congruencias y semejanzas de figuras planas ¿cómo son las figuras mostradas? 2 son idénticas

Congruencias y semejanzas de figuras planas

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

2

Son ideacutenticas

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES


ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1

En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

Ejercicio 2

Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones Analiza los aacutengulos que son congruentes en las

distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejercicio 3

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

26

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

29

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

34

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute

= bbacute

de lo anterior se deduce que g= gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=



Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800


Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes



Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES (2)

Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES

iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)

Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un


Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect

Slide 48


Slide 50


2

Son ideacutenticas





Congruencia





A

B C

D

E F

ABC DEF



A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

Postulado LLL


A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado AAL


A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50





Congruencia





A

B C

D

E F

ABC DEF



A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

Postulado LLL


A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado AAL


A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50




A

B C

D

E F

ABC DEF



A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

Postulado LLL


A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado AAL


A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50



A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

Postulado LLL


A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado AAL


A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

Postulado LLL


A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado AAL


A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

Postulado AAL


A

B C

D

E

ABC EFD

F

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

Ejercicio 1


Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

Ejercicio 2



Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

Ejercicio 3


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50


TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

TEOREMA DE THALES

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

19

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

FIGURAS SEMEJANTES

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

21


Son proporcionales

Son semejantes

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

Semejanza









ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


Slide 18

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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

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Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50






ML



El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50


El cocientea b c

ka b c


26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

26


29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

29



x 3


4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

Slide 19

FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50

30




PQ QR

PR


Ademaacutes







34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50






34











Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

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Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50










Aacute

BacuteCrsquo

A

BC



aacutea

bacute

bgacute

g


= bbacute


Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

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Slide 31



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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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Ejemplo


25

65 25

65



con el criterio AA



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Slide 13


Slide 15

TEOREMA DE THALES


Slide 18

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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28



Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50



Aacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute


Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute



A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10


15 3 = =

35 7

510






Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute



A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


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A

BC

4

3

D

E

F

9

12


39

= 412








Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


Slide 18

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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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Ejercicio


a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm



8

10

12

78

65

52




52 8 = 65

10 = 7812 = 65





Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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Ejercicio


Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15



=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3


X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3


50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=






40x20=800 y 16x50=800



45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


Slide 18

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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

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Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50


45m

x3m

2m sombra

poste


De donde = 675m



=3x

245




CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

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Slide 25

Slide 26

Slide 27

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Slide 31



Slide 34



Slide 37

Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


Slide 48


Slide 50



CA

B

D

E







Congruencia




Postulado LLL

Postulado AAL

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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TEOREMA DE THALES


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FIGURAS SEMEJANTES


Semejanza

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

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Primer criterio AA

Ejemplo


Ejemplo (2)


Ejemplo (3)


Ejercicio

Ejercicio (2)


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congruencias y semejanzas de figuras planas ¿cómo son las figuras mostradas? 2 son idénticas

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