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PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO

ISIDORO PONTEE.S.M.C. 76

PRACTICAS DE LABORATORIO CÁLCULO

PRÁCTICA 10: Integral de RIEMANN. Integrales impropias. Aplicaciones de la integral de RIEMANN.

INTRODUCCIÓN Comandos generales a usar en esta práctica; aparte de los ya

conocidos; la función Integrate nos permite también calcular la integral de RIEMANN de una función real de variable real en un intervalo. Integrate[f[x],x,a,b] determina la integral de RIEMANN de

f(x) en el intervalo [a,b]. NIntegrate[f[x],x,a,b] calcula un valor aproximado de la

integral de RIEMANN de f(x) entre x=a y x=b.

Para las aplicaciones de la integral de RIEMANN, en las que se usan las gráficas de curvas, se puede recurrir a la función FilledPlot, incluida en el paquete Graphics`FilledPlot` que permite rellenar el espacio limitado por las gráficas de dos funciones y las ordenadas extremas consideradas.

También usaremos, para la representación de superficies generadas por revolución y volúmenes, el paquete Graphics`SurfaceOfRevolution` con su función SurfaceOfRevolution[f[t],t,t,a,b].

Ejercicio 10.1 Calcula las integrales de RIEMANN

a) ∫ − +

1

1 2 x 1 dx b) ∫ −

2

0 2 dx x 4 8

Resolución con MATHEMÁTICA a)In[1]:= Integrate@1ê H1+x^2L, 8x, -1, 1<D

Out[1]= p

2 b)



In[2]:= Integrate@ 8Sqrt@4- x^2D, 8x, 0, 2<D

Out[2]= 8 p

Ejercicio 10.2 Calcula:

a) ∫ 6

2 dx

x x

b) ∫ −

−

2

6 dx

x x

a) ∫ −

2

6 dx

x x

Resolución con MATHEMÁTICA a)In[1]:= Integrate@Abs@xD êx, 8x, 2, 6<D

Out[1]= 4 b)In[2]:= Integrate@Abs@xD êx, 8x, -6, -2<D

Out[2]= -4 c)In[3]:= Integrate@ Abs@xDêx, 8x, -6, 2<D

Out[3]= -4

Ejercicio 10.3(complementario) Calcula las integrales de RIEMANN

a) ∫ π

0 2 dx x 2 sen b) ( ) ∫ −

1

1 2 dx x cos arc

Ejercicio 10.4 Calcula las integrales impropias:

a) ∫ ∞

∞ − + 2 x 1 dx b) ∫

π

− 2

0 dx

x sen 1 x cos

Resolución con MATHEMÁTICA a)In[1]:= Integrate@1êH1+x^2L, 8x, -Infinity, Infinity<D

Out[1]= p

b)In[2]:= Integrate@ Cos@xDêSqrt@1-Sin@xDD, 8x, 0, Piê2<D

Out[2]= 2



Ejercicio 10.5 Halla el área de la figura que queda en el primer cuadrante

dentro del círculo 5 y x 2 2 = + y está limitado por las parábolas y 4 x 2 = e x 4 y 2 = .

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos las diferentes curvas en el primer cuadrante,

para poder representar el área buscada. In[1]:= f@x_D := x^2ê 4

In[2]:= Solve@4 x== y^2, yD

Out[2]= 99y® -2 è x =, 9y ® 2 è x ==

In[3]:= g@x_D:= 2 Sqrt@xD

In[4]:= Solve@x^2+ y^2== 5, yD

Out[4]= ::y® - " 5- x 2 >, :y® " 5- x 2 >>

In[5]:= h@x_D := Sqrt@5- x^2D

In[6]:= g1= Plot@8f@xD, g@xD, h@xD<, 8x, 0, 3<, AspectRatio-> AutomaticD;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ahora buscamos los puntos de intersección de las curvas para delimitar los límites de integración



In[7]:= Solve@g@xD == h@xD, xD

Out[7]= 88x® -5<, 8x ® 1<<

In[8]:= Solve@f@xD == h@xD, xD

Out[8]= 88x® -2<, 8x ® 2<<

calculamos las dos áreas A1 y A2

In[9]:= A1= Integrate@g@xD- f@xD, 8x, 0,1<D

Out[9]= 5 4

In[10]:= A2= Integrate@h@xD - f@xD, 8x, 1, 2<D

Out[10]= - 7 12

- 5 2 ArcSinB 1

è 5 F +

5 2 ArcSinB 2

è 5 F

In[11]:= %êê N

Out[11]= 1.02542

finalmente tenemos el área pedida A= A1 + A2

In[12]:= A= A1+ A2

Out[12]= 2 3

- 5 2 ArcSinB 1

è 5 F +

5 2 ArcSinB 2

è 5 F

In[13]:= %êê N

Out[13]= 2.27542

Ejercicio 10.6(complementario)

Dada la elipse 1 2 y

4 x 2 2

= + , halla el área encerrada por dicha

curva.



Ejercicio 10.7

Calcula la longitud del arco de la curva 1 e 1 e ln y x

x

− +

= desde

x1=1 hasta x2=2.

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y representamos la función

In[1]:= f@x_D:= Log@HExp@xD + 1L ê HExp@xD - 1LD

In[2]:= Plot@f@xD, 8x, 1, 2<D

1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.4

0.5

0.6

0.7

Out[2]= Ö Graphics Ö

calculamos el valor de la longitud de arco pedida

In[3]:= L= Integrate@Sqrt@1+ Hf'@xDL^2D, 8x, 1, 2<D

Out[3]= -1 - Log@-1+ E 2 D + Log@-1 + E 4 D

In[4]:= %êê N

Out[4]= 1.12693

Ejercicio 10.8(complementario) Calcula la longitud del arco de la curva x cos ln y = entre los

valores x1=0 hasta 4 x

π = .

Ejercicio 10.9



Calcula el área de la superficie generada al girar la porción de la curva x 4 y 2 + = , cortada por la recta x=2 respecto al eje X.

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y dibujamos la función

In[1]:= Solve@y^2 == 4+ x, yD

Out[1]= 99y® - è 4 + x =, 9y ® è 4 + x ==

In[2]:= f@x_D := Sqrt@4+ xD

In[3]:= Plot@8f@xD, -f@xD<, 8x, -4, 2<D

4 3 2 1 1 2

2

1

1

2


calculamos el área de la superficie generada

In[4]:= AR= Integrate@2Pif@xDSqrt@1+ Hf'@xDL^2D, 8x, -4,2<D

Out[4]= 62 p

3

finalmente, dibujamos la superficie en el espacio

In[5]:= << Graphics SurfaceOfRevolution



In[6]:= SurfaceOfRevolution@8f@tD,t<, 8t, -4, 3<, ViewVertical -> 8-1000, -0, -300<D

2

0

2

2

0

2

4 2 0 2

2

0

2

Out[6]= Ö Graphics3D Ö

Ejercicio 10.10(complementario) Calcula el área de la superficie generada al girar la porción de

la curva 2 x y

2

= , cortada por la recta 2 3 y = respecto al eje Y.

Ejercicio 10.11 Halla el volumen del sólido generado al girar la figura limitada

por la hipérbola 4 y x 2 2 = − y las rectas y= ±2 en torno al eje Y.


In[1]:= Solve@x^2- y^2== 4, yD

Out[1]= ::y® - " -4 + x 2 >, :y ® "

-4 + x 2 >>

In[2]:= f@x_D := -Sqrt@-4+ x^2D

In[3]:= g@x_D := 2



In[4]:= Plot@8f@xD, -f@xD, g@xD, -g@xD<, 8x, -4, 4<D

4 2 2 4

3

2

1

1

2

3


calculamos el volumen generado

In[5]:= V= PiIntegrate@4+ y^2, 8y, -2, 2<D

Out[5]= 64p

3

finalmente, dibujamos el volumen pedido

In[6]:= << Graphics ParametricPlot3D

In[7]:= a= ParametricPlot3D@8rCos@aD, rSin@aD, Sqrt@r^2- 4D<, 8r, 2, 4<, 8a, 0, 2 Pi<, DisplayFunction -> IdentityD;

In[8]:= b= ParametricPlot3D@8rCos@aD, rSin@aD, -Sqrt@r^2- 4D<, 8r, 2, 4<, 8a, 0, 2 Pi<, DisplayFunction -> IdentityD;

In[9]:= c= ParametricPlot3D@8rCos@aD, rSin@aD, Sqrt@12D<, 8r, 0, 4<, 8a, 0, 2 Pi<, DisplayFunction -> IdentityD;



In[10]:= Show@8a, b, c<, DisplayFunction -> $DisplayFunctionD;

4 2

0 2

4

4

2

0

2 4

2

0

2

4 2

0 2

4

4

2

0

2 4

Ejercicio 10.12(complementario) Halla el volumen engendrado por la curva x 6 y x 2 2 = + al

girar respecto al eje X (y>0).




PRÁCTICA 11: Gráficas de funciones de varias variables. Límites de funciones reales de varias variables. Cálculo de límites y continuidad.

INTRODUCCIÓN Nota: A partir de esta práctica empezaremos a usar las

paletas, que nos ayudarán a escribir en lenguaje matemático muchas expresiones que hasta ahora hemos introducido por el teclado.

Comandos generales a usar en esta práctica; aparte de los ya conocidos:

Plot3D permite representar funciones reales de dos variables reales, además cuenta con un conjunto de opciones gráficas que permiten presentar de muchas maneras la gráfica de la función. Dichas opciones se encuentran en Options[Plot3D] . En este caso todavía hay muchas mas posibilidades que en el caso de Plot.

Destacamos algunas de esas opciones: Nombre Valor por defecto Descripcion Axes True Determina si se dibujan los ejes AxesLabel None Sirve para etiquetar los ejes.

zlabel: especifica la etiqueta para el eje z xlabel,ylabel,zlabel: pata todos los ejes.

Boxed True Añade o no una caja al gráfico. ColorFunction Automatic Indica si se quiere color para la superficie. TextStyle $TextStyle Estilo del texto a usar en el gráfico. FormatType StandardForm Tipo de formato a usar para el texto. DisplayFunction $DisplayFunction Indica como se visualiza el gráfico.

Si es Identity no se visualiza FaceGrids None Indica si se dibuja una malla en las caras de

la caja.Con All se dibuja en todas las caras. HiddenSurface True Sirve para dibujar la superficie como un

Sólido. Lighting True Decide si el color de la superficie usa una

Iluminación simulada. Mesh True Permite dibujar una malla. PlotRange Automatic Rango de coordenadas en las que se dibuja

el gráfico All: incluye todos los puntos.



zmin,zmax: muestra el rango de z. xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmaxmue stra el rango de x, y, z.

Shading True Gráfico con sombra o sin ella. ViewPoint 1.5,0,1 Punto del espacio desde que el que se

quiere mostrarla superficie. PlotPoints(*) 15 Número de puntos de evaluación en cada

dirección. nx,ny indica diferente nº en cada dirección

Compiled(*) True Establece si la función se va a compilar Cuando va a ser representada.

(*) estas opciones no se pueden usar con la orden Show.

In[1]:= Options@Plot3DD

Out[1]= 8AmbientLight® GrayLevel@0D, AspectRatio® Automatic, Axes® True, AxesEdge® Automatic, AxesLabel® None, AxesStyle® Automatic, Background® Automatic, Boxed® True, BoxRatios® 81, 1, 0.4<, BoxStyle® Automatic, ClipFill® Automatic, ColorFunction® Automatic, ColorFunctionScaling® True, ColorOutput® Automatic, Compiled® True, DefaultColor® Automatic, Epilog® 8<, FaceGrids® None, HiddenSurface® True, ImageSize® Automatic, Lighting® True, LightSources® 8881., 0., 1.<, RGBColor@1, 0, 0D<,

881., 1., 1.<, RGBColor@0, 1, 0D<, 880., 1., 1.<, RGBColor@0, 0, 1D<<, Mesh® True,

MeshStyle® Automatic, Plot3Matrix® Automatic, PlotLabel® None, PlotPoints® 15, PlotRange® Automatic, PlotRegion® Automatic, Prolog® 8<, Shading® True, SphericalRegion® False, Ticks® Automatic, ViewCenter® Automatic, ViewPoint® 81.3, -2.4, 2.<, ViewVertical® 80., 0., 1.<, DefaultFont ¦ $DefaultFont, DisplayFunction¦ $DisplayFunction, FormatType¦ $FormatType, TextStyle¦ $TextStyle<

las opciones siempre aparecen con sus valores por defecto, se pueden probar todas ellas.

La función ParametricPlot3D nos permite representar gráficamente funciones de dos variables reales definidas de forma paramétrica.



(también tiene sus Options). Hay muchas mas posibilidades que ya exceden la materia que aquí vamos a ver y que ya no estudiaremos.

MATHEMATICA 3.0 no dispone de una función para determinar límites de funciones reales f(x,y) de dos variables reales. La representación gráfica de la superficie de ecuación f(x,y) en un pequeño dominio rectangular cerrado centrado en el punto de interés, no permitirá deducir si el límite existe o no.

Si podremos calcular limites iterados(reiterados) y direccionales

Recordemos de teoría los siguientes resultados: Llamamos

) y x ( ) y , x ( 0 , 0

l ) y , x ( f lim →

= límite global

=

→ → ) y , x ( f lim lim

0 0 y y x x 1 λ y

=

→ → ) y , x ( f lim lim

0 0 x x y y 2 λ límites iterados

Se denomina límite direccional a lo largo de la recta x t y =

al 0 x

) x t , x ( f lim→

. Análogamente definiremos límite

(direccional) a lo largo de la recta 0 x = , límite (direccional) a lo largo de la parábola 2 x y = , etc.

Resultados i) si ∃ l ⇒ existen los limites direccionales en todas las direcciones y no dependen del parámetro t ( si se preve que una función no tiene limites, muchas veces se busca un límite direccional en el dicho límite depende de t). ii) puede ∃ l y no existir o existir y ser distintos λ 1 y λ 2. iii) pueden existir 1 λ y 2 λ y ser iguales y no existir l . iv) no hay ninguna relación entre 1 λ y 2 λ y los límites direccionales. v) los límites direccionales tienen el mismo valor que los iterados cuando exista el límite.

Limit[Limit[f[x,y],x>x0],y>y0 ] Limit[Limit[f[x,y],y>y0],x>x0 ] calculan los límites iterados Limit[Limit[f[x,y],y>ax+b],x>0] límites direccionales en dirección

de la recta y=ax+b ( tienen



tambien el mismo valor que los iterados, para que exista límite).

El paquete NumericalMath`NLimit` contiene el comando NLimit[Limit[Limit[f[x,y],x>x0],y>y0 ] que ayuda a estudiar el límite de f(x,y) cuando (x,y) > (x0,y0)

La continuidad se sigue a partir de la existencia de límite y coincidencia de este con el valor de la función en el punto. No debemos de olvidar, como sucedía en el caso de una variable, que debemos andar con sumo cuidado a la hora de calcular límites con MATHEMATICA, pues se puede llegar a conclusiones erróneas.

Ejercicio 11.1

Sea la función

f x y

x y sen x sen y si x y

si x y ( , )

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) =

+ ≠

=

1 1 0 0

0 0 0

represéntala de diferentes formas en las proximidades del (0,0)


In[2]:= f@x_, y_D = WhichA8x,y< ¹ 80,0<, Hx+yL SinA 1 x E SinA 1

y E,

8x,y< = 80,0<,0E;



In[3]:= Plot3D@f@x, yD, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<D

1

0.5

0

0.5

1 1

0.5

0

0.5

1

1

0

1

1

0.5

0

0.5

1

Out[3]= Ö SurfaceGraphics Ö

ahora probamos diferentes posibilidades que nos ofrece MATHEMATICA, si queremos un dibujo mas preciso

In[4]:= Plot3D@f@x,yD, 8x, -1,1<, 8y, -1, 1<, PlotPoints® 49D

1

0.5

0

0.5

1 1

0.5

0

0.5

1

1

0

1

1

0.5

0

0.5

1


o verlo desde diferentes posiciones, para que nos ayude más a conocer su gráfica , hay muchas posibilidades de exploración



In[5]:= Plot3D@f@x,yD, 8x, -1, 1<, 8y, -1,1<, ViewPoint® 81, 0,0<, PlotPoints® 49D

1 0.5 0 0.5

1 1 0.5 0 0.5 1

1

0

1

1

0

1



1 0.5 0 0.5 1

1 0.5 0 0.5

1

1

0

1

1 0.5 0 0.5 1





1 0.5 0 0.5 1 1

0.5

0

0.5

1

1 0

1 1

0.5

0

0.5

1


vamos a estudiar ahora y calcular diferentes tipos de limites en funciones de dos variables, en principio, salvo que sea estrictamente necesario, no profundizaremos mucho en la representación de la función.

Ejercicio 11.2

Sea la función: f x y

x y x y si x y

si x y ( , ) =

− + + ≠

+ =

0

0 0

a) ¿ Existen los límites iterados ?. b) Demuestra que no existe lim f x y

x y ( , ) ( , ) ( , )

→ 0 0 .

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y representamos la gráfica por defecto ( es decir

sin hacer uso de ninguna de las opciones posibles



In[8]:= f@x_, y_D = WhichA8x,y< ¹ 80, 0<, x-y x+y

, 8x, y< = 80,0<,0E;

Plot3D@f@x,yD, 8x, -1,1<, 8y, -1,1<D

1

0.5

0

0.5

1 1

0.5

0

0.5

1

5

0

5

1

0.5

0

0.5

1


para estudiar límites con MATHEMATICA es mas fácil trabajar sin dividir la función en ramas por lo cual, no usaremos los puntos para los que individualmente la función toma otra valor. Volvamos a repetir la función anterior con el nuevo formato



In[9]:= f@x_,y_D = x-y x+y

;

Plot3D@f@x,yD, 8x, -1,1<, 8y, -1,1<D

1

0.5

0

0.5

1 1

0.5

0

0.5

1

5

0

5

1

0.5

0

0.5

1


a) pasemos a calcular los limites iterados (reiterados)

In[15]:= LimitALimitA x-y x+y

, y® 0E, x® 0E

Out[15]= 1


, x® 0E, y® 0E

Out[16]= -1

b) para ver que no existe lim f x y x y ( , ) ( , )

( , ) → 0 0

, calculemos uno direccional en la dirección de la recta y=tx


, y-> txE,x® 0E

Out[17]= 1- t 1+ t

como depende de t ∃ ⇒ no lim f x y x y ( , ) ( , )

( , ) → 0 0

Ejercicio 11.3



Existe ¿ lim xy x y x y ( , ) ( , ) → + 0 0 2 2 2

?.

vamos que en las rectas y=tx depende de t, lo cual garantiza que no existe limite global

Resolución con MATHEMÁTICA Pedimos que nos calcule el limite en la dirección de las rectas

y=tx veremos que depende de t, lo cual garantiza que no existe limite global

In[18]:= LimitALimitA 2 xy x 2 +y 2

, y-> txE,x® 0E

Out[18]= 2t 1+t 2

Ejercicio 11.4

Dada la función

f x y

x y x y si x y

si x y ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) =

+ ≠

=

2

4 2 0 0

0 0 0

demuestra que es continua a lo largo de cualquier recta pero no lo es en ( , ) 0 0 .

Resolución con MATHEMÁTICA Pedimos que nos calcule el limite en la dirección de las rectas

y=tx+n la función será continua si coincide con f(0,0)=0

In[19]:= LimitALimitA x 2 *y

x 4 +y 2 , y® tx+nE,x®0E

Out[19]= 0

veamos ahora que no lo es en la dirección de las parábolas y=x 2



In[20]:= LimitALimitA x 2 *y

x 4 +y 2 , y® x 2 E,x®0E

Out[20]= 1 2

Ejercicio 11.5(complementario) Dada la función

f x y

x x y si x y

si x y ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) =

+ ≠

=

3

2 2 0 0

0 0 0 ¿ Es continua en

( , ) 0 0 ? , estudiar previamente los límites direccionales según la recta y=tx y según las parábolas y=x 2 y las funciones cúbicas y=x 3

Ejercicio 11.6(complementario) Dada la función

f x y

x y x y si x y

si x y ( , ) =

+ + ≠ −

= −

2 2

2 2

2 0 calcula lim f x y

x y ( , ) ( , ) ( , )

→ 0 0

y estudia si es continua, calculando previamente los límites direccionales según la recta y=tx y según las parábolas y=x 2 y las funciones cúbicas y=x 3

Ejercicio 11.7(complementario) Representa cada una de las funciones enunciadas en los

ejercicios complementarios, con diferentes opciones de las vistas en Plot3D.




PRÁCTICA 12: Derivadas parciales en funciones de varias variables. Derivadas direccionales.

INTRODUCCIÓN Para calcular con derivadas parciales en funciones de varias

variables tenemos el comando: D[f[x1, x2,. . . , xk], x1,p1, x2,p2…. xk,pk] que determina

k p

k

p p

n

x x x f

∂ ∂ ∂ ∂

... 2 2

1 1

con p1+p2+….+pk= n , es la derivada de orden n

de la función f , p1 veces con respecto a x1, p2 veces con respecto a x2 , . . . , , pk veces con respecto a xk . si algun pi=1 se puede sustituir xk,pk por xk.

Tambien se puede usar el comando Derivative

Derivative[p1,p2, . . . ,pk][ f][x1, x2,. . . , xk], que calcula la misma derivada parcial que en el caso anterior

Asimismo veremos como calcular las derivadas direccionales. También hablaremos de extremos

Ejercicio 12.1 Halla las derivadas parciales de primer y segundo orden de

las funciones (expresando en que puntos no son continuas ): a) 2 2 4 4 4 ) , ( y x y x y x f − + = b) ) ( ) , ( 2 2 y x n l y x g + = .

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos la funciones

In[1]:= f@x_,y_D:= x 4 +y 4 -4 x 2 *y 2 ; In[1]:= g@x_,y_D:= LogAx 2 +y 2 E;

calculamos las primeras parciales respecto a x x f

∂ ∂

y x g

∂ ∂

In[2]:= D@f@x,yD,8x,1<D

Out[2]= 4x 3 - 8xy 2

In[2]:= D@g@x,yD,8x,1<D

Out[2]= 2x

x 2 + y 2



calculamos las primeras parciales respecto a y y f

∂ ∂

y y g

∂ ∂

In[3]:= D@f@x,yD,8y,1<D

Out[3]= -8x 2 y+4y 3

In[3]:= D@g@x,yD,8y,1<D

Out[3]= 2y

x 2 + y 2

calculamos la parciales de segundo orden 2

2

x f

∂ ∂

, y x f ∂ ∂

∂ 2 ,

x y f ∂ ∂

∂ 2 y

2

2

y f

∂ ∂

. Lo mismo para g 2

2

x g

∂ ∂

, y x g ∂ ∂

∂ 2 ,

x y g ∂ ∂

∂ 2 y

2

2

y g

∂ ∂

.

In[4]:= D@f@x,yD,8x,2<D

Out[4]= 12x 2 -8y 2

In[5]:= D@f@x,yD,8x,1<,8y,1<D

Out[5]= -16xy

In[6]:= D@f@x,yD,8y,1<,8x,1<D

Out[6]= -16xy

In[7]:= D@f@x,yD,8y,2<D

Out[7]= -8x 2 +12y 2

In[4]:= D@g@x,yD,8x,2<D

Out[4]= - 4x 2

Hx 2 + y 2 L 2 +

2 x 2 +y 2

In[5]:= D@g@x,yD,8x,1<,8y,1<D

Out[5]= - 4xy

Hx 2 + y 2 L 2

In[6]:= D@g@x,yD,8y,1<,8x,1<D

Out[6]= - 4xy

Hx 2 + y 2 L 2

In[7]:= D@g@x,yD,8y,2<D

Out[7]= - 4y 2

Hx 2 + y 2 L 2 +

2 x 2 +y 2

las derivadas parciales tanto de primer orden como de segundo orden para la función f son continuas todas en R 2 . las derivadas parciales tanto de primer orden como de segundo orden para la función g son continuas todas en R 2 (0,0). Como las funciones son continuas, coinciden las derivadas parciales de segundo orden cruzadas.

Ejercicio 12.2 Dada la función 2 2 ) , ( ) , ( R y x e y y x f y x ∈ ∀ = .



Calcula y x f ∂ ∂

∂ 2 y

x y f ∂ ∂

∂ 2 comprobando que son iguales en un punto

cualquiera 2 ) , ( R b a ∈ a) directamente b) usando la definición de derivada parcial

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos la función

In[1]:= f@x_, y_D = y 2 E x*y

Out[1]= ã xy y 2

ahora pedimos que nos calcule directamente las derivadas parciales de segundo orden cruzadas, comprobando que son iguales

In[2]:= D@f@x,yD, 8x,1<, 8y,1<D ê.8x® a, y® b<

Out[2]= 3b 2 ã ab + ab 3 ã ab

In[3]:= D@f@x,yD, 8y,1<, 8x,1<D ê.8x® a, y® b<

Out[3]= 3b 2 ã ab + ab 3 ã ab

ahora lo haremos usando la definición de derivada parcial

= − +

∂ ∂

= ∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂

∂ →

) ) , ( ) , ( lim ( )) , ( ( ) , ( 0

2

k b a f k b a f

x b a

y f

x b a

y x f

k

=

+ + − + − + + →

→ h k

b a f k b a f b h a f k b h a f k

k

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim lim 0

0

+ + − + − + +

= → → k h

b a f k b a f b h a f k b h a f k k *

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim lim 0 0

In[4]:= Limit@ Limit@Hf@a+h, b+kD -f@a+h, bD -f@a, b+kD +f@a, bDLêHh*kL, h® 0D, k® 0D

Out[4]= b 2 H3 + abL ã ab



In[5]:= Limit@ Limit@Hf@a+h, b+kD -f@a+h, bD -f@a, b+kD +f@a, bDLêHh*kL, k® 0D, h® 0D

Out[5]= b 2 H3 + abL ã ab

Ejercicio 12.3 Sea uv u v u F z + = = 2 ) , ( con y e x s o c u + = y 2 y x v + = ,

calcula 2

2

y F

∂ ∂

.

Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos la función

In[1]:= F@u_, v_D = 2 u+u*v;

In[2]:= u= Cos@xD+ ã y ;v =x+y 2 ;

ahora pedimos que nos calcule 2

2

y F

∂ ∂

.

In[3]:= D@F@u, vD, 8y, 2<D êêSimplify

Out[3]= ã y Hx+ H2+ yL 2 L +2Cos@xD

Ejercicio 12.4 Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones

en los puntos y en las direcciones que se indican: a) f x y z x y z ( , , ) = + + 2 2 2 2 3 en el punto ( , , ) 110 , en la dirección r r r r ω= − + i j k 2 .

b) f x y z x y

z

( , , ) =

en el punto ( , , ) 111 , en la dirección

r r r r ω= + − 3 2 i j k .

Resolución con MATHEMÁTICA a) Introducimos la función

In[1]:= f@x_, y_, z_D:= x 2 +2 y 2 +3 z 2


ISIDORO PONTEE.S.M.C.100

ahora tenemos en cuenta el punto y la dirección In[2]:= a= 81,1,0<; v = 81, -1, 2<; modulov= è v.v;

u= v

modulov

Out[2]= : 1 è 6

, - 1

è 6 , $ 2

3 >

In[3]:= a+h*u

Out[3]= :1+ h

è 6 , 1-

h è 6

, $ 2 3

h>

finalmente calculamos la derivada direccional

In[4]:= Df= LimitA fA1+ h

è 6 , 1- h

è 6 , $ 2

3 hE-f@1, 1, 0D

h , h® 0E

Out[4]= -$ 2 3

b) Introducimos la función

In[1]:= f@x_,y_,z_D:= i k x y

y z

ahora tenemos en cuenta el punto y la dirección

In[2]:= a= 81,1,1<; v = 83, 2, -1<; modulov= è v.v; u=

v modulov

Out[2]= : 3 è 14

, $ 2 7 , -

1 è 14

>

In[3]:= a+h*u

Out[3]= :1+ 3h

è 14 , 1+ $ 2

7 h, 1-

h è 14

>

finalmente calculamos la derivada direccional


ISIDORO PONTEE.S.M.C.101

In[4]:= Df= LimitA fA1+ 3h

è 14 ,1+ $ 2

7 h,1- h

è 14 E -f@1,1, 1D

h ,h® 0E

Out[4]= 1

è 14

practicas de laboratorio - pagina … · prÁcticas de laboratoriocÁlculo isidoro pontee.s.m.c. 76...

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