1 polinomios. raíces de un polinomio....

TEMA 2. ÁLGEBRA.

1 Polinomios. Raíces de un polinomio. Factorización.

1. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 3x4 + 3x3 � 33x2 + 3x� 36 b) x6 � 15x4 � 42x3 � 40x2 c) x6 � 9x5 + 24x4 � 20x3d) x6 � 3x5 � 3x4 � 5x3 + 2x2 + 8x e) x6 + 6x5 + 9x4 � x2 � 6x� 9 f) x6 � 4x5 + 3x4 + 4x3 � 5x2 + 1g) � 3x3 + 3x2 + x� 1 h) x5 � 3x4 + x3 + 5x2 � 6x+ 2 i) 3x6 � 18x5 + 45x4 � 60x3 + 45x2 � 18x+ 3

2. Dados los polinomios

(a) A (x) = x6 + x5 + x4 + 9x3 + x2 � 11x� 2B (x) = x6 + x5 � 7x4 � x3 + 7x2 + x� 6C (x) = x6 � 8x4 + 3x3 � 8x2 � 27x� 9D (x) = x6 + 4x5 + 2x4 � 3x3 � 9x2 � 37x� 30

(b) Calcula sus raíces enteras y factorízalos a partir de ellas.

(c) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de B (x) y C (x) :

(d) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de C (x) y D (x) :

3. Factoriza el polinomio x4 + 4x3 + 8x2 + 7x+ 4 sabiendo que es divisible por x2 + x+ 1

4. Factoriza el polinomio 6x4 + 7x3 + 6x2 � 1 sabiendo que 13y�12son raíces del polinomio.

5. Determina la expresión de un polinomio de cuarto grado que cumpla cada una de las siguientes condiciones:

(a) Su coe�ciente principal es 1 y sus raíces son a; �a; b y �b:(b) Su coe�ciente principal es 3 y sus raíces son a (doble) y b (doble).

(c) Su coe�ciente principal es �2, tiene por raíces a y �a y es divisible por x2 + b2

(d) Su coe�ciente principal es �1 y es divisible por x2 + a2 y por x2 + b2

6. Halla un polinomio de quinto grado sabiendo que sus raíces son 1; �2; 4; 5 y 7 y que al dividirlo por x � 3 da deresto 240:

7. Utiliza la regla de Ru¢ ni para factorizar el polinomio P (x) = x5 � ax4 � 2x3 + 2ax2 + x� a

8. Utiliza la regla de Ru¢ ni para factorizar el polinomio P (x) = x3 + (1� a� b)x2 + (ab� a� b)x+ ab

9. Calcula el valor de a para que el polinomio ax5 � 6x3 + 5x+ 6 sea divisible entre x� 2:

10. Calcula los valores de a y b para que el polinomio x5 + x4 + ax3 + x2 + x+ b sea divisible por x� 2 y por x+ 3

11. Calcula los valores de a y b para que el resto de la división del polinomio�x2 + a

�(x+ b) entre x� 1 y entre x+ 1

sea, respectivamente, �4 y �12:

2 Fracciones algebraicas.

1. Simpli�ca las siguientes fracciones algebraicas:

a)x2 � 4x+ 2

b)x3 � 19x� 30x3 � 3x2 � 10x c)

x3 � 2x2 + xx3 � 3x2 + 3x� 1 d)

x3 � 27x2 � 9

e)x5 + 3x2 � x� 3

2x3 + 10x2 + 14x+ 6f)

x2 � y2ax� ay + bx� by g)

16a3b� 12a2b36a3b

h)x4 � y4

(x+ y)2(x� y)2

2. Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas:

a)x

x� 1 ;1

x+ 1b)

x

x2 � 1 ;x� 1

x2 + 3x+ 2c)

x

x3 � 1 ;2x

x2 + x+ 1;

x2

x� 1

d)x+ 2

x� 2 ;2

x+ 2;

4x

x2 � 4 e)x

x� 2 ;x3 � x2 + 1x� 1 ;

x+ 1

x+ 2f)3x� 24x

;x� 12x2

;2x+ 3

8x

g)2x

x2 � 4 ;x+ 2

x2 � 4x+ 4 h)1

x+ 1;

x� 4x2 � x+ 1 ;

x2 � 3x+ 2x3 + 1

3. Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas:

a)x+ 7

x+x� 2x2 + x

� 2x+ 1x+ 1

b)1

x2 � 1 +2x

x+ 1� x

x� 1 c)2x

x2 � 5x+ 6 �2

x� 2 +3

x� 3

d)x+ 2

x2 � x� 6 �x+ 3

x2 � 4x+ 3 e)2x

x2 � 4 +2x+ 4

x2 � 4x+ 4 f)x� 1

x2 � 5x+ 6 +3x� 6

x2 � 4x+ 3 �x2 � 4

x2 � 3x+ 2

g)4x

x+ 1� x+ 1x� 1 +

2x

x2 + 1h)x2 � 2x+ 1x2 + 1

� x2

x2 � 1 i)x2 + x+ 6

x2 � 4x+ 4 � 2 �x+ 1

x� 2 +x� 5

x2 � x� 2

4. Realiza las siguientes operaciones:

a)x2 � 3x+ 1

� x� 1x� 3 b)

x2 � 2x+ 2x� 1 :

3x� 2x2

c)x2

2:

�1

x+ 1:x� 13

�d)x+ 2

x:

�x� 13

� x

2x+ 1

�

e)x4 � x2x2 + 1

� x4 + x2

x4f)6x� 24x� 3 �

3x+ 4

x2 � 9 g)5x� 1x2 � 1 �

x+ 1

x� 3 h)a2

ab+ab2

b4� a

i)a+ x

x2 � a2 �x� ax+ a

j)�x2 � y2

�:

�1

x+1

y

�

5. Simpli�ca las siguientes expresiones:

a)x+

2x

x� 21 +

4

x2 � 4

b)

x

1� x +1 + x

xx

1� x �1 + x

x

c)

x� 1x+ 1

� x2 + 1

x2 � 1x+ 1

x� 1 +x2 + 1

x2 � 1

d)

x+ 1

x� 1 �x3 + 1

x3 � 1x� 1x+ 1

� x2 + 1

x2 � 1

e)

x+ 1

x� 1 �x2 + 1

x2 � 1x� 1x+ 1

+x2 + 1

x2 � 1

f)


a)1

1 +1

1 +1

x

b)x� 1

x� 1� x

1� x

x� 1

c) 1� 1

2� 1

3� 2x� 12x+ 1

d)1

1� 1

1 +1

x

e)1 + x

1 + x+1

1� x +x2

1 + x

f) 1 +1

2 +1

3 +2x� 12x+ 1

g)x

1� 1� x1 + x

h)1� x

x+ 1

1 +x

1� xi)

1� xy

1 +x

y

�1 +

y

x

1� y

x

j)1 +

1

x2+1

x3+1

x4

1� 1

x2+1

x3� 1

x4

3 Ecuaciones.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado:

a) x4 � x2 � 12 = 0 b) x4 � 8x2 � 9 = 0 c) x4 + 10x2 + 9 = 0 d) x10 + 15x5 + 50 = 0 e) x6 � 28x3 + 27 = 0

2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) x3 � 4x = 0 b) x3 + x2 � 6x = 0 c) x3 + 2x2 � x� 2 = 0

d) x3 � x2 � x� 2 = 0 e) x3 � x2 � 5x� 3 = 0 f) 3x3 � 10x2 + 9x� 2 = 0

g) x4 � 4x3 + 6x2 � 4x+ 1 = 0 h) x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x+ 32 = 0

3. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a)x+ 1

x� 1 � 3 =2� xx

b)3x+ 1

4x+ 3� 1

x= 3 c)

3x+ 4

x+ 3� 12=x+ 19

2x+ 6

d)1

x+ 3� 2

x=2� 5xx2 + 3x

e)2x

x2 � 1 = 2 +x

x� 1 f)3x

x2 � 9 �x

2x� 6 = 1

g)x� 2x� 1 =

x2

(x� 2) (x� 1) +x� 1x� 2 h)

x� 3x2 � x �

x+ 3

x2 + x=2� 3xx2 � 1 i)

4� xx2 + 2x+ 1

� 2� xx+ 1

= 2


a)1

x+

1

x+ 3=3

10b)4

x+2 (x+ 1)

3 (x� 2) = 4 c)1

x+1

x2=3

4d)

x

x� 1 +2x

x+ 1= 3

e)5

x+ 2+

x

x+ 3=3

2f)x+ 3

x� 1 �x2 + 1

x2 � 1 =26

35

5. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) x+p25� x2 = 2x+ 1 b) 3x+

p6x+ 10 = 35 c) x+ 1�

p5x+ 1 = 0 d)

p4x2 + 7x� 2 = x+ 2

e)px2 + 3�

p3� x = 0 f)

px+ 5 +

px = 5 g)

px+

p3x� 2 = 2 h)

p2x+

p5x� 6 = 4

i)p5x+ 1�

px+ 1 = 2 j)

p2x+ 3 +

px+ 1 = 1 k)

p2x+ 3�

px+ 1 = 1 l)

px+ 1�

p2x+ 3 = 1


a) 1�p2x� 3 = x b)

p2x� 3�

px+ 7 = 4 c) 1 +

px = x d) 2�

px = x e)

p3x+ 3� 1 =

p8� 2x

7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 31�x2

=1

27b) 5x

2�5x+6 = 1 c) 31�x2

= 2 d) 2x + 2x+1 = 12

e) 34�x2

=1

9f)4x�1

2x+2= 186 g) 7x+2 = 5764801 h) 3x + 3x+2 = 30

i) 2x + 2x+1 = 12 j) 4x � 2x = 2 k) 9x � 2 � 3x+1 + 9 = 0 l) 32(x+1) � 28 � 3x = �3

m) 3x + 32�x = 10 n) 4x+1 + 2x+3 = 320 ~n) 72x+3 � 8 � 7x+1 = �1 o) 4x + 16 = 10 � 2x

p) 23x = 0053x+2 q) 5x+1 + 5x + 5x�1 =31

5r) 2x+1 + 4x�1 = 96 s) 33x + 6 � 3x�1 = 32x+1

8. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales utilizando la suma de los términos de una progresión geométrica:

a) 1 + 2 + 4 + 8 + � � �+ 2x = 1023 b) 1 + 3 + 9 + 27 + � � �+ 3x = 1023 c) 1 + 5 + 25 + 125 + � � �+ 5x�1 = 3906d) 1 + 7 + 49 + � � �+ 7x+2 = 137257

9. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) log x+ log 50 = 3 b) 5 log2 (x+ 3) = log2 32 c) 2 log x = log (10� 3x)

d) 4 ln�x2 + 1

�= ln 625 e) log x+ log 4 = log (x+ 1) + 3 f) 2 log x� log (x+ 6) = 3 log 2

g) 2 log x = 3 + logx

10h) 3 log2 x� log2 32 = log2

x

2i) log (x� 53) + log (x� 5) = 2 + log (4� x)

j) 2 log x� log (x� 16) = 2 k)�x2 � x� 3

�log 4 = 3 log

1

4l) log

p3x+ 1 + log 5 = 1 + log

p2x� 3


a) log x+ log 20 = 3 b) log x3 = log 6 + 2 log x c) 2 log x = log (10� 3x)

d) log x2 = log (10� 3x) e) log x+ log 50 = log 1000 f) log x = 1 + log (22� x)

g) 2 log x� log (x� 16) = 2 h) logpx+ 4 + log 2 = log (5x+ 4) i) log2 (x+ 14) + log2 (x+ 2) = 6

j) log�x2 � 9x+ 18

�= log (2x� 9) + log 2 k) log (x+ 2) + log (10x+ 20) = 3 l) log x = log 2 + 2 log (x� 3)

m) log (3x+ 1)� log (2x� 3) = 1� log 5 n) log�x2 + 1

�� log (3x� 8) = 1 ~n) log4

�x2 � 2

�=1

2

4 Sistemas de ecuaciones.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:



a)

�x2 + y2 = 41x2 � y2 = 9 b)

�3x2 + 2y2 = 35x2 � 2y2 = 1 c)

�x2 + y2 + x+ y = 32x2 � y2 + x� y = 28 d)

�x2 + 2y2 + x+ 1 = 0x2 � 2y2 + 3x+ 1 = 0

Soluciones:

a)

8>><>>:x1 = 5; y1 = 4x2 = 5; y2 = �4x3 = �5; y3 = 4x4 = �5; y4 = �4

b)

8>><>>:x1 = 3; y1 = 2x2 = 3; y2 = �2x3 = �3; y3 = 2x4 = �3; y4 = �2

c)

8>><>>:x1 = �6; y1 = �2x2 = �6; y2 = 1x3 = 5; y3 = �2x4 = 5; y4 = 1

d) Sistema incompatible


Solución: a) x1 = 4; y1 = 7; x2 = �2; y2 = �5 b) x1 = 2; y1 = 3; x2 = 3; y2 = 2 c) x = 17; y = 8


Solución: a) x1 = 5; y1 = 3; x2 = �5; y2 = �3 b) Incompatible c) x1 = 3; y1 = 4 x2 = 3; y2 = 1 x3 =2; y3 = 4 x4 = 2; y4 = 1 d) x1 = 4; y1 = 3; x2 = �4; y2 = �3


Soluciones: a) x = 4; y = 3 b) x1 = �1; y1 = �1; x2 = 8; y2 = 5 c) x = 6; y = 6 d) x1 = 2;y1 = �1; x2 = 3; y2 = 1

7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones escalonados:

Soluciones: a) x = 7; y = 2; z = 11 b) x = 4; y = �5; z = 0 c) x = �1; y = 4; z = 4 d) x = 8; y = 4; z = �3

8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones escalonados:

Soluciones: a) x = 1; y = �5; z = 4 b) x = �1; y = �2; z = �2 c) x = 15; y = 2; z = 1 d) x = 3; y = 4; z = 9

9. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de Gauss:

Soluciones: a) x = 1; y = �2; z = 3 b) x = 4; y = 2; z = �3

10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss:

Soluciones: a) x = 1; y = �1; z = 0 b) x = 2; y =1

5; z = �1


Soluciones: a) Sistema incompatible b) Sistema indeterminado c) Sistema incompatible d) Sistema indeterminado


Soluciones:

a) x =3

2; y =

1

2; z = 2 b) Sistema incompatible c) Sistema compatible indeterminado

d) x = 2; y =1

2; z =

3

2e) Sistema incompatible


14. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

16. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

17. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

Solución: a) x1 = �4; y1 = 5; x2 = 5; y2 = �4 b) x = 30; y = 3 c) x1 = 13; y1 = 1; x2 =�72; y2 =

�94

5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)x� 32

� x� 28

� x

2b) x+ 2 (x+ 1) + 3 (x+ 2) <

x+ 38

2c)5x� 166

+x+ 12

8<x+ 1

3d)x+ 4

3+ 3 � x+ 10

6

e)7� 3x2

< x+ 1 f)2� x4

� 2 + x2

>2x+ 7

4� 2x+ 5

3g) 2x� 2 (3x� 5) < x h) x� 1� x� 1

2< 0

Soluciones:

a) [�10;1) b) (�1; 2) c)

��1; 12

5

�d) [�16;1) e) (1;1) f) (�1;�1) g) (2;1) h) (�1; 1)

2. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) (x+ 1)2 � (x� 1)2 + 12 � 0 b) 2 (x� 11)� 3x (1� 3x) � (3x+ 2)2

Soluciones: a) [�3;1) b) [�2;1)

3. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) x2 � 4 � 0 b) x2 � 9 � 0 c) x2 � 4x < 0 d) x2 + 3x > 0

e) (x� 1) (x� 5) < 0 f) (x+ 2) (x� 3) > 0 g) (4� x) (2 + x) � 0 h) 2x (3� x) � 0

Soluciones:

a) [�2; 2] b) (�1;�3] [ [3;1) c) (0; 4) d) (�1;�3) [ (0;1)

e) (1; 5) f) (�1;�2) [ (3;1) g) [�2; 4] h) (�1; 0] [ [3;1)

4. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) 2x2 � 3x� 2 � 0 b)x2

2� 34x <

5

4x2 +

x

2c) x2 + 2x� 3 > 0 d) x2 � 3x� 10 � 0 e) x2 � 4x� 5 < 0

f) 2x2 + 9x� 5 � 0 g) � x2 + 3x� 2 � 0 h) � x2 + 2x+ 3 � 0 i) x2 � 2x� 7 > 5� x j) x2 <x+ 7

6Soluciones:

a)

��12; 2

�b)

��1;�5

3

�[ (0;1) c) (�1;�3) [ (1;1) d) (�1;�2] [ [5;1) e) (�1; 5)

f) (�1;�5] [�1

2;1�

g) [1; 2] h) (�1;�1] [ [3;1) i) (�1;�3) [ (4;1) j)

��1; 7

6

�5. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) 3x (x+ 4)� x (x� 1) < 15 b) 2x (x+ 3)� 2 (3x+ 5) + x > 0 c)x2 � 95

� x2 � 415

<1� 2x3

d) x2 � 6x+ 9 < 0 e) x2 + 3x+ 6 � 0 f) � x2 + 3x� 4 < 0

Soluciones: a)��152; 1

�b)

��1;�5

2

�[ (2;1) c) (�7; 2) d) ? e) ? f) R

6. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior a 2:

a) x3 � 7x2 + 7x+ 15 � 0 b) x4 � 17x2 + 16 � 0 c) x5 � 8x4 + 25x3 � 38x2 + 28x� 8 � 0

d) x5 � 8x4 + 25x3 � 38x2 + 28x� 8 < 0 e) x3 � 3x2 + 3x� 1 > 0 f) � x6 � x5 + 7x4 + x3 � 6x2 < 0

g) x4 � 10x3 + 35x2 � 50x+ 24 � 0 h) � 6x3 + 11x2 � 6x+ 1 > 0 i) � x7 + 5x5 � 4x3 > 0Soluciones:a) [�1; 3] [ [5;1) b) [�4;�1] [ [1; 4] c) f1g [ [2;1)

d) (�1; 1) [ (1; 2) e) (1;1) f) (�1;�3) [ (�1; 0) [ (0; 1) [ (2;1)

g) [1; 2] [ [3; 4] h)

��1; 1

3

�[�1

2; 1

�i) (�1;�2) [ (�1; 0) [ (1; 2)

7. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a)3x+ 6

2x� 1 � 0 b)x2 � x� 2x2 + x� 2 � 0 c)

3x� 21� x � 0 d)

x2 � 5x+ 6x2 � 5x+ 4 < 0 e)

(x� 1) (x� 2) (x� 3)(x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)

� 0 f)1� x2� x � 0

Soluciones:

a) (�1;�2] [�1

2;1�

b) (�1;�2) [ [�1; 1) [ [2;1) c)

��1; 2

3

�[ (1;1)

d) (1; 2) [ (3; 4) e) (�1;�3) [ (�2;�1) [ [1; 2] [ [3;1) f) [1; 2)

8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

a)

�2x+ 1 < x+ 23x� 1 � 4x c)

�2� x > 02 + x > 0

e)

8>><>>:2x+ 5

3< x� 1

x

3� 1 < 2x� 1

5

g)

8>><>>:x+ 2

4<x

2� 3

8� x3

� 1 + x

2� 1

b)

�3x� 4 > xx � 2x� 1 d)

�5x� 3 � x+ 12x+ 6 � x+ 2 f)

8>><>>:x+ 13

6<39� 2x18

3x� 54

< �1h)

8>><>>:x� 12

+2x+ 2

3>3x� 76

2x� 14

+ 2x <2x� 94

Soluciones:

a) (�1; 1) \ [�1;1) = [�1; 1) d) (�1; 1] \ [�4;1) = [�4; 1] g) (14;1) \��1; 19

5

�= ?

b) (2;1) \ (�1; 1] = ? e) (8;1) \ (�12;1) = (8;1) h) (�2;1) \ (�1;�1) = (�2;�1)

c) (�1; 2) \ (�2;1) = (�2; 2) f) (�1; 0) \��1; 1

3

�= (�1; 0)

SOLUCIONES

1 Polinomios. Raíces de un polinomio. Factorización.

1. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 3 (x� 3) (x+ 4)�x2 + 1

�b) x2 (x+ 2) (x� 5)

�3x+ x2 + 4

�c) x3 (x� 5) (x� 2)2

d) x (x� 1) (x� 4) (x+ 1)�x+ x2 + 2

�e) (x� 1) (x+ 1)

�x2 + 1

�(x+ 3)

2

f) (x+ 1)�x� 1�

p2� �x� 1 +

p2�(x� 1)3 g) � 3x3 + 3x2 + x� 1 h)

�x�

p2� �x+

p2�(x� 1)3

i) 3 (x� 1)6

2. Dados los polinomios

A (x) = (x� 1) (x+ 2)�x4 + 3x2 + 6x+ 1

�B (x) = (x� 2) (x+ 3)

�x4 � x2 + 1

�C (x) = (x+ 3) (x� 3) (x+ 1)

�x3 � x2 + 2x+ 1

�D (x) = (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)

�x3 � 2x2 + 3x� 5

�m.c.d. (B (x) ; C (x)) = x+ 3 m.c.d. (C (x) ; D (x)) = (x+ 1) (x+ 3)

3.�x2 + x+ 1

� �3x+ x2 + 4

�4. (2x+ 1) (3x� 1)

�x2 + x+ 1

�5. a)

�x2 � a2

� �x2 � b2

�b) 3 (x� a)2 (x� b)2 c) � 2

�x2 � a2

� �x2 + b2

�d) �

�x2 + a2

� �x2 + b2

�6. �3 (x� 1) (x+ 2) (x� 4) (x� 5) (x� 7)

7. P (x) = � (x� 1)2 (x+ 1)2 (x� a)

8. P (x) = (x+ 1) (x� a) (x� b)

9. a = 1 10: a =�28219

; b =1230

1911: a = 3; b = �2

2 Fracciones algebraicas.

1. a) x� 2 b)x+ 3

xc)

x

x� 1 d)x2 + 3x+ 9

x+ 3e)x4 � x3 + x2 + 2x� 32 (x+ 3) (x+ 1)

f)x+ y

a+ bg)8a� 6b23a

h)x2 + y2

x2 � y2

2. Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas:

a)x2 + x

x2 � 1 ;x� 1x2 � 1 b)

x2 + 2x

(x+ 1) (x� 1) (x+ 2) ;(x� 1)2

x2 + 3x+ 2

c)x

x3 � 1 ;2x (x� 1)x2 + x+ 1

;x2�x2 + x+ 1

�x� 1 d)

(x+ 2)2

x� 2 ;2x� 4x+ 2

;4x

x2 � 4

e)x (x� 1) (x+ 2)

x� 2 ;

�x3 � x2 + 1

� �x2 � 4

�x� 1 ;

�x2 � 1

�(x� 2)

x+ 2f)6x2 � 4x4x

;4x� 42x2

;2x2 + 3x

8x

g)2x2 � 4xx2 � 4 ;

x2 + 4x+ 4

x2 � 4x+ 4 h)x2 � x+ 1x+ 1

;(x� 4) (x+ 1)x2 � x+ 1 ;

x2 � 3x+ 2x3 + 1

3. Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas:

a)�x2 + 8x+ 5x2 + x

b)x2 � 3x+ 1x2 � 1 c)

3x

x2 � 5x+ 6 d)�4

x2 � 4x+ 3

e)4�x2 + x+ 2

�(x� 2)2 (x+ 2)

f)�x3 + 7x2 � 10x+ 1(x� 3) (x� 1) (x� 2) g)

3x4 � 4x3 + 2x2 � 8x� 1x4 � 1 h)

�2x3 � x2 + 2x� 1x4 � 1

i)�x3 + 3x2 + 6x+ 20(x+ 1) (x� 2)2

4. Realiza las siguientes operaciones:

a)x3 � x2 � 3x+ 3x2 � 2x� 3 b)

x4 � 2x3 + 2x23x2 � 5x+ 2 c)

3x2

2x� 2 d)6x2 + 15x+ 6

x3 � x2 e) x2 � 1

f)18x2 + 18x� 8

4x3 � 3x2 � 36x+ 27 f)5x� 1

x2 � 4x+ 3 h)a��b2 + b+ 1

�b2

i)1

x+ aj) xy (x� y)

i)a+ x

x2 � a2 �x� ax+ a

j)�x2 � y2

��1

x+1

y

�


a) x+ 2 b)1

2x2 � 1 c)�x

x2 + x+ 1d) � (x+ 1)

2

x2 + x+ 1e)

x

x2 � x+ 1


a)x+ 1

2x+ 1b)

1

x+ 1c)2x+ 3

6x+ 7d) x+ 1 e)

(x� 1) (x+ 1)2

2x3 � 2x� 2

f)26x+ 7

18x+ 5g)x+ 1

2h)�x+ 1x+ 1

i) � 1 j)x4 + x2 + x+ 1

x4 � x2 + x� 1

3 Ecuaciones.

1. a) x1 = 2; x2 = �2 b) x1 = 3; x2 = �3 c) @x 2 R d) x1 =5p�5; x2 = 5

p�10 e) x1 = 1; x2 = 3

2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) x1 = 0; x2 = 2; x3 = �2 b) x1 = 0; x2 = 2; x3 = �3 c) x1 = 1; x2 = �1; x3 = �2 d) x = 2

e) x1 = �1 (doble), x2 = 3 f) x1 = 1; x2 = 2; x3 =1

3g) x = 1 (cuádruple) h) x = �2 (quíntuple)


a) x1 = �1; x2 = 2 b) x1 = �1; x2 = �1

3c) x =

7

2d) x = 2 e) x = �2

3

f) x = �2 g) x = �3 h) x = 2 i) x1 = 0; x2 = �6


a) x1;2 =11�

p481

6b) x1 = 3; x2 =

4

5c) x1 = 2; x2 =

�23

d) x = 3 e) x1 = 3; x2 = �4 f) x1 = 6; x2 =�813


a) x = 3 b) x = 9 c) x1 = 3; x2 = 0 d) x1 = 1; x2 = �2 e) x1 = 0; x2 = �1 f) x = 4

g) x = 1 h) x = 2 i) x = 3 j) x = �1 k) x = �2 l) @x 2 R

6. a) @x 2 R b) x = 114 c) x =3 +

p5

2d) x = 1 e) x = 2

7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) x1 = 2; x2 = �2 b) x1 = 2; x2 = 3 c) @x 2 R d) x = 2 e) x1 =p6; x2 = �

p6

f) x = log2 2976 g) x = 6 h) x = 1 i) x = 2 j) x = 1

k) x = 1 (doble) l) x1 = 1; x2 = �2 m) x = log3 6 n) x = 3 ~n) x1 = �1; x2 = �2

o) x1 = 1; x2 = 3 p) x = �13

q) x = 0 r) x = 4 s) x1 = 0; x2 = log3 2

8. a) x = 9 b) x = log3 2047� 1 c) x = 6 d) x = 4


a) x = 20 b) x = �1 c) x = 2 d) x1 = 2; x2 = �2 e) @x 2 R f) x = 12

g) x = 100 h) x = 4 i) @x 2 R j) x =1600

99k) x1 = 1; x2 = 0 l) x =

1201

797


a) x = 50 b) x = 6 c) x = 2 d) x1 = 2; x2 = �5 e) x = 20

f) x = 20 g) x1 = 20; x2 = 80 h) x = 0 i) x = 2 j) x = 9

k) x = 8 l) x =9

2m) x = 7 n) x1 = 3; x2 = 27 ~n) x1 = 2; x2 = �2

1 polinomios. raíces de un polinomio....

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