Factoreo de polinomios

Factoreo de polinomiosFactorear un polinomio es transformarlo en un producto de una constante por uno o ms polinomios primos de coeficiente principal igual a 1.

Sabemos que los nmeros compuestos pueden, aplicando ciertos criterios de divisibilidad, expresarse como el producto de factores primos,

Observa:

3 . 5 = 15(15 = 5 . 3

Hallar el producto y descomponer en factores son dos procesos inversos:Multiplicacin (

( Factorizacin

El factoreo no siempre es posible; los polinomios que se pueden factorear presentan caractersticas que nos permiten distinguir distintos casos de factoreo.

1er Caso Factor comn

Un nmero es factor comn de un polinomio cuando figura en cada trmino como factor. Anlogamente, una expresin es factor comn de todos los trminos de un polinomio cuando figura en todos ellos como factor.Multiplicacin de un polinomio por un factor(Se resuelve aplicando propiedad distributiva)Extraccin de factor comn

(A + B) . M = A.M + B.M(A.M + B.M = M . (A + B)

Ejemplos:1.

2.

3.

EjerciciosAplique la propiedad distributiva y resuelva

1.

2.

3.

4.

Extraer factor comn en los siguientes polinomios

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2do Caso Extraccin de factor comn por grupos

Consiste en descomponer el polinomio en grupos de igual nmero de trminos con un factor comn en cada grupo.

Multiplicacin de polinomiosExtraccin de factor comnpor grupos

(A + B) . (P + Q) =(A + B) . P + (A + B) . Q =A . P + B . P + A . Q + B . Q(A . P + B . P + A . Q + B . Q == P . (A + B) + Q . (A + B)= (A + B) . (P + Q)

Ejemplos:1.

otra forma de agrupar

que conduce al mismo resultado2.

otra forma de agrupar

Observa que podemos formar dos grupos de tres trminos o tres grupos de dos trminos con un factor comn en cada grupo. Los resultados son los mismos.Factoriza los siguientes polinomios

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3er Caso Diferencia de cuadrados

Se puede verificar que el producto de la suma por la diferencia de dos nmeros es igual al cuadrado del primer nmero menos el cuadrado del segundo, es decir:Producto de la sumapor la diferencia de dosmonomiosDiferencia decuadrados

(x + y) . (x y) = x2 y2(x2 y2 = (x + y) . (x y)

Ejemplos:1.

2.

3.

Ejercicios1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

4to Caso Cuadrado de un binomio - Trinomio cuadrado perfecto

El cuadrado de un binomio da como resultado un trinomio llamado trinomio cuadrado perfecto

Cuadrado de un binomioTrinomio cuadrado perfecto

(x ( a) 2 = x2 ( 2 xa + a2(x2 ( 2 xa + a2 = (x ( a) 2

Dos de sus trminos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las bases de los cuadrados.Ejemplos:1.

2.

Los trminos de los binomios son las bases de las potencias.

Ejercicios

1. Expresa los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio

1.

2.

3.

4.

2. Desarrollar cada cuadrado del binomio

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3. Completen los trminos que faltan1.

2.

3.

5to Caso Cubo de un binomio - Cuatrinomio cubo perfecto

El cubo de un binomio da como resultado un cuatrinomio llamado cuatrinomio cubo perfecto

Cubo de un binomioCuatrinomio cubo perfecto

(x ( a) 3 = x3 ( 3 x2 a + 3 x a2 ( a3(x3 ( 3 x2 a + 3 x a2 ( a3 = (x ( a)3

Ejemplos:1.

2.

Ejercicios

1. Sol y Roco resolvieron el cubo de un binomio de dos formas distintas. Lean cada procedimiento y expliquen los errores que encuentren.SolRoco

2. Desarrollar cada cubo del binomio

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4. Expresa los siguientes cuatrinomios como cubos de un binomio

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Expresiones algebraicas racionalesEn general, una expresin algebraica racional se anota:

Si el numerador es mltiplo del denominador , la expresin algebraica racional es equivalente a una expresin algebraica entera, es decir, es equivalente a un polinomio.Ejemplo:

Observa que para

En consecuencia, estas expresiones son equivalentes pero no igualesPues

Simplificacin de expresiones algebraicas

Existen infinitas expresiones algebraicas equivalentes a una dada. Para obtener una expresin algebraica fraccionaria equivalente a una dada se aplica la siguiente:Propiedad fundamental

Si el numerador y el denominador de una expresin algebraica racional se multiplican o dividen por un mismo polinomio, se obtiene otra expresin algebraica equivalente a la dada

Ejemplos:1.

2.

Cuando se divide numerador y denominador de una expresin algebraica racional por un mismo polinomio se dice que la expresin se ha simplificado.

Para simplificar una expresin algebraica racional se factorizan numerador y denominador y se cancelan los factores comunes.Ejemplo:

Esta simplificacin slo es vlida si

Ejercicios

Simplifica las siguientes expresiones racionales 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Adicin de expresiones algebraicas racionalesLa adicin de expresiones algebraicas racionales se define de la misma manera que la adicin de nmeros racionales.

Nmeros racionalesExpresiones algebraicas racionales

1. Adicin de fracciones algebraicas de igual denominador

Ejemplo 1

Las fracciones tienen igual denominador

Se suman los numeradores. Se escribe el mismo denominador

Se factorea el numerador y el denominador

si y slo si

Se simplifica

2. Adicin de fracciones algebraicas de distinto denominador

Ejemplo 2La suma de dos fracciones algebraicas de distinto denominador es igual a la suma de dos fracciones algebraicas equivalentes a las dadas y del mismo denominador.

Las fracciones tienen distinto denominador

Factorizamos los denominadores

Se calcula el m.c.m. de los denominadores

Se escriben dos expresiones algebraicas racionales equivalentes a las dadas usando como denominador el m.c.m. de los denominadores.En cada fraccin se multiplica el numerador y el denominador por una misma expresin. En la primera se multiplica por (x+2) y en la segunda por (x-2).

El problema se reduce al primer caso

Se reducen los trminos.

Se puede simplificar?

Sustraccin de expresiones algebraicas racionalesPara restar dos expresiones algebraicas racionales se suma a la primera la opuesta de la segunda

Ejemplo 3

Ejercicios1.

2.

3.

4.

5.

6.

Multiplicacin de expresiones algebraicas racionalesLa multiplicacin de expresiones algebraicas racionales se define en forma anloga a la multiplicacin de nmeros racionales.

Nmeros racionalesExpresiones algebraicas racionales

Ejemplo 4

Factorizamos y simplificamos

Como hemos simplificado por (x-1) y (x+2) resulta:

Divisin de expresiones algebraicas racionalesPara dividir una expresin algebraica racional por otra se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

Ejemplo 5

Ejercicios: Resuelve1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Potenciacin y radicacin de expresiones algebraicas racionalesLa potenciacin y la radicacin de expresiones algebraicas fraccionarias se resuelven aplicando la propiedad distributiva con respecto a la divisin

PotenciacinRadicacin

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejercicios1.

2.

3.

4.

5.

6.

_1438352169.unknown

_1446877283.unknown

_1446880629.unknown

_1446881348.unknown

_1446885546.unknown

_1446886327.unknown

_1446886981.unknown

_1446887569.unknown

_1446887742.unknown

_1446895335.unknown

_1446887767.unknown

_1446887615.unknown

_1446887452.unknown

_1446887511.unknown

_1446887131.unknown

_1446886702.unknown

_1446886778.unknown

_1446886482.unknown

_1446886223.unknown

_1446886272.unknown

_1446886242.unknown

_1446885607.unknown

_1446886193.unknown

_1446882303.unknown

_1446882695.unknown

_1446882761.unknown

_1446882369.unknown

_1446881788.unknown

_1446881911.unknown

_1446881436.unknown

_1446880965.unknown

_1446881065.unknown

_1446881308.unknown

_1446881010.unknown

_1446880857.unknown

_1446880919.unknown

_1446880787.unknown

_1446878858.unknown

_1446880070.unknown

_1446880297.unknown

_1446880525.unknown

_1446880133.unknown

_1446879616.unknown

_1446879854.unknown

_1446879512.unknown

_1446878121.unknown

_1446878433.unknown

_1446878714.unknown

_1446878230.unknown

_1446877800.unknown

_1446877992.unknown

_1446877685.unknown

_1438367885.unknown

_1438413087.unknown

_1446876726.unknown

_1446876876.unknown

_1446877168.unknown

_1446876805.unknown

_1438413426.unknown

_1438413496.unknown

_1438413173.unknown

_1438412329.unknown

_1438412919.unknown

_1438412947.unknown

_1438412889.unknown

_1438412568.unknown

_1438368221.unknown

_1438368578.unknown

_1438368679.unknown

_1438368477.unknown

_1438368139.unknown

_1438356824.unknown

_1438357805.unknown

_1438366969.unknown

_1438367530.unknown

_1438366798.unknown

_1438357017.unknown

_1438357729.unknown

_1438357623.unknown

_1438356982.unknown

_1438353297.unknown

_1438354872.unknown

_1438355421.unknown

_1438355508.unknown

_1438355679.unknown

_1438355801.unknown

_1438355436.unknown

_1438355072.unknown

_1438355237.unknown

_1438354981.unknown

_1438353520.unknown

_1438353715.unknown

_1438353434.unknown

_1438353033.unknown

_1438353134.unknown

_1438352842.unknown

_1437899707.unknown

_1438346045.unknown

_1438350756.unknown

_1438352009.unknown

_1438352087.unknown

_1438352129.unknown

_1438352040.unknown

_1438351496.unknown

_1438351667.unknown

_1438350985.unknown

_1438348235.unknown

_1438348391.unknown

_1438348811.unknown

_1438348370.unknown

_1438348158.unknown

_1438348194.unknown

_1438347209.unknown

_1437900275.unknown

_1438345047.unknown

_1438345913.unknown

_1438346044.unknown

_1438345512.unknown

_1437900453.unknown

_1437900490.unknown

_1437900384.unknown

_1437900097.unknown

_1437900215.unknown

_1437900235.unknown

_1437900144.unknown

_1437900039.unknown

_1437900073.unknown

_1437899907.unknown

_1437896371.unknown

_1437898600.unknown

_1437898949.unknown

_1437899071.unknown

_1437899142.unknown

_1437899002.unknown

_1437898729.unknown

_1437898813.unknown

_1437898652.unknown

_1437897880.unknown

_1437898506.unknown

_1437898544.unknown

_1437898194.unknown

_1437897552.unknown

_1437897728.unknown

_1437896618.unknown

_1437894745.unknown

_1437895617.unknown

_1437896114.unknown

_1437896186.unknown

_1437895785.unknown

_1437895841.unknown

_1437895721.unknown

_1437895426.unknown

_1437895485.unknown

_1437894813.unknown

_1437894153.unknown

_1437894636.unknown

_1437894668.unknown

_1437894260.unknown

_1437892517.unknown

_1437894091.unknown

_1437892433.unknown