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Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0

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Unidad 6 GEOMETRIA ANALITICA

Competencias a desarrollar:

• Determinar distancia y el punto medio de entre dos puntos dados • Encontrar la ecuación de una recta si se conocen un punto y la pendiente o

dos puntos de ella.

• Determinar el radio y el centro de un círculo, si se conoce su ecuación. • Determinar la ecuación de un círculo, dados su centro y su radio. • Identificar vértices y focos de una elipse. de la que se conoce la ecuación y

viceversa.

• Hallar vértices, foco y directriz de una parábola, de la que se conoce la ecuación y viceversa.

• Identificar vértices, focos y asíntotas de de una hipérbola, de la que se

conoce la ecuación y viceversa.


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Unidad 6 Elementos de Geometría Analítica

Distancia entre 2 puntos :

Se puede demostrar con facilidad que la distancia d entre los puntos ),( 111 yxP y

),( 222 yxP , es :

212

212 )()( yyxxd −+= −

Punto medio :

Además el punto medio entre los puntos P1 y P2 es el punto M, determinado por:

)2

,2

( 2121 yyxxM

++=

Ejercicios:

1) En cada uno de los ejercicios del 1 al 5 realiza lo siguiente: a) Encuentra la distancia d(A,B) entre los puntos A y B. b) Halla el punto medio del segmento AB 1) A(4,-3) ; B(6,2) 2) A(-5,0) ; B(-2,-2) 3) A(7,-3) ; B(3,-3)


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4) A(-1,5) ; B(3,-5) 5) A(2,-3) ; B(-4,5) PENDIENTE DE UNA RECTA Definición: Sea L una recta que no es paralela al eje y ; y sean ),(),( 221111 yxpyyxp puntos diferentes de L . Entonces la pendiente m de la recta L se define así:

12

12

xx

yym

−−=

Si L es una recta paralela al eje Y, la pendiente no está definida. Ejercicios: Traza la recta para cada par de puntos y encuentra la pendiente. 1) A(2,3) ; B(4,8) 2) A(-6,0) ; B(0,6) 3) A(1,3) ; B(10,3) 4) A(1,7) ; B(1,-1) 5) A(-3,2) ; B(-3,-3) FORMA PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DE LA RECTA Consideremos una recta que pasa por los puntos ),( 111 yxP y un punto ),( yxP cuya pendiente es m


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Por la fórmula de la pendiente tenemos que:

1

1

xx

yym

−−= o )( 11 xxmyy −=−

Esta última ecuación nos permite determinar la ecuación de una recta de pendiente m que pasa por un punto fijo ),( 11 yx A la expresión )( 11 xxmyy −=− se le conoce como Ecuación de la forma Punto Pendiente . Ejercicios : I. En cada uno de los siguientes ejercicios halla la ecuación de la recta que

pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada (Bosqueja un gráfico en cada caso)

1) (-1,2); m=3 2) (2,-3); m=-2 3) (4,0); m=2/3 4) (0,-3); m=1/4 5) (-5,1); m=0 6) (-5,1); m=indefinida II. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 : 1) P1(5,-1); P2(0,3) 2) P1(3,4); P2(3,6) 3) P1(-2,3); P2(4,3) III. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es paralela al eje Y IV. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es paralela al eje X FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN O PENDIENTE-INTERSECCION La ecuación de la recta puede expresarse de distintas maneras. Supongamos que la pendiente de una recta es m y su intersección con el eje Y es ).,0( b


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Si elegimos ).,0( b como ),( 111 yxP y aplicamos la fórmula punto pendiente, obtenemos:

)0( −=− xmby o sea bmxy += ;

esta última expresión se llama ecuación de la recta en forma Punto-Ordenada al Origen o Punto-Intersección. Ejercicios: I. Encuentre la pendiente de cada recta y su intersección con el eje Y. 1) Y=3X+5 2) 3Y=2X-4 3) Y+2=-4(X-1) 4) 4X+5Y=-20 II. Encuentre la ecuación de la recta si se conoce su pendiente m y su

ordenada al origen (0,b) 1) m=-1; b=-4 2) m=3; b=1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: La gráfica de una ecuación lineal de la forma cbyax =+ es una recta ; y recíprocamente toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. A la expresión cbyax =+ se le conoce como ecuación general de la recta (siempre que bya no sean ambos cero). RECTAS PARALELAS: Teorema: Dos rectas (no verticales) son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.


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Si 21 || LL entonces 21 mm = . ( 21 || LL : se lee L1 paralela a L2) RECTAS PERPENDICULARES: Teorema: Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si m1.m2=-1

Si 21 LL ⊥ entonces m1.m2=-1ó m1 =

2

1

m

−.

( 21 LL ⊥ : Se lee 1L perpendicular a 2L ) Ejercicios: Determinación de la ecuación de una mediatríz.

Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une a )3,4(−

con )0,1( . La mediatriz debe pasar por el punto medio del segmento, entonces lo

primero será calcular el punto medio entre los puntos.

( ) ( )5.1,5.123,2

3

2

03,

2

14

2,

22121

−=−=

++−=

++=

M

yyxxM

La pendiente de la recta que une los puntos (-4,3) y (1,0) es:


87

5

3

41

30

12

12 −=+−=

−−=

xx

yym ; esta recta es perpendicular a la mediatriz; por lo tanto la

pendiente de la mediatriz será 3

51 =m y su ecuación será

+=−2

3

3

5

2

3xy ; que

simplificada será 43

5 += xy ó 01235 =+− yx

En la gráfica se ilustran el segmento y su mediatriz.

Ejercicios diversos: I. Escribe una ecuación para la recta que satisface las condiciones dadas:

a) La recta L tiene pendiente 4 y pasa por el punto (-3,4). b) La recta L tiene pendiente 3 y pasa por el punto (-2,-1). c) La recta T pasa por el origen y tiene pendiente 4.

d) La recta L tiene pendiente 41 y ordenada al origen 4

e) La recta L tiene pendiente –1 y corta al eje Y en (0,-3).

f) La recta R tiene pendiente 41 e intersección con el eje X es –2

g) La recta R tiene una intersección con el eje X de 5 y una intersección con el eje Y de –1.

h) La recta V es vertical y pasa por el punto (-3,4). i) La recta H es horizontal y pasa por el punto (-3,4).


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II. ¿Qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos

cosas?. a) Y=3X-2; 6X-2Y=0 b) X=-2; Y=4 c) X=2(Y-2); Y=-1/2(X-1) d) 2X+5Y=3; 10X-4Y=7 III. Encuentre la recta que pasa por (2,-1) y que: a) pasa por (-3,5) b) es paralela a 2X-3Y=5 c) es perpendicular a X+2Y=3 d) es perpendicular al eje Y IV. Encuéntrese la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

X+2Y=1 y 3X+2Y=5 y que es paralela ala recta 3X-2Y=4 V. La recta L es perpendicular a la recta 2X+3Y=6 y pasa por el punto )1,3(− .

¿Dónde corta al eje Y? VI. Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une los

puntos donde la recta 5Y-3X=2, intercepta a los ejes.


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El Círculo : Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama el centro, C, y la distancia constante al centro del círculo se llama el radio, r (donde r>0). Coloquemos un círculo de radio r en el plano cartesiano, con el centro en el punto

),( kh , elijamos un punto en el plano y llamémosle ),( yx . Véase en la siguiente figura:

Círculo con centro en (h, k) y radio r La definición de un círculo nos dice que para que ),( yx esté en el circulo la distancia del centro ),( kh a ),( yx debe ser r . Por la fórmula de la distancia, tenemos:

( ) ( ) rkyhx =−+− 22 Si eliminamos el radical, elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación se obtiene lo siguiente:

( ) ( ) 222 rkyhx =−+− A esta fórmula se le conoce como la forma canónica o forma estándar de la ecuación de un círculo con centro ),( kh y radio r . El centro y el radio son todo lo que se necesita para describir o graficar un círculo.


90

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de un círculo con:

(a) Centro (2, 5) y radio 6

(b) Centro

−3,2

1y radio 2

Solución

(a) Si observamos la forma canónica, puesto que el centro es (2, 5), tenemos h = 2 y k = 5; como el radio es 6, r = 6.

( ) ( ) 222 rkyhx =−+− Sustituimos 2=h , 5=k , y 6=r

( ) ( ) 222 652 =−+− yx

36251044 22 =+−++− yyxx , ordenando y reduciendo términos semejantes nos queda: 0710422 =−−−+ yxyx

(b) Puesto que el centro es

−3,2

1, y el radios 2 , tenemos que:

2

1=h , 3−=k y 2=r ,

( ) ( ) 222 rkyhx =−+−

( )( ) ( )222

232

1 =−−+

− yx

( ) 232

1 22

=++

− yx

Por lo tanto, la ecuación del círculos es

( ) 232

1 22

=++

− yx si desarrollamos los binomios, queda:

04

29622 =++−+ yxyx

Aunque ambas formas de la respuesta son aceptables, la forma canónica de la ecuación tiene la ventana significativa de facilitar el reconocimiento del centro y del radio.


91

Ejemplo 2 Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:

(a) ( ) ( ) 843 22 =−++ yx (b) 922 =+ yx Solución

(a) Reconocemos que la ecuación dada está en la forma canónica para la ecuación de un círculo, ( ) ( ) 222 rkyhx =−+− de modo que podemos leer los valores kh, y r , teniendo cuidado con los signos.

3+=− xhx 3=− h h = -3 4−=− yky 4=k

8=r 8=r = 22

Así, el centro del círculo es (-3, 4); el radio es .8.222 ≈ Con esta información, podemos trazar fácilmente la gráfica del círculo, como aparece en la figura siguiente:

( ) ( ) 843 22 =−++ yx

(b) La ecuación 922 =+ yx también está en forma canónica.(Se puede

pensar como ( ) ( ) .300 222 =−+− yx ) En consecuencia, el centro es (0,0) y el radio es 3. La gráfica se muestra a continuación


92

Ejemplo 3 Determinar el centro y el radio de 58422 =+−+ yxyx Solución Determinados el centro y el radio completando el cuadrado.

58422 =+−+ yxyx

( ) ( ) 584 22 =++++− yyxx Sumamos 4 y 16 a los dos lados de la ecuación. ( ) ( ) 164516844 22 ++=++++− yyxx Reescribimos las expresiones cuadráticas en forma factorizada.

( ) ( ) 2542 22 =++− yx Así, tenemos un círculo con centro ( )4,2− y radio 525 = . Ejercicios En los ejercicios 1-3, escriba una ecuación del círculo con el centro C y el radio r dados.

1. C = (2,3); r = 3

2. C =

4,2

1; r = 6

3. C =

−− 2,2

3; r = 7


93

En los siguientes ejercicios, identifique el centro y el radio del círculo dado.

4. ( ) ( ) 1623 22 =−+− yx

5. 1622 =+ yx

6. ( ) 722 22 =++ yx

7. 0622 =++ yyx

8. 14 22 =+− yxx

9. Trace la gráfica de cada uno de los siguientes círculos:

a. ( ) ( ) 432 22 =++− yx

b. 03310622 =+−++ yxyx .

c. 0912422 =−+−+ yxyx


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La Parábola : Una parábola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. El punto fijo es el foco y la recta fija es la directriz. Véase la figura siguiente:

Figura 1

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de simetría, y el punto donde la parábola interseca a su eje de simetría es el vértice. Véase la figura siguiente:

Figura 2

Analizaremos las parábolas que tienen su eje de simetría horizontal o vertical.


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La parábola con vértice (0,0) Llamaremos p a la distancia entre el foco y el origen (p>0), de modo que la distancia entre el origen y la directriz también es p. Por lo tanto, las coordenadas del foco F son ),0( p y la ecuación de la directriz es py −= . Véase la figura 3

Figura 3

Por definición de una parábola, si elegimos cualquier punto ),( yxP de la parábola, la distancia de ),( yxP al foco ),0( pF , es igual a la distancia del punto ),( yxP al punto ),( pxL − . (Observe que ),( pxL − es el punto que se utiliza para determinar la distancia perpendicular a la directriz que es la recta y = -p.)

PLPF = Utilizamos la formula de la distancia

( ) ( ) ( ) ( )22220 pyxxpyx ++−=−+− elevamos al cuadrado a ambos lados para obtener

( ) ( ) ( )2220 pypyx +=−+−

( ) ( )222 pypyx +=−+

22222 22 ppyyppyyx ++=+−+ , Lo que implica

pyx 42 = A esta fórmula se le conoce como la forma canónica de la ecuación de una parábola con foco ),0( p y directriz py −= . Ésta es una parábola con vértice en el origen y que tiene al eje y como su eje de simetría.

Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola 2

3

1xy −= .


96

Solución Para una parábola dada en la forma pyx 42 = , sabemos que la ecuación de la directriz es py −= y el foco es ),0( p , por lo que necesitamos identificar p.

Podemos escribir la ecuación 2

3

1xy −= en la forma pyx 42 = , despejando 2x :

yxxy 33

1 22 −=⇒−=

Comparamos esto con la forma canónica para identificar p: pyx 42 =

yx 32 −= Vemos que 4

334 −=⇒−= pp .

Por lo tanto, el foco es

−4

3,0 y la directriz es

4

3=y . Véase la figura 4.

Figura 4.

Ahora analizaremos la parábola con vértice en el origen pero simétrica con respecto del eje x. El foco es )0,(pF y la directriz px −= , como vemos en la figura siguiente (fig 5)7:


97

Figura 5

Como en el caso de la parábola simétrica con respecto al eje y , podemos deducir la ecuación de la parábola simétrica con respecto al eje x utilizando la fórmula de la distancia. Obtenemos lo siguiente: pxy 42 = , ésta es la parábola con vértice en el origen y que tiene como eje de simetría al eje x Luego: la forma canónica para la ecuación de una parábola con foco )0,(pF y

directriz px −= es: pxy 42 =

Observemos más de cerca las diferencias entre las dos formas canónicas: El elemento clave para determinar si la parábola abre hacia arriba (abajo) o hacia la derecha (izquierda) es el término de segundo grado (al cuadrado). Sólo existe un término de segundo grado en al ecuación de la parábola; si existe un término 2x , la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (simetría con respecto del eje y), pero si existe un término 2y , la parábola abra hacia la derecha o hacia la izquierda (simetría con respecto del eje x). Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola 22yx = . Solución: Observemos que como existe término 2y (y no existe 2x ), tenemos una

parábola simétrica con respecto del eje x y utilizamos la forma pxy 42 = .


98

Despejamos 2y , en xyyx2

12 22 =⇒= .

Comparamos esto con la forma canónica de la parábola, con vértice en el origen y simétrica con respecto al eje x para identificar p: pxy 42 =

xy2

12 = tenemos 8

1

2

14 =⇒= pp

El foco

0,8

1 y la directriz es

8

1−=x . Véase la figura 6

Figura 6

Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si su foco es (0, -3). Solución Como el foco (0,-3) está sobre el eje y , la parábola es simétrica con

respecto del eje y, su ecuación será de la forma pyx 42 = . Como tenemos que el

foco es (0, -3), entonces 3−=p . Por lo tanto, la ecuación es ( )yx 342 −= , o sea

yx 122 −=

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Encuentra el vértice, foco y directriz de la parábola. Traza su gráfica, mostrando el foco y la directriz.

1. 28 xy = 2. xy 32 2 −= 3. ( ) ( )182 2 −−=+ yx


99

4. ( )22−y = ( )341 −x 5. 242 +−= xxy 6. 10202 =+ yx

Encuentra una ecuación para la parábola de la figura: 7.

8.


100

LA ELIPSE: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos) sea una constante positiva. La elipse es muy útil para proporcionar un modelo matemático de varios fenómenos físicos, como las órbitas de los planetas. Podemos construir una elipse en papel así: clava dos tachuelas en el papel en dos puntos cualesquiera F y 'F y sujeta los extremos de un trozo de hilo a las tachuelas. Tras enrollar el hilo alrededor de un lápiz y tensarlo, igual que en el punto P de la figura siguiente:

Figura 7

Mueve el lápiz de modo que el hilo se mantenga tenso, La suma de las distancias

( )PFd , y ( )PFd ,' es la longitud del hilo y, por lo tanto, es constante; así, el lápiz trazará una elipse con focos en F y F `. El punto medio del segmento FF` se llama centro de elipse. Si cambiamos las posiciones de F y 'F pero mantenemos fija la longitud del hilo, podemos variar considerablemente la forma de la elipse. Si F y 'F están a una distancia tal que ( )',FFd sea casi la misma que la longitud del hilo, la elipse es plana. Si ( )',FFd está cercana a cero, la elipse es casi circular. Si F = 'F , obtendremos un círculo con centro .F A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, escojamos el eje x como la recta que pasa por los focos F y 'F , con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene coordenadas ( )0,c con c > 0, entonces, como en la figura 8,

'F Tiene coordenadas ( )0,c− ; por lo tanto, la distancia entre F y 'F es .2c La suma constante de las distancias de P desde F y 'F se denotará con .2a Para obtener puntos fuera del eje x , debemos tener a2 > ;2c esto es, a > c . Por definición, ( )yxP , está en la elipse si y sólo si ( ) ( ) aFPDFPd 2',, =+


101

Figura 8.

Si usamos la fórmula de la distancia y eliminamos radicales, llegamos a la siguiente ecuación:

12

2

2

2

=+b

y

a

x, en donde 2b = .22 ca −

Dado que c > 0 y ,222 cab −= se deduce que 22 ba > y, por lo tanto, a > .b Podemos encontrar las intersecciones en x de la elipse, haciendo 0=y en la

ecuación, de manera que obtendremos 1/ 22 =ax o bien ;22 ax = en consecuencia, las intersecciones x son a y .a− Los puntos correspondientes

( )0,aV y ( )0,aV − de la gráfica se llaman vértices de la elipse (fig. 9). El segmento de recta VV ' es el eje mayor. De igual forma, si hacemos 0=x en la ecuación obtenemos: ,1/ 22 =by ó .22 by = Por lo tanto, las intersecciones en y son b y .b− El segmento entre ( )bM −,0' y ( )bM ,0 se denomina eje menor de la elipse.

Figura 9.


102

Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje ,y obtenemos la ecuación

.12

2

2

2

=+a

y

b

x

En este caso, los vértices de la elipse son ( )a±,0 y los puntos extremos del eje menor son ( )0,b± según se expone en la figura 10.

Figura 10

Ejemplo: Graficar las siguiente elipse e identificar los focos : 1916

22

=+ yx.

Solución

(a) Para graficar una elipse con el centro en el origen, comparamos nuestra

ecuación con la forma canónica de la elipse .10

2

2

2

2

=+ba

x y obtenemos

4162 =⇒= aa y 392 =⇒= bb . (Recuerde que a y b son positivos) Graficamos los vértices ( )0,4± y los extremos del eje menor, ( )3,0± y graficamos la elipse, como se muestra en la figura 11.


103

Figura 11.

Observe que a > b y 77916222 =⇒=−=−= cbac . Por lo tanto,

los focos son ( )0,7± . Ejemplo: Graficar 16416 22 =+ yx Identificar sus focos

Solución Primero escribiremos la ecuación en forma canónica. Para obtener un 1 del lado derecho, debemos dividir entre16.

16416 22 =+ yx Dividimos ambos lados entre 16

16

16

16

4

16

16 22

=+ yx Simplificamos.

141

22

=+ yx La ecuación está ahora en forma

canónica. Si comparamos nuestra ecuación con ambas formas canónicas de la elipse, observamos que el denominador de 2y es mayor que el denominador de 2x ; por lo tanto, como a debe ser mayor que b, utilizamos la segunda forma

12

2

2

2

=+a

y

b

xuna elipse con foco en el eje y. Por lo tanto,

242 =⇒= aa y 112 =⇒= bb Graficamos los vértices ( )2,0± y los extremos del eje menor ( )0,1± y trazamos la gráfica de la elipse, Véase la figura 12.


104

Observe que ba > y 3314222 =⇒=−=−= cbac .Los focos son

( )3,0 ± .

Figura 12

Ejercicios En los ejercicios 1-5, identifique los vértices y los focos de la elipse.

1. 1949

22

=+ yx

2. 11812

22

=+ yx

3. 1924

22

=+ yx

4. 225925 22 =+ yx

5. 30302 22 =+ xy En los ejercicios 6-8, grafique la elipse e identifique los vértices y los focos.

6. 1949

22

=+ yx

7. 2412 22 =+ yx

8. 1283 22 =+ yx En los ejercicios 9-11, escriba la ecuación de la elipse utilizando la información dada.

9. La elipse tiene focos en (2, 0) y (-2, 0) y vértices en (4, 0) y (-4, 0) 10. La elipse tiene focos en (0, 3) y (0, -3) y vértices en (0, 5) y (0, -5)


105

11. La elipse tiene centro en el origen; su eje mayor es horizontal, con longitud 8; la longitud del eje menor es 4.


106

La hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de puntos en el plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante positiva . Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. Vea figura siguiente:

Obtengamos una ecuación de esta hipérbola. Escojamos un sistema de coordenadas con focos 1F )0,(c y

)0,(2 cF − Por la definición de la hipérbola, si elegimos cualquier punto ),( yxP sobre ella, el valor absoluto de la diferencia de las distancias de ),( yxP a 1F )0,(c y a )0,(2 CF − es constante. Llamemos a esta distancia

constante a2 : O sea aFPdFPd 2),(),( 21 =−

Utilizamos la fórmula de la distancia:

( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =−++−−+−

Si trabajamos con esta ecuación como hicimos en el caso de la elipse, obtenemos

12

2

2

2

=−b

y

a

x siendo 222 acb −=

Las intersecciones de la gráfica de esta ecuación con el eje x quedan determinadas al hacer 0=y :

.12

2

2

2

=−b

y

a

x reemplazamos 0=y ; despejamos x .

.10

2

2

2

2

=−ba

x

axaxa

x ±=⇒=⇒= 222

2

1 , Las intersecciones con el eje x son a±


107

Los puntos ( )0,1 aV y ( )0,2 aV − son los vértices de esta hipérbola, y el segmento

de recta 21VV es el eje transversal (ver figura página siguiente). El segmento de recta que une los puntos ( )bW ,01 y ( )bW −,02 es el eje conjugado de la hipérbola. Lo anterior lo podemos resumir así:

La gráfica de la ecuación

12

2

2

2

=−b

y

a

x, es una hipérbola con

centro en )0,0( y vértices en )0,( a± . Los focos son )0,( c± ,

donde 222 bac += . Los extremos del eje conjugado son ),0( b± . La longitud del eje transversal es

a2 , la longitud del eje conjugado es b2 y las asíntotas de la

hipérbola son xa

by ±=

Ejemplo:

En la figura siguiente se muestra la gráfica de la hipérbola 1916

22

=− yx.

Como 4162 =⇒= aa , los vértice son ( )0,4± . Además,

392 =⇒= bb y como 222 bac += , tenemos que

5259162 =⇒=+= cc . Por lo tanto, los focos son ( )0,5± . Las asíntotas son:

xy4

3= y la otra xy4

3−=


108

Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje y , obtenemos la ecuación

12

2

2

2

=−b

x

a

y siendo 222 acb −= ,

Los elementos de esta hipérbola se pueden resumir como sigue:

La gráfica de la ecuación

12

2

2

2

=−b

x

a

y, es una hipérbola con centro en

)0,0( y vértices en ),0( a± .

Los focos son ),0( c± , donde 222 bac += . Los extremos del eje conjugado son

)0,( b± . La longitud del eje transversal es a2 , la longitud del eje conjugado es b2 y las

asíntotas de la hipérbola son xb

ay ±=

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

En los ejercicios 1-3, identifique los vértices, los focos, y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola.

1. 1169

22

=− yx

2. 11812

22

=− xy

3. 225925 22 =− yx


109

En los ejercicios 4-5, grafique la hipérbola e identifique los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas.

4. 1499

22

=− yx

5. 248 22 =− yx

unidad 6 geometria analitica - blastorres.webs.com · matemática i. ciclo técnico profesional....

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