PROBABILIDAD

Es el estudio de los experimentos aleatorios, es decir aquellos experimentos que repetidos bajo las mismas condiciones pueden producir resultados diferentes.

Espacio muestral (W): Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, por ejemplo en el lanzamiento de un dado W={1,2,3,4,5,6}.

Evento: Es un subconjunto de un espacio muestral. Se acostumbran notar por las primeras letras del alfabeto, por ejemplo, al lanzar un dado, sea el evento A: Obtener un número par A={2,4,6}.

Método clásico: Sea A un evento con N(A) puntos muestrales un subconjunto de W el cual contiene N puntos muestrales todos igualmente probables, entonces:

Definición: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si AB=.

Función de probabilidad: Es una función Pr(.) con dominio en W y recorrido en el intervalo [0,1] que satisface lo siguiente:

A.1 Pr(A) 0 A W.

A.2 Pr(W)=1

A.3 Sean A1, A2, ... eventos mutuamente excluyentes en W esto es Ai Aj = ij y también (A1 A2 ..) W, entonces Pr(A1 A2 ...) = Pr(Ai).

Observación: El enlace entre proposiciones mediante la letra "o" se traduce en teoría de conjuntos por la unión "". El enlace entre proposiciones mediante la letra "y" se traduce en teoría de conjuntos por la intersección "".

Teorema: Pr(Ac) = 1 - Pr(A).

Demostración: 1 = Pr(W) por A.1 = Pr(A Ac) = Pr(A) + Pr(Ac) por A.3

Corolario: Pr()=0. Dado que W= c, entonces Pr() = 1- Pr(c) = 1- Pr(W) = 0.

Pr ( A )=N ( A )

N=

(casos a favor de A )(casos probables)

Teorema: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B).

Demostración:

Ejemplo: Al lanzar un dado la probabilidad de obtener un número par o un tres es:

Sean: A: # par y B: obtener un 3, entonces, Pr(AB)= Pr(A) + Pr(B) = 3/6+1/6 = 4/6.

Teorema: Si A y B son eventos en W y A B, entonces Pr(A) ≤ Pr(B)

Demostración: dado que A B entonces B = A (Ac B), y como A y Ac B son mutuamente excluyentes, entonces:

Pr(B) = Pr(A) + Pr(Ac B) por teorema anterior Pr(A) por A.1

Teorema: Para cualquier evento A en W, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1.

Demostración: dado que A W, entonces por teorema anterior:

Pr() ≤ Pr(A) ≤ Pr(W)

0 ≤ Pr(A) ≤ 1por teorema anterior y A.2

Teorema: Para dos eventos A y B que no son mutuamente excluyentes:

Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AB).

Demostración:

Ejemplo: Al lanzar un dado cual es la probabilidad de que el resultado sea par o mayor que tres. Sean:

A: resultado parB: resultado mayor que 3

Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AB) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se introduce este concepto para ver como los efectos de un evento B inducen a la ocurrencia de otro evento A (A|B). En experimentos con resultados igualmente probables:

Pr(A|B) = N(AB) / N(B).

Ejemplo: Una urna contiene 10 fichas blancas, 5 rojas y 9 negras. Se escoge una al azar y se observa que no es negra, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?. Al observarse que la ficha no es negra, el espacio muestral del problema queda reducido a la ocurrencia de fichas rojas y blancas (15 en total), y de ellas hay 5 rojas, luego la probabilidad es 5/15. Formalmente sean:

R: La ficha es roja, B: La ficha es blanca, N: La ficha es negra

Pr(Sea roja | que no es negra)= Pr(R | Nc) = N(RNc) / N(Nc) = 5 / 15

Definición: La probabilidad de que ocurra un evento A bajo la condición de que el evento B se sabe que ha ocurrido es:

Pr ( A|B)=Pr ( A∩B )Pr (B )

Ejemplo: Para el ejercicio anterior:

Pr ( R|Nc )=Pr( R∩Nc )Pr( N c)

=( 5/24)( 15/24 )

=1/3

De la definición anterior se obtiene la siguiente regla (regla de multiplicación):

Pr ( A∩B)=Pr (B )⋅Pr ( A|B)

Pr ( A∩B)=Pr ( A )⋅Pr (B|A )

Definición: Los eventos B1, B2, …, Bk son una partición del espacio muestral si Bi Bk = ,

esto es, son mutuamente excluyentes, y ∑i=1

k

Bi=W .

Teorema de Probabilidad Total: Si los eventos eventos B1, B2, …, Bk son una partición del espacio muestral, y Pr(Bi) 0, entonces para cualquier evento A en W:

Pr ( A )=∑i=1

k

Pr (Bi) ∙ Pr (A∨Bi)

Demostración: Dado que A=¿ i=1¿ k A ∩ Bi, que ( A ∩ Bi) es mutuamente excluyente de ( A ∩ B j) para ji=1,2,…,k, y dada la regla de factorización, entonces:

Pr ( A )=∑i=1

k

Pr ( A ∩B i )=∑i=1

k

Pr (Bi)∙ Pr ( A∨Bi)

Ejemplo: La población de una ciudad se compone por 40% de hombres y 60% de mujeres, el 50% de los hombres y 30% de las mujeres fuman. Calcular la probabilidad que al seleccionar al azar una persona, esta sea fumadora.

Sean H: Hombre F: Fumador M: Mujer

Pr(F) = Pr( (FH) (FM) ) = Pr(FH) + Pr(FM) = Pr(F | H) Pr(H) + Pr(F | M) Pr(M) = (0,4)(0,5) + (0,6)(0,3)= 0,38

Teorema de Bayes: Sea B1, B2,…,Bk una partición de W, entonces para cualquier A subconjunto de W.

Demostración: Por la definición de probabilidad condicional, y según el teorema de probabilidad total:

Pr ( Bi|A )=Pr ( A ∙Bi)

Pr ( A)=¿

Ejemplo: Sobre el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que al seleccionar un fumador este sea hombre.

Pr(seleccionar un hombre | fumador) = Pr(H | F) = Pr(H F) / Pr(F).

Pr(HF) = Pr(H)Pr(F | H) = (0.4)(0.5) = 0.2

Pr(H | F) = (0.2)/(0.38) 0.53

EVENTOS INDEPENDIENTES: Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de cualquiera de los dos, no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Formalmente, dos eventos son independientes si Pr(A|B) = Pr(A) y Pr(B|A) = Pr(B). Cualquiera de estas probabilidades implica la otra.

Definición: Si dos eventos son independientes Pr(AB) = Pr(A) Pr(B).

Ejemplo: Al lanzar dos dados, calcular la probabilidad de que salga un uno y un cinco. Sean:

A1: Salir “1” en el primer lanzamiento A2: Salir “1” en el segundo lanzamientoA3: Salir “5” en el primer lanzamiento A4: Salir “5” en el segundo lanzamiento

Pr( (A1A4) (A3A2) ) = Pr(A1A4) + Pr(A3A2)

= Pr(A1) Pr(A4) + Pr(A3) Pr(A2)

= (1/6)(1/6) + (1/6)(1/6)

= 2/36

TECNICAS DE CONTEO

Pr ( Bi|A )=Pr ( A|Bi)⋅Pr (B i)

∑j =¿1

k

Pr ( A|Bj)⋅Pr( B

j)

¿¿¿

Herramientas o formas que permiten contar todos los posibles resultados de un experimento. Tales resultados se pueden esquematizar por una n-upla quién es una representación en forma de vector (x1, x2, ... ,xn) de los eventos que se componen de varios puntos muestrales.

Formas de Seleccionar una Muestra: Si en un proceso de muestreo una unidad después de ser seleccionada tiene la posibilidad de ser seleccionada nuevamente se dice que el muestreo es con reemplazamiento, en caso contrario se habla de un muestreo sin restitución.

Si el orden en que los puntos muestrales aparecen en la n-upla determina diferencias en la misma, entonces se dice que el muestreo es ordenado, en caso contrario se habla de un muestreo no ordenado. En una pareja de características de un compuesto químico daría lo mismo decir compuesto saturado e incoloro que compuesto incoloro y saturado.

Principio Básico del Conteo: El número total de conjuntos de un experimento representados por una n-upla puede ser determinado así:

Determine los posibles resultados de la primera componente en la n-upla y continúe de la misma forma hasta la n-ésima componente y llame a cada resultado Ni, i=1,2,...,n. Entonces el número total de posibles resultados en un experimento está dado por: N(W)=N1·N2· ··· ·Nn.

Ejemplo: Cuantas placas de cuatro dígitos se pueden formar suponiendo que cada uno se puede repetir? 104=10.000 placas diferentes.

Permutaciones: Pretende contar el número de posibles arreglos que se pueden hacer en una n-upla donde el orden es determinante y no existe el reemplazamiento. Entonces por el principio fundamental del conteo se tiene que el número total de arreglos en una n-upla es:

N(W) = n·(n-1)· ··· ·2 ·1 = n!

Ejemplo: De cuantas maneras se pueden combinar los números 1, 2 y 3 de tal manera que den cifras de a tres números y ninguno se repita? 3!=3·2·1=6 y son 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Variaciones: Corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad. Si la población consta de N elementos y obtenemos de ella una muestra tamaño n, los posibles arreglos de este muestreo está dada por:

Ejemplo: Cuantas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos del cero al nueve, usándolos una vez?

N Pn=N!

( N-n)!

10 P4=10!

(10-4 )!=5 . 040

Combinaciones: Son los arreglos sin reemplazamiento en los que no interesa el orden de la aparición de los elementos del conjunto o n-upla. Se pueden mirar como unas variaciones donde no importa el orden de aparición. Como se toman muestras y no se permutan, interesa entonces, contar el número de muestras tamaño n que se pueden seleccionar sin reemplazo de una población tamaño N.

Ejemplo: De cuantas maneras se pueden seleccionar un comité de tres miembros de una asamblea de 10 personas?

Si los

anteriores arreglos los realizamos con reemplazamiento entonces su total se determina por:

El

resultado se tipifica en el problema de hallar el número de enteros no-negativos que dan solución a la ecuación: x1+x2+ ··· + xn = N. También cuando estamos tratando de distribuir N fichas indistinguibles en n urnas y pueden resultar 1, 2 o todas las fichas en una sola urna.

Coeficiente Multinomial: El número de permutaciones que se pueden hacer de un conjunto de N elementos que se dividen en r grupos distintos entre sí, pero indistinguibles dentro, n1,n2,...,nr donde ni = N es:

Ejemplo: Una compañía decide repartir diez de sus empleados en comisión, cinco irán a la Costa, dos a los Llanos y tres a la Amazonía, ¿cuántas divisiones diferentes de los diez empleados son posibles de repartir en las tres zonas?

N Cn=(Nn )= N!

( N-n)!n!

10 C3=(103 )= 10!

(10-3 )!3!=120

(N+n−1n )=( N+n-1 )!

( N-1 )!n!

(105,2,3)= 10!

5!2!3!=2 .520