material semana 5 matemática factoreo versión pdf

MATEMTICA

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORCurso de Nivelacin 2014

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados ador, Derechos Reservados

Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE NIVELACIN PARA NUEVO INGRESO 2014

MATEMTICA

CURSO DE MATEMTICA EN LNEA

Contenido FACTOREO ........................................................................................................................................... 1

CASOS TPICOS DE FACTORIZACIN .................................................................................... 1

1) FATOR COMUN. ............................................................................................................... 1

2) DIFERENCIA DE CUADRADOS .............................................................................................. 2

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ...................................................................................... 3

4) TRINOMIOS QUE NO SON CUADRADOS PERFECTOS .......................................................... 4

5) DIFERENCIA DE CUBOS Y SUMA DE CUBOS......................................................................... 6

DIVISIN SINTTICA. ....................................................................................................................... 7

Teorema del Factor y del Residuo ....................................................................................................... 9

TEOREMA DEL RESIDUO .................................................................................................................. 9

TEOREMA DEL FACTOR ................................................................................................................. 10

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA ......................................................................................... 10

Teorema de la Raz Racional. ........................................................................................................ 11

1 Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013


MATEMTICA

FACTOREO Los factores de una expresin algebraica son dos o ms expresiones que multiplicadas entre s originan a la primera.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

P o r e je m p lo la e x p re s i n a lg e b ra ic a 5 6 p u e d e e x p re s a rs e c o m o

e l p ro d u c to 3 2 ya q u e :

3 2 3 3 2

= 3 2 6

= 5 6

x x

x x

x x x x x

x x x

x x

- +

- -

- - = - + - -

- - +

- +

CASOS TPICOS DE FACTORIZACIN

1) FATOR COMUN. La ley distributiva, la ley asociativa y las leyes de los exponentes se utilizan para obtener un factor comn de una expresin algebraica de varios trminos.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2

E je m p lo : E x p re s e e n fa c to re s

a ) 6 2

s o lu c i n

6 2 2 3 2 1 ( L e y A s o c ia t iv a y le y d e lo s E x p o n e n te s )

2 3 1 ( L e y D is tr ib u tiv a )

x y x

x y x x y x

x y

-

- = -

= -

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3 4

2 3 4 3 3

3

b ) 9 6

S o lu c i n

9 6 3 3 3 2

3 3 2

x y x y

x y x y x y x x y y

x y x y

+

+ = +

= +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

c ) 2 3

S o lu c i n

2 3 2 3

x y z z y z

x y z z y z y z x z

- - -

- - - = - -



MATEMTICA

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d ) 2 4 2

S o lu c i n

2 4 2 2 4 2

2 2 2

2 2

a x b x a y b y

a x b x a y b y a x a y b x b y

a x y b x y

a b x y

- + -

- + - = + + - -

= + - +

= - +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

e ) 2 3 4 6

S o lu c i n

2 3 4 6 2 4 3 6

2 2 3 2

2 3 2

x x y x y

x x y x y x x x y y

x x y x

x y x

- - +

- - + = - + - +

= - - -

= - -

2) DIFERENCIA DE CUADRADOS

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2S e co n o ce q u e , p o r lo tan to x a x a x a x a x a x a- + = - - = - +

Es decir que: La diferencia de los cuadrados de dos nmeros es igual al producto de la diferencia de los nmeros por su suma.

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

E je m p lo . E x p re s e e n fa c to re s

a ) 4 9

S o lu c i n

4 9 2 3

2 3 2 3

x y

x y x y

x y x y

-

- = -

= - +

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

22

b ) 3

S o lu c i n

3 3 3

3 3

x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

- +

- + = - + + +

= - - + +



MATEMTICA

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO En los productos notables vimos que:

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

2 y q u e 2

2 p o r lo ta n to 2

x a x a x a x a x a x a

x a x a x a x a x a x a

+ = + + + + = +

- = - + - + = -

Para expresar en factores un Trinomio Cuadrado Perfecto se deber obtener la raz cuadrada de dos de los tres trminos del trinomio y verificar que el doble producto de esas races cuadradas es el trmino restante del trinomio. El signo de binomio es el mismo que el del trmino restante del trinomio.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2 22

22


a ) 6 9

S o lu c i n

, 9 3 , 2 3 6 , lu e g o

6 9 3

x x

x x x x

x x x

+ +

= = =

+ + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2 22

22

b ) 9 3 0 2 5

S o lu c i n

9 3 , 2 5 5 , 2 3 5 2 1 5 3 0 , lu e g o

9 3 0 2 5 3 5

x x

x x x x x

x x x

- +

= = - = - = -

- + = -

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 4 2 2

2 22 4 2 2 2 2

22 4 2 2 2

c ) 3 6 a 1 2

S o lu c i n

3 6 a 6 a , , 2 6 a 1 2 a , lu e g o

3 6 a 1 2 6 a

b a b y y

b b y y b y b y

b a b y y b y

+ +

= = =

+ + = +



MATEMTICA

4) TRINOMIOS QUE NO SON CUADRADOS PERFECTOS

Anteriormente vimos que:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

S i y , te n e m o s

p o r lo ta n to

, d o n d e

,

x a x b x a b x a b

a b p a b q

x a x b x p x q

x p x q x a x b

p a b q a b

+ + = + + +

+ = =

+ + = + +

+ + = + +

= + =

Entonces: Para expresar en factores un trinomio de la forma x2+px+q, se calcular dos nmeros (a y b) tales que su suma sea igual al coeficiente de la x y su producto sea igual al trmino independiente.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2


a ) 6 8 S o lu c i n

8 2 8 2 2 2 4 , 2

4 2 4 2 4 2 6

2 2 4 2 8

x x

a b

a b

a b

+ +

= = =

= + = + =

= =

( ) ( )2

1

6 8 4 2x x x x+ + = + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

b ) 7 1 2 S o lu c i n :

1 2 2 1 2 2 2 3 4 , 3

6 2 4 3 4 3 7

3 3 4 3 1 2

1

7 1 2 4 3

x x

a b

a b

a b

x x x x

- +

= = - = -

= + = - + - = -

= - - =

- + = - -



MATEMTICA

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2c ) 7 1 2 S o lu c i n :

1 2 2 1 2 2 3 2 4 , 3

6 3 4 3 4 3 7

2 2

x x y y

a y b y

a b y y y

- +

= = - = -

= + = - + - = -

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

4 3 1 2

1

7 1 2 4 3

a b y y y

x y x y x y x y

= - - =

- + = - -

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

22

2

d ) 3 1 0 3

S o lu c i n

3 C o m o e l c o e f ic ie n te d e d e b e s e r 1 , t e n d re m o s q u e m u lt ip lic a r p o r , a s :3

3 1 3 1 0 3 3 1 0 3 9 , S 3

3 3

9

1 1 0 9 , P e ro

3

x x

x

x x x x x y

y y

+ +

+ + = + + =

=

= + +

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

3 3

9 1

9 , 1

1 9 1 , V o lv ie n d o a la v a r ia b le

3

1 3 9 3 1

3

3 3 3 1

3

3 1 0 3

a b

y y x

x x

x x

x x x

=

= =

= + +

= + +

= + +

+ + = +( ) ( )3 3 1x +



MATEMTICA

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2

2 2

2

2

e ) 8 2 1 5

S o lu c i n

8 8 2 1 5 8 2 1 5

8

1 8 2 8 1 2 0 , S 8

8

1 2 0 1 2 1 0

1 2 , 1 01 2 1 2 0 , P e ro

1 2 1 0 28

1 2 1 0 1 2 0

x x

x x x x

x x x y

a by y

a b

a b

+ -

+ - = + -

= + - =

=

= = -= + -

+ = + - =

= - = -

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

1 1 2 1 0 , V o lv ie n d o a la v a r ia b le

8

1 8 1 2 8 1 0

8

1 4 2 3 2 4 5

8

8 2 1 5 2 3 4 5

y y x

x x

x x

x x x x

= + -

= + -

= + -

+ - = + -

5) DIFERENCIA DE CUBOS Y SUMA DE CUBOS

De acuerdo a los cocientes notables se tiene

( ) ( )

( ) ( )

3 3

2 2 3 3 2 2

3 3

2 2 3 3 2 2

P o r lo ta n to ,

x yx x y y x y x y x x y y

x y

x yx x y y x y x y x x y y

x y

-= + + - = - + +

-

+= - + + = + - +

+

Es decir: la diferencia de los cubos de dos nmeros, es igual a la diferencia de los nmeros multiplicada por la suma formada por el cuadrado del nmero ms el producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo.



MATEMTICA

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

3

3 33

2 2

2


a ) 2 7 1

S o lu c i n

2 7 1 3 + 1

3 1 + 3 3 1 1

3 1 9 3 1

x

x x

x x x

x x x

+

+ =

= + - +

= + - +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

3 6

333 3 6 2

222 2 2

2 2 2 2 4

) 8 3 2 7

S o lu c i n

8 2 7 2 3

2 3 2 2 3 3

2 3 4 6 9

b x y z

x y z x y z

x y z x y x y z z

x y z x y x y z z

-

- = -

= - + +

= - + +

DIVISIN SINTTICA. 3 2

U n p o lin o m io co m o 4 6 p u ed e s im b o lizarse co m o ( ), esto es:x x x P x- + +

3 2( ) 4 6P x x x x= - + +

R e c o rd a re m o s e l m to d o p a ra d iv id ir u n p o lin o m io , ( ) , e n tre o tro d e la fo rm a , p o r m e d io d e l s ig u ie n te e je m p lo :P x x a

4 3 2D iv id ir ( ) 4 2 4 3 e n tre 1 so lu c i n :P x x x x x x= - - - - -

4 3 2

3 3 2

4 2 4 3 1

4 4 4 2 2 3

x x x x x

x x x x x

- - - - -

- + + - -

____________________

3 2

3 2

2 4 3

2 2

x x x

x x

- - -

- +



MATEMTICA

____________________

2

2

2 3

2 2

x x

x x

- - -

-

____________________

3 3

3 3

x

x

- -

-

_______________

6-

4 3 2

3 24 2 4 3 64 2 2 3

1 1

x x x xx x x

x x

- - - - -= + - - +

- -

El proceso anterior puede llevarse a cabo en forma abreviada, lo cual se conoce como divisin sinttica, as:

1) Se escriben en forma descendente las potencias del dividendo (opcional). 2) Debajo de cada potencia se escribe su coeficiente. 3) S i e l d iv is o r e s , s o lo s e e s c r ib e , y s i e s , s e e s c r ib e x a a x a a- + -

4) Debajo de la fila de los coeficientes del dividendo se deja una fila vaca. 5) Se traza una lnea horizontal para separar la fila vaca de una tercera fila.

6) ( )

S e b a ja a la te rc e ra f i la e l p r im e r c o e f ic ie n te d e l d iv id e n d o

e s te e s e l p r im e r c o e f ic ie n te d e l c o c ie n te

y s e m u lt ip lic a p o r e l d iv is o r ( ) y e l re s u lta d o

s e c o lo c a d e b a jo d e l s e g u n d o c o e f ic ie n te

a a-

d e l d iv id e n d o .

7) Se suma el segundo coeficiente del dividendo con el resultado obtenido en el paso anterior, el cual es el segundo coeficiente del cociente.

8) El proceso continua hasta obtener todos los coeficientes del cociente, el cual ser de grado una unidad menor que el grado del dividendo.

9) El ltimo coeficiente de la tercera fila es el residuo.



MATEMTICA

4 3 2

0

4 2 4 1 3 1

4 2 2 3

x x x x A

- - - -

- -

______________________

4 2 2 3 6- - -

Coeficientes del cociente / Residuo

4 3 2

3 24 2 4 3 64 2 2 3

1 1

x x x xx x x

x x

- - - - -= + - - +

- -

Teorema del Factor y del Residuo

( )

( )

P x x a

R C x

-

( ) : D iv id e n d o

: D iv is o r

: R e s id u o

( ) : C o c ie n te

P x

x a

R

C x

-

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P x RC x

x a x a

RP x x a C x

x a

P x x a C x R

= + - -

= - + -

= - +

TEOREMA DEL RESIDUO ( ) ( ) ( ) ( )S i x a P a a a C a R P a R= = - + =

"S i u n p o lin o m io , ( ) , s e d iv id e e n tre ( ) , e l re s id u o , R , e s ig u a l a ( )"P x x a P a-



MATEMTICA

4 3 2

4 3 2

P o r e je m p lo s i e l p o lin o m io

( ) 4 2 4 3 s e d iv id e e n tre

( 1) , e l re s id u o e s (1) o s e a

(1) 4 (1) 2 (1) 4 (1) (1) 3

(1) 4 2 4 1 3

(1) 6 (1) 6

P x x x x x

x P

P

P

P R P

= - - - -

-

= - - - -

= - - - -

= - = = -

TEOREMA DEL FACTOR S i 0 ( ) ( ) ( ) ^ ( ) 0R P x x a C x P a= = - =

"U n p o lin o m io ( ) t ie n e u n fa c to r s i y s o lo s i ( ) 0"P x x a P a R- = =

4 3 2

4 3 2

A l n u m e ro s e le lla m a ra iz d e ( ) 0 u n c e ro

d e l p o lin o m io .

P o r e je m p lo , e l p o lin o m io ( ) 4 2 4 3

tie n e c o m o fa c to r a ( 1) ya q u e

( 1) 4 ( 1) 2 ( 1) 4 ( 1) ( 1) 3

( 1) 4 2 4 1 3

( 1) 0

E s

x a P x

P x x x x x

x

P

P

P

= =

= - - - -

+

- = - - - - - - - -

- = + - + -

- =

d e c ir s i 1 e s u n a ra iz , e n to n c e s e l re s id u o e s c e ro

y ( 1) e s u n fa c to r d e l p o lin o m io .

x

x

= -

- -

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA "S i ( ) e s u n p o lin o m io d e g ra d o 1, e n to n c e s la e c u a c io n p o lin m ic a ( ) 0

tie n e p re c isa m e n te ra ic e s , s ie m p re y c u a n d o u n a ra iz d e m u ltip lic id a d s e c u e n te v e c e s"

P x n P x

n k k

=

la s ra ic e s c o m p le ja s ( fo rm a d a s p o r u n n u m e ro re a l y u n n u m e ro im a g in a r io )

s e p re s e n ta n e n p a re ja s , e s d e c ir , s i 4 3 e s u n a ra iz , e n to n c e s 4 3 ta m b i n

e s ra iz ( 1 e s la u n id a d im a g in a r ia , y 4 3 e s e

i i

i i

+ -

= - - l c o m p le jo c o n ju g a d o d e 4 3 ) .i+



MATEMTICA

P o r e je m p lo :

a ) U n a e c u a c i n p o lin m ic a d e :

1 ) g ra d o 3 te n d r 3 ra c e s

2 ) g ra d o 4 te n d r 4 ra c e s

3 ) g ra d o 7 te n d ra 7 ra c e s

b ) U n a e c u a c i n p o lin m ic a , ( ) 0 , d e g ra d o 3 p u e d e te n e r:

1 ) T re s ra c e s re a le s

2 ) D o s ra c e s c o m p le ja s y u n a re a l.

P x =

c ) U n a e c u a c i n p o lin m ic a , ( ) 0 , d e g ra d o 4 p u e d e te n e r :

1 ) c u a tro ra c e s re a le s

2 ) c u a tro ra c e s c o m p le ja s

3 ) d o s ra c e s c o m p le ja s y d o s ra c e s re a le s

P x =

Teorema de la Raz Racional. 1

1 1 0

0

"S i lo s c o e f ic ie n te s d e la e c u a c i n p o li n m ic a ( ) ... 0 ,

0 , s o n to d o s e n te ro s , y s i e s u n a ra iz ( re d u c id a a s u m s s im p le e x p re s i n ) ,

e n to n c e s e s u n fa c to r d e y e s

n n

n n

n

P x a x a x a x a

Pag

P a g

-

-= + + + + =

u n fa c to r d e "n

a

3 2


( ) 4 1 6 1 1 1 0P x x x x= - + +

S o lu c i n

R e c o rd e m o s q u e s i ( ) s e d iv id e e n tre ( ) y e l re s id u o re s u lta c e ro , e n to n c e s

( ) y e l re s id u o re s u lta c e ro , e n to n c e s e s u n a ra iz d e ( ) 0 y ( )

e s u n fa c to r d e ( ) . E n e l c a s o p re

P x x a

x a x a P x x a

P x

-

- = = -

3 2

0

3

s e n te c o m o e l p o lin o m io e s d e g ra d o 3 , te n d ra

tre s ra c e s ( tre s fa c to re s ) .

( ) 4 1 6 1 1 1 0

1 0 : 1, 2 , 5 , 1 0

4 : 1, 2 , 4

P x x x x

a P

a g

= - + +

=

=

5 51 1P o s ib le s ra c e s : 1, , , 2 , 5 , , , 1 02 4 2 4

Pg



MATEMTICA

3 2

0

v e a m o s s i 1 e s ra iz

4 1 6 1 1 1 0 1

4 1 2 1

x

x x x a

=

-

- -

________________________

4 1 2 1 9 c o m o e l re s id u o n o e s c e ro , e n to n c e s 1 n o e s ra izx- - =

3 2

0

1P ro b e m o s 2

14 1 6 1 1 1 0 2

2 9 1 0

x

x x x a

= -

- -

- -

____________________

14 1 8 2 0 0 c o m o e l re s id u o e s c e ro , e n to n c e s e s u n a ra iz2

x- = -

3 2 2

3 2 2

3 2

3 2

( ) ( ) ( )

14 1 6 1 1 1 0 ( ( ) ) ( 4 1 8 2 0 )2

14 1 6 1 1 1 0 ( )( ( 2 ) 9 ( 2 ) 2 0 )2

14 1 6 1 1 1 0 ( )( 2 4 )( 2 5 )2

4 1 6 1 1 1 0 ( 2 1)( 2 )( 2 5 )

P x x a C x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

= -

- + + = - - - +

- + + = + - +

- + + = + - -

- + + = + - -

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