Solución a los ejercicios de polinomios

Ejercicios del 1 al 10

Saca factor común en las siguientes expresiones I

( ) xxxx 41248 2 −=−

( )yxyxyxyx 2361218 223223 −=−

( )abbaabbaabba 5166551530 2222 +−=+−

( )22423 62626412 babbbab −+−=−+−

( )2233324 287172281434 babaababbaba +−=+−

( )abbcabababacba 918102183620 2223224 −+=−+

Saca factor común en las siguientes expresiones II

( )1222

2

−=− xxxx

( ) ( ) ( ) ( )( )34134 222 −⋅+−⋅=−⋅+−⋅ xyxyxyyxyyyxyx

−−−=−−−

5

1

7

2

57

2 22 xxx

xxxx

Desarrolla los siguientes cuadrados

( ) 49147 22 ++=+ xxx

( ) 14412 22 ++=+ aaa

( ) bababa 22422 124923 ++=+

( ) 1684 22 +−=− xxx

( ) 222 693 bababa +−=−

( ) 654232 2520452 bbbbb +−=−

( ) 22 10255 xxx ++=−−

Calculad y simplificad

( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )22

32

22

1222

22

1

2

1

2

2

4

1

2

1

2

22 +−

+=+−

−−−++=+−

−−+

+−

=−−−

++

− xx

x

xx

xxx

xx

x

xxx

x

xx

( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )xxx

xxx

xxx

xxxxxxxx

xxx

xxxxxxx

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

3232

2736

3232

2712949632

3232

32323323

3

32

3

3232

13

32

3

94

1

23

23223

2

+−++−−

=+−

+−+−−++−=+−

+−+−−−−=

=+−+−−

+−=+−

+−−

−

Importante: cuando se desarrollan estas expresiones algebraicas tened cuidado con la operación resta, pues hay que modificar el signo de cada sumando del denominador

Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones I

)3

1(:)533( 245 −−+− xxxx

1/3

73/81

73/81

0

-1142/24373/27-8/9-8/31

73/243-8/27-8/91/3

-530-31

Importante: cuando se aplica la regla de Ruffini hay que poner un cero por cada término del polinomio que falte.

Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones II

)2

1(:)

2

7

2

1

2

5()12(:)725( 234234 +−+−=+−+− xxxxxxxx

-1/2

-99/32

13/32

-7/2

-13/1613/8-9/45/2

-13/169/8-5/4

01/2-15/2

Importante: aunque la regla de Ruffini únicamente se puede aplicar al dividir por un polinomio del tipo x-a. Lo que hemos hecho en esta ocasión es dividir por el coeficiente que acompaña a x a ambos polinomios, de tal forma que no varía la expresión y podemos aplicar la regla de Ruffini.

Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones III

)3

2(:)

3

10

3

1

3

8()23(:)1083( 2424 −+−+−=−+−+− xxxxxxxx

2/3

152/81

62/81

10/3

31/2720/9-2/3-1

40/27-4/9-2/3

-1/38/30-1

Probad que… I

( ) ( )2233 aaxxaxax ++−=−a

0

Resto

a2a1

a3a2a

-a3001

( ) ( ) 3332222322 axaxaaxxaaxxaaxxax −=−−−++=++−

Este ejercicio se puede hacer de dos formas distintas:•La primera es aplicar la regla de Ruffini y comprobar que la división por x – a proporciona el polinomio del miembro izquierdo de la expresión.•La segunda consiste en desarrollar el producto y simplificar la expresión resultante

2x ax+ 2a+

Probad que… II( ) ( )2233 aaxxaxax +−+=+

-a

0a2-a1

-a3a2-a

a3001

( ) ( )322344 axaaxxaxax −+−+=−

-a3

-a3

0

-a

0a2-a1

a4a2-a

-a4001

El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. I

Como el polinomio es de grado 2 tiene la forma ax2 + bx + c. Como sabemos que es un múltiplo de x + 2, este polinomio divide al polinomio anterior, es decir, el resto de dividirlo es 0. Por tanto, utilizando el teorema del resto podemos poner:

( ) ( )024

;022 2

=+−=+−+−

cba

cba

Utilizando de nuevo el teorema del resto para x + 1 y x – 2 y sus correspondientes restos, podemos poner:

( ) ( )3

;011 2

−=+−=+−+−

cba

cba ( ) ( )1224

;1222 2

=++=++

cba

cba

Por tanto, disponemos de un sistema lineal de tres ecuaciones, con tres incógnitas que resolveremos a continuación para calcular a, b y c.

El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. II

2

2

3

124

1232

024

1224

12444

024

1224

3

024

=−=

=

−=−=−

=+−

−=−−−=−+−

=+−

=++−=+−=+−

a

c

b

b

cb

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

Hemos resuelto este sistema mediante el método de reducción. Multiplicamos por 4 la segunda ecuación, que sustituimos por su suma con la primera ecuación. Multiplicamos por -1 la tercera ecuación, sumamos con la primera y sustituimos por la tercera ecuación. Resultando la tercera ecuación con una única incógnita que resolvemos.

El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. II

Falta calcular las raíces de este polinomio, para ello resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta de igualar el polinomio a 0. Podríamos también, utilizar el método de Ruffini, pues sabemos que una de sus raíces es -2 ( x+2 es múltiplo del polinomio).

( )

=−=

=±−=⋅

−⋅⋅−±−=

=−+

2

12

4

53

22

22433

0232

2

2

x

xx

xx

Halla las raíces de los siguientes polinomios I

( )

( )( )

+=−==

+=−==

−±−=

−⋅±−=

−⋅⋅−⋅−±−

=

=++−

++−=++−

173

173

0

173

173

2

726

2

1726

12

81466

086

8686

22

2

223

x

x

x

raíces

x

xx

xx

xxxxxx

Hemos sacado factor común en el polinomio de grado 3 puesto que no dispone de término independiente, posteriormente hemos resuelto la ecuación de segundo grado para calcular los valores que anulan el polinomio.

Halla las raíces de los siguientes polinomios II

( )

=−=

=±−=⋅

−⋅⋅−±−=

−+

2

4

1

31

2

12

42

1411

;42

2

2

x

xx

xx

( ) ( )

−==

=±=⋅

−⋅⋅−−±=

−−

3

5

2

82

12

151422

152

2

2

x

xx

xx

Las raíces de un polinomio son los valores que lo anulan, por lo que resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular los valores

( )

==

=±=⋅

⋅⋅−−±=

=+−

=⇒

+−=+−

3

6

3

213

3

12

63

1433

0633

1

0633

163

3

2

2

223

x

xx

xx

xxxxxxx

Halla las raíces de los siguientes polinomios III

Aprovechamos que la variable x se encuentra en todos los términos del polinomio, para factorizar parcialmente el polinomio y obtener la primera raíz 0.Posteriormente calculamos los valores que anulan el polinomio de segundo grado para calcular las otras dos raíces que son 6 y 3.

Halla el valor k del polinomio sabiendo que x=4 es una raíz del mismo. Halla la otra raíz.

242 −+ kxx

2

84

048

024416

02444

242

2

==

=+−=−+=−+

−+

k

k

k

k

k

kxx Como 4 es una raíz, anula el polinomio, al realizar la sustitución queda una ecuación con una incógnita que despejamos.Para calcular la otra raíz podemos resolver la ecuación de segundo grado que resulta de igualar a 0 el polinomio una vez sustituido el valor de k. Otro método sería utilizar la regla de Ruffini. Utilizaremos este método.

4

061

244

-2421

Por tanto, la otra raíz es -6

Halla el valor k del polinomiosabiendo que x=3 es una raíz del mismo. Halla la otra raíz.

kxx +−102

21

0309

03103

102

2

==+−

=+⋅−

+−

k

k

k

kxx Calculamos el valor de k igualando a 0 el resultado de sustituir la raíz en el polinomio, pues ese valor debe anularlo.Una vez obtenido k procedemos a resolver la ecuación de segundo grado para calcular la otra raíz.

==

=±=⋅

⋅⋅−±=

=+−

3

7

2

410

12

21141010

02110

2

2

x

xx

xx

Por tanto, la otra raíz es 7.Importante: si una de las soluciones no hubiera sido 3 habría un problema en la solución de este problema

Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones I( ) ( )2:1234 234 +−+−+ xxxxx

16

14

2

-2

-33-721

-32-4-2

-1-341

1672

33

23 +−+

−

xxx

COCIENTE

RESTO

Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones II

( ) ( )3:864 235 −−+−+ xxxxx

84

78

6

26

30

-4

3

2441031

25293

-8101

8426103

244

234 ++−+ xxxx

COCIENTE

RESTO

Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones III

( ) ( )4:6420 24 ++− xxx

0

-64

64

16

16

0

-4

-4-41

16-4

-2001

1644

0

23 +−− xxx

COCIENTE

RESTO

Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones IV

( ) ( )2:52 25 −+− xxx

14

14

0

7

8

-1

2

33421

2842

5002

14742

33

234 ++++ xxxx

COCIENTE

RESTO

( ) ( )3:556 234 −+−+− xxxxx

-34

-39

5

-13

-12

-1

3

-4-31

-93

5-61

1343

34

23 −−−

−

xxx

COCIENTE

RESTO

Aplicando el teorema del resto indica si …

( )16 +x es divisible por ( )1−x divisible es no Por tanto02116 ⇒≠=+

( )17 −x es divisible por ( )1+x ( ) divisible es no Por tanto01111 7 ⇒≠−−=−−

( )84 −x es divisible por ( )2+x ( ) divisible es no Por tanto0881682 4 ⇒≠=−=−−