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Realizado por Juan Manuel Madrid Solórzano, Maestro en Ciencias en Ingeniería Industrial

Estos apuntes forman parte del primer borrador del libro “Introducción a las matemáticas”

1

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUAREZ

Presentación

El contenido de este texto esta formado por tres unidades. Las unidades propuestas abarcan en sus contenidos algunas curiosidades de los números, conceptos básicos de álgebra y trigonometría; con el objetivo de que los alumnos de primer ingreso reafirmen estos conocimientos para ser aplicados en materias consecuentes, como son: Matemáticas para el diseño industrial II, Estática aplicada, Física aplicada I y II y por último Electrónica y control. En el primer capítulo se busca dar respuesta a los siguientes cuestionamientos ¿Qué son los números?, ¿Los números son creación humana o descubrimiento? y describir algunas curiosidades sobre los números. En el capitulo II se abordará el tema de álgebra, analizando las operaciones con números reales y complejos, polinomios, exponentes y radicales, ecuaciones y desigualdades de primer grado así como cuadráticas. En el capitulo II de trigonometría, se abordan conceptos básicos de los segmentos de recta, polígonos, ángulos y como determinar su pendiente. Se estudia los triángulos rectángulos y oblicuángulos.



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Capítulo I. Los números Se piensa que alrededor del año 500 a.c las matemáticas se originan para el estudio del número, llamada como la ciencia de los números. Las culturas de esa época las usaban para contar, medir la tierra, construir edificios, mercantiles, etc., todo lo relacionado a las actividades cotidianas y desde entonces se han inventado diferentes métodos para sumarlos, restarlos, dividirlos o multiplicarlos. Por ejemplo, en el siglo XV (Edad media) luca Pacioli invento un método de multiplicación llamado celosía diferente al método que comúnmente utilizamos1. Pero al parecer el concepto del número se remonta a muchísimo más tiempo, como ejemplo, nos remontaremos a la cultura egipcia.

1.1 Los números en Egipto En Egipto el Estado y la Religión formaban solo un bloque para el control de la sociedad y garantizar la supervivencia del reino. El faraón era considerado un dios y recibe el apoyo de una poderosa casta de sacerdotes. Los sacerdotes eran los que cuidaban los textos sagrados y los que confirieron un poder mágico a la escritura, así como, eran estos los que tenían acceso a procedimientos matemáticos, que mantenían oculto, para predecir las crecidas del Nilo y anticipar las sequías. Quizá lo que más motivo el desarrollo de las matemáticas fue las crecidas anuales del Nilo, ya que cuando las crecidas eran reducidas afectaba la agricultura y provocaba hambrunas catastróficas. Es importante mencionar que solo menos del uno por ciento de la sociedad egipcia tenía acceso a la escritura. Es de este modo que los Egipcios le confirieron un gran poder espiritual y místico a las palabras. Tanto poder le conferían a las palabras que inclusive mencionaban que algunos dioses no se les conocían realmente su nombre, lo mantenían oculto, porque al conocer su verdadero nombre, el que lo descubriera, tendría poder como el mismo dios. Un ejemplo de lo anterior es el mito de Isis y del nombre secreto del dios sol (Ra).

“Tal mito nos relata que el dios Ra tenia muchos nombres, pero que sólo él conocía su nombre

autentico, en el cual residía la llave de su poder supremo. Cualquiera que descubriera ese

nombre seria capaz de reivindicar el derecho a compartir con Ra el lugar supremo en el panteón

de todos los dioses. Isis, que era muy inteligente, creo una estrategia para conocer el nombre

oculto o real del dios sol (Ra). Como Ra era entonces anciano y babeaba, Isis recogió saliva que

este dejo caer y la mezclo con la tierra, de manera de moldear con ello un demonio en forma de

culebra. Sabiendo Isis que Ra solía salir a caminar todos los días por los alrededores de su

palacio, buscó un punto en ese camino donde poner la culebra. Cuando Ra pasó por ese lugar,

la culebra lo mordió, he hizo que Ra sintiera un dolor insoportable. Sin saber como curarse,

convoco a todos los demás dioses y les pidió que lo ayudaran a eliminar el dolor. 'inguno pudo

hacer nada. Entonces se hace presente Isis que le ofrece curarlo a condición que le confié su

nombre. “Dime tu nombre, divino padre mío, pues un hombre revive cuando se le llama por su

nombre”. Cuenta el mito que Ra hizo todo lo posible por mantener su nombre en secreto. “Yo so

aquel”, le decía, “que ha hecho el cielo y la tierra, el que ha elevado las montañas….”, y

guardaba para sí su nombre. “Dime tu nombre y el veneno saldrá de tu cuerpo”. Mientras mas

callaba Ra, más fuerte resultaba el dolor. 'o pudiendo soportar más, le señala: “acerca tu

oreja, hija mía Isis, de forma que mi nombre pase de mi cuerpo a tu cuerpo”. Y al hacerlo quedo

liberado del dolor. A partir de ese momento, la diosa Isis acompaña a Ra en la cabecera del

1 Tarea 01. Investigar sobre el método de celosía, realizar un ejemplo y colocarlo en su blog.



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panteón de los dioses” (Echeverria, R. Raíces de sentido, sobre egipcios, griegos, judíos y

cristianos, 2008, Garnica, Buenos Aires, Argentina). De igual forma, los números poseían un especial poder simbólico, les confieren propiedades mágicas. Primeramente, se les consideraba un instrumento para la administración de impuestos, que permitía al Estado obtener los recursos con los cuales se financiaban a la clase gobernadora y sacerdotal. En segundo lugar, los números permitían construir y pronosticar ciclos naturales. El nacimiento del simbolismo de los números se remonta a la época del Reino Antiguo, entre los años 2575 y 2150 a. C. Para los egipcios, el número es un ente vivo, que puede ser varón, una mujer, un niño o una figura geométrica. Plutarco nos ilustra como los egipcios concebían un triangulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4, 5 unidades, tal como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1. Concepto del triangulo

Según Plutarco, los egipcios concebían el lado vertical como masculino – identificado con Osiris -, la base como femenina identificada con Isis y la hipotenusa como el resultado de ambos, identificado este con Horus, el hijo de ambos. Osiris equivale a 3, que es el primer número impar y perfecto. Isis equivale a 4, que es el cuadrado de 2 y el primer número par. Horus, que corresponder al lado de 5 unidades, es el resultado de la suma de 2 y 3. Démonos cuenta que no estamos lejos del teorema de Pitágoras. Los egipcios desarrollaron los primeros calendarios y reconocieron el ciclo anual de las estaciones e impulsan simultáneamente un sofisticado estudio de la astronomía. Esto les permitía no solo dividir el ano en sus cuatro estaciones, sino también en 12 unidades de 30 días cada una, completando 360 días; mas adelante añadirían 5 días adicionales. Cada una de estas soluciones era justificada mitológicamente, y existe un mito que nos explica la razón de este cambio de 360 a 365 días al año. Según la versión griega de este mito, Nut y Geb gustaban de adherirse el uno al otro, tanto que no dejaban espacio alguno entre ambos. Este hábito molesta al dios Atum, quien ordena a Shu, padre de



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ambos y dios del aire, que los separe. Shu lo hace colocándose entre Nut y Geb, impidiendo que se tocaran. Nut, sin embargo, ya había quedado embarazada de Geb y así se ve obligada a confesárselo a Atum, quien a saberlo la insulta, aunque le permite dar a luz a suh hijo. Sin embargo, le prohíbe hacerlo en cualquiera de los 360 días en los que entonces estaba dividido el año. Nut, desconsolada, pide ayuda a Thot, dios de la palabra y de la sabiduría, quien logra convencer a Atum de que le añada al año cinco días más. Ello le permite a Nut dar a luz a sus cinco hijos: Osiris, Horus, Seth, Isis y Neph. De la misma forma como los egipcios dividían el año en 12 meses, lo hacían con el día y con la noche, cada uno de estos tenían 12 horas, ambos sumaban 24 horas. La influencia de cómo percibían el mundo nos llega de muy distintas versiones. Pitágoras fue uno de los principales canales de transmisión al respecto. A continuación se describe el simbolismo de algunos números en la cultura egipcia:

El número 1. Es la unidad absoluta que todo lo contiene, y que por si misma no puede generar nada adicional. No es ni par ni impar, sino ambos a la vez. Si uno le añade 1 a un número par, este se convierte en impar y viceversa. El número uno representa la aparición de la vida en el universo, que en un principio era un abismo, liquido, infinito, sin sentido, inerte e inactivo. Es identificado con la figura del dios Nun. Lo anterior nos exhibe las bases de la filosofía griega, así como la representación recreada por la religión cristiana sobre la creación del mundo en Génesis 1. En esta religión el número uno toma la representación de Dios, indica exclusividad y excelencia, como ejemplo leer Mt 19,6 y 17 y en Ef 4,52.

El número 2. Representa la ley de la dualidad. Existen dos Egiptos, el Alto y Bajo Egipto. Existe hombre y mujer3.

El número 3. Se consideraba que toda cosa creada tenia una doble naturaleza (dualidad), pero que también gozaba de un triple poder, o que todo fenómeno es doble en su naturaleza y triple en su sentido4.

El número 7. Representa el carácter cíclico del mundo, compuesto por el 3 (El espíritu), y el cuatro (la materia). Las pirámides expresaban el siete pues su base es cuadrada y sus lados son triangulares. Osiris es asociado con el número 7 y a sus múltiplos. El 7 representa el Juicio Final, y con ello el final de un ciclo, el número ocho representa el inicio de otro5.

.

2 Los pilares del templo de Göbekli Tepe, en el sur de Turquía, de 11.600 años de antigüedad y hasta 5,5 metros de altura, podrían representar un grupo de

sacerdotes danzando. Algunos suponen que esta edificación muestra la necesidad del hombre de concebir a un dios supremo y que resguarda su seguridad. Y que probablemente es aquí, en Turquía, en donde nace el primer Dios (Revista National Geographic, julio 2011. "La cuna de la religión", ¿Nació en Turquía el primer Dios?). 3 En la religión cristiana el número 2 representa al hombre, pues en él hay siempre dualidad, división interior por culpa del pecado. Mt 20,30 Mt 26,60

4 En la religión cristiana, el número 3 representa "totalidad", quizá porque 3 son las dimensiones del tiempo: pasado, presente y futuro. Decir 3 equivale a decir "la totalidad" o "siempre". Gn 6,10 Mt 26,34 Is 6,. 5 El número 7 tiene el simbolismo más conocido de todos. Representa la perfección. Por eso Jesús dirá a Pedro que debe perdonar a su hermano hasta 70

veces 7. También puede expresar la perfección del mal, o el sumo mal, como cuando Jesús enseña que si un espíritu inmundo sale de un hombre puede regresar con otros 7. espíritus peores, o cuando el evangelio cuenta que el Señor expulsó 7 demonios de la Magdalena. El Apocalipsis es el que más lo emplea: 54 veces para describir simbólicamente las realidades divinas: las 7 Iglesia del Asia, los 7 espíritus del trono de Dios, las 7 trompetas, los 7 candeleros, los 7 cuernos, etc.



5


Como se ha visto anteriormente, nuestras raíces sobre los números, provienen de tiempos muy antiguos, desde los sumerios, pasando por los egipcios, griegos, árabes, hasta nuestros días6. Pero el simbolismo religioso de un número no sólo fue impuesto por las creencias de una sociedad, y es que la naturaleza nos sorprende cuando observamos que en la forma en que crecen las plantas o se reproducen animales surgen números muy extraños, como las serie de Fibonacci, la divina proporción o los números primos; y han existido matemáticos que se han casado con describir su comportamiento o la forma que se comportan cuando se multiplican con otro valor numérico, por ejemplo el número 142.857 cuando se multiplica por 2, 3, 4, ……12, etc., por los resultados que generan estos números se les nombra como “Números cabalísticos”7.

1.2 Algunas curiosidades de los números

Resulta simpático cuando a cada digitito del siguiente número, 1.741.725, se eleva a la séptima potencia,

es decir: 7777777 5271471 ++++++ , ¿Cuál es el resultado?8. Ahora, observemos otra curiosidad de los números, tome un número de tres dígitos cualesquiera, por ejemplo, 369. Enseguida construya otro número que resulte de escribirlo dos veces seguidas al número elegido:

369369 Luego divida este número por 7, que resulta: 52767 Divida por 11, entonces se obtiene: 4797 Y por ultimo divida entre 13, el resultado final es: ¡369! ¿Por qué sucede esto?

Se eligió un número de tres dígitos, llamémosle: abc , enseguida hay que repetirlo abcabc . El procedimiento posterior fue dividirlo entre tres números, 7, 11 y 13. En todos estos casos el resultado

fue un número exacto, por lo que abcabc tiene que ser múltiplo de estos números, y justamente, el

producto de éstos es: 100113117 =×× 9. Así que, si uno multiplica abc por 1001, el resultado será

abcabc . Si a cualquier número de tres dígitos (abc) se le agrega adelante el mismo número, el resultado (abcabc) es un múltiplo de 1.001. Y cuando se divide el número abcabc por 1.001, el resultado que se obtiene es abc. Continuando con el mismo tema, será posible que 21 = . Considerar que tenemos dos números

cualesquiera: a y b , además, que ba = . Proseguir con el siguiente razonamiento. Si multiplicamos

ambos miembros por a se obtiene:

aba =2

6 Tarea 02. Realizar un ensayo, a colocar en su blog, que conteste a los siguientes cuestionamientos, ¿Qué son los números?, ¿Los números son creación humana o descubrimiento? y se describa el simbolismo y utilización de los números en culturas antecesoras a la cultura egipcia. 7 Tarea 03. Realizar un ensayo, a colocar en su blog, en donde explore y describa la serie de Fibonacci, la divina proporción y los números primos, así como su aplicación en el diseño de objetos o cosas. 8 El resultado es 1,741,725 9 Los números 4, 8, 12, 16 y 20 son múltiplos de 4, porque 414 =× , 824 =× , etc., es decir, los múltiplos de un número

son aquellos que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los naturales.



6


Sumemos a ambos miembros aba 22 − , por lo que se obtiene la siguiente igualdad,

)2()2( 222 abaababaa −+=−+

Y agrupando tenemos,

abaaba −=− 22 22 Sacando factor común en cada miembro, )()(2 baabaa −=−

Simplificando tenemos, aa =2

Ahora, simplificamos la a de ambos lados, el resultado es: 12 = . ¿Es ilógico que dos sea igual a uno?, ¿Acaso existe algún error?, si es así, ¿Cuál es?. Como actividad extraclase, demuestre algebraicamente el siguiente truco algebraico: Consiste en adivinar el número que resulta. El ejercicio es el siguiente: Proporciona una calculadora a un compañero y solicita que escriba un número, deberá tener menos de 8 dígitos.

1. Que multiplique el número elegido por 3 2. Enseguida, que le sume 15 a la multiplicación 3. Que multiplique la respuesta por 2 4. Que divida ese resultado por 6 5. Que reste del total el número que puso originalmente

Por último, dile a tu compañero que sin ver el resultado en la calculadora, vas a adivinar el número. Tu dirás que éste es 5. Cualquiera que sea el número que haya pensado, la respuesta será siempre la misma. Este tipo de problemas pareciera más un juego de palabras, ¿verdad?10. Desde hace 2500 años los números primos atraen la atención de matemáticos y aficionados de todo el mundo, por varias razones. Una de ellas es la fascinación que produce su irregular distribución a lo largo de la recta numérica. Los números primos aparecen esparcidos aquí y allá, encontrándose sectores en donde abundan y otros en donde escasean. Se los califica de misteriosos e indomables pues no parece existir ninguna regla que determine su ubicación entre los demás números naturales.

Los números están directamente relacionados con las figuras geometrías, y si los números tienen patrones extraños, las figuras geométricas presentan fenómenos sorprendentes, ejemplo, su simetría. La simetría es una clave para comunicarse y para buscar eficiencia en la naturaleza. Por ejemplo, los panales de una colmena son hexagonales porque es la forma en que se utiliza menos cera y la simetría tetraédrica del diamante le permite tener una gran resistencia. Las personas consideradas más bonitas o atractivas son aquellas que presentan un rostro más simétrico que la de otros, y es que la simetría es difícil entre los organismos vivos, por lo que una cara perfectamente simétrica es signo de poseer buenos genes (Papell, 2010).

10 La demostración algebraica es simplificar la siguiente expresión: aa

−+6

2*)153(



7


Posterior a la cultura egipcia, los griegos sistematizaron los conocimientos matemáticos originando la geometría, encaminándose al estudio del número y de la forma. En el siglo XVII Isaac newton, en Inglaterra y Gottfried Leibnez en Alemania, originaron el cálculo, que es el estudio del movimiento y del cambio. Ayudando a comprender el estudio de movimientos de planetas, fluidos de los líquidos, la electricidad, maquinas, etc. Podríamos resumir que las matemáticas estudian:

• Patrones numéricos

• Patrones de forma

• Patrones de movimiento

• Patrones de cambio

• Patrones estáticos

• Patrones dinámicos

• Patrones cualitativos y cuantitativos

• Patrones de nuestra imaginación sin ningún vínculo con la realidad. Esta ciencia capacita para entender y explicar los fenómenos naturales. Esta de guía de aprendizaje se centrarán en: Estudiar patrones numéricos por medio del álgebra y trigonometría con comportamiento estático y en un

plano de dos dimensiones (eje de coordenadas x y y ), como conocimiento base para poder iniciar el

estudia de la estática, resistencia de materiales y diseño de mecanismos. Bibliografía

Echeverria, Rafael. Raíces de sentido, sobre egipcios, griegos, judíos y cristianos, 2008, Garnica, Buenos Aires, Argentina. Papell, Bru. La simetría es el lenguaje de la naturaleza. Redes para la ciencia, número 8, 2010. España.

Paenza, A. Matemática…¿Estas ahí?, 2008, Siglo XXI, Argentina.



8


Capitulo II Álgebra elemental

2.1 Introducción al álgebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar operaciones de conjuntos de números, por ejemplo suma y restas, que se originan a partir de una expresión algebraica que modela un problema o fenómeno de la vida real establecida en una oración. Estos números usualmente se

representan con símbolos o variables, por ejemplo: ayxts ,,,, , entre otros, que representan un número.

Por ejemplo la siguiente expresión algebraica: 122 =+ ba , esta compuesta de dos variables a y b , dos números 2 y 12 y una operación denominada suma, representada por el signo + . Una expresión es una declaración matemática que puede usar números, variables o ambos. Otro ejemplo de expresión algebraica seria la siguiente: Norma necesita $762 pesos adicionales para volar a la Cd. De México. El boleto de la aerolínea cuesta $1,500 pesos. ¿Cuánto dinero cuenta actualmente Araceli?

x = Cantidad que tiene Norma $762 = Cantidad que necesita $1,500 = Costo del boleto A continuación la información dada se expresa como una ecuación para su solución:

1500762 =+x Resolviendo esta expresión algebraica:

7387621500 =−=x Por lo tanto se cuenta con $738 pesos. Con el anterior ejemplo podemos mencionar que el lenguaje común puede ser expresado en expresiones algebraicas que modelan un problema de la vida real. Una ventaja práctica de conocer álgebra es que la puedes utilizar para resolver los problemas cotidianos relacionados con las matemáticas.

El objetivo de este capitulo es aplicar las propiedades de los números reales en las

operaciones básicas para la solución de expresiones algebraicas.



9


Para que el álgebra le ayude a resolver este tipo de problemas, primero deberá familiarizarse en el lenguaje estándar que es utilizado, generalmente, para transformar los problemas cotidianos en lenguaje matemático, a continuación expresiones de las más comunes: Un número aumentado en n unidades x + n El doble de un número 2x El triple de un número disminuido en k unidades 3x – k El doble de un número aumentado en 5 2x + 5 La tercera parte de un número

3

x

La cuarta parte de un número aumentado en p p

x+

4

La quinta parte de diferencia entre un número y 8

5

8−x

El doble de la suma entre un número y 7 )7(2 +x

Un número multiplicado por si mismo 2x

Un número aumentado en 7 y multiplicado por el mismo número disminuido en 6

)6)(7( −+ xx

La diferencia de dos números es 6 6)( =− yx

La suma de 2 números es 15 15)( =+ yx

Un número excede en 10 unidades a otro yx =−10

Tres números consecutivos )1(;);1( +− xxx

Tres números pares consecutivos )22(;2);22( +− xxx

Tres números impares consecutivos )32();12();32( +−− xxx

El recíproco de un número

x

1

La suma de tres números consecutivos al cuadrado 222 )1()1( +++− xxx

Un número de dos cifras 10x + y Un número de tres cifras 100x +10y + z El sucesor de un número x+1 El antecesor de un número x-1 5 más que un numero 5+x Un numero aumentado en 3 3+x Dos veces un número 2 x Un numero es 12% menor que el otro xx 12.0− 5 menos que el triple de un número 53 −x El doble de la diferencia entre un número y 4 )4(2 −x

El producto de dos enteros consecutivos es 56 56)1( =+xx



10


Antes de adentrarnos a la solución de expresiones algebraicas, es importante hacer una introducción a algunas sugerencias útiles y propiedades de los números reales, que a continuación se describen en forma de notas: Nota 1.- Símbolos de multiplicación Si a y b son (o representan) dos cantidades matemáticas, entonces cada una de las expresiones siguientes se puede utilizar para indicar el producto de a y b (“a por b”).

ab ba ⋅ a(b) (a)(b) Nota 2.- Los números o variables multiplicadas en un problema de multiplicación se llaman factores

Si ba ⋅ =c, entonces a y b son factores de c

Nota 3.- Multiplicación de fracciones

bd

ac

d

c

b

a=⋅

Nota 4.-División de fracciones

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a=⋅=÷

Nota 5.- Suma y resta de fracciones

c

ba

c

b

c

a +=+ o

c

ba

c

b

c

a −=−

Nota 6.- Resta de números reales En general, si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces

a – b = a + (-b)

Nota 7.- Nota 9.- Resumen de la división relacionada con cero

0,00

≠= aa

0

a esta indefinida, 0≠a

0

0 esta indeterminada

Nota 8.- Propiedad conmutativa de la suma Si a y b representan dos números reales entonces

abba +=+ Nota 9.- Propiedad conmutativa de la multiplicación Si a y b representan dos números reales entonces

abba ⋅=⋅ Nota 10.- Para la multiplicación y división de números reales:



11


+=−−

+=++

+=−−

+=++

)(

)(

)(

)(

))((

))((

Los signos iguales dan productos cocientes positivos.

−=+−

−=−+

−=+−

−=−+

)(

)(

)(

)(

))((

))((

Los signos contrarios dan productos y cocientes negativos.

Nota 11.- Propiedad asociativa de la suma Si a b y c representan tres números reales cualesquiera, entonces

( ) ( )cbacba +++++

Nota 12.- Propiedad asociativa de la multiplicación Si a b y c representan tres números reales cualesquiera, entonces

( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅

Nota 13.- Propiedad distributiva Si a b y c representan tres números reales cualesquiera, entonces

( ) acabcba +=+

Nota 14.- Para poder escribir números inmensamente grandes (notación exponencial) se escriben de la siguiente manera: 100 es igual a 1 101 es igual a 10 102 es igual a 100 103 es igual a 1 000 y así sucesivamente. Los científicos utilizan la notación exponencial para escribir números muy grandes, ayudando a facilitar los cálculos y garantiza que no se olvide ningún cero al momento de realizar operaciones algebraicas.



12


1.1 Expresar los decimales que se repiten infinitamente como un

cociente de dos enteros, q

p

.

1.1.1 222.0=x

2221000

222.

=

=

x

x

222.

2221000

=

=

x

x

778.221999

222.

2221000

=

=−

=

x

x

x

999

778.221=x

500

111=x

1.1.2 238238238.8=x

238238.82381000

238238238.8

=

=

x

x

238238238.8

238238.82381000

=

=

x

x

8230999

238238238.8

238238.82381000

=

=−

=

x

x

x

999

8230=x

1.1.3 354354354.14=x

354354.143541000

354354354.14

=

=

x

x

354354354.14

354354.143541000

=

=

x

x

14340999

354354354.14

354354.143541000

==−

=

x

x

x

999

14340=x

333

4780=x



13


1.2 Operaciones con números reales

�� Evaluar las expresiones numéricas.

1.2.1. )3)(2)(6( −−−=x

36−=x

1.2.2. 552.32−−=x

552.5−=x

1.2.3. 29.74+−=x

29.3=x

1.2.4. )]52(3[2 −−−=x

)]3(3[2 −−−=x

)33(2 +−=x

)6(2−=x

12−=x

1.2.5. 2)3(2 −−=x

92−=x

7−=x

1.2.6. ])85(4[6 2−−−=x

])3(4[6 2−−−=x

)94(6 −−=x

)5(6 −−=x

56+=x

11=x

1.2.7. 59

59

−−

−−=x

59

14

−

−=x

4

14=x

2

7=x

1.2.8. 2

1

3

2

4

3+−=x



14


+

−

=6

6

2

1

4

4

3

2

3

3

4

3x

12

6

12

8

12

9+−=x

12

7=x

1.2.9. 3

6

3

2

9

46 −−

=x

3

6

3

2

9

24−−=x

3

8

33

38−

⋅⋅

=x

3

8

3

8−=x

0=x

1.2.10. 35

12

5

13

2

−

−+

−=x

35

2

25

13 −−

=x

−

−=25

253

5

5

5

2

25

3x

25

75

25

10

25

3−−=x

25

82−=x

�� Escribir cada expresión como una fracción simple reducida a su mínima expresión.

1.2.11.

5

2

8

12

1

3

2

+

−=x

40

1656

34

+

−

=x

40

216

1

=x

126

40=x

63

20=x



15


1.2.12.

210

72

1

5

3

−

−=x

10

20710

56

−

−

=x

10

1310

1

−=x

130

10

−=x

13

1

−=x

1.2.13. Dado que:

1

1 2

−−

=n

r

ρσ

Calcule rσ con una precisión de tres cifras

decimales para 5.0=ρ y 100=n .

1)100(

)5.0(1 2

−−

=rσ

1100

25.01

−−

=rσ

99

75.0=rσ

087.0=rσ

1.3 Polinomios y expresiones racionales

�� Realizar las operaciones y exprese sus respuestas en la forma más simple.

1.3.1. ( ) ( )xyxy 532−

( )( )xyyx 59 22

3345 yx

1.3.2. ( )( )1372 +− xx

72126 2 −−+ xxx

7196 2 −− xx



16


1.3.3. ( )( )9152535 2 +−+ xxx

2745754575125 223 +−++− xxxxx

27125 3 +x

1.3.4. ( )( )( )123 +−− xxx

( )( )16322 ++−− xxxx

632632 2223 +−−++−− xxxxxxx

64 23 ++− xxx

1.3.5. ( )23yx −

( ) 22 932 yxyx +−

22 96 yxyx +−

1.3.6. ( )( )77 22 +− xx

( ) ( )222 7−x

494 −x

1.3.7. ( )232 yx −

( )( ) 22 92324 yxyx +−

22 9124 yxyx +−

1.3.8. ( )22+− yx

( )( )22 +−+− yxyx

42222 22 +−+−+−+− yxyyxyxxyx

4442 22 +−++− yyxxyx

1.3.9. ( ) ( )( )2222 +−−− xxx

( )444 22 −−+− xxx

444 22 +−+− xxx

84 +− x

1.3.10. ( ) ( )( )55552 +−−− yyyy

( ) ( )222555 −−− yyy

( ) ( )2525105 22 −−+− yyyy

25125505 223 +−+− yyyy

25125515 23 ++− yyy



17


1.3.11. ( ) 22232 xx −−

( ) 22 2962 xxx −+−

22 218122 xxx −+−

1812 +− x

1.3.12. ( ) ( )1212 22 +−++ xhx

( ) 12122 222 −−+++ xhxhx

121242 222 −−+++ xhxhx

224 hxh +

�� En términos de x , determinar el área de la región sombreada que se muestra en la figura siguiente.

1.3.13. 31 =r 32 += xr

( ) ( )21

2

2 rrAs Π−Π=

( ) ( )[ ]21

2

2 rrAs −Π=

( ) ( )[ ]2233 −+Π= xAs

�� Factorizar cada expresión tanto como sea posible.

1.3.14. 121012 2 −+ xx

( )6562 2 −+ xx

( )( )32232 +− xx

1.3.15. ( ) ( )3211015 −+− xxx

( ) ( )[ ]12152 −+− xxx

( ) ( )22152 −+− xxx

( ) ( )23152 −− xx



18


1.3.16. ( )( ) ( )( )12361223 22 ++−+− xxxxx

( ) ( ) ( )[ ]322123 2 +−−+ xxxx

( )( )622123 22 −−−+ xxxx

( )( )64123 22 −−+ xxx

1.3.17. babxax 22 −−+

babxax 22 −−+

( ) ( )babax +−+ 2

( )( )2−+ xba

1.3.18. 92 −x

( ) ( )223x

( )( )33 −+ xx

1.3.19. 1682 +− xx

( )( )44 −− xx

( )24−x

1.3.20. 2481 3 −x

( )8273 3 −x

( )[ ]33233 −x

( )( )469233 2 ++− xxx

1.3.21. 48163 23 −−+ xxx

48163 23 −−+ xxx

( ) ( )31632 +−+ xxx

( )( )3162 +− xx

( )[ ]( )3422 +− xx

( )( )( )344 +−+ xxx

1.3.22. 162 22 −+− yxyx

( )( ) 16−−− yxyx

( ) 224−− yx

( )[ ] ( )[ ]44 +−−− yxyx



19


�� Simplificar la fracción.

1.3.23. ( ) ( )

h

xhx 1313 +−++

h

xhx 13133 −−++

h

h3

3

1.3.24. ( ) ( ) ( )( )( )

( )42

222

4

44444

−

−−−−−

x

xxxx

( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )42

22

4

44444

−

−−−−−

x

xxxx

( )( )

( )42

222

4

161644

−

++−−

x

xxx

( )( )

( )42

22

4

16124

−

+−

x

xx

( )( )32

2

4

1612

−

+

x

x

�� Efectuar las operaciones y exprese cada respuesta en su forma más simple.

1.3.25. ( )46949

827 2

2

3

++÷−−

xxx

x

( )( )46949

82722

3

++−−

xxx

x

( )

( )( )46949

2322

33

++−−

xxx

x

( )( )( )( )46949

4692322

2

++−++−

xxx

xxx

( )( )

( )( )( )4692323

469232

2

+++−++−

xxxx

xxx

23

1

+x

1.3.26. y

x

yx

x−

−

( )( )( )yxy

xyxxy

−−−

( )yxy

xyxxy

−+− 2



20


( )yxy

xxy

−− 22

1.3.27. 322

3

1

3−+

−+

+−

xx

x

x

x

( )( ) ( )( )[ ]

( )( )32

21

3123−+

−−+−+−

xxx

xxxx

( )( )( )( )( )

( )( )21

2132

21

3363 22

−−−−−

+−−

−−++−xx

xxx

xx

xxxxx

( )( )

( )( )( )( )21

2232

21

344 22

−−+−−−

+−−−−

xx

xxxx

xx

xx

( )( )

( )( )( )( )21

2332

21

344 22

−−+−−

+−−−−

xx

xxx

xx

xx

( )( ) ( )( )21

693462

21

344 2232

−−−+−+−

+−−−−

xx

xxxxx

xx

xx

( )( ) ( )( )21

61392

21

344 232

−−−+−

+−−−−

xx

xxx

xx

xx

( )( )21

63134942 223

−−−−+−−+

xx

xxxxx

( )( )21

9952 23

−−−+−

xx

xxx

1.3.28. ( ) 2

2

2

12

2

−+

−

+−

x

x

x

x

( )( ) 2

2

2

12

2

−+

−

+−x

x

x

x

( )( ) ( )

( )322

2

2221

−

−+−−−

x

xxxx

( ) ( ) ( )[ ]

( )32

2

2212

−

−+−−−

x

xxxx

( ) ( )[ ]

( )22

2

221

−

−+−−

x

xxx

( )2

22

2

421

−

−+−−

x

xxx

( )22

2

14

−

−−

x

xx



21


�� Expresar cada fracción como una fracción simple reducida a su mínima expresión.

1.3.29. 2

1

1

3

1

+−

+ xx

( ) ( )( )( )

2

13

31

+++−+

xx

xx

( )( )

1

2

13

2

++−

xx

( )( )13

1

++−

xx

1.3.30. h

xhx

55−

+

( )( )

h

xhx

hxx

++−55

( )

h

xhx

hxx

+−− 555

( )

1

5

h

xhx

h

+−



22


( )xhhx

h

+−5

( )xhx +−5

1.4 Exponentes y radicales

�� Realizar las operaciones y simplifique. Exprese sus respuestas únicamente con exponentes positivos.

1.4.1. 22

312321

)9(

)()3(−−

−−−−

yx

yxyx

242

36633

9

3−−

−−

yx

yxyx

22364633 93 +−−+− yx

2553 93 yx−

27

81 55 yx

553 yx

�� Evalué la expresión.

1.4.2. 3

2

27

8−

−

3

2

27

8

1

−

3

729

64

1

9

4

1

4

9



23


�� Realizar las operaciones y exprese la respuesta en la forma más simple, utilizando únicamente exponentes positivos.

1.4.3. )2)(2( 21

21

−+ xx

2221

)2()( −x

4−x

�� Expresar como una fracción simple, únicamente con exponentes positivos.

1.4.4. 21

221

23 )1(4)1(4 +++−

xxxx

21

2

21

2

3

)1(4)1(

4++

+xx

x

x

21

2

21

221

23

)1(

)1()1(44

+

+++

x

xxxx

21

2

23

)1(

)1(44

+

++

x

xxx

21

2

33

)1(

444

+

++

x

xxx

21

2

3

)1(

48

+

+

x

xx

1

)12(4 2

+

+

x

xx

1.4.5. 21

321

33

)3()3(2

3−+−

−xx

x

21

3

21

3

3

)3()3(2

3−+

−x

x

x

21

3

21

321

33

)3(2

)3()3(23

−

−−+

x

xxx

21

3

33

)3(2

)3(23

−

−+

x

xx

21

3

33

)3(2

623

−

−+

x

xx

21

3

3

)3(2

65

−

−

x

x



24


�� Expresar el radical en su forma más simple.

1.4.6. 9

16 8x

9

16 8x⋅

3

4 4x

1.4.7. 3 53 813 xx

3 533 813 xx

33 53 813xx

33

5

2

3

33333 ⋅⋅⋅xx

33 33

5

2

3

333+

x

36

19

333x

36 19 333x

36 666 333xxxx ⋅⋅⋅

366 18 333xx

363 333xx

3

1

2

1

63 333 ⋅xx

3

1

2

1

63 33+

xx

6

5

63 33 xx

6 563 33 xx

6 53 33 xx

�� Racionalizar el denominador y exprese su respuesta en la forma radical más simple posible.

1.4.8. 4

1

−x

4

4

4

1

+

+•

− x

x

x

22 )4()(

4

−

+

x

x

16

4

−+

x

x



25


�� Racionalizar el numerador y simplifique la fracción cuando sea posible.

1.4.9. 9

3

−−

x

x

3

3

9

3

+

+•

−−

x

x

x

x

)3)(9(

)3()( 22

+−

−

xx

x

)3)(9(

9

+−

−

xx

x

3

1

+x

1.4.10. h

xhx −+

xhx

xhx

h

xhx

++

++•

−+

)(

)()( 22

xhxh

xhx

++

−+

)( xhxh

xhx

++

−+

)( xhxh

h

++

xhx ++

1

�� Realizar las operaciones y exprese su respuesta en la forma radical más simple; donde sea posible racionalice los denominadores.

1.4.11. 12618327 +−

43663339 +−

23663333 ⋅+−

31263333 +−

633315 −

2333315 −

2)3(3315 2−

233315 ⋅−

29315 −



26


1.4.12. )232)(532( +−

1031034)3()2( 22 −−+

103103434 −−+⋅

103612 −−

362−

1.4.13. )5)(5( +− aa

22 )5()( −a

25−a

1.4.14. 22 )3()3( −−− xx

396 +−+− xxx

x612−

1.4.15. 57

2

−

57

57

57

2

+

+•

−

22 )5()7(

)57(2

−

+

57

)57(2

−+

57

5272

−+

2

1014 +

1.4.16. 6

36

26

12−

−

( )( )( )626

2636612

−

−−

626

72636612

−

+−

( )626

7236126

−

+−

( )626

72246

−

+−

( )( )( )22 626

62672624

−

++−

( )( )6436

614443264861442

⋅−++−−

( )2436

648432

−⋅−

12

288432 −

12



27


�� Expresar la expresión como una sola fracción simple.

1.4.17. 2

223

2

2

−−−

xx

( )2

22232

22

−

−−−

x

xx

( )2

2232

22

−

−−

x

x

( )2

2232

2

−

−−

x

x

2

2632

2

−

−−

x

x

2

832

2

−

−

x

x

1.5 Números complejos

�� Realizar las operaciones y escriba los resultados en la forma bia + .

1.5.1. )86()23( ii −++

ii 8623 −++

i69−

1.5.2. )29()28( ii ++−

ii 2928 ++−

17



28


1.5.3. )5)(32( ii +−

2315210 iii −−+

)1(31310 −−− i

31310 +− i

i1313−

1.5.4. ( )232 i−

293224 ii +⋅⋅−

( )19124 −+− i

i1294 −−

i125−−

1.5.5. 2

82 i+

2

8

2

2 i+

i41+

1.5.6. i

i32+

i

i

i

i•

+ 32

2

232

i

ii +

( )1

132

−−+i

( )32 −− i

i23−

1.5.7. i+2

3

i

i

i −−

•+ 2

2

2

3

( )( ) ( )222

23

i

i

−

−

( )14

36

−−− i

14

36

+− i

5

36 i−

i5

3

5

6−



29


1.6 Ecuaciones y desigualdades de primer grado en una variable

�� Despejar la variable correspondiente. Para las desigualdades, exprese su respuesta utilizando la notación de intervalos.

1.6.1. 2)]}3(2[{5 −>−−− yyy

2]}32[{5 −>+−− yyy

2}32{5 −>−+− yyy

2155105 −>−+− yyy

22510 −>− yy

25210 +−>− yy

239 >y

9

23>y

∞,9

23

1.6.2. )1(42

35

3

2−+=− xxx

442

35

3

2−+=− xxx

5442

34

2

3554

2

3

3

2+−−−+=+−−− xxxxxxx

16

24

6

9

6

4=−− xxx

16

29=

−x

6129 ⋅=− x

29

6

−=x

1.6.3. 1317

−=+−y

113117

−−=−+−y

1137

−−=−y

147

−=−y

y=−

−14

7

14

7=y

2

1=y



30


1.6.4. 13

1

2

13<−

+x

3

11

2

13+<

+x

+<+3

11213x

13

1123 −

+<x

3

13

112 −

+<x

3

13

22 −+

<x

3

3

21+

<x

3

3

2

3

3+

<x

3

3

5

<x

9

5<x

∞−9

5,

1.6.5. 337

=+−y

337

−=−y

y=−

−33

7

y=−0

7

No existe solución para y

1.6.6. 2

5

3

2

6

142 +

+−

=−−+

aaaa

a

( )( )

( ) ( )( )( )23

3522

23

14

+−−++

=+−

+aa

aa

aa

a

( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )2335221423 +−−++=++− aaaaaaa

( )( ) ( )215542142 +−++=++ aaaaa

( )( ) ( )( )2117142 +−=++ aaaa

11714 −=+ aa a312 =

3

12=a

4=a



31


1.6.7. 14

22

12

3

12

52 −

=−

++ xxx

( ) ( )( )( ) ( ) 22

12

22

1212

123125

−=

−+++−

xxx

xx

( )( ) ( )( )1212

22

1212

36510

−+=

−+++−

xxxx

xx

2236510 =++− xx 22216 =−x

22216 +=x

16

24=x

2

3=x

�� Despejar la variable dada.

1.6.8. wwhlwlhs ;222 ++=

whlwlhs 222 +=−

( )hlwlhs 222 +=−

whl

lhs=

+−

22

2

hl

lhsw

22

2

+−

=

1.6.9. ( )( ) yyx ;01223 =−−

02436 =+−− yxxy

2346 −=− xyxy

( ) 2346 −=− xxy

46

23

−−

=x

xy

023 =−x 046 =−x 23 =x 46 =x

3

2=x

6

4=x

3

2=x

( )( ) 416

213

−−

=y

46

23

−−

=y

2

1=y

2

1=y para

3

2≠x



32


1.7 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

�� Resolver las ecuaciones o desigualdades con valor absoluto. Exprese las soluciones de las desigualdades utilizando la notación de intervalos.

1.7.1. 12=x

12,12 −== xx

1.7.2. 325 <+ x

3253 <+<− x

2

53

2

525

2

53 −<

−+<

−− x

2

53

2

53 −<<

−−x

2

2

2

8 −<<

−x

14 −<<− x

( )1,4 −−

1.7.3. 323 <− x

3233 <−<− x

2

33

2

33

−−

<<−−−

x

2

0

2

6

−<<

−−

x

03 << x

( )3,0

1.8 Ecuaciones cuadráticas y ecuaciones en forma cuadrática.

�� Despejar la variable factorizando o utilizando el teorema de la raíz cuadrada.

1.8.1. 3

13

+=−

xx



33


( )( ) 133 =+− xx

1322 =−x

192 =−x

91992 +=+−x

102 =x

102 =x

10±=x

�� Resolver completando el cuadrado.

1.8.2. 42

3

5

1=

++

− aa

( ) ( )( )( )

425

5321=

+−

−++

aa

aa

( ) ( ) ( )( )2545321 +−=−++ aaaa

( )102541532 2 −+−=−++ aaaaa

( )1034134 2 −−=− aaa

40124134 2 −−=− aaa

134041240 2 +−−−= aaa

271640 2 −−= aa

a

acbb

2

42 −±−



34


( ) ( ) ( )( )( )42

274416162 −−−±−−

8

43225616 +±

8

68816±

8

431616 ⋅±

8

431616±

8

43416±

4

84

43416±

2

434±

�� Resolver mediante cualquier método algebraico.

1.8.3. xx

=− 23

( )23 −= xx

0322 =−− xx

013122 =−−+− xx



35


( )( ) 0411 =−−− xx

( ) 021 22 =−−x

( )( ) 02121 =−−+− xx

( )( ) 031 =−+ xx

3,1 =−= xx

�� Despejar la variable.

1.8.4. 42 −=− xx

240 +−−= xx

20 −−= xx

( )( )120 +−= xx

02 =−x 01=+x

( ) 22

2=x ( ) ( )22

1−=x

4=x 1=x

1.8.5. 01617 24 =+− xx

( )( ) 0116 22 =−− xx

0162 =−x 012 =−x

162 =x 12 =x

162 =x 12 =x

4±=x 1±=x

4,1 ±±=x

1.8.6. ( )( )

07

3

32

31

=+

−

x

x

( )( )

( ) ( )32

3

2

3

2

3

1

707

7

3+=

+

+

−xx

x

x

( ) 03 3

1

=−x

( ) ( )33

3

1

03 =

−x

03 =−x

3=x



36


1.9 Desigualdades cuadráticas y racionales

�� Resolver las desigualdades. Exprese su respuesta utilizando notación de intervalos.

1.9.1. 12>y

12 >y

1>y

1−<y

1−<y

1.9.2. 022 2 ≥−− xx

( ) ( ) ( )( )( )22

224112 −−−±−−

4

1611 +±

4

171±

∞

+∪

−∞− ,

4

171

4

171,

1.9.3. 01

2<

+−

x

x

02 =−x 01=+x

2=x 1−=x

( )2,1−

1.9.4. 21

1≥

+−

x

x

2221

1−≥−

+−

x

x

021

1≥−

+−

x

x

( )0

1

12

1

1≥

++

−+−

x

x

x

x

( )0

1

121≥

++−−

x

xx

01

221≥

+−−−

x

xx

01

3≥

+−−

x

x

03 =−− x

( ) 031 =+− x

03 =+x 01=+x

3−=x 1−=x

[ )1,3 −−



37


1.10 Solución de problemas en lenguaje común

1.10.1 Se tiene el doble de perros que gatos. La suma de todos los animales es 42.

¿Cuántos perros hay? Números de gatos: x

Números de perros: x2

Solución: 422 =x , entonces 2

42=x ; por lo tanto 21=x

El total de perros es 21

1.10.2 Una tabla de 186 centímetros se corta en dos partes, de modo que una de estas

mida el doble de largo que la otra. ¿Cuántos mide cada una de las partes?

Longitud de la parte más corta: x

Longitud de la parte más larga: x2

Solución: 2862 =+ xx

Resolviendo la ecuación: 33.95=x

1.10.3 Tomas y Roberto viven en ciudades que están a una distancia de 625 kilómetros

entre si. Hacen una cita para encontrarse en un punto intermedio. Si Tomas maneja a 30

kilómetros por hora mas rápido que Roberto y ambos se encuentran después de haber

conducido durante 5 horas. ¿a que velocidad manejo cada uno? Velocidad Tiempo Distancia Roberto x 5 5x

Tomas x+30 5 5(x+30)

Solución: 625)30(55 =++ xx

x x2

286



38


Resolviendo la ecuación, la respuesta es 5.47=x

1.10.4 El perímetro de un rectángulo mide 120 pies. El largo es de 10 pies mas grande que

el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

1.10.5 Un objeto se lanza desde un edificio de 48 pies de altura. La altura h del objeto

por encima del nivel del suelo en un instante específico t está dada por:

2163248 tth −+=

Determinar el número de segundos t en el que el objeto chocara contra el suelo.

Cuando el objeto choca contra el suelo, 0=h . Al sustituir 0=h en la ecuación dada anteriormente se obtiene:

21632480 tt −+= , que es igual a 0483216 2 =−− tt Entonces:

0322 =−− tt

( ) 0)1(3 =+− tt

Por lo tanto:

3=t y 1−=t .

10+x

x

Ancho: x

Largo: 10+x Solución: 1202)10(2 =++ xx

Respuesta: 25=x

48

0=h , cuando el objeto

hace contacto con el piso



39


Respuesta: El objeto choca contra el piso a los 3 segundos. –1 no se considera como respuesta debido

a que no satisface los requisitos físicos, ya que t debe ser positivo.

1.10.6 El cuadrado de un numero entero es 7 unidades menor que ocho veces el numero

entero. Encontrar el número.

Numero entero: x

782 −= xx

0782 =+− xx

( ) 0)1(7 =−− xx

7=x y 1=x Respuesta: Tanto 1 como 7 satisfacen las condiciones del problema, ambos son soluciones validas. El entero es 1 o 7.

presentación - juanmadrids.files.wordpress.com · números. en el capitulo ii se abordará el tema...

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