Solución a los ejercicios de polinomios

Ejercicios del 12 al 20

Dado el polinomio 241024 xkxx

Halla el valor de k para que sea divisible por (x -2)

Para que el polinomio sea divisible por x – 2, 2 debe ser raíz del polinomio, por tanto lo debe anular.

15

0460

02420416

02421022 24

k

k

k

k

Haz que al dividirlo entre (x – 1 ) el resto sea 27Utilizaremos el teorema del resto. Al sustituir el valor 1 en el polinomio, el resultado debe ser 27

8

2724101

272411011 24

k

k

k

Determina el valor de k para que… 124 kxx sea divisible por x + 1

20110111

:0ser debesu valor 1-por polinomio elen sustituir al

por tanto, polinomio, del raízser debe 1- polinomio, al divida 1 xque Para

24

kkk

kxx 34 dividido por x – 2 tenga como resto 23

132361623232

23ser debe resultado el polinomio, elen 2por sustituir al resto, del teoremael Aplicando4 kkk

33 34 kxxx sea divisible por x + 3

1033033333

:polinomio del raízser debe 3-34 kkk

Descompón factorialmente los siguientes polinomios I

Hay que calcular las raíces del polinomio, es decir, los valores que anulan el polinomio. Cómo es de grado 3, procederemos a probar por los divisores del término independiente, que serán los candidatos a ser raíces enteras del polinomio.

1 xentre polinomio eldividir para Ruffini de regla la osutilizarem Por tanto,

0614161141

raíz es por tanto, polinomio, el anula 1- valor El

64

23

23

xxx

1 -4 1 6

-1 -1 5 -6

1 -5 6 0

65164 223 xxxxxx

Las otras dos raíces se calcularán resolviendo la ecuación de segundo grado que se forma igualando a 0 el polinomio de grado 2

Descompón factorialmente los siguientes polinomios II

23165164

:es polinomio del factorialción descomposi la Por tanto

2

3

2

15

12

61455065

65164

223

22

223

xxxxxxxxx

xxx

xxxxxx

Descompón factorialmente los siguientes polinomios III

8211

8101

8292

2

23

234

xxxx

xxxx

xxxx

1 2 -9 -2 8

-1 -1 -1 10 -8

1 1 -10 8 0

1 1 -10 8

1 1 2 -8

1 2 -8 0

24118211

2

4

2

62

12

81422

082

2

2

2

xxxxxxxx

x

xx

Calculamos dos raíces entre los divisores del término independiente, posteriormente resolvemos una ecuación de segundo grado

Descompón factorialmente los siguientes polinomios IV

531

1510222

234

xxx

xxxx1 2 2 10 -15

1 1 3 5 15

1 3 5 15 0

1 3 5 15

-3 -3 0 -15

1 0 5 0

5531531

factorialción descomposi siguiente la aproporcion 0, a 2 grado de polinomio eligualar Al

531

151022

2

2

234

xxxxxxx

xxx

xxxx

Calculamos dos raíces entre los divisores del término independiente, posteriormente resolvemos una ecuación de segundo grado

Busca un polinomio de tercer grado que tenga como coeficiente la unidad, sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlo por x-3, x+4 y x+1 son respectivamente 0, 28 y -20

Cómo sabemos que el polinomio es de grado tres y su coeficiente principal es 1, el polinomio tiene la forma:Aplicando el teorema del resto, obtenemos el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

cbxaxx 23

2

11

12

1

481512

847

1

481512

36812

1

64416

2739

1

64416

2739

2811

28444

0333

23

23

23

a

b

c

cba

cb

c

cba

cb

cb

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

Por tanto, el polinomio buscado es: 12112 23 xxx

Determina el polinomiosabiendo que es divisible por x-5 y que los restos

obtenidos al dividirlo por x+1 y x-4 son iguales

102 bxax

Al ser divisible por x – 5, al sustituir x por 5 el polinomio se debe anular.

10525010552 baba

Por el teorema del resto, sabemos que el resto de dividir el polinomio entre x + 1 y x – 4 se obtiene al sustituir en el polinomio por -1 y 4. Por tanto:

0515104161010441011 22 bababababa

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriormente obtenidas:

1

3

1

105125

1

10525

1010

10525

0515

10525

a

b

a

b

a

ba

a

ba

ba

ba

El polinomio que buscábamos es: 1032 xx

Busca un polinomio de segundo grado que, al dividirlo entre x-2 y x+5, obtengamos como resto, respectivamente, -5 y 16

Buscamos un polinomio de la forma: cbxx 2

Aplicando el teorema del resto, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

9

0

95

07

95

92

1655

5222

2

c

b

cb

b

cb

cb

cb

cb

Por tanto, el polinomio que nos pedían es 92 x

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas

4

42

42

422

842

82

2

2

2

23

3

x

xx

xx

xxx

xxx

x

Para realizar este tipo de ejercicios hay que factorizar los polinomios que se encuentran en el numerador y denominador, simplificando cuando coincidan factores en el numerador y denominador:

x

x

xxx

xxx

xxxxxx

xxx 1

27

217

5636456364

2846202223

23

5

10122

15

101221

1082

102102

1082

102102 22

2

23

23

234

x

xx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

Efectúa las siguientes operaciones I

2

2

2

2

22

2

2 12

3027

12

3

12

306

12

84

42

5

3

2

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

11

63

11

1232

11

123

11

2

1

23

11

2

1

23

1

2

2

2

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

Para poder realizar estas operaciones hay que descomponer en factores los polinomios de los denominadores, calcular el mínimo común múltiplo y expresar cada sumando con una expresión algebraica equivalente con denominador el mínimo común múltiplo anteriormente calculado.

Efectúa las siguientes operaciones II

243

253

243

2142

243

21

243

42

43

1

23

2

12

1

65

2

2

22

xxx

xx

xxx

xxxx

xxx

xx

xxx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

22

24

22

43323

22

42321

22

4

22

23

22

21

22

4

2

3

2

1

4

4

2

3

2

1

222

2

xx

xx

xx

xxxxx

xx

xxxxx

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Calcula…I

2

2

4

2

4

2

4

2 2222 axx

ax

axaxx

ax

axxax

ax

x

1

2

22

2

22

2

yxyxyx

yxyx

yxyx

yxyx

yx

yx

yx

yx

121

15

1211

15

1

12:

11

5

12

12:

1

5

1

1 2

22

xx

xx

xxx

xx

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

Calcula…II

323

11

3234

114

114

323:

4

1

114

323:

4

1

114

11112:

4

1

114

11112:

4

1

141

11

114

112:

4

1

14

1

14

12:

4

1

43

1

45

22:

4

1

22

22

22

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

x

xxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

xx

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xx

x

x