prácticas para resolver problemas matemÁticos · de multiplicación abreviada, etc. examinemos...
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Prácticas para Resolver
PROBLEMAS
MATEMÁTICOS
2
Prólogo
El presente manual está dirigido a los estudiantes de las facultades de físico matemáticas de las Escuelas Normales Superiores que estudian la especialidad “Matemáticas” y “Matemáticas y
física”. Ha sido escrito en correspondencia con el programa en vigor del curso “Practicas para resolver problemas matemáticos”.
3
Primera parte. ALGEBRA
Capítulo I
TRANSFORMACIONES IDÉNTICAS DE EXPRESIONES
§ 1. Descomposición de polinomios en factores
Para resolver muchos problemas algebraicos suele preciso representar el polinomio dado en forma del producto de dos o más polinomios o bien en forma del producto del polinomio por un monomio que contenga no menos de una variable.
No obstante, cada polinomio permite realizar la descomposición en factores sobre el campo de
números reales. P. ej., los polinomios no pueden ser descompuestos en factores. Semejantes polinomios reciben el nombre de no
reducibles. Se considera que la descomposición de polinomios en factores está terminada si los polinomios obtenidos son no reducibles.
Durante la descomposición de polinomios en factores se hace uso de diversos procedimientos: sacando el factor común de los paréntesis,
mediante la agrupación, empleando las fórmulas de multiplicación abreviada, etc. Examinemos varios ejemplos de aplicación de estos procedimientos.
EJEMPLO 1. Descompongamos el polinomio en factores
4
SOLUCIÓN. 1) P. ej., unamos los sumandos extremos en un grupo y los medios, en otro y en el segundo grupo sacamos de los paréntesis el factor
común. Obtenemos:
2) Representemos los términos segundo y tercero del polinomio prefijado de la forma siguiente:
Entonces escribimos: Agrupando los sumandos a pares y
en cada grupo sacamos de los paréntesis los factores comunes:
Queda por descomponer en factores el polinomio Esto es posible de realizar con dos
procedimientos.
1-er procedimiento.
2-do procedimiento. De la ecuación hallamos las raíces: Empleando la fórmula de descomposición en
factores de un trinomio cuadrático
5
obtenemos:
Así, pues,
EJEMPLO 2. Descomponemos en factores
Solución. Aprovechemos que la expresión en los primeros paréntesis es la suma de las expresiones contenidas en los paréntesis segundo y tercero: Entonces ( )
A continuación, efectuamos la agrupación de los términos y sacamos de los paréntesis el factor
común. Obtenemos: (
) ( )
EJEMPLO 3. Descompongamos en factores
SOLUCIÓN. Realicemos la agrupación y, después, saquemos de los paréntesis el factor
común: Empleando seguidamente
la fórmula obtenemos:
EJEMPLO 5. Descompongamos en factores
6
SOLUCIÓN. Advirtiendo que y completando esta suma hasta el cuadrado perfecto, obtenemos
EJEMPLO 6. Descompongamos en factores
SOLUCIÓN. Como y entonces
( )
EJEMPLO 7. Descompongamos en factores
SOLUCIÓN. Es fácil ver que el cuadrado perfecto a la expresión le falta el 8. Por ello, podemos
escribir
EJEMPLO 8. Demostremos que si y
SOLUCIÓN. Representemos y
en forma de la suma de los términos
semejantes: y Entonces
Recuerda
que el signo “ ” significa
que “se
divide por” (sin resto)
7
Pero de cuatro números naturales
sucesivos, por lo menos uno de ellos se divide por 3, así como dos números son pares, es decir, uno de ellos se divide también por 4, por lo tanto, el producto de estos cuatro números se divide por
Así, pues,
EJEMPLO 9. Demostrar que si donde es número impar,
SOLUCIÓN. Notemos que Como es impar, donde
Entonces, ( )
La expresión obtenida se divide por 16. Por esta razón, para
demostrar que es suficiente demostrar
que Analicemos dos posibles casos:
es un número par y es un número impar.
1) Si es par, también lo es y, por lo tanto,
es par, o sea, y, por
consiguiente, lo que significa que
2) Si es impar, también lo es, pero entonces
es par y también. Así, pues, en
semejante caso
8
EJERCICIOS
Descompongan en factores:
1 . 2 . 3 . 4.
5. 6.
7.
8.
9. 10.
11. 12.
13. 14. 15.
16.
17.
18.
19. — —
20.
21.
22. —
23. 24.
25.
26. —
27.
28. 29.
30.
31.
32.
9
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43. √ 44.
45. Demuestren que si ,
46. Demuestren que si es un número
mutuamente primo con 6, ( — )
47. Demuestren que si ,
48. ¿Con qué valores de la expresión
es un número primo?
49. Demuestren que si a es un número par,
es un número entero.
50. Demuestren que si ,
un número entero.
10
§ 2. Transformaciones idénticas de expresiones racionales
La sustitución de una expresión analítica por
otra idénticamente igual a ella en cierto conjunto, lleva el nombre de transformación idéntica en este conjunto de la expresión dada.
Al realizar transformaciones idénticas de una expresión es posible la variación de su campo de definición. Por ejemplo reduciendo los términos
semejantes al simplificar la expresión
√ √ (1)
ampliamos su campo de definición: la expresión sólo está definida con mientras que el
polinomio obtenido después de la simplificación
(2)
está definido con cualesquiera valores de Las expresiones (1) y (2) son idénticamente iguales sólo
en el conjunto
El campo de definición de la expresión puede asimismo variar después de la simplificación de la
fracción. Así, la fracción algebraica
(3)
está definida con Después de simplificar por obtenemos la fracción
(4)
11
Definida con Las expresiones (3) y (4) son
idénticamente iguales en el conjunto
La variación del campo de definición de la expresión es también posible como resultado de ciertas otras transformaciones, por lo que, después de efectuar la transformación de la expresión dada, siempre hay que saber responder a la pregunta en que conjunto ella es idéntica a la obtenida.
Una expresión algebraica lleva el nombre de racional si ella sólo contiene operaciones de sumar, multiplicar, restar dividir y elevación a una potencia entera.
EJEMPLO 10. Simplifiquemos la expresión
SOLUCIÓN. Representando como la suma de los términos semejantes , obtenemos
.
Entonces
La simplificación por se ha realizado
partiendo de la condición de que . De
modo que si .
EJEMPLO 11. Simplifiquemos la expresión
12
SOLUCIÓN. Después de descomponer en factores el numerador, obtenemos (véase el ejem.
5);
Por lo tanto,
Como no se reduce a cero con
ningún valor real de con todos los valores de
EJEMPLO 12. Simplifiquemos la expresión
(
)
SOLUCIÓN. Realizando las operaciones
indicadas, obtenemos: (
)
(
)
(
)
Así, pues, si
EJEMPLO 13. Simplifiquemos la expresión
SOLUCIÓN. Reduciendo todas las fracciones al
mínimo común denominador,
obtenemos:
Advirtiendo que transformamos el numerador de la siguiente forma:
13
Así, pues, si
EJEMPLO 14. Demostremos que si ,
SOLUCIÓN. Como Entonces,
De modo que
EJEMPLO 15. Demostremos que si , donde entonces
(
) (
)
SOLUCIÓN. Consideremos el producto del primer factor en la primera fracción del segundo factor:
(
)
(
)
( )
( )
Pero según el planteamiento Por ello, para el producto que consideramos, obtenemos
14
De forma análoga el producto del primer factor por la segunda fracción del segundo factor es igual
a
en tanto que por la tercera fracción,
Sumemos los resultados obtenidos
(
)
Como (véase el ejemplo 14).
, lo que teníamos que
demostrar.
En los siguientes ejemplos las transformaciones idénticas de expresiones racionales actúan no
como objetivo, sino como medio para resolver problemas en los que se hace uso del método de inducción matemática.
El indicado método se enuncia de la forma siguiente:
La afirmación dependiente de un número natural
n, es válida para cualquier n, si se realizan dos condiciones:
a) la afirmación es válida para b) de la validez de la afirmación para (con
cualquier valor natural de k) se desprende también
su validez para
La demostración según el método de inducción
matemática se realiza así. Primero, la afirmación a
15
demostrar verifica para Esta parte de la
demostración recibe el nombre de base de la inducción. La siguiente parte de la demostración lleva el nombre de paso de la inducción. En ella se demuestran la validez de la afirmación para en la suposición de la validez de la
afirmación para (suposición de la inducción).
EJEMPLO 16. Demostremos que
SOLUCIÓN: Para la afirmación es válida, ya
que
Supongamos que ella es
correcta con , es decir
Demostremos en tal caso ella también
es correcta con , o sea,
En efecto,
Así se ha demostrado la validez de la afirmación para cualquier número natural .
EJEMPLO 17. Demostremos que
(
)
Con la afirmación es válida ya que
(
)
Supongamos que es correcta con
16
, es decir, (
)
Demostremos que entonces también es correcta
con , o sea,
(
)
En efecto,
(
)
( )
(
)
De este modo queda demostrada la validez de la afirmación para cualquier número natural .
EJEMPLO 18. Demostremos que la suma de los cubos de tres números reales sucesivos se divide por 9.
SOLUCIÓN. Demostremos que con cualquier natural.
Ante todo comprobemos si la afirmación es cierta
con . Tenemos: pero por lo tanto, con la afirmación es cierta.
Supongamos que la afirmación es cierta con
, o sea,
Demostremos en tal caso también es cierta con
. En realidad, Como cada sumando de la suma obtenida se divide por 9
(el primer sumando según la suposición de
17
inducción, el segundo por contener el factor 9), la suma también se divide por ese número. De acuerdo con el principio de inducción matemática
llegamos a la conclusión de que la afirmación es cierta con todas las
EJEMPLO 19. Demostremos que
con cualquier natural.
SOLUCIÓN: Si , pero
Esto significa que con la afirmación es
cierta. Supongamos que ella es cierta con , o
sea, Demostremos que
entonces también es cierta con . En efecto,
tenemos
Cada sumando se divide por 64, por consiguiente, toda la suma se divide, asimismo, por 64. Así, pues, la afirmación es cierta con todas las
EJEMPLO 20. Demostremos que
con cualquier natural.
SOLUCIÓN: Con la afirmación es válida, ya
que y .
Supongamos que la afirmación es cierta con ,
es decir, Demostremos
18
que entonces también es cierta con .
Efectivamente, tenemos:
Si ahora demostramos que
con todas las k, quedará demostrado que la expresión prefijada se divide por 24. Ante nosotros ha surgido un nuevo problema. Para resolverlo de nuevo hacemos uso del método de inducción matemática.
Ante todo, comprobemos si es válida la
afirmación con . Esto es
evidente: Sea la afirmación cierta con , es decir, Demostremos que entonces también lo es con . En efecto,
De dos números naturales sucesivos uno de ellos es obligatoriamente par, por lo tanto,
( ) mientras que ( ) Pero,
en tal caso, ( )
De aquí llegamos a la conclusión de que con cualquier k natural. La
afirmación queda demostrada. Así,
pues, la afirmación es cierta para todas
19
Hemos de indicar que el ejemplo examinado puede ser resuelto sin aplicar el método de inducción matemática.
EJERCICIOS
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
Simplifiquen las expresiones:
58.
59.
60.
61.
62. (
) (
) (
)(
)
63.
(
)
64.
65.
66.
(
)
20
67.
68.
69.
70.
71. Demuestren la identidad:
.
72. Demuestren la identidad:
73. Demuestren que si de la
igualdad se
deduce que
74. Demuestren que con es un número positivo.
75. Hallen el menor valor de la expresión
76. Demuestren que si ,
77. Demuestren que si ,
21
78. Demuestren que si
y
,
79. Demuestren que si
, donde
entonces
80. Demuestren que si ,
Las siguientes identidades han de demostrarse según el método de inducción matemática
81.
82. (
) (
) (
)
83.
84. (
) (
) (
) (
)
85.
86.
87.
88.
89.
(
)
90.
22
91.
92.
(
)
93.
, donde
94. ⏟
95.
96.
Deduzcan las fórmulas para las sumas:
97.
98.
99.
100.
101.
Demuestren las identidades:
102.
donde
103.
104.
donde | |
23
105.
donde | |
106. (
)
(
)
(
)
(
)
Demuestren la validez de las afirmaciones:
107. 108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.