probabilidad apuntes.pdf

PROBABILIDAD

Ing. Beatriz Goytia A. Página 1

2. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD La esencia de la probabilidad

“LA PROBABILIDAD ES LA POSIBILIDAD DE QUE ALGO PASE”

Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. EVENTO: Es uno o más de los posibles resultados de hacer algo. Ejemplo: Al lanzar una moneda al aire, si cae sol es un evento y si cae águila es otro evento. EXPERIMENTO: Actividad que origina un evento. Ejemplo: El lanzamiento de la moneda. ESPACIO MUESTRAL DEL EXPERIMENTO: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Ejemplo: Al lanzar una moneda el espacio muestral es

S = {Sol, Águila} RESULTADO: Lo que resulta específicamente de un experimento. Ejemplo: Al lanzar una moneda un resultado sería que caiga Sol. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. Ejemplo: En la moneda tenemos solamente dos resultados posibles Sol y Águila. Si se da Sol excluye el resultado de que se de Águila. LISTA COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVA: Lista que presenta todos los resultados posibles de un experimento.

PROBABILIDAD


EJERCICIO: Se ha desarrollado un nuevo juego de video. 80 jugadores veteranos de este tipo de juegos van a probar su potencial de mercado. a) ¿Cuál es el experimento? b) ¿Cuál es un resultado posible? c) Suponga que 65 jugadores probaron el nuevo juego y afirmaron que les gustó. ¿65 es una probabilidad? d) La probabilidad de que el nuevo juego de video sea un éxito se calcula como -1. Comente esto. e) Especifique un posible evento. ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD Se analizan dos enfoques de la probabilidad, los puntos de vista objetivo y subjetivo. La probabilidad objetiva puede subdividirse en (1) probabilidad clásica y (2) probabilidad empírica. PROBABILIDAD CLÁSICA Se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Probabilidad de un evento

Ejemplo: Considerar el experimento de tirar un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par”? Solución: Los resultados posibles son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Hay tres resultados “favorables” (un “dos”, un “cuatro” y un “seis”) en el conjunto de seis resultados posibles igualmente probables. Por lo tanto:

Probabilidad de un número par = 6

3 = 0.5

PROBABILIDAD


NOTA: Para que se pueda aplicar el enfoque clásico, los eventos deben tener la misma posibilidad de ocurrir (a lo que se denomina eventos igualmente posibles). Además, el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo. PROBABILIDAD EMPÍRICA Ésta probabilidad se da en base a las frecuencias relativas de las presentaciones pasadas de un evento. Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Probabilidad de = Número de veces que el evento ocurrió en el pasado Que suceda un Número total de observaciones Evento. EJEMPLO: Se efectuó un estudio de 310 graduados en Contaduría en la Universidad Veraruzana. Este experimento reveló que 185 de los 310 no estaban empleados según su especialidad. Por ejemplo, una persona ahora se encuentra laborando en el área de Mercadotecnia de una empresa procesadora de alimentos. ¿Cuál es la probabilidad de que un graduado específico en Contaduría esté empleado en un área distinta a la de sus estudios en Universidad?

P(A) = 310

1850.60

PROBABILIDAD SUBJETIVA Posibilidad de que suceda un evento específico, asignado por una persona con base en la evidencia que se tenga disponible (cualquier información de que se disponga). EJEMPLOS:

Estimar la probabilidad de que el equipo de los Patriotas de Nueva Inglaterra jueguen el Supertazón de fútbol americano el próximo año.

PROBABILIDAD


Calcular la probabilidad de que la Toyota, pierda su lugar de número 1 en unidades totales vendidas frente a la Ford Motor Co., o la Chrysler Corp., dentro de dos años.

REGLAS DE PROBABILIDAD

Reglas de Adición. Regla Especial de Adición.

Es el caso cuando los eventos son mutuamente excluyentes. Si dos eventos A y B son mutuamente Excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.

P(A o B) = P(A) + P(B) o bien

P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C)

EJEMPLO: Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de frijoles, brócoli y otras legumbres. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el tamaño de las verduras, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Una verificación de 4000 paquetes llenados el mes pasado indicó:

Peso Evento Número de paquetes

Probabilidad de ocurrencia

Con peso menor A 100 0.025

Satisfactorio B 3600 0.900

Con peso mayor C 300 0.075

Totales 4 000 1.000

PROBABILIDAD


¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en especial tenga un peso menor o mayor? Solución:

P(A o C) = P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075 = 0.10 DIAGRAMA DE VENN: Es un medio útil para representar las reglas de probabilidad.

~ (A o C) 0.90

REGLA DEL COMPLEMENTO: Se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que no ocurra.

~P(A) = 1 – P(A)

~P(A) + P( A) = 1

A

0.025

C

0.075

PROBABILIDAD


EJERCICIO: Se ha de entrevistar a un grupo selecto de empleados de una empresa con respecto a un plan de afores. Se efectuarán entrevistas detalladas a cada una de los empleados seleccionados en la muestra. Estos se clasificaron como sigue:

a) Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada:

1. ¿Sea empleado de mantenimiento o una secretaria? 2. ¿No sea de gerencia?

b) Elabore un diagrama de Venn mostrando sus respuestas de la parte (a). c) Los eventos de la parte (a)(1) son complementarios o mutuamente excluyentes, o bien de ambas clases? Regla General de Adición. Para eventos que no son mutuamente excluyentes, es decir, que es posible que ambos se presenten al mismo tiempo.

( ) ( ) ( ) Probabilidad Conjunta. Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultánea.

Clasificación Evento Número de empleados

Probabilidad de ocurrencia

Supervisores A 120 0.060

De mantenimiento B 50 0.025

De producción C 1460 0.730

Gerencia D 302 0.151

Secretarial E 68 0.034

Totales 2000 1.000

PROBABILIDAD


EJEMPLO: Suponga que la comisión de turismo en el estado de Veracruz selecciona una muestra de 200 turistas que visitaron el estado durante el año. La encuesta reveló que 120 fueron a Tlacotalpan y 100 fueron al Tajín cerca de Tuxpan. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Tlacotalpan y el Tajín? La encuesta revelo que 60 de los 200 turistas fueron a ambos lugares.

P(Tlacotalpan o Tajín) = P(Tlacotalpan) + P(Tajín) – P(Tlacotalpan y Tajín)

= 200

120+

200

100-

200

60

= 200

160= 0.80

= 0.60 + 0.50 – 0.30 = 0.80 La probabilidad de que el turista visite ambos lugares (0.30) es un ejemplo de probabilidad conjunta. EJERCICIO: Como parte de un programa de servicio de salud para los empleados de Cervecería Cuauhtémoc - Moctezuma, se efectúan anualmente exámenes físicos de rutina. Se descubrió que 8% de los empleados necesitaban zapatos correctivos, 15%, trabajo dental importante, y 3%, necesitaban tanto zapatos correctivos como corrección ortodóncica mayor. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar necesite zapatos correctivos o trabajo dental importante? b) Muestre esta situación en un diagrama de Venn.

PROBABILIDAD


Reglas de Multiplicación Regla especial de Multiplicación. Requiere que dos eventos A y B sean independientes. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro.

P(A y B) = P(A) P(B) o bien

P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C)

EJEMPLO: Se lanzan dos monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas caigan águila? P(A) = Probabilidad de que caiga águila en la primera moneda. P(B) = Probabilidad de que caiga águila en el segunda moneda.

P(A y B) = P(A) P(B)

= 2

1

2

1

= 4

1= 0.25

EJERCICIO: Debido a su larga experiencia, en la compañía Good Year se sabe que la probabilidad de que su neumático XB-70 dure 60 000 millas antes de perder el dibujo o fallar es de 0.80. Se hace un ajuste para el caso de cualquier llanta que no resista dicho recorrido. Usted compra cuatro neumáticos XB-70. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro neumáticos duren al menos 60 000 millas? Para un ejemplo anterior de las legumbres mixtas. La experiencia indica que algunos paquetes tuvieron menos peso, y algunos otros, peso de más, pero la mayoría fueron satisfactorios. a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar hoy tres paquetes de la línea de procesamiento de alimentos, y encontrar que a los tres les falta peso? b) ¿Qué significa esta probabilidad?

PROBABILIDAD


Regla general de Multiplicación. Se utiliza para determinar la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos. Indica que para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evalúa al multiplicar la probabilidad de que el evento A ocurra, por la probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que a ocurrido A. Probabilidad Condicional. Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento haya ocurrido. Regla general de multiplicación:

P(A y B) = P(A) P(B/A)

Donde P(B/A) expresa la posibilidad de que ocurra B dado que ya ocurrió A. El trazo diagonal significa “dado que”. EJEMPLO: Suponga que hay diez rollos de película fotográfica en una caja y que se sabe que tres están defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo con defectos seguido por otro también en tal condición? Solución: P(A y B) = P(A) P(B/A)

=

90

6

9

2

10

3 .07

Si queremos la probabilidad de que los tres primeros rollos seleccionados de la caja sean todos defectuosos, tenemos:

P(A y B y C) = P(A) P(B/A) P(C/A y B)

=

720

6

8

1

9

2

10

30.00833

PROBABILIDAD


EJERCICIOS: 1. La junta de directores de una compañía está formada por ocho hombres y cuatro mujeres. Se seleccionará un comité de cuatro miembros, en forma aleatoria, para recomendar a un nuevo presidente de la compañía. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres los cuatro integrantes del comité de investigación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro miembros sean hombres? c) ¿La suma de probabilidades para a y b es igual a 1? Explique su respuesta. 2. Una encuesta de ejecutivos se enfocó sobre su lealtad a la empresa. Una de las preguntas planteadas fue: “¿Si otra compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su puesto actual, permanecería con la empresa o tomaría el otro empleo? Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la compañía. Al tipo de tabla que resulta, por lo general, se le denomina tabla de contingencias.

Tiempo de servicio

Lealtad Menos de 1 año

1 a 5 a ños

6 a 10 años

Más de 10 años

Total

Se quedaría 10 30 5 75 120

No se quedaría

25 15 10 30 80

200

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que es leal a la empresa (se quedaría) y que tiene más de 10 años de servicio? Solución:

P(A y B) = P(A) P(B/A)

=

24000

9000

120

75

200

1200.375

PROBABILIDAD


DIAGRAMAS DE ÁRBOL (ARBORIGRAMAS)

Es una representación gráfica útil para organizar cálculos que abarcan varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento.

1. La elaboración de un arborigrama se empieza trazando un pequeño punto a la izquierda, que representa el punto central de un tronco de árbol.

2. Para este problema salen dos ramas principales del tronco. 3. De cada rama principal se desprenden cuatro ramas

secundarias, en las cuales se indica la probabilidad condicional. 4. Por último las probabilidades conjuntas.

EJERCICIOS

1. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Supóngase que P(A) = 0.30 y P(B) = 0.20 ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? ¿Cuál es la probabilidad de que no suceda ni A ni B?

2. Un estudio de 200 cadenas de tiendas de comestibles reveló estos ingresos, después del pago de impuestos:

Ingreso ( en dólares) después de impuestos

Número de empresas

Menos de un millón 102

De un millón a 20 millones

61

De 20 millones o más 37 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena en especial tenga menos de un millón (de dólares) en ingresos después de pagar impuestos?

PROBABILIDAD


b) ¿Cuál es la probabilidad de que una cadena de tiendas seleccionada al azar tenga un ingreso entre 1 millón y 20 millones, o bien uno de 20 millones o más? ¿Qué regla de probabilidad se aplicó? 3. Las probabilidades de los eventos A y B son 0.20 y 0.30, respectivamente. La probabilidad de que tanto A como B ocurran es de 0.15 ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A o bien B? 4. Suponga que la P(A) = 0.40 y P(B) = 0.30 ¿Cuál es la probabilidad conjunta de A y B? 5. La compañía Oral B envió por accidente a una farmacia tres cepillos eléctricos para dientes, defectuosos, junto con 17 en buen estado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros dos cepillos vendidos se devuelvan a la farmacia porque están defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros dos cepillos vendidos no tengan defectos?

PROBABILIDAD


PRINCIPIOS DE CONTEO

Cuando se desea conocer el número de posibles resultados de un pequeño experimento, resulta relativamente fácil enlistar y contar todos los eventos factibles. Sin embargo, en muchas situaciones de importancia práctica es virtualmente imposible contar físicamente el número de ocurrencias de un evento. Cuando nos enfrentamos a una situación de estas es muy útil disponer de un método corto, rápido y eficaz para contar. A continuación se mencionan algunas de éstas técnicas. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas. Número total de arreglos = (m)(n) Para tres eventos: Número total de arreglos = (m)(n)(o) Ejemplos:

1. Uno de los editores del anuario de un colegio al diseñar una página que debía contener cinco tipos diferentes de fotografías, estaba interesado en saber cuántos proyectos de páginas diferentes se podían preparar con las fotografías de cada tipo de que disponía. El editor podía escoger entre cuatro fotografías de grupos de profesores, diez fotografías de eventos atléticos, siete de salones de clases, ocho de todo el terreno del colegio y cinco de las actividades de los distintos clubes. Empleando el principio de multiplicación encontramos que hay: 4 x 10 x 7 x 8 x 5 = 11 200 posibilidades. El editor, claro, decidió no ensayarlas todas para decidir cuál se veía mejor.

2. Supongamos que una joven tiene tres blusas, dos faldas y dos

pares de zapatos. Utilizando estas siete prendas de vestir,

PROBABILIDAD


¿cuántos juegos de ropa diferentes podría ponerse? Con cada una de las tres blusas puede ponerse una de las faldas, lo que hace un total de seis juegos sin tener en cuenta los zapatos. Con cada uno de estos seis juegos, puede ponerse un par de zapatos, lo que hace un total de 3 x 2 x 2 = 12 juegos.

3. Un empleado de banco que va todos los días a su oficina en

automóvil puede llegar desde su casa hasta la autopista por tres rutas diferentes (A, B, C). Luego puede tomar tres caminos distintos para ir de la autopista al centro de la ciudad (I, II, III) y del centro de la ciudad hasta el estacionamiento donde guarda su automóvil, puede ir por dos rutas (1, 2). ¿Por cuántas rutas diferentes puede ir el empleado a su oficina? Utilizando el principio multiplicativo 3 x 3 x 2 = 18. PERMUTACIONES Las permutaciones son útiles para contar el número de todos los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden hacer con un conjunto de objetos. Una permutación es uno de los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden hacer con todos o con parte de los elementos de un conjunto. Ejemplos:

1. Se proyecta presentar cinco conferencias en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. El moderador del programa desea saber de cuantas maneras diferentes se pueden situar en el escenario los cinco conferencistas en fila. Cada una de estas posibles formas es una permutación, por lo que, el moderador, en realidad, lo que quiere saber es el número de permutaciones de cinco objetos tomados todos cinco a la vez. De acuerdo al principio multiplicativo se pueden distribuir los cinco conferencista en el escenario es 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

PROBABILIDAD


Utilizando la formula de permutación:

( )

( )

Dónde: P es el número de permutaciones, o modos en que pueden ordenarse los objetos. n es el número total de objetos. r es el número de objetos que se van a disponer cada vez.

2. Alguien desea colgar seis cuadros en línea recta sobre la

pared de una biblioteca. ¿De cuántas maneras diferentes lo puede hacer?

De acuerdo al principio multiplicativo se pueden distribuir los seis cuadros en la pared es 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando la fórmula de permutación:

( )

( )

PROBABILIDAD


3. Se van a ensamblar tres partes electrónicas en una unidad de enchufe para un televisor. Las piezas pueden ensamblarse en cualquier orden. La pregunta relacionada con conteo es: ¿De cuántos modos diferentes pueden ensamblarse las tres partes? Se tiene que n = 3, porque hay tres partes a ensamblar, y también r = 3 porque las tres partes van a insertarse en la unidad de enchufe. De acuerdo al principio multiplicativo se pueden distribuir las tres partes electrónicas en una unidad de enchufe: 3 x 2 x 1 = 6. Utilizando la formula de permutación:

( )

( )

4. Supóngase que hay ocho máquinas disponibles pero sólo tres espacios en el piso del taller donde se han de instalar tales máquinas. ¿De cuántos modos diferentes pueden colocarse las ocho máquinas en los tres espacios disponibles? De acuerdo al principio multiplicativo hay ocho posibilidades para el primer espacio, siete para el segundo (una ya fue utilizada) y seis para el tercero, como se indica a continuación: 8 x 7 x 6 = 336.

Utilizando la formula de permutación:

( )

( )

PROBABILIDAD


COMBINACIONES Es el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n de ellos sin considerar el orden.

( )

Ejemplos:

1. Si los ejecutivos Abel, Rodolfo y Juan han de ser elegidos como un comité para negociar una fusión de empresas, sólo existe una combinación posible de estos tres.

( )

( )

2. A un departamento de mercadeo se le ha solicitado que diseñe

códigos de color para las 42 líneas de discos compactos (CD) vendidos. Se han de utilizar tres colores en cada línea, pero una combinación de tres colores empleados para una de ellas no puede reordenarse y ser utilizada para identificar una línea distinta de CD. ¿Serán adecuados siete colores tomados tres a la vez para codificar por color las 42 líneas?

( )

( )

3. Para el ejercicio anterior ¿que recomienda?

probabilidad apuntes.pdf

Documents