tema 2.- los números complejos. polinomios

Ingenierıa Civil.Matematicas I. 2012-2013.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 2.- Los numeros complejos. Polinomios.

2.1.- Los numeros complejos. Operaciones.

Forma binomica. Operaciones y propiedades.

Forma exponencial. Potencias y raıces.

2.2.- Polinomios.

Factorizacion de polinomios. El Teorema del resto.

El Teorema fundamental del Algebra.

Las raıces de un polinomio real.

2.3.- Movimientos en el plano.

Traslaciones.

Homotecias.

Giros.

Proyecciones.

Simetrıas.

2.4.- Ejercicios.

Eunciados.

Soluciones.

Historicamente, los numeros complejos surgieron para tratar ecuaciones polinomicas, talescomo x2 + 1 = 0, que no tienen solucion real. En esta direccion, el resultado principal queconsideraremos en esta leccion sera el Teorema Fundamental del Algebra que aseguraque toda ecuacion polinomica con coeficientes complejos tiene, al menos, una solucion.

Previamente, habremos definido los numeros complejos, sus operaciones mas importantesy la interpretacion geometrica de las mismas, cuyo manejo nos permite describir transfor-maciones sobre el plano complejo.

En la seccion 1 estudiamos los numeros complejos y sus operaciones. Por una parte, losutilizaremos para el estudio de la factorizacion de un polinomio y por otra, para expresarciertas transformaciones del plano mediante operaciones sobre ellos. En la seccion 2, dedicadaa la factorizacion de polinomios, se puede apreciar la necesidad y conveniencia del estudiode los numeros complejos. La seccion 3 esta dedicada al estudio de algunas transformacionesdel plano y a su expresion mediante numeros complejos y mediante matrices y vectores.

30

2.1.- Los numeros complejos. 31

2.1.- Los numeros complejos. Operaciones.

Un numero complejo viene dado por dos numeros reales o, si se quiere por un punto oun vector del plano. Mas importante que la definicion en sı de los numeros complejos, sonlas operaciones que hay definidas sobre ellos y las propiedades de dichas operaciones. Sobrelos numeros complejos definiremos las operaciones suma y producto. Desde el punto de vistade la operacion suma, los numeros complejos pueden ser tratados como vectores reales dedos coordenadas. La operacion producto tendra, en los aspectos aritmeticos, propiedadessimilares a las del producto de numeros reales. Dentro de los numeros complejos tendremosa los numeros reales. Cuando estemos considerando numeros complejos, no tendra sentidotrabajar con desigualdades a menos que previamente hayamos impuesto que los terminos dedichas desigualdades sean numeros reales.

2.1.1.- Forma binomica. Operaciones y propiedades.

Definicion. Un numero complejo es un numero de la forma z = a+ bi (o z = a+ ib) dondei verifica que i2 = −1 y a y b son numeros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Losnumeros reales a y b se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria delnumero complejo z y se suele escribir

Re(z) = a, Im(z) = b.

Esta expresion que acabamos de describir de los numeros complejos (mas adelante veremosotra) se denomina forma binomica del numero.

Dos numeros complejos z y w son iguales si, y solo si,

Re(z) = Re(w) y Im(z) = Im(w) .

Al conjunto de los numeros complejos lo denotaremos por C, es decir,

C = {z = a+ bi : a, b ∈ R} .

Sea z = a+ bi. Si b = 0 escribiremos simplemente z = a. Si a = 0 escribiremos z = bi. Eneste ultimo caso diremos que z es un numero imaginario puro. En lo que sigue identifi-caremos el numero real a con el numero complejo a + 0i. De esta forma se puede entenderque el conjunto de los numeros reales es un subconjunto del de los numeros complejos.

Un numero complejo z = a + bi lo podemos representar por el punto P del plano quetiene por coordenadas cartesianas (a, b). A veces tambien lo respresentaremos por el vector

de posicion ~OP del punto P . Interpretado de esta manera, al plano cartesiano se le denominatambien plano complejo. El eje de abscisas tambien se suele denominar eje real y el ejede ordenadas eje imaginario.

Definicion. Suma y Producto. Dados dos numeros complejos z = a + bi y w = c + didefinimos la suma z + w y el producto zw mediante:

z + w = (a+ c) + (b+ d) i,zw = (ac− bd) + (ad+ bc) i.

La suma y la diferencia de dos numeros complejos se puede interpretar en el planocomplejo de la misma forma que la suma y diferencia de vectores:

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32 Tema 2.- Los numeros complejos. Polinomios.

w

zz +

ww

z

z − w

El producto de numeros complejos no tiene una interpretacion directa en terminos de losvectores asociados (no es el producto escalar de dos vectores, que es un numero real). Masadelante daremos una interpretacion geometrica del producto de dos numeros complejos.

En lo que se refiere a las propiedades de la suma y el producto, de forma generica puededecirse que se verifican las mismas propiedades algebraicas que se conocen para la suma y elproducto de numeros reales. Al considerar propiedades algebraicas se estan excluyendo laspropiedades de la suma y producto de numeros reales en las que aparecen desigualdades.

Propiedades. Sean z, w, v ∈ C.

(1) Conmutativas: z + w = w + z y zw = wz.

(2) Asociativas: (z + w) + v = z + (w + v) y (zw) v = z (wv).

(3a) Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z paratodo z ∈ C.

(3b) Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + 0i, tal que z1 = 1z = z, paratodo z ∈ C.

(4a) Cada numero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto , −z = −a + (−b) i, talque z + (−z) = 0.

(4b) Cada numero complejo z = a + bi 6= 0 tiene un elemento inverso z−1 tal que

zz−1 = z−1z = 1.

De hecho, si z = a+ bi 6= 0 se tiene que z−1 =a

a2 + b2+

−b

a2 + b2i.

(5) Distributiva (del producto respecto a la suma) z (w + v) = zw + zv.

Como es habitual, para los numeros reales, el inverso z−1 de z 6= 0 y un producto wz−1

los representaremos por1

zyw

z, respectivamente.

La parte real y la parte imaginaria en una division de numeros complejos puede obtenersede la siguiente forma. Si z = a+ bi 6= 0 y w = c+ di

w

z=

c+ di

a+ bi= (c+ di) (a + bi)−1 = (c+ di)

(

a

a2 + b2+

−b

a2 + b2i

)

=(c+ di) (a− bi)

a2 + b2.

No obstante, tras estudiar la conjugacion y el modulo veremos otra forma mas eficiente paracalcular el inverso de un numero complejo o dividir numeros complejos.

Matematicas I. Ingenierıa Civil


Observacion. No es posible establecer en el conjunto de los numeros complejos una relacionde orden que verifique las mismas propiedades que verifica la relacion de orden que conocemosentre los numeros reales.

Definicion. Conjugado. Sea z = a+ bi un numero complejo. Se define el conjugado de z,y se representa por z, como el numero complejo z = a− bi.

z

z

Geometricamente, si el numero complejo z = a+bise representa por el punto P = (a, b), su conjugadoz = a− bi se representa por el punto P

′

= (x,−y)que es el simetrico de P respecto del eje X .Notemos que las partes real e imaginaria de unnumero complejo se pueden expresar en terminosdel numero complejo y de su conjugado,

z + z = 2a ⇒ Re (z) = 12(z + z) ,

z − z = 2ib ⇒ Im (z) = 12i(z − z

Propiedades del conjugado.

(1) z = z

(2) z1 + z2 = z1 + z2.

(3) z1z2 = z1 z2.

(4) Si z2 6= 0,

(

z1z2

)

=z1z2.

(5) z z = (Re (z))2 + (Im (z))2. Por tanto, z z > 0 para todo z 6= 0.

Definicion. Modulo. Se define el modulo del numerocomplejo z = a + bi, y se representa por |z|, como elnumero real

|z| =√a2 + b2.

Considerando el punto P = (a, b), asociado al numerocomplejo z = a + bi, el modulo de z no es otra cosaque la longitud del segmento OP (la distancia entre elorigen de coordenadas y el punto P ).

z

|z|

Observaciones.

a) Notese que |z| =√z z. Por tanto, |z|2 = z z y z−1 =

z

|z|2.

b) Podemos observar tambien que para dividir dos numeros complejos w/z, basta conmultiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador

w

z=

wz

zz=

wz

|z|2.



El modulo permite trabajar con distancias en el plano. Ası, si los numeros complejosz1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i se representan en el plano por los puntos P1 = (a1, b1) yP2 = (a2, b2), respectivamente, entonces

z1 − z2 = (a1 + b1i)− (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2) i

y su modulo |z1 − z2| = +√

(a1 − a2)2 + (b1 − b2)

2 es la distancia entre P1 y P2.

Teniendo en cuenta lo anterior, el conjunto de puntos P = (x, y) del plano que equidistandel origen O una cantidad constante r, es decir, los puntos P = (x, y) de la circunferenciacon centro en el origen de coordenadas y radio r, pueden expresarse en terminos de las coor-denadas cartesianas mediante la ecuacion

√

x2 + y2 = r y mediante los numeros complejospor la ecuacion |z| = r (ver figura).

De la misma forma, si el numero complejo z0 = x0 + y0i se representa en el plano por elpunto C = (x0, y0), entonces el conjunto de puntos P = (x, y) del plano que equidistan deC una cantidad constante r, es decir, los puntos P = (x, y) de la circunferencia de centro

C y radio r (ecuacion cartesiana√

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = r) se puede expresar en forma

compleja mediante |z − z0| = r (ver figura).

z

|z| = r

z

z0 z − z0

|z − z0| = r

En lo que se refiere a la suma las propiedades del modulo coinciden con las propiedadesdel calculo de distancias y de la norma/modulo de vectores.

Propiedades del modulo. Sean z, z1 y z2 numeros complejos.

(1) |z| = 0 si, y solo si, z = 0.

(2) |z| = |z|.

(3a) |z1z2| = |z1| |z2|.

(3b) Si z2 6= 0,

∣

∣

∣

∣

z1z2

∣

∣

∣

∣

=|z1||z2|

.

(4) |Re (z)| ≤ |z|, |Im (z)| ≤ |z|.

(5) Desigualdad triangular: |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| .



Demostremos la desigualdad triangular:

|z1 + z2|2 = (z1 + z2) (z1 + z2) = (z1 + z2) (z1 + z2)

= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 = |z1|2 + 2Re(z1z2) + |z2|2

≤ |z1|2 + 2 |Re(z1z2)|+ |z2|2 ≤ |z1|2 + 2 |z1z2|+ |z2|2

= |z1|2 + 2 |z1| |z2|+ |z2|2 = (|z1|+ |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

en la cuarta igualdad usamos que z1z2 = z1 z2 = z1z2 y, por tanto,

z1z2 + z2z1 = 2Re(z1z2) .

Ejercicio. Demuestra que |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||.

2.1.2.- Formas polar y exponencial. Potencias y raıces.

• Forma polar de un numero complejo.

Como acabamos de ver, al numero complejo z = a + bi le corresponde el punto P delplano de coordenadas (a, b). Si representamos por r la longitud del segmento OP, que une elorigen O de coordenadas y P , y por θ el angulo (los angulos) que forma OP con el semiejepositivo de abscisas, se dice que (r, θ) son las coordenadas polares del punto P . Si r = 0,es decir, si P ≡ O, entonces el angulo θ no esta definido. Consideraremos, por tanto, quez 6= 0. En este caso, r es unico pero θ no lo es. Dado r > 0, cualesquiera dos angulos que sediferencien en un multiplo entero de 2π (numero completo de vueltas) dan lugar al mismopunto. Se establece como convenio que θ es positivo si es medido en sentido antihorario, ynegativo en caso contrario. A cualquiera de tales numeros θ se le llama argumento de z yse representa mediante arg (z). Se sigue facilmente que, para numeros complejos cuya partereal sea no nula, se tiene que

r = +√a2 + b2 = |z| y que tg(θ) =

y

x.

Si para x 6= 0 se calcula el argumento de z = x + iy utilizando la funcion arco tangentede una calculadora (o de cualquier paquete de calculo matematico), lo que se obtiene es unangulo que esta en el intervalo

(

−π2, π2

)

. Dicho angulo puede ser uno de los argumentos dez o uno de los argumentos de −z (puesto que y

x= −y

−x). Para determinar si se trata de uno

o de otro hay que tener en cuenta los signos de la parte real y de la parte imaginaria. Porotra parte, para obtener alguno de los argumentos de z que no este en el intervalo

(

−π2, π2

)

habra que sumar algun multiplo apropiado de 2π.El argumento de un numero complejo con parte real nula puede ser −π

2(+2kπ) si la parte

imaginaria es negativa o π2(+2kπ) si la parte imaginaria es positiva.

Puesto que a = r cos θ y b = r senθ, tenemos que z se puede expresar de la forma

z = a + bi = r (cos θ + isenθ) .

La expresion de un numero complejo no-nulo en terminos de su modulo r y su argumento θ(uno de ellos) se suele denominar forma polar o trigonometrica de z.

Notemos que para que dos numeros complejos, dados en forma trigonometrica por unocualquiera de sus argumentos,

z1 = r1 (cos θ1 + isenθ1) y z2 = r2 (cos θ2 + isenθ2)



sean iguales tienen que ser iguales sus modulos pero no necesariamente tienen que serlo losargumentos considerados

z1 = z2 ⇐⇒{

r1 = r2,θ1 − θ2 = 2kπ con k ∈ Z.

El uso de la forma trigonometrica permite dar una interpretacion geometrica delproducto de dos numeros complejos. Para los numeros z1 y z2 considerados tenemos

z1z2 = r1 (cos θ1 + isenθ1) r2 (cos θ2 + isenθ2)

= r1r2 [(cos θ1 cos θ2 − senθ1 senθ2) + i (senθ1 cos θ2 + cos θ1 senθ2)]

= r1r2 [cos (θ1 + θ2) + isen (θ1 + θ2)] .

Es decir, el producto de dos numeros complejos es un numero complejo cuyo modulo es elproducto de los modulos y uno de sus argumentos es la suma de los argumentos.

El inverso del numero complejo z = r (cos θ + isenθ) 6= 0 se puede obtener en formatrigonometrica del siguiente modo:

z−1 =1

z=

1

r (cos θ + isenθ)=

1

r

cos θ − isenθ

(cos θ + isenθ) (cos θ − isenθ)=

1

r

cos θ − isenθ

(cos θ)2 + (senθ)2

= r−1 (cos θ − isenθ) = r−1 (cos(−θ) + isen(−θ)) .

Del mismo modo podemos dividir dos numeros complejos,

z1z2

=r1r2

[cos (θ1 − θ2) + isen (θ1 − θ2)] .

• Forma exponencial de un numero complejo.

Observemos que, en los calculos anteriores, el termino f (θ) = cos θ+ isenθ tiene algunasde las propiedades de una funcion exponencial (de exponente real), pues

f (θ1 + θ2) = f (θ1) f (θ2) .

Es posible mostrar, aunque esta fuera del alcance de este curso, que la funcion exponencialreal et puede extenderse de manera razonable al caso de exponentes complejos y que dichaextension, para el caso de un exponente complejo imaginario puro, esta dada necesariamentepor la siguiente formula llamada formula de Euler.

Formula de Euler: eiθ = cos θ + isenθ, θ ∈ R

Utilizaremos esta expresion como definicion de eiθ, θ ∈ R.De esta forma, se puede representar todo numero complejo(forma exponencial) mediante

z = reiθ (= r (cos θ + isenθ))

siendo r el modulo de z y θ uno cualquiera de sus argumen-tos.

Leonhard Euler1707-1783



Las propiedades aritmeticas de la exponencial real et, t ∈ R, se cumplen para la expo-nencial compleja eiθ, θ ∈ R. Las propiedades de la exponencial real relativas a desigualdades,crecimiento, etc. no son trasladables a la exponencial compleja y de hecho no tienen sentidopara esta. Para cualquier θ ∈ R, los puntos eiθ son puntos de la circunferencia unidad ycuando θ → +∞ o θ → −∞ dichos puntos recorren la circunferencia unidad en sentidopositivo o negativo, respectivamente.

Propiedades. Sean z = reiθ, r > 0, y w = ρeiϕ, ρ > 0, dos numeros complejos dados enforma exponencial.

(1) |z| =∣

∣reiθ∣

∣ = r y arg(z) = θ.

(2) z = w ≡ reiθ = ρeiϕ ⇐⇒{

r = ρ yθ − ϕ es un multiplo entero de 2π.

(3) z = reiθ = re−iθ = r1

eiθ.

(4) zw =(

reiθ)

(ρeiϕ) = rρei(θ+ϕ),z

w=

reiθ

ρeiϕ=

r

ρei(θ−ϕ).

• Potencias de un numero complejo. Formula de De Moivre.

Utilizando las propiedades que hemos visto del calculo de productos y cocientes de nume-ros complejos dados en forma polar-trigonometrica-exponencial, las potencias enteras de unnumero complejo z 6= 0 son faciles de expresar en terminos del modulo y el argumento de z.Si z = reiθ, para n = 1, 2, 3, ... tenemos:

z0 = 1 (por convenio), z1 = z = reiθ, z2 = r2ei2θ y, en general, zn = rneinθ

La interpretacion geometrica del calculo de las potencias de un numero complejo es sencilla.Simplemente hay que elevar el modulo a n y multiplicar el argumento por n. En la figura seconsideran dos situaciones, modulo mayor que 1 o modulo menor que 1.

z

z2

z3

1

z

z2

z31

Para exponentes negativos n = −1,−2,−3, ... las expresiones anteriores siguen siendovalidas. Siendo m = −n tenemos

zn =(

z−1)m

=

(

1

re−iθ

)m

=(

r−1)m

e−imθ = rneinθ.



Formula de De Moivre. Siendo θ ∈ R y n = 0,±1,±2, . . . se verifica:

(

eiθ)n

= einθ ≡ (cos θ + isenθ)n = cos (nθ) + isen (nθ) .

Ejemplo. Las potencias de la unidad imaginaria z = i son

i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i,i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i,i8 = 1, i9 = i, i10 = −1, · · ·

Es decir, las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Por tanto, paracalcular, por ejemplo, i1397 lo que harıamos serıa dividir el exponente entre cuatro, hallar elresto (en este caso se tendrıa 1397 = 4 · 349 + 1) y expresar:

i1397 = i4·349+1 =(

i4)349 · i1 = i.

• Raıces de un numero complejo. Representacion grafica.

Se dice que el numero complejo z = reiθ es raız n-esima de w = ρeiϕ 6= 0 si, y solo si,zn = w:

n√w = z ⇔ w = zn.

Veamos cuantas raıces n-esimas tiene un numero complejo. Segun la definicion dadadebera ser

w = zn ⇔ ρeiϕ =(

reiθ)n

= rneinθ.

De acuerdo con la caracterizacion de la igualdad de numeros complejos dados en forma polartenemos,

ρ = rn

nθ = ϕ+ 2kπ⇔

r = n√ρ

θ = ϕ+2kπn

k = 0,±1,±2, . . .

Ahora bien, al dar valores a k obtenemos

Para k = 0 −→ z1 = n√ρei

ϕ

n ,

Para k = 1 −→ z2 = n√ρei

ϕ+2πn ,

· · · · · · · · · · · ·Para k = n− 1 −→ zn = n

√ρei

ϕ+2(n−1)πn

Para k = n −→ zn+1 = n√ρei

ϕ+2nπ

n = n√ρei(

ϕ

n+2π).

y esta ultima raız zn+1 = n√ρe

iϕ

n = z1. Por tanto, todo numero complejo no nulo tiene nraıces n-esimas (distintas).

Representacion grafica de las raıces. Observamos que todas las raıces n-esimas delnumero complejo w = ρeiϕ tienen el mismo modulo n

√

|w|, y los argumentos de dos raıcesobtenidas para k = p y k = p+ 1 se diferencian en

ϕ+ 2 (p+ 1)π

n− ϕ+ 2pπ

n=

2π

n.


2.2.- Polinomios. 39

Por tanto, los puntos que representan a esas n raıces son los vertices de un polıgonoregular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas yradio n

√ρ.

En la siguiente figura hemos representado las raıces cuartas, quintas y sextas de unnumero complejo z de modulo mayor que 1 y argumento π/3.

w

z1

z2

z3

z4

w

z1

z2

z3

z4 z5

w

z1

z2z3

z4

z5z6

Ejemplo. Raıces n-esimas de la unidad.El numero w = 1 es un numero complejo que tiene modulo la unidad y su argumento es

cero, es decir, escrito en forma exponencial w = 1 = ei0. Entonces

n√1 = ei

0+2kπn = cos 2kπ

n+ i sen 2kπ

n, para k = 0, 1, 2, . . . , n− 1 ⇒

⇒

w1 = ei0 = cos 0 + isen0 = 1,

w2 = ei2π/n = cos 2πn+ isen 2π

n,

w3 = ei4π/n = cos 4πn+ isen 4π

n,

· · · · · · · · · · · ·wn = ei2(n−1)π/n = cos

(

2(n−1)πn

)

+ i sen(

2(n−1)πn

)

.

Estos n numeros se denominan las raıces n-esimas de la unidad.En las figuras siguientes se esquematizan las raıces cuadradas, cubicas y cuartas de w = 1 yde w = i.

1 1 1 111

2.2.- Polinomios.

2.2.1.- Factorizacion de polinomios. El teorema del resto.

De forma indistinta usaremos los terminos cero o raız de un polinomio

p(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0

(con coeficientes reales o complejos) para designar a los numeros complejos z0 ∈ C queverifican que p(z0) = 0 (las soluciones complejas de la ecuacion p(z) = 0).



Al igual que para polinomios reales es facil comprobar que para polinomios complejos severifica el teorema del resto.

Teorema del Resto. Sea z0 ∈ C y sea p(z) un polinomio.

(a) El resto de la division de p(z) entre z− z0 es p(z0). Es decir, hay un polinomio q(z) (deun grado menos que p(z)) tal que

p(z) = (z − z0)q(z) + p(z0).

(b) p(z0) = 0 si y solo si p(z) es divisible por z − z0.

2.2.2.- El teorema fundamental del Algebra.

Cualquier polinomio real se puede factorizar en un producto de polinomios reales degrados uno y dos. Obviamente hay polinomios reales que no pueden descomponerse en unproducto de polinomios de grado uno; por ejemplo p(x) = x2 + 1. El siguiente resultadopermite establecer que cualquier polinomio (real o complejo) se puede descomponer en unproducto de polinomios complejos de grado uno (iguales o distintos).

El Teorema fundamental del Algebra.Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tienealgun cero complejo.

Aunque era un resultado intuido con anterioridad, la primerademostracion del Teorema Fundamental del Algebra se debe aC.F. Gauss. A lo largo de su vida dio muchas demostraciones deeste resultado, aunque ninguna de ellas es puramente algebraicay la descripcion de cualesquiera de ellas se sale de los objetivosde la asignatura.

Carl Friedrich Gauss1777-1855

Combinando el Teorema fundamental del Algebra con el Teorema del resto, tenemos:

Teorema. Sea p(z) un polinomio complejo de grado n ≥ 1,

p (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n a0, a1, a2, . . . , an ∈ C, an 6= 0.

(1) p(z) tiene n raıces complejas (contando cada una segun su multiplicidad). Es decir,existen n numeros complejos (iguales o distintos) z1, z2, . . . , zn ∈ C tales que

p(z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn).

(2) Se verifican las siguientes relaciones entre las raıces y los coeficientes de p(z),

z1 + z2 + . . .+ zn = −an−1

an, z1z2 · · · zn = (−1)n a0

an.

De acuerdo con el teorema anterior las ecuaciones polinomicas del tipo x2 + 1 = 0, quejustificaron la ampliacion del conjunto de los numeros reales porque esas ecuaciones no tienensolucion real, tienen solucion en el conjunto de los numeros complejos. Concretamente esaecuacion tiene como soluciones z1 = i y z2 = −i, de manera que x2 + 1 = (x− i) (x+ i).


2.3.- Movimientos en el plano. 41

2.2.3.- Las raıces de un polinomio real.

No es cierto que todo polinomio no constante con coeficientes reales tenga alguna raızreal; sin embargo se verifica el siguiente resultado.

Teorema.

(1) Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene alguna raız real.

(2) En los polinomios con coeficientes reales las raıces complejas no reales aparecen porpares conjugados. Es decir, si z0 = x0 + iy0 ∈ C es una raız de un polinomio concoeficientes reales, entonces su conjugada z0 = x0 − iy0 ∈ C tambien lo es.

Resumiendo, en relacion con la factorizacion de polinomios, la diferencia entre consideraro no los numeros complejos radica en que:

Todo polinomio, de grado n ≥ 1, con coeficientes reales se puede factorizar:

(a) como un producto de polinomios reales de grados uno y dos.

(b) como un producto de polinomios complejos de grado uno.

2.3.- Movimientos en el plano.

Vamos a considerar aquı dos expresiones para transformaciones sencillas en el plano:traslaciones, homotecias, proyecciones ortogonales, giros y simetrıas.

2.3.1- Traslaciones.

Como conocemos del estudio de los vectores en el plano y del estudio de los numeroscomplejos, la suma u + v de dos vectores, o la suma z + w de dos numeros complejos,se obtiene geometricamente sin mas que hacer la traslacion, segun el vector v, del puntocuyas coordenadas son las de u (o viceversa). Ası, la transformacion del plano consistenteen desplazar cada punto segun un vector (a, b) (a unidades hacia la derecha (izquierda) y bhacia arriba (abajo)) puede expresarse mediante

R2 −→ R2

(x, y) −→ (x′, y′) = (x, y) + (a, b);C −→ C

z −→ w = z + (a + bi).

2.3.2- Homotecias.

Para una homotecia de centro el origen de coordenadas y razon ρ > 0, es decir, latransformacion que a cada vector v con origen en el origen de coordenadas le transforma enel vector w = ρv, tenemos las expresiones

R2 −→ R2

(x, y) → (x′, y′) = ρ(x, y)= (ρx, ρy);

C −→ C

z = x+ yi −→ w = ρz= ρx+ ρyi.



2.3.4.- Proyecciones ortogonales.

En lo que se refiere a proyecciones ortogonales, sabemos que calcular la parte real deun numero complejo consiste simplemente en proyectar su afijo (el punto que lo representa)sobre el eje OX . Calcular la parte imaginaria consiste en proyectar sobre el eje OY . Ası,tenemos

• Sobre OX :

• Sobre OY :

R2 −→ R2

(x, y) → (x′, y′) = (x, 0)

(x, y) → (x′, y′) = (0, y)

C −→ C

z −→ w = Re (z) = 12(z + z)

z −→ w = iIm (z) = 12(z − z) .

2.3.3.- Giros.

Si un punto P del plano tiene como coordenadas polares r > 0 (su distancia al origen)y θ (el angulo que forma su vector de posicion con el semieje positivo de abscisas), entoncessus coordenadas cartesianas son

{

x = r cos(θ)y = r sen(θ)

(∗)

y es facil obtener las coordenadas cartesianas del punto que se obtiene al hacer un giro decentro el origen de coordenadas y angulo φ, pues es el punto cuya distancia al origen esr (coincide con la de P ) y cuyo vector de posicion forma con el semieje positivo de abscisasel angulo θ + φ, es decir, el punto cuyas coordenadas cartesianas son

x′ = r cos(θ + φ) = r [cos(θ) cos(φ)− sen(θ) sen(φ)]

y′ = r sen(θ + φ) = r [sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ)]

y teniendo en cuenta las relaciones (*) se obtiene

x′ = x cos(φ)− y sen(φ)

y′ = y cos(φ) + x sen(φ)

Las relaciones anteriores las podemos expresar en forma matricial/vectorial(

x′

y′

)

=

(

cos(φ) − sen(φ)sen(φ) cos(φ)

)(

xy

)

donde la matriz G involucrada se denomina matriz del giro (de centro 0 y angulo φ). Hacerla anterior transformacion sobre el vector de coordenadas (x, y) es lo mismo que multiplicaral numero complejo z = x+ iy por el numero complejo de modulo 1 y argumento φ, es decirpor eiφ. Ası, tenemos la expresion del giro en forma compleja

C −→ C

z = x+ yi −→ w = eiφz

Desde este punto geometrico, la multiplicacion (de un numero complejo generico) por elnumero complejo de modulo ρ y argumento φ, es decir ρeiφ, consiste en hacer un giro (decentro el origen y angulo φ) y una homotecia (de centro el origen y razon ρ).



En el tema anterior hemos estudiado las ecuaciones reducidas de las hiperbolas. Estasecuaciones reducidas se obtienen al considerar un sistema de coordenadas cuyos ejes sean losejes de simetrıa de la hiperbola. Ahora estamos en condiciones de comprobar que las graficas

y =k

x, k 6= 0, son un caso particular de hiperbola tal y como la hemos considerado en el

tema anterior.Si hacemos un giro de centro el origen de coordenadas y angulo φ = −π

4radianes obte-

nemos los puntos de coordenadas (x′, y′) dados por

(

x′

y′

)

=

(

cos(φ) − sen(φ)sen(φ) cos(φ)

)(

xy

)

.

Puesto que la anterior relacion es equivalente a

(

xy

)

=

(

cos(φ) sen(φ)− sen(φ) cos(φ)

)(

x′

y′

)

=

x′ − y′√2

x′ + y′√2

sustituyendo (x, y) en la ecuacion xy = k tenemos

(

x′ − y′√2

)(

x′ + y′√2

)

= k ⇐⇒ (x′)2

2k− (y′)2

2k= 1

que es la ecuacion de una hiperbola equilateracon centro (x′ = 0, y′ = 0) ≡ (x = 0, y = 0),con ejes

• y′ = 0 ≡ x− y√2

= 0 y

• x′ = 0 ≡ x+ y√2

= 0

y con asıntotas y′ = ±x′ (o lo que es lo mismoy = 0 y x = 0).

X

YX ′

Y ′

xy = k

Cuando una hiperbola (equilatera) viene dada por una ecuacion del tipo xy = k se diceque la hiperbola esta referida a sus asıntotas y cuando viene dada por una ecuacion del tipox2

a2− y2

b2= ±1 se dice que esta referida a sus ejes.

Ejercicio.- Comprueba que los focos de la hiperbola xy = 1 son los puntos F1 = (√2,√2)

y F2 = (−√2,−

√2)

2.3.5.- Simetrıas.

Por ultimo, podemos considerar dos tipos de simetrıa: simetrıa respecto a un punto osimetrıa respecto a una recta. Yendo a la situacion mas simple, tenemos la simetrıa respectoal origen de coordenadas,

(x, y) ∈ R2 → (−x,−y) ∈ R

2,



que podemos expresar en forma matricial y compleja, respectivamente, como

(

x′

y′

)

=

(

−1 00 −1

)(

xy

)

;C −→ C

z = x+ yi −→ w = −z.

La simetrıa respecto al eje OX tiene expresiones simples tanto en forma matricial comocompleja:

(

x′

y′

)

=

(

x−y

)

=

(

1 00 −1

)(

xy

)

;C −→ C

z = x+ yi −→ w = z.

Ejemplos.

(1) ¿Que representa geometricamente la transformacion: z ∈ C −→ (1 + i)z − 2 ∈ C ?

Puesto que 1 + i tiene modulo√2 y argumento

π

4rad., tenemos que

(1 + i)z =√2 eiπ/4 z

es el numero complejo/punto/vector que se obtiene al hacer un giro de anguloπ

4rad. (y

centro el origen) y una homotecia de razon√2. Una vez hechas estas transformaciones,

nos queda restar 2, es decir, hacer (sobre lo obtenido) la traslacion de vector (−2, 0).

Re

Im

z

eiπ/4z

√2eiπ/4z = (1 + i)z

π4

0 Re

Im

z

(1 + i)z − 2(1 + i)z

0

Primero giramos ... y luego trasladamos.

Notemos que si bien hacer primero el giro y despues la homotecia da el mismo resultadoque hacer primero la homotecia y despues el giro, esto no sucede con la traslacion; no eslo mismo hacer primero el giro (o la homotecia) y despues la traslacion que hacerlo alreves. Si hicieramos primero la traslacion y despues el giro y la homotecia el resultadoserıa (1 + i)[z − 2].

Re

Im

zz − 2

0 Re

Im

zz − 2eiπ/4(z − 2)

(1 + i)(z − 2)

π4

0

Primero trasladamos y luego giramos...



Las expresiones matriciales de las anteriores operaciones las podemos obtener sin masque determinar la parte real y la parte imaginaria de los resultados. Para w = (1+i)z−2obtenemos:

(

x′

y′

)

=√2

(

cos(

π4

)

− sen(

π4

)

sen(

π4

)

cos(

π4

)

)(

xy

)

−(

20

)

=

=

(

1 −11 1

)(

xy

)

−(

20

)

.

(2) ¿Como podemos expresar en terminos complejos la transformacion del plano consis-tente en hacer una simetrıa respecto al eje OY ? En terminos de parte real y parteimaginaria tenemos:

z = x+ yi ∈ C → w = −x+ yi

y teniendo en cuenta que x = Re (z) =1

2(z + z), y = Im (z) =

1

2i(z − z), obtenemos

w = −1

2(z + z) +

1

2i(z − z)i = −z.

O sea, que hacer una simetrıa respecto al eje OY es lo mismo que hacer la simetrıarespecto al eje OX seguida de la simetrıa respecto al origen.



2.4.- Ejercicios.

2.4.1- Enunciados.

Ejercicio 1. Expresa en forma binomica los siguientes numeros complejos.

(1)1 + i

1− i.

(2)(2− i)2

(−3i)3.

(3)1

i+ 1i+ 1

i+1

.

Ejercicio 2. Dados los numeros complejos z1 = 1 + i, z2 = 1− i, z3 = 3 + 4i, calcula

5z1 + 2z2 − z3, z21 , z1z2z3,z1z3z2

, |2z1 − 3z3| ,∣

∣

∣

∣

z1z3z2

∣

∣

∣

∣

,zn1zn−22

(n ∈ N).

Ejercicio 3. Dados los numeros complejos z1 = 1 +√3i y z2 =

√2 (1− i), calcula

z1100

z1042

y

expresalo en forma binomica.

Ejercicio 4. Dados los numeros complejos z1 = −2, z2 = −2i, z3 = 3−3i, y z4 = −2+2√3i:

(1) Representalos geometricamente y escrıbelos en forma polar y exponencial.

(2) Calcula y representa geometricamente: z1 + z3, z2z3, z3z4,z3z4, z273 , z2004 .

(3) Calcula y representa geometricamente: 3√z1, 5

√z3, 4

√z4,

4

√

z21 , ( 4√z1)

2.

Ejercicio 5.

(1) Utilizando la formula de De Moivre, expresa sen(2θ), cos(2θ), sen(3θ) y cos(3θ) enfuncion de sen(θ) y cos(θ).

(2) Siendo z = reix, calcula(z + z) (z2 + z2) · · · (zn + zn)

cos(x) cos(2x) · · · cos(nx) .

(3) Siendo z = ei2π5 (comprueba que z4 = z), calcula w = 1 + z + z4 + z9 + z16.

Ejercicio 6. Calcula:

(1) La parte imaginaria de (1− i)5 y la parte real de (1− i)2002.

(2) Las raıces sextas de z = −1.

(3) La parte real de las sumas

100∑

k=0

ik,

100∑

k=0

(

1 + i√2

)k

.

Ejercicio 7. Representa en el plano complejo las curvas y recintos determinados por lassiguientes igualdades y desigualdades:


2.4.- Ejercicios. 47

(1) Ima(1z) > Re(1

z).

(2) Re(z2) = 0.

(3) Ima(z2) = 3.

(4) |z − 3| = |z + i|.

(5) |z − 3| > |z + i|.

Ejercicio 8. Resuelve las siguientes ecuaciones polinomicas y factoriza los polinomios corres-pondientes:

z2 − 2z + 2 = 0, z2 + (i− 1)z − i = 0, z6 − 2z3 + 2 = 0.

Ejercicio 9. (1) Resuelve, para n = 1, 2, . . . , la ecuacion polinomica: zn + (z − 2)n = 0.

(2) Resuelve las siguientes ecuaciones (no polinomicas)

(a) z − 1

z= 3i; (b) (z)2 = z2.

Ejercicio 10. Indica la respuesta correcta. El teorema fundamental del Algebra garantizaque un polinomio real de grado 9,

tiene 9 raıces reales porque sus coeficientes son reales.

no puede tener raıces reales.

tiene 9 raıces complejas.

Ejercicio 11. Sin tratar de calcular las raıces de los siguientes polinomios,

P1(z) = z3 + 28z2 + 2z − 1, P2(z) = z4 + 2z3 − 2z − 15,P3(z) = iz2 + (3− i)z − (1 + i), P4(z) = iz5 + z3 − (1 + i)z2,

¿que se puede decir de ellas?, ¿puede garantizarse la existencia de alguna raız real?:

Ejercicio 12. Expresa mediante operaciones con numeros complejos y en terminos matri-ciales las siguientes transformaciones del plano:

(1) Proyeccion ortogonal sobre el eje OY .

(2) Giro con centro en el punto (1, 1) y angulo π3rad. (en sentido positivo).

(3) Homotecia con centro en (1, 2) y razon 3.

Ejercicio 13. ¿Que representan geometricamente las siguientes operaciones sobre numeroscomplejos y vectores respectivamente?

(1) (a) (3 + i)2z − 2, (b) (3 + i)2(z − 2), (c) (3 + i)2z − 2.

(2) (a) − 5

( √32

−12

12

√32

)

(

xy

)

, (b)

( √32

−12

12

√32

)3(

xy

)

.



Ejercicio 14. Expresa mediante operaciones con numeros complejos y en terminos matri-ciales las siguientes transformaciones del plano:

(1) Giro con centro el origen y angulo el angulo 0 < φ < π2que forma la recta y = 2x con

el semieje positivo de abscisas.

(2) Giro con centro el origen que lleva el punto P = (1, 2) sobre el punto P ′ = (−2, 1).

(3) Giro con centro C = (1, 0) que lleva el punto P = (1, 2) sobre el punto P ′ = (−2, 1).



2.4.2- Soluciones.

Ejercicio 1.

(1)1 + i

1− i= i.

(2)(2− i)2

(−3i)3= − 1

27(4 + 3i) .

(3)1

i+ 1i+ 1

i+1

= 1.

Ejercicio 2. 5z1 + 2z2 − z3 = 4− i.

z21 = 2i.

z1z2z3 = 6− 8i.

z1z3z2

= −4 + 3i.

∣

∣

∣

∣

z1z3z2

∣

∣

∣

∣

= 5.

zn1zn−22

= 2ei(n−1)π2 =

2 si n = 4k + 12i si n = 4k + 2−2 si n = 4k + 3−2i si n = 4k

para k ∈ Z.

Ejercicio 3.

z1100

z1042

=2100ei

4π3

2104= − 1

32

(

1 +√3i)

.

Ejercicio 4. Se dejan las distintas representaciones graficas como ejercicio.

(1) La forma exponencial de los numeros dados es

z1 = −2 = 2eiπ,z2 = −2i = 2e−

π2i,

z3 = 3− 3i = 3√2e

7π4i = 3

√2e−

π4i,

z4 = −2 + 2√3i = 4e

2π3i.



(2)

z273 =[

3√2e−iπ

4

]27= 327

√227e−i 27π

4 = 327√227e−i 3π

4

= 327√227(

−√22− i

√22

)

= −327213 (1 + i) ,

z2004 =[

4ei2π3

]200

= 4200ei400π

3 = 2400ei4π3

= 2400(

−12− i

√32

)

= −2399(

1 + i√3)

.

(3) En cualquiera de los casos se trata de calcular varios numeros complejos.

3√z1: Se trata de calcular las 3 raıces cubicas de z1 = 2eiπ que son:

3√2ei

π3 = 3

√2

(

1

2+ i

√3

2

)

,

3√2ei(

π3+ 2π

3 ) = 3√2eiπ = − 3

√2,

3√2ei(

π3+ 4π

3 ) = 3√2ei

5π3 = 3

√2e−iπ

3 = 3√2

(

1

2− i

√3

2

)

.

5√z3: Se trata de calcular las 5 raıces quintas de z3 = 3

√2e

7π4i que son:

• 5√

3√2ei

7π20 = 10

√18ei

7π20 , • 10

√18ei(

7π20

+ 2π5 ) = 10

√18ei

3π4 = 10

√18

√22(−1 + i),

• 10√18ei(

7π20

+ 4π5 ) = 10

√18ei

23π20 , • 10

√18ei(

7π20

+ 6π5 ) = 10

√18ei

31π20 ,

• 10√18ei(

7π20

+ 8π5 ) = 10

√18e−i π

20 .

4√z4: Se trata de calcular las 4 raıces cuartas de z4 = 4e

2π3i que son:

• 4√4ei

2π12 =

√2ei

π6 =

√22

(√3 + i

)

, •√2ei(

π6+ 2π

4 ) =√22

(

−1 + i√3)

,

•√2ei(

π6+ 4π

4 ) = −√22

(√3 + i

)

, •√2ei(

π6+ 6π

4 ) =√22

(

1− i√3)

.

4√

z21 : Se trata de calcular las 4 raıces cuartas de z21 = 4 que son:

• 4√4 =

√2, • 4

√4ei

2π4 =

√2ei

π2 = i

√2,

• 4√4ei2

2π4 =

√2eiπ = −

√2, • 4

√4ei3

2π4 =

√2ei

3π2 = −i

√2.

(

4√z1)2: Se trata de calcular los cuadrados de las 4 raices cuartas de z1. Puesto

que z1 = −2 = 2eiπ, las 4 raices cuartas de z1 y sus cuadrados son:

4√z1

4√2ei(

π4 ) 4

√2ei(

π4+ 2π

4 ) 4√2ei(

π4+ 4π

4 ) 4√2ei(

π4+ 6π

4 )(

4√z1)2 √

2ei(π2 )

√2ei(

π2+π) √

2ei(π2+2π) √

2ei(π4+3π)

‖ ‖ ‖ ‖i√2 −i

√2 i

√2 −i

√2

.



Por tanto, solo se obtienen dos valores distintos

i√2 y − i

√2.

Ejercicio 5.

(1)cos(2θ) = cos2(θ)− sen2(θ)sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ)

.

cos(3θ) = cos3(θ)− 3 cos(θ) sen2(θ),sen(3θ) = 3 sen(θ) cos2(θ)− sen3(θ).

(2)(z + z) (z2 + z2) · · · (zn + zn)

cos(x) cos(2x) · · · cos(nx) = (2r)(

2r2) (

2r3)

· · · (2rn) = 2nrn(n+1)

2

puesto que 1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)

2.

(3)

z4 = ei8π5 = ei(

8π5−2π) = ei(−

2π5 ) = z;

w = 1 + z + z4 + z9 + z16 = 1 + 4 cos(

2π5

)

.

Ejercicio 6. (1)Im[

(1− i)5]

= 4, Re[

(1− i)2002]

= 0.

(2) Puesto que −1 = eπi, sus 6 raıces sextas son

zk = eπ6+ 2kπ

6 , k = 0, ..., 5 =⇒ zk = ±i, ±(√

3

2± 1

2i

)

.

(3) En ambos casos se trata de la suma de un cierto numero de terminos consecutivosde una progresion geometrica (cada termino es igual al anterior multiplicado por unaconstante, independiente del termino considerado). La suma de n terminos consecutivosde una progresion geometrica de razon r ∈ C

a1, a2 = a1r, a3 = a2r = a1r2, . . . , an = an−1r = a1r

n−1

viene dada, para r 6= 1, por la formula

a1 + a2 + · · ·+ an =a1 − anr

1− r.

Puesto que S1 =

100∑

k=0

ik es la suma de los 101 terminos consecutivos de la progresion

geometrica de razon r = i cuyo primer termino es i0 = 1, tenemos

S1 =100∑

k=0

ik =1− i101

1− i=

[

Puesto quei101 = i

]

=1− i

1− i= 1 =⇒ Re (S1) = 1.



Puesto que S2 =

100∑

k=0

(

1 + i√2

)k

es la suma de los 101 terminos consecutivos de la

progresion geometrica de razon r =1 + i√

2cuyo primer termino es

(

1+i√2

)0

= 1, tenemos

S2 =

100∑

k=0

(

1 + i√2

)k

=1−

(

1+i√2

)101

1−(

1+i√2

) =

Puesto que 1+i√2= ei

π4

(

1+i√2

)101

= ei101π4 = ei

5π4

=

1− ei5π4

1− eiπ4

=

=

√2i

2−√2=⇒ Re (S2) = 0.

Ejercicio 7. Las distintas representaciones graficas se dejan como ejercicio.

(1)

Im

(

1

z

)

> Re

(

1

z

)

⇐⇒ x+ y < 0.

Es decir, se trata de uno de los dos semiplanos en los que la recta x+ y = 0 divide alplano. En concreto se trata del que contiene al punto (−1, 0). Representa la recta y elsemiplano citados.

(2)Re(z2) = 0 ⇐⇒ y = ±x.

Es decir, se trata de 2 rectas, las bisectrices de los ejes coordenados. Representa dichasrectas.

(3)

Im (z2) = 3 ⇐⇒ y =3

2x.

Por tanto, se trata de la grafica de la funcion y = f(x) = 3/(2x) que es una hiperbolacuyas asıntotas son los ejes coordenados. Dibuja dicha grafica.

(4) Siendo z = x+ iy, decir que z verifica la ecuacion |z− 3| = |z+ i| es equivalente a decirque (x, y) equidista de A = (3, 0) y de B = (0,−1).

Es decir, la ecuacion |z− 3| = |z+ i| caracteriza a los puntos de la mediatriz del seg-mento de extremos A y B. Calcula la ecuacion cartesiana de dicha recta y representala.

(5) Teniendo en cuenta el apartado anterior, los puntos (x, y) tales que z = x+ iy verifica|z−3| > |z+i| seran los puntos de uno de los dos semiplanos que determina la mediatriz|z − 3| = |z + i|. En concreto, el que contiene a B (pues z = −i verifica la inecuaciony z = 3 no la verifica).

Ejercicio 8. z2 − 2z + 2 = (z − (1 + i)) (z − (1− i)),

z2 + (i− 1)z − i = (z − 1)(z + i)



z6 − 2z3 + 2 = (z − z0)(z − z1)(z − z2)(z − z′0)(z − z′1)(z − z′2) siendo

zk =6√2ei(

π12

+ 2kπ3 ), z′k =

6√2ei(−

π12

+ 2kπ3 ), k = 0, 1, 2.

Ejercicio 9. (1) Las n soluciones de la ecuacin vienen dadas por

zk =2

1− tk, k = 0, 1, . . . , n− 1,

donde tk para k = 0, 1, . . . , n− 1, son las n raices n-esimas de −1.

(2a) Se obtienen dos soluciones dadas por

z1 =−3 +

√13

2i

z2 =−3−

√13

2i

(2b) Obviamente z = 0 es solucion de la ecuacion. Para z 6= 0 consideramos su formaexponencial z = reiθ. Obtenemos las soluciones (ademas de la solucion nula)

z = r, z = reiπ2 = ri, z = reiπ = −r y z = rei

3π2 = −ri, ∀r > 0.

Por tanto las soluciones de la ecuacion planteada son todos los numeros reales y todoslos numeros complejos imaginarios puros.

La ecucion anterior la hemos resuelto utilizando la forma exponencial de la incognita. Tambien

se puede resolver utilizando la forma binomica. Sin embargo, la resolucion de una ecuacion

similar, como por ejemplo (z)3 = z3 o (z)4 = z

4, usando la forma exponencial serıa comple-

tamente analoga a la anterior. Usando la forma binomica se convierte en la resolucion de un

sistema de dos ecuaciones de tercer o cuarto grado con dos incognitas.

Ejercicio 10. El teorema fundamental del Algebra garantiza que un polinomio real de grado9,

X tiene 9 raıces complejas.

Ejercicio 11. (1) Puesto que P1 es de grado impar y tiene coeficientes reales, al menostendra 1 raız real.

(2) Puesto que P2 es de grado 4, a priori podrıa no tener ninguna raız real, pero puesto queP2(0) < 0 (y tiene coeficientes reales), P2 tendra al menos dos raıces reales.

(3) Lo unico que se puede garantizar (sin hacer operaciones) es que P3 tiene 2 raıces com-plejas (iguales o distintas) [Teorema Fundamental del Algebra].

(4) Puesto que P4(z) = z2 (iz3 + z − (1 + i)), tenemos que z = 0 es una raız doble de P4,pero no se puede garantizar que iz3 + z− (1+ i) tenga alguna raız real (aunque sea degrado impar).



Ejercicio 12. (1) z → w =1

2(z − z) ,

(

xy

)

→(

x′

y′

)

=

(

0 00 1

)(

xy

)

=

(

0y

)

.

(2) z → w = (1 + i) + eiπ3 [z − (1 + i)] ,

(

xy

)

→(

x′

y′

)

=

(

12

−√32√

32

12

)

(

x− 1y − 1

)

+

(

11

)

=

=

(

12

−√32√

32

12

)

(

xy

)

+ 12

(

1 +√3

1−√3

)

.

(3) z → w = (1 + 2i) + 3 [z − (1 + 2i)] ,(

xy

)

→(

x′

y′

)

= 3

(

x− 1y − 2

)

+

(

12

)

= 3

(

xy

)

− 2

(

12

)

.

Ejercicio 13. (1) a) (3 + i)2z − 2:

(1o) Al multiplicar (3 + i)z =√10(

3√10

+ 1√10i)

z se esta haciendo un giro (de

centro el origen y) de angulo θ = arg(3 + i) = arc tg(

13

)

∈(

0, π2

)

y una

homotecia de (centro O y) razon r = |3 + i| =√10.

(2o) Por tanto, al calcular, (3 + i)2z se hace (sobre z) un giro de angulo 2θ yrazon r2 = 10.

(3o) Finalmente, al restar 2 se esta haciendo una traslacion de vector (−2, 0).

b) (3 + i)2(z − 2):

(1o) Traslacion de vector (−2, 0),

(2o) Giro de centro O y angulo

ϕ = arg(

(3 + i)2))

= arg(8 + 6i) = arc tg

(

6

8

)

∈ (0,π

2),

(3o) Homotecia de centro O y razon |(3 + i)2| = 10.

c) (3 + i)2z − 2:

(1o) Simetrıa respecto a OX ,

(2o) Giro de centro O y angulo

ϕ = arg(

(3 + i)2))

= arg(8 + 6i) = arc tg

(

6

8

)

∈ (0,π

2),

(3o) Homotecia de centro O y razon |(3 + i)2| = 10,



(4o) Traslacion de vector (−2, 0).

(2) a) −5

( √32

−12

12

√32

)

(

xy

)

:

(1o) Giro de centro el origen y angulo ϕ = π6rad,

(2o) Homotecia de centro O y razon r = 5,(3o) Simetrıa respecto a O.

b)

( √32

−12

12

√32

)3(

xy

)

:

Puesto que se trata de la matriz del giro de centro O y angulo ϕ = π6elevada a 3, el

resultado es la matriz del giro de centro O y angulo 3ϕ = π2.

Ejercicio 14. (1) El giro de centro el origen y angulo φ vendra dado, en forma compleja,por

z ∈ C −→ w =1 + 2i√

5z ∈ C.

La expresion matricial-vectorial viene dada por

(

xy

)

∈ R2 →

(

x′

y′

)

=1√5

(

1 −22 1

)(

xy

)

∈ R2.

(2) El giro considerado viene dado mediante

• z ∈ C −→ w = iz ∈ C,

•(

xy

)

∈ R2 −→(

x′

y′

)

=

(

0 −11 0

)(

xy

)

∈ R2.

(3) Para que mediante un giro con centro en C se pueda transformar un punto P en unpunto P ′ estos puntos P y P ′ tienen que equidistar de C. Pero para los puntos dadostenemos

dist (P,C) = 2 6= dist (P ′, C) =√10.

Por tanto, no hay ningun giro que haga lo que dice el enunciado.


tema 2.- los números complejos. polinomios

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