4 18 6 2− + = +

y y y2 4 18 6 2− + = + Escribes la ecuación.y y y2 4 18 6 2 0− + − − = Igualas a cero la ecuación.y y2 10 16 0− + = Sumas términos semejantes.( )( )y y− − =8 2 0 Descompones en factores.y ó y− = − =8 0 2 0 Utilizas la propiedad del factor cero.y ó y= =8 2 Resuelves cada ecuación lineal.

Ejemplo 3

Encuentra la resolución de la ecuación cuadrática 9 16 242x x+ = , justifica cada paso.

Solución:9 16 242x x+ =9 16 24 02x x+ − =( )( )3 4 3 4 0x x− − =

3 4 0 3 4 0x ó x− = − =3 4 3 4x ó x= =

x ó x= =43

43

Observa que la solución es repetida, cuando esto ocurra diremos que la ecuación

cuadrática tiene solución doble. Así, el conjunto solución es 43{ }

Ejemplo 4

Se ha modificado una ventana cuadrada para convertirla en rectangular. La nueva base es 4 pulgadas más que la base original, y la altura es el doble disminuido en 18 pulgada.

− 12x

UNIDAD 3


Así el área de la ventana actual supera en 24 pulgadas cuadradas al área de la ventana original. Encuentra:

a) La medida del lado de la ventana original.b) Las dimensiones de la nueva ventana.

Solución: Ventana original (cuadrado) Ventana actual (rectangular)

Área del cuadrado: x2

Área del rectángulo: (x + 4) (2x − 18)

Como el área del rectángulo supera en 24 pulg2 al área del cuadrado inicial. Entonces:

( )( )x x x+ − = +4 2 18 242 Escribes la ecuación.2 10 72 242 2x x x− − = + Multiplicas los binomios.2 10 72 24 02 2x x x− − − − = Igualas a cero.x x2 10 96 0− − = Sumas términos semejantes.( )( )x x− + =16 6 0 Descompones en factores y verifica en tu cuaderno.x ó x− = + =16 0 6 0 ¿Qué propiedad utilizas aquí?x ó x= =−16 6 ¿Cuál de estas dos soluciones te parece lógica?

Muy bien, se descarta x = − 6 porque las dimensiones de un cuadrado son siempre positivas. La solución x = 16 satisface las condiciones del problema. Verifícala en tu cuaderno.

La respuesta es: a) la longitud del lado de la ventana original es de 16 pulgadas.

b) Las dimensiones de la nueva ventana son 20 pulgadas por 14 pulgadas. (Verifícalas sustituyendo x = 16 en x + 4 y 2x – 18)

Actividad 11. Resuelve por el método de factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) x x2 5 6+ =− c) 3 7 2 02x x− + =

b) y y2 12= − d) 10 13 3 02x x+ − =

2. Si las ganancias de una pequeña empresa son de − + −x x2 160 4800 , donde x representa el número de unidades x que producirán ganancias de 1200. (Este ejercicio tiene dos soluciones posibles)

x

x

x + 4

2x - 18

UNIDAD 3


Método por completación del cuadrado.

Para x 2 4= Se tiene que x = 2 ó x = − 2

Para x 2 25= , ¿cuáles valores de x cumple la ecuación?

En general para x d2 = con d > 0 tienes:

x d2 0− = Igualas a cero.( )( )x d x d− + =0 Descompones en factores.x d x d− = + =0 0ó Aplicas propiedad del factor cero.x d x d= =−ó Resuelves las ecuaciones lineales.

De lo anterior se enuncia la propiedad de raíces cuadradas:

Una ecuación de la forma ( )x h k+ =2 , donde el primer miembro es el cuadrado de un binomio que contiene la incógnita y el segundo miembro es constante positiva, puedes resolverla aplicando la propiedad de raíces cuadradas.

Ejemplo 5

Resuelve la ecuación ( )x − =2 92

Solución:

Utilizas la propiedad de raíces cuadradas y obtienes que:x x− = − =−2 9 2 9óx x− = − =−2 3 2 3óx x= − =−5 2 5ó

Si x d2 = donde d >0 , entonces x d=±

Comprueba estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación dada. Para resolver una ecuación cuadrática como se hizo en el ejemplo 12, primero tienes que tener el cuadrado de un binomio igualado a un número positivo y para ello debes completar el cuadrado. Observa el siguiente ejemplo.

UNIDAD 3


Ejemplo 7

Justifica cada paso en la solución de la ecuación cuadrática 2 10 122x x= + resuelta por el método de completación de cuadrados.

Solución:2 10 122x x= +2 10 122x x− =x x2 5 6− =

Divides entre 2 para obtener 1 de coeficiente de x 2

x x22 2

552

652

− + = +

x x2 5254

6254

− + = +

x −

=

52

494

2

x ó x− = − =−52

494

52

494

x ó x− = − =−52

72

52

72

x ó x= =− +122

72

52

x = 6 x = − 1Luego el conjunto solución es −{ }1 6, . Comprueba estas soluciones en la ecuación dada.

Ejemplo 6

Resuelve x x2 8 9 0+ − = completando cuadrados.

Solución:

x x2 8 9 0+ − =

Escribes la ecuación. x x2 8 9+ =

Dejas los términos de x x2 y a un solo lado.

x x22 2

882

982

+ + = +

Sumas el cuadrado del

coeficiente de x dividido entre 2.

x x2 8 16 9 16+ + = +

Efectúas la operación:

x +( ) =4 252

Factorizas el trinomio cuadrado perfecto.

x x+ = + =−4 25 4 25ó

Utilizas la propiedad de raíces cuadradas. x x+ = + =−4 5 4 5óx x= =−1 9ó

Resuelves la ecuación lineal.

Comprueba en tu cuaderno que las soluciones cumplen con la ecuación dada.

UNIDAD 3


Solución:

Utilizas el teorema de Pitágoras y obtienes.

x x2 2 27 13+ − =( ) ( )

x x x2 2 14 49 169+ − + = 2 14 169 492x x− = − 2 14 1202x x− = x x2 7 60− =

x x22 2

772

6072

− + = +

x x2 7

494

60494

− + = +

x −

=

72

2894

2

x x− = − =−72

2894

72

2894

ó

x x− = − =−72

172

72

172

ó

x x= + = =− +172

72

242

172

72

ó

x ó x= =−12 5

El valor de x = −5 no es solución ya que las dimensiones del triángulo son valores positivos. Por lo tanto x = 12 es una solución lógica a este ejercicio.

x

x−7

13

Ejemplo 8

La figura que se muestra, corresponde a un triángulo rectángulo. Encuentra el valor de x. (Justifica cada paso en la solución)

Ejemplo 9

La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números.

Solución:

Primer número: xSegundo número: (48 – x) x x x x2 248 48 36− − = − +( ) ( ) Escribes la ecuación.x x x x x2 2 22304 96 36 48− + − − = − ¿Qué propiedad utilizaste aquí?

x x2 48 2304 0+ − = Igualas a cero. ( )( )x x+ − =78 30 0 ¿Qué se ha hecho aquí? x ó x+ = − =78 0 30 0 ¿Qué propiedad utilizas aquí? x ó x=− =78 30 Resuelves las ecuaciones lineales.Los números son 30 y 48 −30 = 18. Se elimina − 78 porque no es número natural.

Teorema de pitagoras:

c2 = b2 +a2

Puntodeapoyo

UNIDAD 3


En esta lección resolviste ecuaciones cuadráticas por el método de factorización para el cual utilizaste la propiedad del factor cero.

Por otra parte resolviste ecuaciones cuadráticas por el método de completación de cuadrados en la cuál aplicaste la propiedad de raíces cuadradas.

Resumen

Ejemplo 10

La base de un pequeño terreno rectangular donde se siembra algodón mide 4 metros más que el doble de su altura. El área del terreno es de 448 metros cuadrados. Encontrar las dimensiones del terreno.

Solución:

Altura: x pies.

Base: (2x + 4) pies.

x x( )2 4 448+ = Escribes la ecuación.2 4 448 02x x+ − = Igualas a cero.x x2 2 224 0+ − = Divides entre dos.( )( )x x+ − =16 14 0 Factorizas.x ó x+ = − =16 0 14 0 ¿Qué utilizaste?x ó x=− =16 14 Resuelves.

La altura del rectángulo es 14 metros y su base es 2(14) + 4 = 32 metros

1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completación de cuadrados.

a) x x2 7 6 0+ + = c) 3 7 22x x= −

b) x x2 7 30 0− − = d) 3 32 202x x= +

2. Encuentra el valor de x en el triángulo rectángulo que se muestra a continuación. x+2

5

x+1

Actividad 2

UNIDAD 3


Problemas numéricos tales como el de las tripletas pitagóricas (a, b, c) con a2 + b2 = c2

fueron estudiados desde al menos el 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones

lineales fueron estudiados en el contexto de resolver problemas numéricos. Las ecuaciones cuadráticas también fueron estudiadas y estos

ejemplos llevaron a una especie de álgebra numérica.

Por ejemplo, al calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos se conocen y son iguales, llegamos a una ecuación cuadrática de la forma x2 = 2a2 cuya solución es x a= 2

Autocomprobación

¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene una solución doble?

a) x +

=

13

42

c) x −( ) =3 162

b) x +

=

13

02

d) x x2 3 18 0− − =

4 ¿Para cuál ecuación cuadrática es x = 4 una solución?a) x x2 16 0− =b) ( )x − =4 02

c) b y d son correctasd) x x2 6 8 0− + =

2

¿Cuál es el conjunto solución para la ecuación cuadrática x x2 6 0+ − = ?a) 2 3,{ }b) −{ }3 2,c) −{ }2 3,d) − −{ }2 3,

1 3 Para la ecuación cuadrática (x – 5)2 = 64 el conjunto solución es:a) −{ }3 13,b) 5 8,{ }c) 7 5,{ }d) 8 13,{ }

TM7P118

tarea de un alumno en 1700 a.C

TRIPLETASPITAGÓRICAS


Tercera Unidad

Motivación

deducirás y explicarás con interés la fórmula general que desarrolla ecuaciones de segundo grado a partir de una ecuación cuadrática.

calcularás las soluciones para ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula general con orden y seguridad.

Resolverás problemas utilizando la fórmula general.


Una empresa pequeña desea construir un edificio en un terreno rectangular que tiene un perímetro de 300 m y un área de 5,400 m2. Le preguntan al administrador cuáles son las dimensiones del terreno. ¿Puedes tú ayudarle a encontrar las dimensiones del terreno?

FóRmula geneRal de una ecuación cuadRática

Lección 3

Considera el terreno y rotula con “x” el largo y “y” el ancho.

Con la información dada en el dibujo de la derecha puedes escribir:

Perímetro: 2 2 300x y+ =

Área: xy = 5 400,

Considera la ecuación del perímetro y despeja “y”.

2 2 300x y+ =

x y+ =150

y x= −150

Fórmulageneraldeunaecuacióncuadrática

UNIDAD 3


Ahora, sustituyes el valor de y en la ecuación del área y obtienes: x x( )150 5 400− = , Ecuación en función de “x”. 150 5 4002x x− = , Eliminas paréntesis. 150 5 400 02x x− − =, Igualas a cero. x x2 150 5 400 0− + =, Multiplicas por (−1) y ordenas. x x2 150 5 400− =− ,

x x22 2

1501502

5 4001502

− + =− +

, Completas trinomio cuadrado perfecto.

x −

=

1502

2252

Ejemplo 1

Justifica cada paso en la deducción de la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática ax bx c2 0+ + = con a ≠ 0

Solución:ax bx c2 0+ + =ax bx c2 + =−

xbax

ca

2 + =−

xbax

ba

ca

ba

22 2

2 2+ +

=− +

xba

ca

ba

+

=− +

2 4

2 2

2

xba

ac ba

+

=

− +2

44

2 2

2

xba

ac ba

ó xba

b aca

+ =−− +

+ =−

244 2

44

2

2

2

2

xba

b aca

ó xba

b aca

+ =−−

+ =−

24

2 24

2

2 2

xba

b aca

ó xba

b aca

=− −−

=− +−

24

2 24

2

2 2

xb b ac

aó x

b b aca

=−− − −

=− + −2 24

24

2 Luego el conjunto solución de la ecuación cuadrática es:

− − − − + −

b b aca

b b aca

2 242

42

,

Efectúas la operación. Compruébala.

( )x − =75 2252

x x− =− − =75 225 75 225ó

Aplicas propiedad de raíces cuadradas. x x− =− − =75 15 75 15ó

x x= =60 90ó

Comprueba esta solución.

Para x = 60, y = 150 – 60 = 90Para x = 90, y = 150 – 90 = 60

Observa que para cualquiera de los dos valores las dimensiones del terreno son de 60 × 90.

Así, como resolviste el ejercicio anterior puedes deducir la fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.

UNIDAD 3


El ejemplo anterior nos permite escribir la fórmula cuadrática

La ecuación cuadrática ax bx c2 0+ + = dónde a ≠ 0 , tiene como raíces o solución:

xb b ac

ay x

b b aca

=− + −

=− − −2 24

24

2

La expresión b2 − 4ac que aparece dentro del radical se llama: “discriminante”.

Ejemplo 2

Resuelve 4 8 52x x= + utilizando la fórmula.

Solución:

4 8 52x x= + Escribes la ecuación.4 8 5 02x x− − = Igualas a cero.a b c= =− =−4 8 5, , Identificas los coeficientes a, b y c.

x =− − ± − − −( ) ( ) ( )( )

( )8 8 4 4 5

2 4

2 Sustituyes a, b y c en la fórmula cuadrática.

x = ± +

= ±

8 64 808

8 1448

Efectúas las operaciones.

x =

±8 128

De aquí obtienes dos valores.

x y x=+

= = =−

=− =−8 128

208

52

8 128

48

12

Observa, ¿qué signo tiene el valor del discriminante? ¿Y cuántas soluciones existen? Muy bien continuemos.

Ejemplo 3

Resuelve la ecuación 9 12 4 02x x+ + =

Solución:

a b y c= = =9 12 4, Sustituyes en la ecuación cuadrática:

x =− ± −

=− ± −( ) ( ) ( )( )

( )12 12 4 9 4

2 912 144 144

18

2

x =

− ±=− =−

12 018

1218

23

Observa el discriminante, es igual a cero. En este caso solo hay una solución real que se llama doble solución.

UNIDAD 3


Ejemplo 4

Encuentra la solución para: 2 3 5 02x x− + =

Solución:

Para la ecuación tienes que a = 2, b = −3 y c = 5. Sustituyes en la fórmula y obtienes:

x =− − ± − −

= ± −( ) ( ) ( )( )( )

3 3 4 2 52 2

3 9 404

2

= ± −3 314

Observa el discriminante, ¿Qué signo tiene?

Pues bien, las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en el conjunto de los números reales. Por lo que concluyes que esta ecuación cuadrática no tiene solución en los números reales.

En general tienes lo siguiente:

Valor del discriminante bb -- 44aacc22

Naturaleza de las raíces de aaxx ++bbxx++cc==0022

Valor positivo (>0) Dos raíces reales y distintasCero (=0) Una sola raíz doble

Valor negativo (<0) No tiene raíces reales

Ejemplo 5

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación cuadrática 4 4 1 02x x− + = ?

Solución:

Encuentras los coeficientes a = 4, b = −4 y c = 1 y luego sustituyes en el discriminante así: b ac2 24 4 4 4 1 16 16 0− = − − = − =( ) ( )( ) , como el discriminante es cero sólo hay una solución doble que es:

ba2

42 4

12

=− −

=( )( )

Actividad11. Utiliza el discriminante y determina cuántas soluciones reales tiene la ecuación cuadrática dada.

a) 9 30 25 02x x− + = c) 4 3 02x x+ − =

b) 25 10 2= −x x d) 2 3 2 02x x− − =

2. Encuentra la solución de las ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática para las ecuaciones del ejercicio anterior.

UNIDAD 3


Ejemplo 6

La suma de dos números naturales es 14. La diferencia de sus cuadrados supera en 11 al producto de los números. Encuentra dichos números.

Solución:

Sea, x : un número.

14− x : el otro número.( )14 2 2− −x x : es la diferencia de sus cuadrados.x x( )14− : el producto de los números.

Como la diferencia de los cuadrados supera en 11 al producto de los números puedes plantear la siguiente ecuación:

( ) ( )14 14 112− = − +x x x . (Para que se cumpla la igualdad le sumas 11 al que tiene menos o le puedes restar 11 al que tiene más)

Resuelves la ecuación:( )14 28 14 112 2 2 2− + − = − +x x x x x196 28 14 11 02 2 2− + − − + − =x x x x xx x a b y c2 42 185 0 1 42 185− + = = =− =; ,

Luego:

x =− − ± − −

= ± −

( ) ( ) ( )( )42 42 4 1 1852

42 1764 7402

2

x =±

=±42 1024

242 32

2De aquí tienes dos valores para x:

x y x=+

= =−

= =42 32

237

42 322

102

5

Pero 37 no satisface las condiciones de este ejercicio ya que 14 – 37 = − 23 que sería el otro número no es un número natural.

Para x = 5, se tiene que 14 – 5 = 9.Los números son 5 y 9.

Ejemplo 7

El número de diagonales de un polígono de “n” lados

está dado por Dn n

=−( )32

.

¿Cuántos lados tiene un polígono que posee 54 diagonales?

Solución:

Sustituyes D por 54 y obtienes:

543

22 54 3=

−= −

n nn n

( ), ( ) ( )

Observa que se trata de resolver una ecuación cuadrática. Al quitar los paréntesis de la última ecuación tienes:

108 3 3 108 02 2= − − − =n n n n,

Utilizas la fórmula de la cuadrática para: a b y c= =− =−1 3 108,

n =− − ± − − −

= ± + = ±

( ) ( ) ( )( )( )

3 3 4 1 1082 1

3 9 4322

3 4412

2

n =±3 212

de aquí:

n ó n=+

= =−

=−3 212

123 212

9

Pero – 9 no es solución para este ejercicio ya que no hay número de lados negativos. Por lo tanto la única solución es n = 12.

El número de lados del polígono regular es 12.

Situacionesqueinvolucranresolverunaecuacióncuadrática

UNIDAD 3


Ejemplo 8

Determina la longitud x del lado de un triángulo isósceles rectángulo que tiene una hipotenusa de 7.5 unidades.

Ejemplo 9

En la casa de Mario hay un jardín rectangular que tiene 96 m2 de área. Alrededor del jardín se hace una cerca de 3 m de ancho, en este caso, el área total es de 252 m2. Encuentra las dimensiones del jardín.

Solución:

Observa la figura. Puedes plantear lo siguiente:

Sea x : el largo y y : el ancho.

Área del jardín: xy = 96

Área total: ( )( )x y+ + =6 6 252

h = 7.5x

x

Solución:

Cada lado del triángulo mide lo mismo ya que es isósceles, luego le llamas “x” al lado y aplicas Pitágoras:

x x2 2 27 5+ =( . )

2 56252x = .

x x2 28125 28125 53033= = =. , . . ...

Aproximadamente el lado es de 5.3 unidades.

Si despejas y de la primera ecuación:

yx

=96 , y luego sustituyes en la segunda tienes:

xx

con x+( ) +

= ≠6

966 252 0

xx

x+( ) + +( ) =696

6 6 252 ,

96

5766 36 252+ + + =

xx , 576 6 252 96 36

xx+ = − −

576 6120

2+=

xx

576 6 1202+ =x x6 120 576 02x x− + =x x2 20 96 0− + =( )( )x x− − =12 8 0

De aquí x = 12 ó x = 8.

Sí x = 12, y = 9612

= 8

Sí x = 8, y = 96

8 = 12

¿Cuáles son las dimensiones del jardín? Comprueba estos resultados.

UNIDAD 3


En esta lección hiciste la deducción de la fórmula cuadrática:

xb b ac

a=− ± −2 4

2 Además verificaste que el número de raíces de la ecuación cuadrática depende del valor del discriminante b ac2 4− . Si éste es positivo tiene dos raíces reales, si es negativo no tiene raíces reales y si es cero tiene una sola raíz real llamada doble.

Resumen

Ejemplo 10

Si la velocidad de un objeto que cae está dada por v t t= −5 16 2 pies/segundos, donde t es el tiempo transcurrido en segundos, ¿Cuánto tardará el objeto en alcanzar una velocidad de −100 pies/s?

a) Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo si su área mide 84cm2, y uno de los catetos tiene 3 unidades más que el triple del otro cateto.

b) La longitud de un salón de clases excede su ancho en 4 metros. Si cada dimensión se aumenta en 4 metros, el área será el doble. Determina las dimensiones del salón.

Actividad 2

Solución:

Considera que si el cuerpo se mueve hacia abajo la velocidad es negativa. Se trata de que encuentres el valor de t para – 100 pies/s.

Como v t t= −5 16 2 , sustituyes v =−100 y obtienes: − = −100 5 16 2t t .

Resuelves la ecuación 16 5 100 02t t− − =

Utilizas la fórmula cuadrática para: a = 16, b = −5 y c = −100.

t =

− − ± − − −=

± +( ) ( ) ( )( )( )

5 5 4 16 1002 16

5 25 640032

2

t t=

±=

±= =

5 642532

5 801532

851532

266.

,.

.

Luego, el tiempo que tardará es aproximadamente de 2.66 segundos. ¿Por qué el valor negativo de t se descarta?

c) Una pintura con marco tiene dimensiones de 20 cm por 12 cm. Si están a la vista 84 cm2 de la pintura.¿Cuál es el ancho del marco?

d) La suma de los primeros números naturales es sn n

=+( )12

¿Cuántos números naturales consecutivos comenzando con el número 1 suman 1,275?

UNIDAD 3


La parábola dibujada a la izquierda, presenta dos cortes con el eje de las X. Estos

cortes representan las soluciones reales geométricamente de la ecuación cuadrática

cuando b ac2 4 0− > .¿Cómo corta la parábola al eje de las X en los

casos: b ac y b ac2 24 0 4 0− < − = ?

En el caso b2 − 4ac < 0 se tiene que al dibujar la parábola no existen cortes con el eje x, es decir

la ecuación cuadrática no tiene solución. Si: b2 − 4ac = 0, entonces la parábola solo

corta el eje x en un punto, es decir la ecuación cuadrática tiene una solución diferente.

Determina cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas tiene solo una raíz real.a) x x2 2 4 0− − =b) 2 3 1 02x x+ + =c) 5 7 4 02x x− − =d) x x2 12 36 0− + =

4 Utiliza el discriminante y determina cuántas raíces reales tiene la ecuación cuadrática 10 5 17 02x x− + =

a) dosb) una c) ningunad) tres

2

¿Cuántos lados tiene un polígono que posee 20

diagonales? Recuerda: D n n=

−( )32

a) 10b) 8c) 12d) 6

1Autocomprobación

3 Utiliza la fórmula de la cuadrática y encuentra el conjunto solución de la ecuación x x2 11 24 0+ + =

a) − −{ }8 3,b) 8 3,{ }c) −{ }8 3,d) −{ }3 8,

RAÍCESENUNAPARÁBOLA

x


Motivación

Tercera Unidad

determinarás, construirás y explicarás con seguridad el principio de la multiplicación.

aplicarás con seguridad el principio de la multiplicación en la resolución de ejercicios y problemas de conteo.

determinarás, interpretarás y explicarás el factorial de un número con seguridad.

Resolverás con perseverancia problemas de conteo aplicando el factorial de un número.


Karina es una alumna de 9º grado que guarda siempre sus 3 libros más utilizados en un estante, un libro es de Matemática, otro es de Lenguaje y el otro es de Inglés. ¿De cuántas formas distintas puede Karina ordenar en el estante sus 3 libros? ¿Puedes ayudarle a Karina?

apliquemos técnicas de conteo

Lección 4

Principiofundamentaldeconteo

¿Crees que las anteriores son todas las posibilidades? Determina en tu cuaderno formas diferentes a las anteriores.

Había 3 formas más.

Luego hay 6 formas distintas de ordenarlos. El número de posibles resultados de un experimento pequeño, es fácil listar y contar todos los posibles resultados.

Considera la situación anterior. Unas formas de ordenarlos pueden ser:

Len

guaj

e

Ingl

és

Ingl

és

Mat

emát

icas

Mat

emát

icas

Len

guaj

e

Mat

emát

icas

Len

guaj

e

Ingl

és

UNIDAD 3


Una forma para encontrar cuáles son los ordenamientos posibles es usar un diagrama como el siguiente. Asignas M al libro de Matemática, L al de Lenguaje e I al de Inglés

En tu cuaderno completa las letras que faltan

Ejemplo 1

Juan resuelve un examen de falso-verdadero. Para 3 preguntas ¿Cuántas formas de contestar tiene Juan?

Solución:

Primero haces un diagrama de árbol. Observa que son 8 formas:

VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF, , , , , , ,{ }

Si se agrega una pregunta, ¿cuántas formas son posibles? Hazlo en tu cuaderno.

Al diagrama anterior se le llama diagrama de árbol.

V

1a 2a 3a

VV

V

V

V

V

F

F

F

F

F

FF

M

M

M

L

L

LL

I

II

I

UNIDAD 3


¿Qué es un diagrama de árbol?

Un diagrama de árbol es una ordenación empleada para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporciona un método sistemático de enumeración objetiva de resultados.

El diagrama de árbol a la derecha representa el lanzamiento de monedas al aire y sus posibles resultados que como observas son cuatro.

Ejemplo 2

Benjamín el mejor alumno del salón de clases obtuvo un premio al final del año. El premio consistía en un viaje a uno de tres lugares: Conchalío, Hotel de Montaña ó Perquín; podía ir en bus o en coaster y además acompañado de una persona que debía escoger entre su madre, hermana o su padre. ¿Cuántas posibilidades diferentes se le presentaron a Benjamín, y cuáles son?

Solución:

Con C: Conchalío. HM: Hotel de Montaña.

P: Perquín. b: bus. c: coaster. h: hermana. m: madre. p: padre.

Cada rama del diagrama de árbol es una posibilidad, si las cuentas te darán 18 posibilidades. Ahora imagina que hubiera más posibilidades de lugares y más personas para elegir de acompañante. ¿Cómo sería el diagrama de árbol?

CC

CX

X

X

C

b

b

b

h

h

h

h

h

h

m

m

m

m

m

m

p

p

p

p

p

p

c

c

c

H.M.

P

UNIDAD 3


Muy bien, a medida que aumentan el número de elementos dicha ordenación se complica por lo que hay que utilizar otro procedimiento más sencillo para obtener el número de resultados.

Puedes dibujar tres casillas.

3 2 3Posibilidad de lugares Posibilidad de Transporte Posibilidad de acompañante

Luego multiplicas los tres números: 3 × 2 × 3 = 18 posibilidades diferentes.

En general, se puede enunciar el principio fundamental del conteo.

Si un evento A, puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento A2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes y así sucesivamente, el evento A k puede ocurrir de nk maneras; entonces el número total de formas diferentes en que todos los eventos pueden ocurrir es igual a: n1 xn2 x ... nk

A este principio se le llama principio de la multiplicación.

Ejemplo 3

¿De cuántas maneras se puede repartir tres premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Solución:

Copia en tu cuaderno las siguientes casillas:

Primer premio Segundo premio Tercer premio

El primer premio lo puede obtener cualquiera de las 10 personas, por lo que debes anotar 10.

El segundo premio sólo lo pueden obtener 9 personas ya que una de ellas ya obtuvo el primer premio y no vuelve a participar por lo que anotas 9.

¿Cuántas personas pueden obtener el tercer premio?

Después de llenar las 3 casillas aplicas el principio de la multiplicación.

10 × 9 × 8 = 720.

Imagina 720 maneras de repartir los 3 premios.

Ejemplo 4

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres dígitos? No se admiten repeticiones.

UNIDAD 3


Solución:

Llena las casillas en tu cuaderno y compara con éstas:

26 25 10 9 8

Considera el alfabeto con 26 letras. Además los dígitos son del 0 al 9. ¿Por qué se pone 25 en la segunda casilla? ¿Y por qué 9 en la cuarta casilla? ¿Cuántas son las placas? Verifica que son 468,000 placas.

Ejemplo 5

Entre dos ciudades A y B hay dos caminos, entre B y C hay 4. Además, de C a D hay 5 caminos. ¿De cuántas maneras pueden ir desde A hasta D pasando por B y C? Observa el dibujo.

Solución:

Puedes considerar el viaje en 3 etapas, primero ir de A a B, luego de B a C y por último de C a D.

2 4 5 = 40 maneras diferentesPosibilidad de A a B ¿Qué significa? ¿Qué significa?

Ejemplo 6

¿De cuántas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes condiciones?

a) El examen consiste de tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones cada una.

Solución:

1º 2º 3º4 4 4

Número de posibilidades para responder la primera pregunta

¿Qué significa? ¿Qué significa el 4?

Luego aplicas el principio de la multiplicación y obtienes: 4 × 4 × 4 = 64

b) Si el examen además de las tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones cada una; consta de cinco preguntas de falso y verdadero.

AB

C D

UNIDAD 3


Solución:

Las respuestas de las cinco preguntas de falso y verdadero se comportan así

2 2 2 2 2 25 = 32

Hay 32 maneras de responder las cinco preguntas de falso y verdadero. Como se tienen además las primeras preguntas, consideras todo el examen y construyes 8 casillas así:

4 4 4 2 2 2 2 264 32

Utilizas el principio de la multiplicación y obtienes: 64 × 32 = 2,048Hay 2,048 maneras de responde el examen.

Actividad1

a) ¿De cuántas formas diferentes puede terminar una competencia de 5 corredores?

b) ¿Cuántas maneras diferentes de vestirse tiene Carlos, si está en condiciones de ponerse cualquiera de cuatro pantalones, cinco camisas y dos pares de zapatos?

c) ¿Cuántas placas de automóviles pueden hacerse utilizando 3 letras seguidas de 3 dígitos, si se permiten repeticiones?

d) De un grupo de 25 jóvenes, de cuántas formas se puede elegir una directiva que conste de presidente(a), vicepresidente(a), secretario(a) y tesorero(a).

e) ¿Cuántos números impares se pueden formar de tres cifras con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7; si no se admite repetición?

Ejemplo 7

¿De cuántas formas puedes escribir un número usando todos los dígitos de 1 al 9 sin repetir ningún número?

9 8 7 6 5 4 3 2 1

¿Puedes decir porqué las casillas se llenaron de la forma anterior? El resultado es 9 × 8 × 7 × 6 ×… × 1 = 362,880

La forma anterior se puede abreviar escribiéndola así: n ( n – 1)…. (1) = n !

FactorialdeunnúmeronaturalnPara un número natural n , se llama factorial de n , y se denota por n!, al producto de todos los números naturales menores o iguales a n . Así:

n n n n! ( )( )...( )( )= − −1 2 2 1

UNIDAD 3


Ejemplo 8

Encuentra el factorial de los primeros 6 números naturales.

Solución:1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 6! ; ! ; != = = = =x x( )

4 4 3 2 1 24 5 5 4 3 2 1 120 6 6 5 4 3 2 1! , ! , != = = = =( ) ( ) (x x x x x x x x x ))= 720

Observa que la expresión encerrada en el paréntesis corresponde al factorial anterior. Así: 6 6 5 6 120 720! ( )! ( )= = =En general se tiene que:

n n n! ( )!= −1 de aquí: nn

n!

( )!= −1

Está última igualdad se cumple para cualquier número natural. En particular si n = 1 obtienes:11

1 1 1 0!

( )! ; ! != − = Aunque cero no es un número natural, se define 0! = 1!

Ejemplo 9

Encuentra el resultado de:

a) 9 68 5

! !! !

b) 6 7 2 78

( ) ( )! !!

+

Solución:

a) 9 68 5

9 8 6 58 5

9 6! !! !

! !! !

= =( ) ( )

( )

= 54

b) 6 7 2 78

8 78

88

( ) ( ) ( )! !!

!!

!!

+ = =

=1

Resumen

En esta lección se estudió el principio fundamental de conteo o de la multiplicación el cuál consiste en multiplicar las formas en que cada evento se puede realizar. Así para los eventos A1, A2… Ak que puedan realizarse de n n nk1 2, , ... formas, el número total de maneras de llevar a cabo estos eventos juntos es:

n1 n2 ......... n k = (n1)(n2)… (n k)

Además se definió el factorial de un número natural, n n n n! ( )( )...( )( )= − −1 2 2 1

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 50

!!

c)82 6

!! !

b) 01

!!

d) 1512

!!

2. Encuentra el resultado de las siguientes expresiones:

a) 10 8 5 87

( ) ( )! !!− b) 5 4

13 2 2( )( )

!! !−

Actividad 2

UNIDAD 3


Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de ( )a b n+ Por medio de la combinatoria interviene en el cálculo de las probabilidades, de eventos que implican

permutaciones y combinaciones.

El factorial de un número es el ejemplo más clásico de la matemática. El factorial es útil

en la programación y algoritmos para realizar multiplicación de números enteros en forma recursiva, es decir por ejemplo: 5! = 5 × 4!

En general: n! = n(n − 1)!

Autocomprobación

¿Cuál es el factorial de 7?a) 42b) 700c) 5040d) 1

2

¿De cuántas formas puede vestirse Vilma si tiene 4 blusas, 3 faldas y 3 pares de zapatos?a) 12b) 36c) 9d) 4

1 3 ¿Cuántos números pares se pueden formar de 3 cifras con los dígitos 3, 4, 5, 6 y 7; si no se permite que se repitan?a) 12b) 432c) 40d) 24

¿Cuántas formas hay de elegir un presidente y un tesorero de un grupo de 30 caballeros?a) 870b) 30c) 900d) 15

4

TM7P134

FACTORIALES

Isaac Newton


Motivación

Tercera Unidad

Cuatro personas entran al banco a la misma hora.¿De cuántas maneras se pueden ordenar en la fila para que los atiendan? ¿Puedes encontrar el número de formas?


interpretarás, aplicarás y explicarás las permutaciones al resolver ejercicios.

Resolverás con seguridad permutaciones tomando todos los elementos de un conjunto.

Resolverás problemas con confianza, utilizando permutaciones.

técnicas de oRdenamiento

Lección 5

determinarás con seguridad el número de combinaciones de un conjunto de elementos.

Resolverás con seguridad problemas que involucran combinaciones.

Para encontrar en la situación anterior los distintos ordenamientos puedes utilizar el principio de la multiplicación visto en la lección anterior.

Llenas las casillas:

4 3 2 1 (4)(3)(2)(1) = 24

Observa que corresponde a 4!

Cada ordenamiento es una permutación de los cuatro elementos tomándolos todos.

Número de permutaciones tomando todos los elementos de un conjunto.

En general el número de permutaciones de un conjunto de n objetos diferentes, tomándolos todos a la vez, es igual al factorial de n. Se denota nPn

Así: nPn n= !

Permutación

UNIDAD 3


Ejemplo 1

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

Solución:

Observa: se tomarán todos los dígitos.

Es importante por lo que utilizas la fórmula anterior así:

5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Hay 120 números de 5 cifras.

Ejemplo 2

¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar 9 libros en una repisa?

Solución:

¿Colocarás todos los libros? ¿Es importante el orden? ¿Se pueden repetir los libros al colocarlos?

Si respondiste: sí, sí y no; entonces utilizas la fórmula nPn con n = 9.

9P9 = 9! = 362,880. Compruébalo en tu cuaderno.

Ejemplo 3

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición diferente que la portería?

Solución:

Se dispone de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones diferentes por lo que se tiene 10P10 = 10!

El onceavo jugador sólo utiliza una posición, por lo tanto el número total de ordenamientos es de: 1 × 10! = 3 628,800. Compruébalo.

Número de permutaciones tomando parte de los elementos de un conjunto.

Considera lo siguiente: De 6 libros

a) Ordenas 3 en un espacio para 3.b) Ordenas 4 en un espacio para 4.c) Ordenas 5 en un espacio para 5.

Solución:

Lo anterior se puede resolver por el principio de la multiplicación así:

a) 6 5 4

6 5 4 3 2 13 2 1

63

× × = × × × × ×× ×

= !!

=−( )6

6 3!

!

b) 6 5 4 3

6 5 4 3 2 12 1

62

× × × = × × × × ××

= !!

=−( )6

6 4!

!c) 6 5 4 3 2

6 5 4 3 2 11

61

× × × × = × × × × × = !!

=−( )6

6 5!

!

Observa en cada situación, la última expresión en el numerador se encuentra el factorial del total de libros. ¿Cómo puedes interpretar el denominador con respecto a cada situación? En general se tiene que:

El número total de permutaciones de r elementos tomados de un conjunto de n elementos se denota por nPr. Se obtiene así: n

nn r

Pr!!

=−( )

UNIDAD 3


Ejemplo 4

Se van a retratar 9 personas y se dispone sólo de 5 asientos ¿De cuántas formas se pueden acomodar las personas para el retrato?

Solución:

En este caso tomas 5 de 9 por lo que utilizas la fórmula:

nn

n rPr

!!

=−( )

Tienes n = 9 y r = 5. Luego sustituyes:

9P5 =−( )

= =9

9 594

15 120!!

!!

, formas.

Ejemplo 3

Se sacan sucesivamente tres cartas de una baraja ordinaria de 52 naipes. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden conseguir?

Solución:

Utilizas la fórmula nPr para n = 52 y r = 3 y obtienes:

52P3 =−( )

= =× × ×52

52 35249

52 51 50 4949

!!

!!

!!

Así, 52P3 = × × =52 51 50 132 600,

Actividad 1a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 8 personas

en una fila de asientos?

b) ¿Cuántas formas de seleccionar 3 libros de un total de 7 existen?

c) En un comité participan 9 personas, ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

d) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra camote?

e) Con las letras de la palabra libro ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden hacer que empiecen por vocal?

Considera que te dan a escoger dos regalos promocionales de tres posibles que son: un bolígrafo, una agenda o un llavero. ¿Cuántas formas de seleccionar los obsequios hay?

Si el orden en la elección fuera importante las selecciones posibles serían:

bolígrafo – llavero llavero – bolígrafo

agenda – llavero llavero – agenda

bolígrafo – agenda agenda – bolígrafo

Las cuales se hubieran encontrado con la fórmula:

3P2 =−( )

=3

3 26

!!

Combinaciones

UNIDAD 3


Te das cuenta que en esta situación no es importante el orden ya que:

Bolígrafo – llavero y llavero – bolígrafo da el mismo resultado en la selección. En este caso sólo hay 3 posibilidades diferentes de elección: Bolígrafo – llavero, Agenda – llavero y bolígrafo – agenda.

Cada una de ellas es llamada combinación y de cada una de ellas se forman 2 permutaciones 2!( ) .

Si fueran 3 objetos seleccionados de 4 los de la combinación obtendrías 3! Permutaciones de cada una.

Así si le llamas nCr a la combinación en donde se toman r elementos de los n en total, tienes:

a) 3C2 . (2!) = 3P2, 3C2 = =−( )

3 2

23

2 3 2P

!!

! !b) 4C3 . (3!) = 4P3, 4C3 = =

−( )4 3

34

3 4 3P!

!! !

Observa puedes generalizar y escribir: nCr =−( )n

r n r!

! !

Combinación es cualquier arreglo que se haga de una parte de los elementos de un conjunto, sin tomar en cuenta el orden. Se denota nCr y se calcula así:

nCr =−( )n

r n r!

! !

Verifica la selección de objetos para 3C2.

3C2 =−( )

=× ××( )

=3

2 3 23 2 12 1 1

3!

! ! . ! que son las combinaciones obtenidas.

Ejemplo 4

Una caja de dulces contiene 10 piezas, cada una de diferente sabor. Si se pueden escoger 2 piezas, ¿de cuántas formas es posible elegirlas?

Solución:

Primero debes preguntarte, ¿Es importante el orden en esta situación? Como no lo es se trata de una combinación y de encontrar todas las posibles combinaciones.

Utiliza la fórmula anterior: n = 10 y r = 2.

Sustituyes en la fórmula y obtienes:

nCr =−( )n

r n r!

! !; 10C2 =

−( )10

2 10 2!

! ! Así, 10C2 =

−( )=

× ×= =

102 10 2

10 9 82 8

902

45!

! !!

! ! Por lo que existen 45 formas de seleccionar las dos piezas de dulces.

UNIDAD 3


Ejemplo 5

En una oficina trabajan 6 hombres y 4 mujeres. De entre éstos se van a escoger 3 para formar una comisión especial. Cuántas formas diferentes de seleccionar a la comisión existen si:

a) No hay restricciones

b) Debe estar formado por 2 hombres y 1 mujer.

Solución:

a) Como no hay restricciones, consideras que son 10 personas de las cuales se van a seleccionar 3. Además el orden no es importante por lo que encuentras el resultado así:

10C3 =−( )

=103 10 3

103 7

!! !

!! !

= × × ×× × ×( )10 9 8 73 2 1 7

!!

Luego 10C3 = 120, por lo que existen 120 formas de seleccionar la comisión.

b) Encuentras primero la selección de los hombres. Esto es seleccionar 2 de un total de 6. Lo haces así: 6C2.Además seleccionas una de cuatro mujeres. Lo haces así: 4C1.

Como es una sola comisión aplicas el principio de la multiplicación y efectúas:

H H M Luego: 6C2 . 4C1 = 60

6C2 4C1

6C2 = 6

2 6 262 4

6 5 42 4

302

!! !

!! !

!! !−( )

= = =x x

=15

4C1 = 4

1 4 143

4 33

!! !

!!

!!−( )

= = ( )

= 4 En este caso existen 60 formas de elegir la comisión.

Ejemplo 6

Se dispone de 18 jugadores para integrar los titulares de un equipo de futbol. ¿Cuántos equipos diferentes de futbol pueden formarse?

Solución:

Como sabes cada equipo está formado por 11 titulares por lo que encuentras 18C11

18C11 = 18

11 18 11!

! !−( )

= 18

11 7!

! ! 31.824. Verifícalo.

UNIDAD 3


Ejemplo 7

Se desea elegir un comité de 3 hombres y 2 mujeres entre un grupo de 12 hombres y 8 mujeres. Encuentra el número de maneras distintas de formar el comité.

Solución:

Eliges primero las posibilidades para los hombres:

12C3 = 12

3 12 3!

! !−( )

=

123 9

!! !

220

Luego la posibilidad de las mujeres:

8C2 = 8

2 8 282 628

!! !

!! !−( )

=

=Finalmente utilizas el principio de la multiplicación:

H H M

12C3 8C2

Luego 12C3 . 8C2 = 220 28( )( ) = 6160 Existen 6160 manera diferentes de formar el comité.

Ejemplo 8

Para ganar en una lotería local, un participante debe escoger correctamente 6 números entre el 1 y el 49 inclusive.

a) Encuentra el número total de elecciones posibles.

b) Si el participante sólo selecciona números pares, cuál es el total de elecciones posibles.

Solución:

En el primer caso se trata de seleccionar 6 de 49 posibilidades. Lo encuentras así:

49C6= 49

6 49 649

6 43!

! !!

! !−( )=

( )=13983816

Ejemplo 9

Don Pedro tiene 8 bienes inmuebles los cuales piensa regalar a sus hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 3; a su segundo hijo, 3; y al menor, 2. ¿En cuántas formas puede repartir dichos bienes?

Solución:

Una manera sería tomar las escrituras, alineándolas, y dar los primeros tres a su hijo mayor, los siguientes tres al segundo y los dos últimos al menor.

Como existen 8! Formas de alinearlos en el escritorio, también son 8! las formas en que pueden ser distribuidos. Sin embargo, no todas estas formas son diferentes.

Hay 3! maneras de arreglar el orden de las escrituras para su primer hijo; y 2! para los del tercero. Por lo tanto, las escrituras se pueden repartir así:

8

3 3 2560

!! ! !

= formas

El argumento anterior puede extenderse a “n” escrituras y a “r” hijos, tal que el primer hijo reciba n1, escrituras, el segundo n2 escrituras y el r-ésimo nr (n1+n2+…..nr = n). El número de divisiones sería:

nn n nk

!! ...... !1 2

Se utiliza para formar grupos de n1,n2 …nr que hacen un total de n elementos.

En el caso que solo se seleccione números pares; entre 1 y 49 hay 24 números pares.

Por lo que debes encontrar 24C6 así:

24C6= 24

6 24 624

6 18!

! !!

! !−( )=

( )=134 596,

UNIDAD 3


Resumen

En esta lección estudiaste las permutaciones las cuales son arreglos en donde es importante el orden. Además estudiaste las combinaciones, las cuales son arreglos en donde no interesa el orden. Para permutaciones utilizaste:

nPn= n!; nn

n rPr

!!

=−( )

Para combinaciones utilizaste: nCr =−( )n

r n r!

! !;

nn n nk

!! ...... !1 2

a) Un cajón contiene 15 juguetes diferentes. Si seleccionas 4 juguetes, ¿de cuántas formas es posible elegirlos?

b) ¿De cuántas formas pueden repartirse 5 cartas de una baraja de 52 naipes?

c) Se desea formar una comisión de 3 personas, seleccionadas de un grupo de 7 mujeres y 5 hombres. Si la comisión debe estar formada por 2 mujeres y 1 hombre, ¿cuántas formas diferentes de seleccionar la comisión existen?

d) De un conjunto de 9 personas se quieren formar 3 grupos de 2,3 y 4 personas. ¿De cuántas maneras se pueden formar dichos grupos?

Actividad 2

UNIDAD 3


Autocomprobación

De un conjunto de 8 personas se forman 2 grupos uno de 5 y otro de 3 personas, ¿De cuántas maneras se pueden formar los grupos?a) 112b) 56c) 336d) 231,326

4 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántos ordenamientos se pueden hacer que empiecen con la letra M?a) 24b) 6c) 12d) 2

2

¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 5 libros en una repisa?a) 20b) 40c) 120d) 125

1 3 Se sacan sucesivamente 2 cartas de una baraja ordinaria de 52 naipes. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden conseguir? a) 2,652b) 132,600c) 50d) 1,326

El primero que estudió las permutaciones fue Lagrange en 1770, en su trabajo sobre teoría

de ecuaciones algebraicas. El objetivo de Lagrange era encontrar los motivos por los que

las ecuaciones de tercer y cuarto grado son resolubles por radicales.

Otro gran matemático en la historia de las permutaciones fue Cauchy. En 1815, estudia

las permutaciones de las raíces de ecuaciones. Introduce la notación de potencias positivas o negativas (incluida la potencia 0 definiéndola

como la permutación identidad), define el orden de una permutación.

PERMUTACIONESENLAHISTORIA

Augustin Louis Cauchy


Proyecto

Cinco familias se quedaron sin vivienda por motivo de las lluvias. Un señor regaló un terreno para que a las familias: López, Flores, Martínez, Rodríguez y Ramírez se les entregará una parcela a cada una en donde ellas pudieran hacer su vivienda. El terreno es rectangular, un lado está a la orilla de un río y el otro lado paralelo a la orilla de la calle. (Ver figura).

El área del terreno es de 1,562 m2 y el largo es igual a tres veces el ancho aumentado en 5 metros. Se pregunta:

a) ¿Cuál es el ancho del terreno que se va a repartir?

b) ¿Cuáles son las dimensiones de cada terreno que se les dará a las familias?

c) Se decide darle a las familias López y Flores un lote a la orilla del río o a la orilla de la calle; ya que estas familias tienen más hijos, llegaron primero y así lo solicitaron. ¿De cuántas maneras se pueden repartir los terrenos, si las otras tres familias pueden tener cualquiera de los otros tres?


Recursos

Earl W. Swokowski, Algebra y Trigonometría, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1996.

Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta reimpresión UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p.

William Mendoza y Gloria Galo de Navarro, Matemática básica Pre-Universitaria 8ª reimpresión; UCA editores, El Salvador 2007.

http://www.ugr.es/~eaznar/concepto_grupo.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

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