polinomios interpolantes
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Polinomios Interpolantes
Polinomios interpolantes a través de las formas de Newton-Gregory, Gauss,
Hermite y Lagrange
Objetivo Terminal
1- Escribir correctamente las tablas de
diferencia
2- Formular correctamente los polinomios
interpolantes a través de las formas de Newton-
Gregory,Gauss
3- Formular polinomios interpolantes a través
del polinomio interpolante de Hermite y la forma
de Lagrange.
4- Escribir correctamente la tabla de
diferencias divididas
5- Formular polinomios interpolantes a través
de la fórmula general de Newton.
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El Problema De La Interpolación
Muchas veces, de una función
sólo conocemos un conjunto de
valores. Esto puede suceder, por
ejemplo, porque son los resultados
de un experimento gobernado por
una ley que desconocemos. Si
queremos calcular el valor de la
función para una abscisa diferente
de las conocidas, debemos utilizar
otra función que la aproxime y,
naturalmente, el valor que
obtengamos será una
aproximación del valor real.
También puede suceder que
sepamos la expresión analítica de
la función, pero sea lo
suficientemente complicada como
para calcular aproximaciones a los
valores de la función a partir de
otros ya conocidos.
Existen varias formas de hacer
esto, pero la más sencilla y una de
las más utilizadas es la
interpolación, que consiste en
construir una función que pase por
los valores conocidos (llamados
polos) y utilizar ésta como
aproximación de la función
primitiva. Si se utilizan polinomios
como funciones de aproximación,
hablamos de interpolación
polinómica.
Si la abscisa para la que
queremos encontrar un valor
aproximado de la función se
encuentra fuera del mayor
intervalo definido por las abscisas
de los polos, se dice que estamos
haciendo extrapolación.
Siempre que se utiliza un valor
aproximado se está cometiendo un
error. El estudio del error queda
fuera de los límites del curso al que
está dirigida esta unidad didáctica.
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Tabla De Diferencias
Dados los valores de una
función desconocida
correspondiente a dichos valores
de x, ¿cuál es el comportamiento
de la función?; el propósito es
determinar dicho comportamiento,
con las muestras de los pares de
datos (x, f(x)); se encontrará un
polinomio que satisfaga un
conjunto de puntos seleccionados
(xi, f(xi)) donde los valores que
aporten el Polinomio y la función
se comportan casi de la misma
manera, en el intervalo en
cuestión.
Si se desea encontrar un
polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función
desconocida se puede establecer
un sistema de ecuaciones, pero
este proceso es un poco engorroso;
resulta conveniente arreglar los
datos en una tabla con los valores
de x en forma ascendente. Además
de las columnas para x y para f(x)
se deberán tabular las diferencias
de los valores funcionales. Cada
una de las columnas de la derecha
de f(x), se estima o determina
calculando las diferencias entre los
valores de la columna a su
izquierda. La siguiente tabla es una
tabla típica de diferencias
(ejemplo):
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x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)
0,0 0,000
0,203
0,2 0,203 0,017
0,220 0,024
0,4 0,423 0,041 0,020
0,261 0,044
0,6 0,684 0,085 0,052
0,346 0,096
0,8 1,030 0,181 0,211
0,527 0,307
1,0 1,557 0,488
1,015
1,2 2,572
Polinomio Interpolante de
Newton-Gregory
Cuando la función ha sido
tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar
al polinomio que se le parece. Una
forma sencilla de escribir un
polinomio que pasa por un
conjunto de puntos
equiespaciados, es la fórmula del
Polinomio Interpolante de Newton-
Gregory (en avance y retroceso).
Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas
de interpolación además del
Método de Newton-Gregory,
difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; Por ejemplo la fórmula
del Polinomio Interpolante de
Gauss (en avance y retroceso),
donde la trayectoria es en forma
de Zig-Zag, es decir los valores
desde el punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance
los valores son tomados en forma
de zig-zag, iniciando primero hacia
abajo, luego hacia arriba, luego
hacia abajo, y así sucesivamente.
En fórmula de avance los valores
son tomados en forma de zig-zag,
iniciando primero hacia arriba,
luego hacia abajo, luego hacia
arriba, y así sucesivamente.
Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por
pedazos Hn(x) que sea cúbico en
cada subintervalo, y que interpole
a f(x) y f'(x) en los puntos . La
función Hn(x) queda determinada
en forma única por estas
condiciones y su cálculo requiere
de la solución de n sistemas
lineales de tamaño 4x4 cada uno.
La desventaja de la interpolación
de Hermite es que requiere de la
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disponibilidad de los lo cual no es
el caso en muchas en muchas
aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por
pedazos que hemos discutidos
hasta ahora tienen la desventaja de
que su segunda derivada no es
continua en los puntos de
interpolación. Se ha observado que
en aplicaciones gráficas, el ojo
humano es capaz de detectar
discontinuidades en la segundas
derivadas de una función, haciendo
que los gráficos con este tipo de
funciones no luscan uniformes.
Esto motiva el uso de los splines
que son funciones s(x) continuas
por pedazos con las siguientes
propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f
en los datos .
4. s(x) es continua en el
intervalo.
Si escribimos , entonces tenemos
un total de 4n desconocidas. Las
condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1)
ecuaciones mientras que de 3)
obtenemos n+1 para un total de
4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de
libertad. Estos grados de libertad se
fijan imponiendo condiciones de
frontera adicionales en s(x).
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Polinomio Interpolante De
Lagrange
Para construir un polinomio de
grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se
supone que si i ¹ j. Este Polinomio
Pn es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse
independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero
tiene el inconveniente de que no se
conoce el grado del polinomio.
Como no se conoce, se tiene que
determinar iterativamente. Se
propone un grado, se realiza la
interpolación, se propone el
siguiente grado, se vuelve a
interpolar y se compara con algún
criterio de convergencia, si se
cumple terminamos si no, se repite
el procedimiento.
Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
La diferencia dividida de Newton
para la Interpolación de Polinomios
está entre los modelos más
populares y útiles. Para un
polinomio de grado n se requiere
de n + 1 puntos: ... , , Se usan
estos datos para determinar los
coeficientes para las diferencias
divididas.
Aplicación De Los Métodos
Numéricos De Interpolación En La
Resolución De Problemas.
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Para datos tabulados en forma
equiespaciada o no esquiespaciada,
a través de una serie de técnicas
que antes de la llegada de las
computadoras tenían gran utilidad
para la interpolación, sin embargo,
con fórmulas como las de Newton-
Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite,
Newton, etc., son compatibles con
computadoras y debido a las
muchas funciones tabulares
disponibles, como subrutinas de
librerías; dichas fórmulas tienen
relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas
físicos están descritos por
ecuaciones diferenciales en las que
interviene un operador Laplaciano
(la ecuación de Laplace, la ecuación
de onda, la ecuación de
Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas
ecuaciones corresponden a casos
particulares del problema de
Sturm-Liouville, vale decir,
ecuaciones de autovalores para un
operador diferencial autoadjunto.
No entraremos en los detalles de
esta discusión. Sólo diremos que
los polinomios de Hermite son un
caso particular de soluciones a un
problema de Sturm-Liouville.
Dichas soluciones forman un
conjunto completo y ortogonal,
con cierta función de peso. En el
caso de familias de polinomios
ortogonales, existen relaciones de
recurrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados
inmediatamente anterior y
posterior, y típicamente poseen
una función generatriz, así_ como
operadores de subida y de bajada.
En los capítulos siguientes
encontraremos nuevas familias de
polinomios ortogonales. Todos
ellos provienen de sendos
problemas de Sturm-Liouville, y por
tanto no será extraño encontrar las
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mismas características que hemos
identificado en los polinomios de
Hermite.
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