UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Segundo Semestre Año 2012

INSTITUTO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Prof. D. Rojas

Carrera: Ingeniería Comercial Ayudante: Andrés Celedon

Pauta Ayudantía Nº 11

Modelos de Probabilidad Discreta

1. El tiempo (en meses) que toma una ley en ser elaborada está dada por la

siguiente función:

lot

xsixKxf

..0

201 )(

2

a) Determine el valor de K para que f(x) sea realmente una función de densidad.

b) Se considera que una ley ordinaria requiere al menos dos meses de tiempo

previo en comisiones. Si se sabe que una ley ya cumplió el tiempo mínimo en

Comisiones ¿Cuál es la probabilidad de que esta ley no supere los 18 meses en

ser elaborada?

c) Se han tomado 5 leyes de manera independientes ¿cuál es la probabilidad de

que al menos 3 de ellas estén aún en Comisiones?

Solución:

a) Para que f(x) sea función de densidad, deben cumplirse dos condiciones:

f(x) debe ser positiva. Como x2 es positivo, basta que K lo sea (hay que calcular K)

4-10*3,75 7999

3 1

3 1 )(

20

1

320

1

Kx

Kdxxf

Con el segundo paso, K resultó positivo, por lo cual para el valor encontrado, f(x) es

realmente una función de densidad, quedando ésta como:

lot

xsixxf

..0

201 7999

3

)(

2

b) Piden

20

2

2

18

2

2

20

2

2

2

18

2

7999

3

7999

3

2

182

2

218 2X18X

dxx

dxx

dxx

dxx

XP

XP

XP

XXPP

0,7287 999

728

7992

5824

220

218

33

33

c) (1) Y : Número de leyes (de las 5 seleccionadas) que aún están en Comisión

(2) Y ~ Binomial( n = 5 ; p = P( X 2 ) ) ;

0009,0 799932

2

1

2 dxxxPp

(3) 5,4,3,2,1,0 ;9991,00009,05 5

y

yyf

yy

(4) Piden 0 9991,00009,05

35

3

5

y

yy

yyP

2. El contenido de plomo de ciertos elementos varía entre 10 y 20 unidades. Esta

variabilidad se representa por una distribución de probabilidad, cuya densidad

es:

caso otroen ; 0

20 x 10 ;x

20

)x(f

2

a) Calcule la función de distribución acumulada asociada a esta densidad.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de plomo exceda el punto medio,

es decir 15 unidades?

c) Calcule la probabilidad de que en n de estos elementos elegidos al azar, todos

menos uno excedan el valor 15.

d) Si se midiera el contenido de plomo en 1000 de estos elementos y se ordenaran

estos contenidos de menor a mayor, indique un intervalo aproximado [d1, d2]

que contenga el 50% central de estos valores.

Solución:

caso otroen ; 0

20 x 10 ;x

20

)x(f

2

Donde X: Contenido de plomo en ciertos elementos

a) x

20 2

t

20

t

20 dt

t

20 f(t)dt F(x)

10

x

x

10

x

10

2

x

10

Es decir:

; 1

;

; 0

F(x)

20 x

20 x 102

10 x

x

20

b) P(X > 15) = 1 – P(X 15) = 1 - F(15) = 1 - ( 2 – 20/15 ) = 3

1 = 0,333

c) Sea la variable aleatoria Y: Nº de elementos cuyo contenido de plomo excede las 15

unidades.

Y Bin (n ; p = P(X > 15) = 3

1 )

Donde n,0,1,2.y ; p)(1py

n y)P(Y yny

Luego, n

11n

3

n2

3

1

3

1

n

n )nP(Y 1

11

d) Si X1 X2 X1.000, son los valores de la variable aleatoria en 1.000 de estos

elementos, entonces los límites d1, y d2 que contienen al 50% central de los casos,

corresponden a los valores del primer y tercer cuartil, esto es d1 = Q1(X) y d2 =

Q2(X).

Si usamos la función de probabilidad acumulada, resultan las siguientes ecuaciones:

i) F(d1) = 0,25 = 4

1

1d

20 2 =

4

1 d1 = 7

80 = 11,4286

i) F(d2) = 0,75 = 4

3

1d

20 2 =

4

3 d2 = 5

80 = 16

3. La venta diaria de pan (en cientos de Kg) de una panadería corresponde a una

variable aleatoria, de la cual se sabe que:

Si la venta diaria de pan excede a lo esperado, se lograrán cubrir los gastos

operacionales diarios de la panadería.

Suponiendo las ventas diarias de pan en dicha panadería son independientes

entre sí, calcule la probabilidad que a lo más en 5 de los días de una semana, los

gastos operacionales de la panadería sean cubiertos.

Solución:

Primero

8,0 ,1

8,02,0 ,04,0

2,0 ,0

2

xsi

xsixk

xsi

xF

i. 3

5 1 04,08,0 1 8,0 1 2 kkFxF máx

ii.

t.o.l ; 0

0,8 x 0,2 ; .2 ' 3

10 x

xfxkxFdx

dxFxf

iii. 56,0 25

14

9

10

3

10

8,0

2,0

3

8,0

2,0

2

8,0

2,0

xdxxxfxXE

iv. 56,0 1 56,0 1 56,0 FXPXPxEXP

lesOperaciona Gastos

los cubiertosSean 544,0

125

68 04,0 56,0

3

5 1 2 P

Segundo

i. Sea Y: Número de días de la semana en que los Gastos Operacionales son

Cubiertos.

ii. Y Binomial( n = 7 ; p = 0,544, de parte iv anterior )

iii. 7 , 2, 1, 0, ; 456,0 544,0 7

1 * n

7

y

ypp

yyYP

yyyny

.

iv. 7 6 1 6 1 5 YPYPYP YP

9036,0 0141,0 0823,0 1

4. El encargado de operaciones de la Bolsa de Comercio de Santiago ha modelado

el monto transado diariamente por ciertas empresas, en millones de $,

mediante la siguiente función de distribución:

2001

200100100

100

1000

x

xsix

xsi

xF

a) Calcule la probabilidad que determinado día, el monto transado exceda en una

desviación estándar al esperado.

Solución:

Sabemos que si bxasiab

axxF

,)( , x ~ U (a ,b ), en consecuencia:

$)(1502

200100

2)( millones

baxE

y

222

$)(333,83312

)100200(

12

)()( Millones

abxV

Luego 867,28333,833)()( xVx

Se pide

2113,0100

100867,1781)867,178(1)867,178())()((

xFxPxxExP

b) Si los montos transados diariamente son independientes entre sí, calcule la

probabilidad que en 5 días de operaciones de la Bolsa, en a lo menos 3 de ellos

el monto transado exceda en una desviación estándar al esperado.

Solución:

Se define la variable y: N° de días de cinco observados independientemente en que

el valor transado supera a lo esperado en más de una desviación estándar.

y ~ b(n=5;p=0,2113), en consecuencia

5,......,2,1,0;7887,02113,0)( 55

yyP yy

y

Se pide )5()4()3()3( yPyPyPyP

067,07887,02113,07887,02113,07887,02113,0 055

5

145

4

235

3

5. Un local de atención a público opera con 5 ventanillas de atención en forma

independiente una de otra, las que en promedio cada una atiende a una

persona cada 45 segundos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una ventanilla observada al azar atienda al

menos a dos personas en dos minutos?

Solución:

Sea X: “Nº de personas atendidas por una ventanilla en 45 segundos”.

Luego : X ~ Po(λ=8/3) , .,.........2,1,0,!

3

8

)(

3

8

xx

e

xXP

x

,

Se pide: 7452,0.!1

3

8

!0

3

8

1)1()0(1)2(

3

81

3

80

ee

XPXPXP

b) ¿Cuál es la probabilidad que cuatro o más ventanillas atiendan al menos a dos

personas en dos minutos?

Solución:

Sea Y: “Nº de ventanillas que atienden al menos dos personas en dos minuto”

Luego: Y ~ b(n=5; p=0,7452),

5,......,2,1,0,2548,07452,0)( 5

5

YyYP yy

y

Se pide:

6227,02548,07452,02548,07452,0)4( 05

5

5

14

5

4

YP

6. Suponga que en una fábrica la probabilidad que en cualquier día ocurra por lo

menos un accidente es de 95% y este suceso es independientemente de lo que

ocurra en cualquier otro día. Suponga además que el número de accidentes

diarios en esta fábrica se puede modelar mediante el modelo Poisson con una

frecuencia media de 0,05129 accidentes por día.

a) Determine la probabilidad que en 5 días ocurra por lo menos un accidente.

b) Determine la probabilidad que en 3 días de 5 elegidos al azar, ocurra por lo

menos un accidente.

c) Determine la probabilidad que en 5 días ocurran por lo menos 3 accidentes.

d) En una semana de 7 días se sabe que en 4 de ellos no ocurrieron accidentes, y

se eligen al azar 3 días cualesquiera de esta misma semana. Determine la

probabilidad que en por lo menos uno de estos días haya ocurrido por lo menos

un accidente.

Solución:

a) (1) X: Número de accidentes que ocurren en 5 días

(2) X ~ Poisson ( = ∙t) ; = 0,05129 acc/día ; t = 5 días = 0,25645

(3)

!

25645,025645,0

xxf

x

e x = 0, 1,2, … ,

(4) Piden 2262,07738,01101125645,0

exPxP

b) (1) Y : Número de días en que ocurren por lo menos un accidente

(2) Y ~ Binomial(n = 5 ; p = 0,95) ; también

05,01011 05129,0 exPxPp

(3) 5,4,3,2,1,0 ;05,095,05 5

y

yyf

yy ; también

yy

yyf

595,005,0

5

(4) Piden 021434,005,095,03

53

23

yP ; también

001128,03 yP

c) (1) X : Número de accidentes que ocurren en 5 días

(2) X ~ Poisson ( = ∙t) ; = 0,05129 acc/día ; t = 5 días = 0,25645

(3)

!

25645,025645,0

xxf

x

e x = 0, 1,2, … ,

(4) Piden

00232,02025645,025645,011213 225645,0

exPxP

d) (1) Z : Número de días en que haya ocurrido por lo menos un accidente

(2) Z~ Hipergeométrica ( N1 = 3 ; N2 = 4 ; n = 3 )

(3) 3,2,1,0 ;

3

7

3

43

xzz

zf

(3) Piden 1143,035

4

567

234

3

7

3

4

0

3

011

zPzP

7. Un empleado público recibe correos electrónicos que se reparten en forma

aleatoria en las 8 horas de su jornada laboral de un día a razón de 2 por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad que en un período de 5 horas consecutivas no reciba

correos electrónicos?

b) ¿Cuál es la probabilidad que en 5 horas de las 8 del día no reciba correos

electrónicos?

c) Este empleado, de una semana laboral de 40 horas, en un total de 10 horas no

recibió correos electrónicos, ¿Cuál es la probabilidad que al seleccionar 4

horas al azar, en por lo menos dos de ellas haya recibido correos electrónicos?

Solución:

a) Primera forma:

(1) W: Número de correos electrónicos que recibe un empleado público en un

intervalo de tiempo de 5 horas.

(2) W~ POISSON (α = λ∙t); λ = 2 correos/ hora; t = 5 horas α = 10 correos

(3)

!

1010

xwf

x

e ; w = 0, 1,2, … ,

(4) Piden

0 10 * 4,5 ! 0

10 0 5-10

010

eewP

Segunda forma:

(1) W: Número de horas en que un empleado público no recibe correos

electrónicos.

(2) W~ BINOMIAL( n = 5 ; p = P( X = 0 ; en 1 hora) )

(2.1) X: Números de correos electrónicos recibidos en una Hora

(2.2) X ~ POISSON (α = λ∙t); λ = 2 correos/ hora; t = 1 hora α = 2 correos

(2.3)

!

22

xxf

x

e ; x = 0, 1,2, … ,

(2.4) Luego: p =

1353,0 ! 0

2 0 2

02

eexP

Probabilidad. de éxito

(3) 5,4,3,2,1,0 w;15 522

wwee

wwf

(4) Piden

0 10*5,4 15

5 5 510520252

eeeeyP

b) Y: Número de horas (de las 8 seleccionadas) en que el empleado público no recibe

correos electrónicos

(2) Y ~ Binomial( n = 8 ; 0,1353 hora unaen ; 0 2 exPp )

(3) 8 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ,0 ; 18

522

yy

yfyy ee

(4) Piden 0,00164 1 5

8 5

3252

eeyP

c) V: Número de horas (de las 4 seleccionadas) en que el empleado público recibe

correos electrónicos

(2) V ~ HIPERGEOMETRICA ( N1 = 30 ; N2 = 10 ; n = 4 )

(3) 4 ,3 ,2 ,1 ,0 ;

4

40

4

1030

vvv

vf

(4) Piden

9139

361 1

4

40

3

10

1

30

4

10

0

30

1 )1( 0 1 2

vPvPvP

≈ 0,9583